倍數比較問題

由表4-3-2 中得知，倍數比較問題在本階段之初，全班皆達層次 2 以上，其中 68.2%的學童屬於層次 2，另外 31.8%的學童達到層次 3。與第一階段相較，層次 0 的人數由1~2 人降至 0 人，層次 1 的人數維持 0 人，層次 2 的人數由 25~26 人降 至22~24 人，層次 3 的人數由 6~7 人上升至 10~12 人，由人數分佈的改變可以看

出，部分學童經過一個寒假之後有層次提升的現象（有1 位學童由層次 0 提升到

在晤談中也發現，S23 雖然有可能知道 3 的 5 倍的圖是 3 加 5 次，要畫 3 個大框，

但卻仍根深蒂固的認為圖中的圈一定要5 個 5 個框一起。由於 S23 並沒有實際畫 出來，所以個人並不確定她所說的「3 加 5 次」是正確的3+3+3+3+3，還是又只是 3+5？

比較特殊的案例還有 S03 發生「倍」的概念不清的現象，例如他會以「3 個倍 加9 元」來說明「如果大雄有9 元，而且小夫的錢是大雄的 3 倍，請問：小夫有幾 元？」另外，曾經發生單位量與單位數相反問題的有S04、S13、S19、S23 及 S31。

其中，S13 有 3 題乘法算式正確但是圖卻畫相反，晤談時立即發現錯誤而改正如 下，個人判斷這應是筆誤（S03，晤談 3，2）。

師：第6 題呢？

S13：這題我的圖要改成 4 個 1 圈，總共畫 11 個大圈。

師：第9 題呢？

S13：圖要改成 3 個 11。

而S31 第 6、12 題加法和乘法都是相反的，晤談時 S31 表示「大數乘以小數計算速度 會比較快」，因為無法解釋算式顛倒後的意義，所以在晤談後願意改回可以自行解 釋的寫法（請參考p.133 S31 的晤談內容）。此外，S19 在第 6 題乘法和作圖的單 位量、單位數皆相反，也能夠在晤談中自行修正如下（S19，晤談 3，2）：

師：第6 題。

S19：1 倍、2 倍、3 倍、4 倍（一邊指著自己畫的圖一邊數）。

師：4 倍嗎？可是題目要的是 11 倍耶？

S19：喔，嗯……是 4×11。因為是 4 的 11 倍，之前寫錯了（圖擦掉改成 4 有 11 個）。

S04 第 6 題的乘法算式也出現單位量與單位數相反的狀況，晤談時經個人以「是 誰的多少倍」詢問後也能自行修正如下（S04，晤談 3，2）：

師：第6 題。

S04：小華 4 歲，爸爸的年齡是小華的 11 倍，所以我寫 11×4。

師：到底是誰的多少倍？

S04：4 加 11 次、4 的 11 倍、4×11、總共畫 11 個 4

S23 在倍數比較的 5 題中皆以乘法完成，其中第 3、6、12 題的算式是對的，第 9 和11 題的算式單位量和單位數是顛倒的，由於 S23 的乘法概念相當混亂，且其單 位量和單位數顛倒的問題在等值群組中已問過，故並未再晤談第9 題和第 11 題。

綜合以上所述，S13、S19、S31 對單位量、單位數的概念應該是清楚的，S04 尚須外力的輔助才能修正做法，S03 和 S23 則仍在混淆中。這也說明如果單就「單 位量與單位數相反」的問題來看，倍數比較的問題是學童比較不容易出現這種錯 誤的，或許因為「誰」的「多少倍」很直接的寫進算式就是正確的，而學童只要 連結到「幾倍就是幾個盤子」，在作圖上也就不會出錯了。但是，會在這裡出錯的學 童在等值群組問題中也會出錯，個人推測這些學童如S03、S23 都是整個乘法概念 混亂，或者如S04 最初對單位量、單位數相反的認知不足，認為反正答案都一樣，

直到個人引入「倍」的概念才令他們想起之間關係。