四類問題的比較

由表4-3-4 中得知，在第二階段起始之前，已在第一階段教學中教過的等值群 組和倍數比較問題，幾乎全班學童皆達到層次 2 以上，其中約有 68%的學童屬於 層次2，有 31%已達層次 3。而未在教學中提過的陣列與組合問題，陣列問題是人 人都會做，作法多集中於層次2（67.6%），其次是層次 3（26.5%）；而組合問題在 施測卷上有77.9%的學童屬於層次 0，經過晤談之後降為 61.8%，而這些晤談後改 變的學童全數移至層次 1，使層次 1 由 2.9%提升至 19.1%，而層次 2 和層次 3 的 比率皆不變。

表4-3-4 各類問題第二階段前測學童答題方式的使用率

層次 類型 等值群組 倍數比較 陣列 組合 組合晤談後 層次0 0.6% 0.0% 0.0% 77.9% 61.8%

層次1 0.0% 0.0% 5.9% 2.9% 19.1%

層次2 68.8% 68.2% 67.6% 1.5% 1.5%

層次3 30.6% 31.8% 26.5% 17.6% 17.6%

資料來源：作者自製

此外個人在晤談中曾檢視學童有關「倍」的概念、「倍」的語言、分組計數作 圖及算式意義四個部分連結的概念，發現S03「倍」的語言及概念不清；S04「倍」

的語言、「倍」的概念和作圖中「倍」的概念、加法、乘法經晤談後才正確；S09 和S19 以為第二倍就是 2 倍、第三倍就是 3 倍，「倍」的概念在反覆詢問後才釐清；

S23 雖然所有的概念皆不清楚，但乘法算式轉換「倍」的語言卻學得很好。而 S14 在施測卷上的填答看似沒有問題，但晤談時從頭到尾雞同鴨講，這種寫得出來卻 說不出來的狀態，可能是個人的問話技巧或是他的語文邏輯不足之故。甯自強

（1993）曾提出「當該具體解題活動一再被重複實施，並達到沒有感覺活動材料，

而解題者仍能以自行提供的感覺活動材料進行特定類型問題的解題時，則稱該解 題者已達『察覺』某數學概念的階段。此時解題者可以成功地解題，但仍說不出

『 所以然』來。若解題者不但可以直接透過心智解決問題，並進一步說明何以『 解 題的活動類型』有效，則此時稱該解題者已達『瞭解』的階段。」因此，也許可 以判斷S14 已達到「察覺」階段，卻還不能稱之為「瞭解」。除了上述六個案例之 外，其餘學童在「倍」的概念、「倍」的語言、分組計數作圖及算式意義四個部分 均呈現相當好的連結概念。

學童在第一階段後測到第二階段前測之間只間隔了一個寒假，然而四個類型 題之中都有部分學童的層次已經提升，可能原因包括第一階段教學成效的延續和 假期中學童家中長輩或安親班的指導。所以，第一階段的教學在建立乘法的基礎 概念上似乎顯現出部分的成效。

由等值群組、倍數比較和陣列問題中學童仍以加法解題者居多的情況來看，

加法仍是學童較有把握的解題策略，這也說明了「如何讓學童察覺乘法的快速便 捷？」應該是第二階段教學中還可以持續努力的方向。而組合問題則考驗學童「將

題意與日常生活情境連結」的能力，或許在第二階段教學中可以設計更生活化的 活動，盡量降低活動中的規範，使活動盡量接近日常的情境，藉以增加概念學習 的「想像力與連結力」。

綜合以上所述，第二階段前測結果指出：

（1）學童已經克服等值群組和倍數比較問題的學習困難，第二階段只需將學童由 加法策略推向乘法策略；

（2）「數學生活化、生活數學化」的教學策略似乎能夠協助學童將題意與日常生 活情境連結，而與組合問題的連結是第二階段教學中可以持續努力的目標；

（3）大多數的學童已在第一階段教學中建立正確的「倍」概念，並可以正確選擇 單位量與單位數，少數仍在混淆中的學童在第二階段可以個案處理；

（4）「倍」的語言確實展現了教學的效果；

（5）第一階段的實驗教學在寒假中對學童概念的提升仍有部分的成效；

（6）有極少數學童仍有「11×4 和 4×11 答案一樣，而且 11×4 算起來比較快，所以寫 11×4 比 較好（S31）」的想法；以及

（7）絕大多數的學童在同類型問題中的作法均相當一致，而作法與答案尚有很大 變化的只有組合問題，這顯示出學童對組合問題的乘法概念已在發展中。

這樣的結果似乎建議：第二階段教學時應該讓學童自然感受到乘法的好用，使學 童自發地使用乘法來思考與表達；同時，加強數學與生活的連結；對於極少數概 念仍不穩定的個案，則應繼續瞭解其乘法概念的變化情形。

（二） 學習態度

以下說明數學探究動機、數學焦慮、數學的有用性、教師態度、數學成功態 度及數學學習信心六個向度的學童學習態度（詳細列表請參見附錄一之4（2））。

數學探究動機平均值為4.14，整體平均傾向「同意」自己具有數學探究動機。

其中「在數學課上沒有解決的數學問題，我會在下課後繼續想辦法算」達到分數 4.44，是本向度中最高的；「我對算數學問題沒有興趣」分數 3.29，是本向度中最 低的。數學焦慮平均值為 3.83，學童的整體態度傾向中立，其中最高的是「我一 點都不害怕數學」（4.32）；最低的是「一想到要做困難的數學問題，我的心情就不 太好」（3.26）。數學有用性平均值為 3.73 亦傾向中立，以「長大之後我在許多方 面都會用到數學」的 4.59 最高，「我認為以後在日常生活中很少會用到數學」的 3.09 最低。教師態度平均值為 4.29，因此學童大多數傾向「同意」教師的鼓勵與 肯定。其中的「老師關心我在數學上的進步」分數最高（4.53），「老師認為學比較 難的數學是浪費我的時間」分數最低（3.41）。數學成功態度平均值為 4.06 亦傾向

「同意」自己能在數學方面有好的表現，其中「得到數學比賽第一名我會很高興」

分數最高（4.74），「如果我在數學上得到好成績，別人會認為那只是因為我非常用 功」分數最低（1.33）。數學學習信心平均值為 4.27，整體平均傾向學童對學習數 學相當有信心，其中最高的分數是 4.71 的「我可以得到好的數學成績」，最低是 4.18 的「我對數學很有信心」。

綜觀六個向度的表現，似乎學童在反向題問題的填答分數都偏低，或許不習 慣反向題的語意也是影響填答的原因之一，例如「如果我在數學上得到好成績，

別人會認為那只是因為我非常用功」這題中，學童似乎並不感受到題目文意反向 的意味，這是未來設計問卷時應考慮的一個因素。在六個向度中，只有數學的有 用性和數學焦慮兩項的總平均未達到4，可見數學在生活中自然常用與平易近人的 特性仍是可以加強的部分。有趣的是，在數學的有用性向度中「長大之後我在許 多方面都會用到數學」和「我認為以後在日常生活中很少會用到數學」語法結構 似乎有些相近，但是語意卻不同，而填答結果卻是最高和最低的兩題。或許「長

大」對國小二年級學童而言還相當遙遠，或者該項文字給學童的感受是偏向工作 層面而非生活層面的，這是否也說明學童對生活中的數學察覺度仍然不足？另 外，數學學習向度中最高和最低的分別是「我可以得到好的數學成績」和「我對 數學很有信心」，是否反映出：大多數的學童雖然相信自己的可以把數學「考得」

很好，卻不敢說自己的數學很好？

由於第一階段後測與第二階段前測在數學探究動機（4.13→4.14）、數學焦慮

（3.74→3.83）、數學的有用性（3.65→3.73）、教師態度（4.36→4.29）、數學成功 態度（4.06→3.97）以及數學學習信心（4.27→4.35）六個向度中的差距皆小於 0.1，

因此，學童雖然經過一個寒假，但是在數學態度上並無太大的差異。而除了教師 態度（-0.07）與數學成功態度（-0.09）稍有降低之外，其餘四個向度的填答結果 都持續朝正向發展。若將本次測驗當作第一階段教學的延後測，這可能顯示本研 究的第一階段教學實驗部分有助於學童數學態度的提升。個人認為，第二階段的 教學仍應加強數學與生活的連結並採取更輕鬆活潑的方式來引導學童參與活動。

二、第二階段教學活動設計重心的調整

由第一階段教學的省思中，個人找出應修正和值得繼續努力的部分，同時配 合第二階段前測及晤談中學童的表現，在第二階段的教學中調整貫穿本研究的四 個核心構念，也將利用個案晤談的方式瞭解學童概念的轉變情形。

（一） 轉換數學語言

在本階段前測的晤談中，絕大多數的學童可以輕易地把自己的算式轉換成

「倍」的數學語言，在「誰有多少倍」、「誰有多少個」和「誰加多少次」之間的 任意轉換，使用乘法算式的學童也容易轉換成「誰乘以多少倍」。而出現單位量與 單位數錯置問題的學童，在以「倍」的語言當橋樑後，總能自行釐清概念，可見

「倍」的語言是清晰明瞭的、容易理解且印象深刻的，也是在乘法概念中最不容 易出錯的關鍵用語。因此，在本階段教學中將繼續提升「倍」的語言作為溝通的 橋樑，利用課本提供的情境要求學童用自己的話來說明題意，試試看是否可以幫 助學童加強情境與文字的連結。同時多讓學童上台「說數學」，用自己的話說明題 意、由題意發展出算式、由算式解釋題目、連結「倍」的語言和圖示。學童要能 說得清楚必定要先透過思考，讓自己的想法清晰明澈才有可能表達得讓同學聽得 懂。藉由協助她們增強說理的能力，期望她們能夠面對單位量與單位數相反的困 境，同時也克服「那個很難解釋耶！」的心理障礙。

（二） 強調分組計數的概念

在本階段的前測及晤談中，絕大多數的學童已經以作圖的方式表達了分組計 數的概念，並以此作圖清楚的描述「倍」的概念。分組計數的概念協助學童正確 找出單位量與單位數以及說明算式的意義。在本階段引動學童由加法思考進入乘

在本階段的前測及晤談中，絕大多數的學童已經以作圖的方式表達了分組計 數的概念，並以此作圖清楚的描述「倍」的概念。分組計數的概念協助學童正確 找出單位量與單位數以及說明算式的意義。在本階段引動學童由加法思考進入乘