一、學童乘法概念和學習態度的轉變
（一） 乘法概念
在第二階段教學中，8 位個案學童（S03、S04、S07、S14、S21、S23、S34、
S35）除課堂教學之外並經歷第二及第三次晤談，兩次晤談皆採 Vygotsky 的策略
（謝如山譯，2004）以彈性的問話延伸其學習潛能，並評估從經驗和協助中個案 的受益情形。以下分析本班34 位二年級學童經過第二階段教學及個案晤談之後的 表現。
1. 等值群組問題
由表4-4-1 中得知，除了第 8 題有 1 人屬於層次 0，第 10 題有 1 人屬於層次 2 之外，其餘98.8%的學童皆達到層次 3，顯示第二階段結束時大多數學童都能以乘 法策略來解等值群組問題。
表4-4-1 等值群組問題第二階段後測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 1 2 4 8 10 總計 百分比
層次0 0 0 0 1 0 1 0.6%
層次1 0 0 0 0 0 0 0.0%
層次2 0 0 0 0 1 1 0.6%
層次3 34 34 34 33 33 168 98.8%
資料來源：作者自製
S26 在第 8 題「如果集滿 8 張獎勵卡可以領 1 個紅包，那麼：想領 6 個紅包 要集滿幾張獎勵卡？」以「每6 個圈框在一起，總共有 8 個大框」作圖來表示算 式6+8=14，答案是 14 張。她在這一題的表現完全退回前測「將題目中數字相加」
的狀況，且分組計數的作圖方式與算式的意義完全不同，故將其歸為層次0。然而 S26 在其他 4 題中不論在作圖或加法和乘法算式上都正確，這似乎表明她的概念 可能仍不夠穩定，也或許是受到她在第 7 題（屬於組合問題）中「將題目中數字 相加」的想法而直接影響了第 8 題的作法。回顧該生自第一階段後測開始，問卷 上的填答一直都是正確的，直到本次測驗中的一題才突然出現問題，這種表現或 許可以說明學童自己的原始想法與課堂的學習內容可能不太相容，因為反映課堂 剛學過的作法而表現出看似正確的作答，卻仍會在不經意中顯露出自己的原始想 法；或許這只是她的一次筆誤或意外，但是仍可合理懷疑「雖然經過兩階段的學 習，部分學童的原生概念仍然相當活躍」。S36 在第 10 題只寫加法算式未寫乘法 算式歸類於層次2，而其他 4 題卻都並列加法和乘法算式。因為該生的概念從第一 階段前測開始就一直都很清楚，且該生在每一次測驗中各個類型問題的填答總是 跟其他學童不太一樣，似乎完全是經過自己思考而寫出來的。推測該生可能認為 加法更能表達她的想法或忘了寫乘法算式，但這並不代表該生在第10 題「無法」
使用乘法。
本次測驗中有 6 人曾出現單位量與單位數相反的問題，在詢問「倍」的關係 後皆可改正，其中有些學童再次看見自己的填答未經過晤談立即改正。這似乎顯 示：單位量與單位數的迷思確實不容易完全克服，但是「倍」卻是不錯的媒介；，
要求學童說明「倍」的關係確實比以往的教學方式更容易導正學童的乘法概念，
而且是經由學童自己思考之後說出的。此外個人也感受到：加法算式「倍」的關 係比乘法算式更顯而易見，乘法算式「倍」的關係在學童有學習困難時，由於無
法直接看見算式中一倍一倍的關係，個人又不想直接告知「『a×b』代表的是『a 的b 倍』」，因此，學童不易察覺自己的算式有誤。
2. 倍數比較問題
由表4-4-2 中得知，除第 11 題有 1 人屬於層次 0，第 6、11、12 題中共有 4 人次屬於層次2 之外，其餘 97.1%的學童屬於層次 3。其中 S26 僅在第 11 題未寫 乘法算式，推測可能是寫完加法算式後忘了寫乘法算式。S36 在第 6、11、12 題 中都使用加法，由等值群組與倍數比較問題的填答情形來看，或許對 S36 而言加 法是比較熟悉、有把握的作法。
表4-4-2 倍數比較問題第二階段後測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 3 6 9 11 12 總計 百分比
層次0 0 0 0 1 0 1 0.6%
層次1 0 0 0 0 0 0 0.0%
層次2 0 1 0 2 1 4 2.4%
層次3 34 33 34 31 33 165 97.1%
資料來源：作者自製
共有4 位學童曾發生單位量與單位數相反的迷思，其中 S22 在寫加法算式時 似乎習慣於以較小的數作為單位數，在個人要求以「倍」的概念說明過後，她們 皆能自行修正。而在前幾次測驗中皆沒有分組計數概念的 S23 在本次填答中也未 呈現，僅以圈圈畫出答案總數，卻在晤談時正確畫出分組計數的圖，顯示分組計 數概念正在被動地建立之中；另外，她在求解第 11 題時「將題目中數字相減」，
經由晤談始改正。由S26 在等值群組第 8 題及 S23 在倍數比較第 11 題中仍將「數 字相加減」的表現來看，兩位學童雖有初步的乘法概念，卻仍不穩固，尤其在多 答幾題之後就可能回復到原生想法。
3. 陣列與組合問題
由表4-4-3 中得知，陣列問題全班皆達層次 3；組合問題則約有 19~20 位學童 屬於層次 0，有 5 位學童屬於層次 1，有 0~1 位學童屬於層次 2，有 8~10 位學童 屬於層次3。顯示全班的學童皆以乘法處理陣列問題，這很可能顯示出學童的分組 計數概念已趨成熟，所以能一眼就看出圖形的分組關係，或者已經具備相當的乘 法概念，因此很容易由加法推到乘法。另外，大約有 14~15 位學童可以成功求解 組合問題。
表4-4-3 陣列與組合問題第二階段後測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 5（陣列） 7（組合） 13（組合）
層次0 0 19 20
層次1 0 5 5
層次2 0 0 1
層次3 34 10 8
資料來源：作者自製
在組合問題中曾出現「將題目中數字相加」的有 4 位，配對之後「不知道怎 麼樣叫做一種配對」的有10 位，這些學童大多是「把上衣和褲子各當作一種」來 計算，只有1 人是配對完成之後仍然將題目中數字相加，顯示這 10 位學童雖然可 以做配對的動作，卻完全不理解配對的意義。另外，S03 第 7 題配出 4 種，他一 會兒認為是3 種、一會兒又認為是 5 種，顯示 S03 同樣也是做了配對的動作卻不 瞭解配對的意義；S37 第 13 題配出 3 種，但在作法欄中仍堅持只能畫出 1 種，顯 示S37 仍和前測晤談時一樣誤解題目的意義為只能選一種。
晤談後提昇層次的有S04、S12 和 S16，S04 和 S16 兩人在第 7 題晤談後可由
層次0 提升到層次 1，其中的 S04 原本少了 1 種配對乃是數漏之故。 S16 原本只 配出 3 種卻以為自己配出 6 種，晤談後配出完整配對並以 1 為單位量列出加法算 式，顯示 S16 的概念依然不穩固，經由前測晤談之後雖然好像能正確解題，但是 在後測時仍然需要外力的輔助才能修正作法。而 S12 在第 7 題原本只配出 3 種，
晤談後配出 6 種並以乘法算式表達，因此可以視為提升至層次 3，由於 S12 的數 學成績一向不佳，這是否反應了「頓悟」？
S18 在第一次前測中的第 13 題使用乘法，一直到最後一次的測驗該生兩題組 合問題都無法正確完成，因此他之前使用的乘法算式應該只是拼湊數字。同樣在 第一階段前測使用乘法算式的 S29，則是自本階段前測才開始嘗試配對，到本次 測驗時即使用乘法策略來解題，因此她之前能夠使用乘法算式應該也是假象。
4. 四類問題的比較
由表4-4-4 中發現，經過第二階段的教學之後，學童的表現大幅趨向層次 3（等 值群組30.6%→98.8%，倍數比較 31.8%→97.1%，陣列 26.5%→100.0%，而組合問 題在層次 3 也有相當的差異 17.6%→26.5%）。這似乎顯示絕大多數的學童皆以乘 法解決等值群組（98.8%）、倍數比較問題（97.1%），少數出現在層次 0 或層次 2 的學童，在同類型問題中也有部分填答屬於層次3。全班皆能使用乘法策略來求解 陣列問題的可能原因為：學童的分組計數概念已經相當成熟，能夠看出圖形排列 之中分組的關係。所以，在本階段前測使用「數數」或「加法」策略的學童有趨 向使用「乘法」策略的現象。組合問題扣除層次 0 部分，在填答時可以成功解題 的比率由22.1%提升為 42.6%，晤談之後的改變則由 38.2%提升為 47.1%，學童的 改變多移向層次1 或層次 3，停留在層次 2 的比率雖始終一樣，前後卻包含許多不 同的學童。
表4-4-4 第二階段前測與後測學童答題方式的使用率比較
類型 層次 層次0 層次1 層次2 層次3 第二階段前測 0.6% 0.0% 68.8% 30.6%
等值群組
第二階段後測 0.6% 0.0% 0.6% 98.8%
第二階段前測 0.0% 0.0% 68.2% 31.8%
倍數比較
第二階段後測 0.6% 0.0% 2.4% 97.1%
第二階段前測 0.0% 5.9% 67.6% 26.5%
陣列 第二階段後測 0.0% 0.0% 0.0% 100.0%
第二階段前測 77.9% 2.9% 1.5% 17.6%
組合 第二階段後測 57.4% 14.7% 1.5% 26.5%
第二階段前測 61.8% 19.1% 1.5% 17.6%
組合晤談後
第二階段後測 52.9% 17.6% 1.5% 27.9%
資料來源：作者自製
經過兩階段的教學之後，大部分的學童在等值群組、倍數比較和陣列問題中 已經都使用乘法策略，而組合問題的正確解題率也有 42.6%，這可能與前測之後 的晤談有關。比較本階段前後測中組合問題的填答與晤談結果，其中 S32 和 S33 在前測晤談之後提升到層次1，在後測時依然維持在層次 1；S09、S19、S22 和 S29 在前測晤談時仍無法配對完整，屬於層次 0，其中的 S19 和 S29 到了後測時已能 說明以乘法解題的意義而提升到層次3，S09 與 S22 在後測時能一一列出並以 1 為 單位量列出加法算式，屬於層次1；S30 由前測中一題屬於層次 2，另一題屬於層 次0，在後測時兩題皆達層次 3。而且這 7 位學童皆能成功解出兩題組合問題，應 該已經具備初步的組合概念，2 題皆成功解題的學童由之前的 7 位增加為 13 位。
反觀前測晤談後由層次0 移到層次 1 的 8 人中，有 3 人於後測仍然「不清楚 什麼叫一種」，有3 人仍需經由晤談才提升其中一題的層次，只有 2 人是穩定地停 留在層次1。由後測中有 10 位學童「配完後不知道怎麼樣才算一種」，高於前測的 7 人，推測在前測晤談時部分學童可能是在個人詢問之下產生了配對的動作，卻不
了解配對的概念，以致於在前測晤談中雖然知道配起來是一種，在後測時卻不知 道。而S21 第 7 題在前測晤談之後仍在層次 0，後測時她配出 6 種而且能夠以乘 法算式正確作答，然而第13 題只配出 3 種，卻寫了正確的加法、乘法算式和答案，
因此，她似乎只是將數字套進乘法算式中。另外，在前測中 2 題皆以乘法解題的 S23，後測時其中 1 題僅有加法算式，由於個人已由前兩次的測驗中發現她對組合
因此，她似乎只是將數字套進乘法算式中。另外，在前測中 2 題皆以乘法解題的 S23，後測時其中 1 題僅有加法算式，由於個人已由前兩次的測驗中發現她對組合