陣列與組合問題

由表4-3-3 中得知，第 5 題陣列問題所有的學童都能成功解題，其中有 2 位學 童的填答屬於層次1，有 23 位屬於層次 2 和有 9 位屬於層次 3。而在組合問題部 分，有6 位學童能以乘法、1 位學童能以數數方式正確解題，另外有 1 位學童能完 整配出第7 題的答案並以加法列式，其餘學童尚停留在層次 0。

表4-3-3 陣列與組合問題第二階段前測學童填答層次的人次及百分比

層次 題號 5（陣列） 7（組合） 13（組合）

層次0 0 26 27

層次1 2 1 1

層次2 23 1 0

層次3 9 6 6

資料來源：作者自製

陣列問題屬於層次 1 的 S03 和 S22 以及屬於層次 3 的 S33 最初均以加法列式

（12+12=24），由於「12 個」並非這個年齡層的學童一眼即可看出，應該是依靠

數數的，先數一半、再數一半。與 S33 的晤談確認了這樣的想法，因為個人要求 學童要有分組計數的作圖並寫出算式來，所以她們就寫了12+12=24，以下是一段 個人與S33 的對話（S33，晤談 3，3）：

在陣列問題中唯一說不清楚的是 S23，雖然算式 3+3+3+3+3+3+3+3=24 是正 確的，但是當個人就她「無法正確做出分組計數作圖」的問題晤談時，發展以下

由於施測時許多學童一看到組合問題就馬上詢問「老師，不會的可以不要寫喔！」 似乎有一種因為類似的試卷施測過很多次，已經有點「想連思索的過程都可以省 了」的偷懶意味在，於是個人鼓勵學童「試著配配看」。施測後發現，在填答時27 位未成功解題的學童中，只有2 人是將題目中出現的數字相加，另外 25 人屬於配 對不完全，顯示學童已經漸漸瞭解題目的意思，不像以前多以「空白」或「將題 目中的數字相加」回答。在25 位配對不完全的學童中，以「兩題各配出三種」的 情況最多，例如第 7 題「如果你有紅色、黃色、白色 3 雙襪子，和藍色、黑色 2 雙鞋子，不管什麼顏色的鞋子和襪子都可以互相搭配，那麼：共可以搭配成幾種 不一樣的穿著？」配出紅藍、黃黑和白黑；第13 題「參加園遊會的時候，如果薯 條、QQ 蛋和棒棒糖 3 種食物可以選 1 種，而且，紅茶、綠茶和冬瓜茶 3 種飲料也 可以選1 種。請問：你最多可以找出幾種不同的選擇？」配出薯條紅茶、QQ 蛋綠 茶和棒棒糖冬瓜茶。第二多的狀況是「第 7 題配出兩種，第 13 題配出三種」，例 如第7 題配出紅藍和黃黑；第 13 題配出薯條紅茶、QQ 蛋綠茶和棒棒糖冬瓜茶。

其餘學童則是「第7 題配出 4 種或 5 種，或者在第 13 題配出 1~8 種」。這些學童 中有8 人在晤談之後可以將第 7 題完整配對，而這 8 人中的 S01、S32 和 S33 同時 成功解出第7 題而且能舉一反三地自行解出第 13 題。由晤談中個人可以感受到她 們的思考過程有一種「打通觀念之後便自行發展，而且越來越快速」的傾向。這3 位學童中又以 S33 的想法最耐人尋味，她在第 7 題配出 6 種，算式和答案則寫 3 種，作圖是將配出的6 種劃分為左右兩半；晤談之初很堅持「另一半是不一樣的，所 以不列入計算」，經過一段時間的問答，可能因為無法回答或反駁個人的問題，她似 乎漸漸接受兩半都要計算在內。經過第7 題的晤談，她在原先只配出 5 種且算式 和答案寫3 種的第 13 題也就可以自行完整配對。

另外，S04 在第 7 題雖不能完整配對但不久之後卻完整的配出第 13 題，以下 為個人與S04 的對話片段（S04，晤談 3，4）：

師：能不能用你的話說說看第7 題的題目呢？

S04：這樣 1 種、這樣 2 種……這樣 9 種（數 剛剛每說出一種組合時個人幫忙連的線 條）。

師：算式呢？

S04：1 加 9 次，答案 9

個人在晤談中發現三類較特別的想法。第一類想法的學童是配對完成之後「搞 不清楚什麼叫1 種」，其中 S05 和 S11 仍以為「白襪配紅鞋」是 2 種，因為「白襪 算1 種、紅鞋算 1 種」，2 人在晤談後可以清楚知道自己配出 6 種；還有 S06、S09 和 S16 雖然配出 6 種卻認為答案是 2，因為「紅、黃、白配藍是1 種，紅、黃、白配黑是 1 種」，此3 人中只有 S16 在溝通後自行改正為 6 種。第二類想法發生在 S37 身上，

該生第 13 題原先只寫了 1 種配對，晤談時則順利配出 3 種，然而她表示「因為題 目說『選一種』，所以只能選一種，答案是一種，就是原來寫的QQ 蛋配綠茶」。第三類想法是 S04、S18 和 S19 在晤談中表示「因為鞋子不夠，所以有一雙襪子不能穿」，這可能是學 童「無法將題意與日常生活情境相連結」。其中 S18 因為堅持沒有其他的搭配法 了，所以其晤談便結束；S04 和 S19 則在晤談中藉助聯想每天穿鞋子、襪子的狀 況而能夠說出「襪子都是隨便拿，拿到就穿」，但是S04 也只能配出 3 種；S19 雖然配 出6 種，但是由於不知道怎麼寫算式而堅持是「3+2=5，5 種搭配法」。此外，S31 也 是在晤談中配出 6 種之後，因為無法寫出算式而把答案改成 3 種。也許這是因為 S19 與 S31 並不清楚搭配是什麼意思？而自己又配出了什麼？

個人在晤談中發展出「幫助學童將題意與生活連結的小技巧即是：一步步分 解」。例如第 7 題如果「一天一天的問」，那麼學童可能就能成功解題，以下是個 人與S11 的對話片段（S11，晤談 3，4）：

師：第7 題他說你有 3 種襪子和 2 種鞋子，你想怎麼穿？

S11：……（沒有回答）。

師：你要出門一定是襪子穿1 雙、鞋子穿 1 雙，不可能襪子穿 2 雙、鞋子穿 2 雙吧！你今天 要走出門一定是襪子1 雙、鞋子 1 雙，你想要怎麼穿？

S11：紅色襪子配藍色鞋子。

師：明天呢？

S11：白色襪子配黑色鞋子。

師：後天呢？

S23：3×3=9。

師：第一個3 是什麼意思？

面對老師沒有教過但是卻可以大概瞭解題意的問題時，她們所呈現的解法會相當 多樣。本次施測的組合問題中，27 位在施測時未成功解題的學童，在晤談之後就 可以成功解出兩題組合問題的有3 人，可以解出其中一題的有 5 人，另外有 4 人 雖然將其中一題完整配對但自己卻渾然不覺因而仍屬於層次0，其他學童或者可以 多配出幾種組合但依然不完全，也或者一點都沒有改變。而這些經由晤談之後有 所提升的學童皆無法列式，其中更有2 人因為無法列式而寧可將答案改變。因此，

在第二階段前測的晤談之後，全班學童中可以將 2 題組合問題都解出的有 9 人，

解出其中一題的有 6 人。個人將繼續從第二階段後測的試卷中，觀察這些經由晤 談提升層次的學童是否能保留其提升後的乘法相關概念？