第四章 研究結果
本章依行動研究持續循環的精神及教學實驗系統化收集資料的原則，報導兩 階段三循環的研究成果。在每個階段中描述學童在前、後測中學童表現的情形，
及教師教學的反思。
第一節 第一階段前測結果
依據乘法概念問卷及學習態度問卷的施測結果，說明這班二年級學童在正式 學習乘法概念之前的準備狀況，以及個人第一階段教學實作的設計重心。
一、學童的乘法概念和學習態度
（一）乘法概念的起點行為
以下分別以乘法概念的等值群組、倍數比較及陣列與組合四類問題，來分析 這班34 位二年級生正式學習乘法概念前的表現。個人將學童的填答情形分成四個 層次，其中「層次0」表示不會做、「層次 1」表示使用數數的方法、「層次 2」表 示使用加法、「層次3」表示使用乘法。本章之後均以此層次結構描述學童的表現。
1. 等值群組問題
由表4-1-1 中得知，在等值群組問題中，層次 0 的學童佔全班的 25.9%，層次 2 的學童佔全班的佔 31.2%，層次 3 的學童佔全班的佔 32.9%。可見，使用乘法算 式的學童人數最多（56 人次），其次是使用加法算式者（53 人次）。個人推測：學 童只要能瞭解題意者多能使用加法來列式，以致於答案正確卻無法列式或以「拼 湊算式」方式解題的人數極少。
表4-1-1 等值群組問題第一階段前測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 1 2 4 8 10 總計 百分比
層次0 9 8 3 10 14 44 25.9%
層次1 3 5 2 4 3 17 10.0%
層次2 7 7 25 8 6 53 31.2%
層次3 15 14 4 12 11 56 32.9%
資料來源：作者自製
或許因為等值群組問題比較貼近學童的日常生活經驗，因此，除了答對的比 率在四類問題中較高之外，「能正確瞭解題意並依題意列式」的學童有 16 位，在 三種類問題中亦較多；無法依照題意列式的學童，有 7 位至少能先數數得答案再 湊出算式來；但是仍有10 位學童會以「直接將題目中出現的數字相加減」的方式 處理問題，或許這是學童面對難以解決的問題時最原始的反應。此外，有 7 位學 童在各題中的作法相當不一致，例如在 5 題此類問題中有些是以分組計數方式解 題，有些只是將題目中的數字相加。個人推測這些學童的概念並不穩定，所以會 因為數字大小改變或題目情境改變而猶豫不決或影響判斷。
在問卷及施測後的晤談中發現，數數者皆是一一點數，沒有分組計數的概念；
使用加法和乘法作答的學童中，只有8 位具有分組計數的概念，其中 S02、S22、
S25、S30、S33 等 5 人是以作圖的方式表現，S17、S19、S24 等 3 人是以文字敘 述「幾個幾個數」來表現，但是卻仍有單位量與單位數不分的情形。此外，學童皆
難以解釋算式的意義，表達較好的學童也只能由題目中指出使用在算式上的數 字。18 位曾在考卷上使用乘法算式的學童中，有 8 位偶爾會出現單位量與單位數 相反的狀況，個人在晤談中特別要求她們解釋乘法算式的意義，然而她們只能指 出題目上出現的數字，當個人將數字加上單位時，她們更是不知如何回應。例如 第2 題「如果 1 張獎狀可以換 5 個小獎品，那麼：4 張獎狀可以換幾個小獎品？」
中，若學童記錄為4+4+4+4+4，個人則提問「是 4 張獎狀加 4 張獎狀……總共 20 張獎狀嗎？」不論回答「是」或「不是」的學童皆無法說明，這似乎顯示：學童在 等值群組問題中常常發生乘法單位量與單位數相反的問題，可能是因為學童並未 思考過算式的意義。再由學童並不是每一題都會發生單位量與單位數相反的狀 況，以及晤談中S02 及 S31 主動表示「因為3×4 和 4×3 答案一樣，所以寫哪一個都可以」， 個人判斷：有許多使用乘法的學童在此之前可能並沒有建立正確使用乘法的概 念，因此，將由教學以及接下來的測驗中觀察學童是否確實屬於層次3。
此外，個人由第4 題及第 10 題的填答中推測，單位數的大小會影響學童的思 考。因為，相較於其他等值群組問題只有6∼8 位學童以加法列式，個人推測第 4 題「如果1 個盤子放 13 個包子，那麼：2 個盤子共有幾個包子？」有 25 位學童以 加法列式的原因是：第4 題的單位數只有 2，非常小，學童可以很輕易、很自然的 以加法處理。因此，有 5 位在其他等值群組問題「通通不會做」的學童在第 4 題 均以加法作答，有 2 位多以數數解題的學童在本題中改用加法。即使是在等值群 組其他4 題中皆使用乘法的學童，在第 4 題改用加法的也有 6 人，有 3 題使用乘 法而在第4 題改用加法的有 3 人。相對的，第 10 題「1 星期有 7 天，那麼：11 個 星期有幾天？」的單位數為11，大於 10，因此 S36 直接表達「太難了」，相較於其 他等值群組問題不會做的人數不超過10 人，在第 10 題中不會做的人數提高到 14 人。其中， S10 和 S31 一改前面四題的作法，直接將題目中出現的數字相加，個 人推測是由於單位數太大，學童感到慌亂或迷惑而不知從何思考起，故退回最原
始的反應將兩數相加。又以S12 和 S09 為例，S12 在本題的列式和答案完全與題 目無關；而 S09 可能因為數字太大較難處理，摒棄之前使用加法和乘法算式算答 案的方式，是等值群組各題中唯一改以作圖和加法清楚表示出「七加十一次」的一 題。因此，由第4 題與第 10 題似乎可以推得：學童在等值群組問題中比較能夠求 算單位數小的問題。其中S32 的「在單位數≦5 時用乘法，單位數≧8 時用加法」
做法似乎也呼應這一點。
2. 倍數比較問題
由表4-1-2 中得知，倍數比較類型的五個問題中，層次 0 的人數皆在 20∼23 人之間，層次1 的人數在 0∼1 人之間，層次 2 的人數在 2∼3 人之間，層次 3 的 人數在8∼11 人之間，而且大部分學童在各題的作答方式非常一致。其中，層次 0 的學童佔了64.1%，其次是層次 3，佔 27.6%。可見有 64.1%的學童可能從未接觸 過「倍」的問題，因此連題目都看不懂而無法作答。
表4-1-2 倍數比較問題第一階段前測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 3 6 9 11 12 總計 百分比
層次0 20 23 21 23 22 109 64.1%
層次1 0 1 0 0 0 1 0.6%
層次2 3 2 3 3 2 13 7.6%
層次3 11 8 10 8 10 47 27.6%
資料來源：作者自製
在本次測驗的過程中曾有部分學童詢問「什麼是倍？」，另有5 位學童在問卷上 寫「不知道什麼是倍」，而「直接將題目中出現的數字相加減」的學童人數高達 15 位（在四類問題中顯得較多），這或許又可說明「直接將題目中出現的數字相加減」
的確是學童面對難以解決的問題最原始的反應。而「能正確瞭解題意並依題意列
式」的學童有 9 位。這似乎說明「瞭解『倍』是什麼」應該是影響學童作答的關 鍵，學童表示「不會做」或「直接將題目中出現的數字相加」也似乎是未接觸過
「倍」概念的正常反應。此外，S06、S07 和 S09 出現概念不穩定的現象，5 題中 有一部份用加法和乘法計算出答案，但有一部份寫「不知道什麼是倍（S09）」而該 題空白，或是將題目中的數字相加（S06, S07）。個人推測：或許學童是受到題目 數字大小改變，或施測時個人因其他學童一再詢問而表示「如果你真的不知道什 麼是倍，可以直接在考卷上這樣寫」的影響。
另外，在本類型12 位曾在考卷上使用乘法算式的學童中，4 位有時會出現單 位量與單位數相反的狀況，個人在晤談中曾要求她們解釋乘法算式的意義，卻無 人能解釋單位量與單位數相反之後的意義。這似乎顯示，她們可能因為之前在家 中或安親班已接觸過類似問題因而知道這是乘法問題，也背過九九乘法表。但是 她們仍然無法說出「倍」的意思，也無法表達自己所列算式的意義，只因為知道6 的7 倍是乘法，所以寫 6×7 或 7×6。其中，更有一位學童很肯定的表示「因為6×7 和7×6 答案都一樣是 42，所以寫哪一個都可以」，顯示乘法單位量與單位數相反的迷思也 會出現在倍數比較問題中。
3. 陣列與組合問題
陣列問題與組合問題均屬於學童在中、高年級以後的課程內容，在本研究中 個人不會教學童相關的解題方式，只是想要瞭解學童透過本行動研究能否自行發 展出自發性的解題方法。
由表4-1-3 中可以看出，學童在陣列問題（第 5 題）的填答表現分佈在四個層 次中，個人推測：由於是學童能力範圍可以解決的問題而又未經過學校教育的規
範，故填答方式顯得多樣化。學童在組合問題（第7 題與第 13 題）填答表現則非 常一致， 32 位學童「不會做」，其中僅有 4 位似乎具備部分配對或是以圖作答的 能力，個人推測：由於絕大多數的學童無法理解題意而無法作答。
表4-1-3 陣列與組合問題第一階段前測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 5（陣列） 7（組合） 13（組合）
層次0 5 32 32
層次1 16 0 0
層次2 3 0 0
層次3 10 2 2
資料來源：作者自製
另外，在陣列問題中因為題目中有圖形可以點數而「先數數得到答案再湊算 式」的有12 人；「直接將題目中出現數字相加」的因為題目中沒有出現任何數字 而是0；「能正確瞭解題意並依題意列式」的有 14 人。這似乎顯示：圖形的輔助 使學童可以經由點數求答或驗算，而使得這類問題的難度大幅降低。在組合問題 中，空白或註明「不會寫」的多達 18 人，「直接將題目中出現的數字相加減」的 有 13 人，這或許可以讓我們肯定：「直接將題目中出現的數字相加減」是學童面 對難以解決的問題時最原始的反應。當中有4 位學童（S02、S24、S33 和 S36）似 乎已開始使用配對法，只是配對不完全，個人推測：她們可能瞭解題目的意思，
只是從未接觸、思考過這類問題而一時無法配對完全。
曾在這類問題中列出正確乘法算式的一共有S17、S18、S28 和 S29 四人，兩 題皆使用乘法算式正確解題的只有S17 和 S28，其中 S17 每一題都註明是「幾個幾 個數」，而 S28 全張考卷皆正確寫出加法和乘法算式，這似乎表明：S17 和 S28 的 乘法概念已經相當清楚，只是，在晤談中卻無法說出乘法算式的意義。S18 雖兩 題皆用乘法寫算式，但在第7 題「如果你有紅色、黃色、白色 3 件上衣，和藍色、
黑色 2 條長褲，不管什麼顏色的上衣和褲子都可以互相搭配，那麼：共可以搭配 成幾種不一樣的外出服？」中只寫到2×2=4，而在第 13 題「到麥當勞點餐的時候，
如果薯條、雞塊和蘋果派 3 種食物可以選 1 種，而且，可樂、紅茶和雪碧 3 種飲 料也可以選1 種。請問：最多可以有幾種不同的組合？」中卻寫出 3×3=9 的正確 算式，但是，在晤談中卻完全無法說明題目的要求。故個人推測該生並不瞭解該 怎麼做這兩題，只是在湊數字而已。另外，S29 第 7 題空白，第 13 題將題目中的 數字直接套進乘法算式，沒有寫出答案，在晤談中也無法說明使用乘法算式的意 義。故個人推測S29 尚未具備處理組合問題的能力，並將由接續的測驗中觀察 S18 及 S29 在組合問題的表現，以輔助判定兩位學童在第一階段前測中的表現是否真 的屬於層次0。
4. 四類問題的比較
由表4-1-4 中得知，學童在陣列問題答對率較高，其次為等值群組問題，而在 倍數比較有64.1%、組合問題中有 94.1%的學童屬於層次 0，這可能與陣列問題有 圖示可以點數、而等值群組問題較貼近學童生活情境、較容易理解有關，然而，
寫出乘法算式的學童也未能說明正確的乘法概念。倍數比較問題的填答結果則明 顯區隔出「會做」和「不會做」兩個部分，幾乎沒有中間可以點數的模糊地帶，
「不知道什麼是倍」應是主要的因素。另外，在陣列問題中以數數方式解題者居四類 問題之冠，這可能與學童可以點數圖上的方塊來求解陣列問題有關，而點數過後 則是以加法或乘法呈現，所以使用數數解題的學童比率可能高於表4-1-4 中屬於層 次1 的 47.1%。如果單獨看陣列問題或組合問題，則陣列問題在層次 0 的比率只 有14.7%，而組合問題卻高達 94.1%，這似乎顯示：這類問題雖然都是中、高年級 的課程，但是組合問題遠比陣列問題要困難。
表4-1-4 各類問題第一階段前測學童答題方式的使用率
層次 類型 等值群組 倍數比較 陣列 組合
層次0 25.9% 64.1% 14.7% 94.1%
層次1 10.0% 0.6% 47.1% 0.0%
層次2 31.2% 7.6% 8.8% 0.0%
層次3 32.9% 27.6% 29.4% 5.9%
資料來源：作者自製
有學童在晤談中表示「我是先數手指算出答案，再寫加法算式，再畫圖（S30）」或「我 是先畫圖，然後數出答案，然後再寫算式（S07）」，可見：在未接觸乘法課程之前，學童 也可透過半具體的方式求解等值群組問題。學童這些透過半具體方式解題的過程 不一定會呈現在問卷上，有時只出現加法算式，但可以確定的是：使用點數或加 法方式求算等值群組問題，對學童而言是比較自然的方法。若比較由等值群組和 倍數比較問題的結果，似乎更可佐證：雖然許多學童曾經使用乘法算式，但是具 備完整乘法概念的學童卻不到1/3。事實上，依據學童在第一階段前測卷中填答的 情形，只有S13、S19 和 S28 三位使用完全正確的乘法算式，個人將由接下來的課 堂活動及施測結果判斷她們是否確實具備正確的乘法概念。
以陣列問題來看，在第一階段前測卷上以「長×寬」作答的有 S02、S09、S13、
S18、S19、S29、S32 和 S37，其中有部分學童在加法算式和在乘法算式上所用的 單位量與單位數是相反的，而且這8 位學童皆無法清楚解釋使用乘法算式的理由。
這或許是她們不習慣解釋自己的表現而一時難以回答，並不代表不懂；也或許她 們真的只是會用卻無法講清楚。因此，「協助學童說明白」應是第一階段教學中應 該納入的課程。以組合問題來看，雖然都是生活中常發生的情境，但學童似乎難 以產生連結，「不知道什麼是配對」影響了她們的作答。個人思索後認為：若在第一 階段教學中強調數學與生活的連結，讓學童習慣於「看到數學題目的文字情境，
會把它想像成生活的情境」，或許可以改善學童在組合問題的答對率。
綜合以上所述，第一階段前測結果指出：
（1）能以分組計數的方式處理問題的學童有 8 人，其中 5 人以作圖表示，另外 3 人以文字敘述「幾個幾個數」來表示；
（2）多數學童會以「先數數得到答案，再以算式表達」的方式處理等值群組問題；
（3）在使用乘法的 18 位學童中已具有正確乘法概念的可能有 3 人，多數學童尚 未具備乘法的概念，即使是使用乘法者亦不具備完整的乘法概念；
（4）有 1/4 的學童無法處理等值群組問題，2/3 以上的學童尚不了解「倍」這個 字的意義，只有2 位學童可能會處理組合問題，其中的陣列問題答對率在四 種類型中最高，顯示學童最能掌握的方式仍為點數；
（5）學童難以說明算式的意義；
（6）單位數的大小會影響學童的作答；
（7）不易將數學問題和生活情境連結是學童無法正確作答的主因；
（8）部分學童認為「因為3×4 和 4×3 答案相同，所以不管寫哪一個意思都一樣」。
因此正式教學時應該：加強分組計數的概念，強調數學與生活的連結，以及讓學 童表達自己的想法、說明算式的意義，並面對乘法交換律的迷思。
（二）學習態度
以下說明數學探究動機、數學焦慮、數學的有用性、教師態度、數學成功態 度及數學學習信心六個向度的學童學習態度（詳細結果請參見附錄一之4）。
數學探究動機平均值為4.1，因此學童傾向「同意」自己具有探究動機。數學 焦慮平均值為 3.5，顯示學童對於數學的焦慮感偏向中立。數學有用性平均值為
3.3，因此她們似乎並不認為數學是有用的，也未感受到數學在生活中扮演的角色。
教師態度平均值為4，顯示學童傾向「同意」教師經常鼓勵與肯定學童的表現。數 學成功態度平均值為3.9，顯示大部分學童對於自己在數學方面的表現感到高興。
數學學習信心平均值為4.1，顯示學童學習數學相當有信心。
綜觀六個向度的分數均介於3.3 和 4.1 之間，因此本班學童對數學的態度偏正 向，其中，數學的有用性分數最低，數學信心和數學探究動機的分數最高。這似 乎顯示出，學童認為數學是有趣、容易掌握的學科，但是，卻沒有感受到它與生 活的連結。這樣的結果與個人在乘法概念問卷第一階段前測中的發現不謀而合：
（1）學童認為數學容易掌握，所以即使不瞭解題意也會將題目中出現的數字相加 減的人數比空白的要多；（2）學童沒有感受到數學與生活的連結，所以即使題目 的情境在生活中很常見，她們依然無法透過生活情境來想像。學童這種對數學的 正向態度應該有助於本研究的推展，而個人也應該盡力在之後的教學活動中讓學 童體驗到數學與生活的連結。
二、第一階段教學活動設計的重心
由個人先前教學經驗配合文獻探討以及第一階段前測的結果，可以為第一階 段的教學活動預擬四個重心，包括倍的語言、分組計數概念、似真情境以及遊戲 與把玩。以下分別說明這四個主要的教學設計的核心構念。
（一） 轉換數學語言
個人以往均使用課本建議的「幾個幾」語言來處理等值群組類型問題，使用
「幾的幾倍」的語言來處理倍數比較類型問題。但是這種語言很拗口，即使是教 師也有可能因為轉換次數太多或不時修正學童錯誤而一時口誤，而學童更是不易 理解「幾個幾」和「幾的幾倍」之間意義的連結，常常以為4 個 3 就是 4 的 3 倍，
化為乘法算式就是4×3。若以「如果 1 束棒棒糖有 3 支，那麼：請問 4 束棒棒糖 有幾支？」為例，學童常常是先得知答案是 12，卻不知道該寫 3+3+3+3 還是 4+4+4，例如在第一階段前測的晤談中，個人曾請學童說明算式的意義，其中寫 3+3+3+3 的學童會說「3 是 3 支的意思」，寫4+4+4 的學童會說「4 是 4 束的意思」，當 追問後者「4 束＋4 束＋4 束不就便成 12 束了嗎？而題目問的是幾支，不是幾束耶！
怎麼會這樣呢？」時，學童便不知如何回答。以往在大學教材教法授課教授建議
「如果學童可以解釋『每束的第一支棒棒糖、每束的第二支棒棒糖……』，那麼她 寫4+4+4 要算她對。」的情形很少見。依據個人的經驗，真正理解且會這樣解釋 的學童，會以3+3+3+3 而不是 4+4+4 來表示。
因此，個人考慮直接以「倍」的數學語言作為貫穿教學的主軸，利用「誰有 多少個」的非正式「倍」的語言作為鷹架協助學童聯結到「誰的多少倍」，化作加 法算式是「誰加多少次」，化作乘法算式是「誰乘以多少倍」。如此，不論是在等 值群組問題或是倍數比較問題，甚至陣列與組合問題，「倍」的數學語言對孩子來 說都是統一且通用的。所以，個人將在第一階段的正式教學活動中嘗試以「倍」
的數學語言引導學童進入乘法概念。
（二） 強調分組計數的活動與概念
在乘法概念問卷第一階段前測及之後的晤談中得知，不論是以作圖方式表達 或是以文字敘述說明，真正具有分組計數概念的學童只有 8 人。其他的學童中，
使用數數者皆是一一點數，沒有明確的分組計數概念；使用加法者和乘法者常有
單位量與單位數混淆的情況發生，容易把題目中先出現的數字當作單位量來計 算，或者在同一題中書寫加法、乘法和作圖的單位量都不一樣；正確使用乘法概 念解題的情形並不普遍，在使用乘法解題成功的學童中，只有極少數可以含糊地 指出算式和問題之間的關係，其他學童只是會使用而無法說明，或認為「6×7 和 7×6 的答案一樣，所以，不管寫哪一個意思都一樣」。顯示她們分不清單位量和單位數的差異，
在列式時造成很大的困擾，學童常常是不知道該怎麼寫才能保證每一題都正確，
容易受到數字大小或題目文字的改變而動搖。
利用分組計數活動強調一組一組、一包一包和一隊一隊的概念，要求學童找 出題目情境中的「一組」到底是指什麼，如此所引發的概念學習，應該可以幫助 她們釐清單位量與單位數的分別，不再用「猜猜看」的方式來選擇以哪一個數字 當作單位量。所以，個人將在第一階段的教學活動中加強分組計數概念的教學，
之後再配合「說說看你的算式代表什麼意思」的引導，來釐清學童乘法交換律的 迷思。
（三） 營造似真的學習情境
在個人的教學經驗中，說故事對低年級的學童具有強烈的吸引力，故事繪本 滿足了她們愛幻想的腦袋，豐富多樣的人物，新奇逗趣的情節，讓小朋友愛不釋 手。過去幾次的故事繪本教學常引起熱烈討論與迴響，每次要進行故事繪本教學 前孩子總是充滿期待，教學中的專注、欣喜與教學後記憶良久、津津樂道，讓個 人可以在往後的教學中藉由過去的故事情節再次提醒或說明相關的數學概念，有 些故事中的術語甚至能成為班級的默契或通用語言，因此若能將繪本教學的魅力 與張力應用在本行動研究當中，學習的效果也應該會相對提高。個人找出幾本和
乘法概念的課程主題相關也和學童的生活經驗相關，應該適合本班學童的認知程 度並且能啟發思考和想像力的繪本（詳見附錄二之1 教學活動設計內容），並運用 和改寫這些素材，將似真情境嵌入故事的脈絡，藉由故事繪本生動、活潑、圖文 並茂的特性引領學童學習乘法的相關概念。另外，在學童出現迷思概念時也可透 過回顧故事中的情境或語言，來提醒學童最初正確的概念是什麼，讓孩子在真實 感之中體驗「倍」的感覺，建立「倍」的概念。
在每一次的說故事活動之後，除了討論書中的內容及延伸想像之外，個人將 以故事為藍圖，設計一些動態的活動，讓故事不只是書中虛幻的文字，也能以歌 曲、遊戲的形式跳出書本，活生生的出現在現實世界中。歌曲或遊戲更親近於時 時刻刻存在或發生於生活當中的情境，配合歌曲或遊戲的似真情境來教學，或許 更能讓學童自然感受到數學於生活中扮演的角色。
（四） 透過遊戲與把玩體會數學概念的有用
在乘法概念問卷的第一階段前測中發現，有些學童由於難以將數學問題的題 意連結到生活的情境中而無法正確解題；此外在態度問卷中也顯示，學童對「數 學的有用性」抱持懷疑的態度，未感受到數學與生活的連結。在個人的教學經驗 中，運用適當的遊戲是教學的法寶，遊戲的設計可以寓教於樂，讓孩子樂在學習。
饒見維（1996）指出，人類天性好玩，教師如果能善用此種天性，將數學、遊戲 和教學三者加以結合，必能使學童更喜愛數學。除了課堂上有規範的「遊戲
（games）」之外，個人考慮加入「把玩（playing）」的活動，「把玩」更近似日常 生活自然發生的事件，不需要領導人、由學童個人自行訂定自己的規則、可自由 地互動，讓學童在自主地摸索、創作的同時，自然感受到數學、規律就在其中，
最後再藉由學習單將這種感覺明確地表現出來。
因此，個人嘗試透過「遊戲」活潑、趣味、挑戰、競爭和結合學童生活情境 與經驗，以及「把玩」貼近學童生活情境的特徵，將數學語言生活化，生活語言 數學化，讓孩子在真實情境中理解乘法的意義，使孩子體驗到數學與生活的連結，
並適時培養學童表達自己想法與說明算式意義的能力。
綜合以上所述，個人將以「倍」的數學語言、分組計數的概念、似真的學習 情境以及遊戲與把玩四個核心構念貫穿第一階段的教學活動。
第二節 第一階段研究結果
以下根據乘法概念主題實際課堂教學的觀察與反思，及第一階段前測和第一 階段後測與晤談的結果，說明本階段學童的學習成果，並省思本階段的教學實驗。
一、學童乘法概念和學習態度的轉變
（一） 乘法概念
以下分別以乘法概念的等值群組、倍數比較及陣列與組合四類問題，來分析 本班34 位二年級學童在第一階段教學後的表現。
1. 等值群組問題
由表 4-2-1 中得知，等值群組問題經過第一階段教學之後，所有學童皆達層次 2 以上，其中 21.2%的學童屬於層次 3。除了 S33 出現「其中 1 題用乘法，其餘 4 題用加法」的情況之外，所有學童在5 題內的作法皆非常一致，5 題皆使用加法的 有26 人，5 題皆使用乘法的有 7 人，這似乎顯示學童的概念已經趨於穩定。而 S13 由層次3 降到層次 2，則可能是受到課堂上多數同學使用加法的影響，或認為用加 法比較能夠清楚地的表達自己的想法。
表4-2-1 等值群組問題第一階段後測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 1 2 4 8 10 總計 百分比
層次0 0 0 0 0 0 0 0.0%
層次1 0 0 0 0 0 0 0.0%
層次2 26 27 27 27 27 134 78.8%
層次3 8 7 7 7 7 36 21.2%
資料來源：作者自製
絕大多數的學童皆能以分組計數的方式思考問題並列式，只有 S23 在作圖上 似乎完全沒有分組計數的概念而只畫出答案總數，在個人要求要「標示出一組在 哪裡」的情況下，該生將所畫的圓圈每5 個圈在一起，最後一圈可能不足 5 個、
或是有6 個、7 個，無法依照題意畫出正確的分組。她這種分組的方式似乎反映了 一年級學習加法之初的概念，當時課本教學童將一一對應的圓圈每 5 個畫成一排 以便整齊辨認。這是否也顯示 S23 在數學上的思考是比較制式的，完全依照大人 的指導或規定來解題，而非經由自己的思考處理問題？雖然 S23 在本群組問題中 皆正確使用加法，由於在作圖上的障礙及在晤談中無法說明算式和作圖的意義，
因此個人推測該生的概念仍在混淆中。
在本題型中發生單位量與單位數相反的學童有S34、S24 及 S03，其中 S34 在 第 8 題以單位數加單位數，在晤談時經個人詢問又改口以單位量加單位量，但是
完全無法說明算式的意義和改正的原因。由於該生過去數學表現不佳，因此，個 人在課堂上皆會特別請該生回答問題以確定她是否聽懂，而該生上課時多能正確 回答，偶有錯誤時也會協助她自行修正，而其後測的表現是否顯示：這樣的教學 過程仍未能幫助S34 發展出正確的乘法概念。S24 在第 8 題的填答發生單位量、
單位數相反的狀況，但是當晤談時一看到自己寫的算式便立刻表示寫錯了要改過 來，這應該是她的一時筆誤。
另外，S03 在等值群組的 5 個問題中皆以分組計數作圖並寫出加法算式，其 中第4、8、10 題的單位量與單位數相反。晤談時個人發現該生的概念非常不清楚，
似乎只是在揣摩老師的意思，例如第 2 題的「如果 1 張獎狀可以換 4 個小獎品，
那麼：5 張獎狀可以換幾張個小獎品？」，S03 本來寫的是 4+4+4+4+4，經個人提 問又改口說是「5 加 4 次（5+5+5+5）」，只有在單位量加單位量（4+4+4+4+4）時才能 說明算式的意義，若為單位數加單位數（5+5+5+5）時就無法解釋。又例如第 8 題的「如果集滿 8 張獎勵卡可以領 1 個紅包，那麼：想領 6 個紅包要集滿幾張獎 勵卡？」，他本來寫6+6+6+6+6+6+6+6，晤談時卻表示（S03，晤談 2，1）:
S03：6 是 6 個紅包。
師：那就是總共有48 個紅包囉？
S03（想了很久不答）：……。
師：可是題目問的是幾張獎勵卡耶？
S03（想了一會兒）：8 加 6 次。
師：8 加 6 次是什麼意思？
S03：8 張獎勵卡加 6 個紅包。
師：喔？可是題目說8 張獎勵卡可以換 1 個紅包，加上你的 6 個紅包不就變成 7 個紅 包了嗎？可是題目只要6 個耶！
S03（答不出來）：……。
個人和 S03 晤談了很久，他才慢慢地發展出正確的概念，可以正確說出作圖 中小圈圈（單位量）和大框框（單位數）代表的意義以及和題意的連結。這樣的 過程顯示 S03 在等值群組問題中的概念並不穩固，一被提問則立刻改成另一種說 法，再經過仔細思考之後又可以正確說明算式意義。所以，將是個人下一階段教 學實驗中繼續觀察的重點個案。
2. 倍數比較問題
由表4-2-2 中得知，倍數比較問題經過第一階段教學之後只有 1∼2 位學童停 留在層次 0，而全班有 75.9%的學童使用加法作答，20.0%的學童使用乘法作答，
這似乎顯示：大多數學童已經能夠以加法或乘法策略來解決倍數比較的問題。其 中，除了S31 出現「其中 1 題用加法，其餘 4 題用乘法」的情況、S23 出現「3 題 用加法，2 題把題目中的數字相加」之外，所有學童在 5 題內的作法皆非常一致（固 定使用加法的有25 人、固定使用乘法的有 6 人）。而 S13 由層次 3 降到層次 2 除 了前述的原因之外，或許是他並不在意使用加法或乘法策略，因為不論用哪一種 方法對他而言都一樣。停留在層次0 的 S14 由於每一題的單位量、單位數皆相反，
且該生在晤談中經常是無法回答，故個人將該生歸類為不會做；S23 則是作法相 當的不一致，個人在S23「將題目中出現的數字相加」的那 2 題將 S23 列為層次 0，
其餘正確的3 題歸為層次 2。
表4-2-2 倍數比較問題第一階段後測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 3 6 9 11 12 總計 百分比
層次0 1 2 1 2 1 7 4.1%
層次1 0 0 0 0 0 0 0.0%
層次2 26 25 26 26 26 129 75.9%
層次3 7 7 7 6 7 34 20.0%
資料來源：作者自製
在本次的測驗中，除了S23「將所畫的圓圈每 5 個圈在一起，最後剩下不足 5 個的或是6 個、7 個再圈成一圈，無法依照題意畫出正確的分組」之外，全班學童 皆能以分組計數的方式處理倍數比較問題。比較特殊的案例除了之前提及的 S14 以及將題目中出現的數字相加而且無法分組計數的 S23 之外，尚有 S31 和 S34。
其中S31 在第 11 題的作圖和乘法本來以單位數加單位數，在晤談中經個人詢問後 改正為「12 的 5 倍就是 12 加 5 次」。個人猜測「該生是否在此時仍有一點答案相同則 乘法通用的想法？」但是，經過詢問之後她驚覺個人上課時曾經提過這樣不對而 立刻改正。而S34 在第 9 題以單位數加單位數，在晤談時經個人詢問又改口以單 位量加單位量，但是完全無法說明算式的意義和改正的原因。這也顯示：雖然個 人已經比較注意 S34 的學習狀況，而她的課堂應答情況也都不錯，但是仍未發展 出正確的概念。
3. 陣列與組合問題
由表4-2-3 中得知，第 5 題（陣列問題）的表現均在層次 1 以上，其中有 25 人進入層次2，有 7 人進入層次 3，停留在層次 1 的只有 S33 和 S36。這似乎顯示，
大部分的學童已經不再依靠點數格子求得答案，而能自然地使用分組計數的方式 來計算這些格子。2 題組合問題的填答結果在人數上非常一致，有 27 位學童屬於 層次0，層次 1 及層次 2 各有 1 位學童，層次 3 有 5 位。7 位成功作答的學童之中，
使用乘法策略的有S02、S07、S03、S24 及 S28，使用加法策略的是 S13，一一列 出的是 S36。以第 7 題「如果你有紅色、黃色、白色 3 件上衣，和藍色、黑色 2 條長褲，不管什麼顏色的上衣和褲子都可以互相搭配，那麼：共可以搭配成幾種 不一樣的外出服？」為例，7 位學童在晤談中皆能一一列舉組合方式，其中 S02、
S13、S17 更可使用分組計數的方式說明算式的意義，例如 S02 就表示「紅、黃、白 配藍這樣是三種，紅、黃、白配黑也是三種，所以3×2=6」，S17 也表示「第一個框框中的三個 圈是紅、黃、白配藍，第二個框框中的三個圈是紅、黃、白配黑」；而 S02、S23、S24 則在 問卷上先畫出3 件上衣，下面再畫出 2 條長褲，最後連出 6 條線代表 6 種組合。
而在第一階段前測中乘法算式似乎正確的 S18 及 S29，由第一階段後測的結果判 斷，應可確定只是恰好套用了正確的乘法算式而非具備組合的相關乘法概念。
表4-2-3 陣列與組合問題第一階段後測學童填答層次的人次及百分比
層次 題號 5（陣列） 7（組合） 13（組合）
層次0 0 27 27
層次1 2 1 1
層次2 25 1 1
層次3 7 5 5
資料來源：作者自製
未成功解題的學童大約可分為以下四類：「配出一部份，但沒有寫算式」有 9 人，「配出一部份，卻誤把上衣和褲子各當作一種」有 4 人，「將題目中數字相加 減」有 7 人，「空白」有 10 人。有許多學童在兩個組合問題中的作法並不相同，
例如在第7 題時是數字相加、第 13 題卻空白。比較特別的是「配出一部份，卻誤 把上衣和褲子各當作一種的」，這些學童雖然可能已經把黃色的上衣搭配藍色的褲 子，卻認為「上衣是一種、褲子也是一種，所以總共是兩種」。有這種想法的學童一般會 寫出3+2＝5、2+2＝4 或 1+1＝2 的算式。有時雖然學童的算式看似正確（例如 3×2 或3+3），但是在晤談中卻發現她們概念是錯誤的，這種類型的學童很顯然並未理 解「配對的意思」。另外，S12 雖然平時的表現不佳，也無法成功解決組合問題，
卻很清楚地知道上衣搭配褲子就只有一種組合；S23 則在等值群組及倍數比較這 兩類幾乎全班都能正確作答的問題中經常出現錯誤，然而在組合問題這類大多數 學童無法正確作答的問題中卻能非常清楚地說明乘法的意義。個人曾經好奇地問 S23 是否詢問家人解題方式，她說「沒有」，之前雖然曾經推測「該生若是概念不 清，只是強記算法，應該會在題目情境或數字改變時出現錯誤」，然而她卻能將兩 個組合問題的算法及配對都解釋清楚，所以之後將特別觀察S23 的變化。
4. 四類問題的比較
由表 4-2-4 中發現，經過第一階段的教學之後，學童的解題方式有向層次 2 集 中 的 趨 勢 ， 其 中 等 值 群 組 31.2%→78.8% ， 倍 數 比 較 7.6%→75.9% ， 陣 列 8.8%→73.5%。在等值群組與倍數比較兩類的問題中，幾乎全數都到達層次 2 以 上，在前面的類型分析中已提過：只有少數1∼2 位學童因概念不清而被歸類於層 次0。而層次 3 的比率下降（等值群組有 11.7%、倍數比較有 7.6%的學童由層次 3 降為層次2）的原因，一方面可能是課堂用法多為層次 2，一方面是個人要求學童 要寫出「自己能說明的算式」，而現階段的學童對加法算式的掌握要比乘法算式 好，因而使用加法算式比較有把握能說明自己的意思。
表4-2-4 第一階段前測與後測學童答題方式的使用率比較
類型 層次 層次0 層次1 層次2 層次3 第一階段前測 25.9% 10.0% 31.2% 32.9%
等值群組
第一階段後測 0.0% 0.0% 78.8% 21.2%
第一階段前測 64.1% 0.6% 7.6% 27.6%
倍數比較
第一階段後測 4.1% 0.0% 75.9% 20.0%
第一階段前測 14.7% 47.1% 8.8% 29.4%
陣列 第一階段後測 0.0% 5.9% 73.5% 20.6%
第一階段前測 94.1% 0.0% 0.0% 5.9%
組合 第一階段後測 79.4% 2.9% 2.9% 14.7%
資料來源：作者自製
而在陣列與組合問題這個教學未碰觸的部分中，組合問題對小二學童而言確 實較難，有79.41%的學童仍無法成功作答，但層次 1、2、3 的比率已稍有提升，
而且 7 位解題成功的學童皆能正確解釋算式的意義。在陣列問題部分的成效則相 當顯著，沒有屬於層次0 的學童，層次 1 的比率也大幅下降（47.1%→5.9%），而 學童的表現則集中於層次 2（8.8%→73.5%）。陣列問題不同於等值群組和倍數比 較問題，它從未在課堂上和練習中出現，因此，這是學童經過第一階段「出雙入 對」及「猜手中物」活動之後，逐漸產生分組計數概念的指標。
由第一階段的後測結果發現：
（1）全班 34 人中只有 1 人尚未建立正確的分組計數概念；
（2）分組計數概念成功地降低學童單位量與單位數相反的困擾；
（3）使用「倍」的語言能減少學童在解等值群組和倍數比較問題時的困惑；
（4）學童似乎逐漸明白算式不只是「湊出答案的工具」，為了要能解釋算式和題 意的連結，寧可捨棄快速的乘法而使用較有把握的加法；
（5）絕大多數的學童解題方式趨於一致；
（6）2 位堅持「3×4 和 4×3 答案一樣，所以不管寫哪一個都可以」的學童中，有1 人已經 明白這個想法是錯誤的，另1 人似乎仍然有迷思；
（7）等值群組問題中處於層次 2 的有 78.8%、處於層次 3 的有 21.2%，倍數比較 問題中處於層次2 的有 75.9%、處於層次 3 的有 20.0%，陣列問題中處於層次 2 的有 73.5%、處於層次 3 的有 20.6%，組合問題已有 7 人能成功解題；
（8）少數特殊個案的表現似乎指出，個人應在下一階段中以個案晤談的方式繼續 瞭解學童理解的情形，以便找出問題的癥結及更合適的引導方式；以及
（9）具有正確乘法概念的學童約有 6 人，其中 4 人可以成功解決組合問題。
所以，第一階段的核心構念實驗教學似乎能夠達到預期的目標，但是由於學童使 用乘法的比率仍然不高，這或許是下一階段應該持續努力的方向；另外，應持續 追蹤特殊個案的表現。
（二） 學習態度
以下探討數學探究動機、數學焦慮、數學的有用性、教師態度、數學成功態 度以及數學學習信心六個學習態度的向度。
由表4-2-5 中得知數學探究動機平均值為 4.13，較第一階段前測上升 0.03，整 體平均傾向「同意」自己具有數學探究動機。六題中有三題呈現下降趨勢，尤其
「我願意挑戰困難的數學問題」下降最多（-0.44），個人推測可能與「學童在本階 段遇到的數學問題比以前更具挑戰性，而不再是常見、已經練習過的題目」有關。
另外，學童在「我對算數學問題沒有興趣」（0.35）及「在數學課上沒有解決的數 學問題，我會在下課後繼續想辦法算」（0.32）兩項上升最多，則可能與「本階段 教學的活動設計及問題吸引了部分的學童而讓她們願意犧牲下課時間去求解」有 關。最高分的一題由「我覺得數學是有趣的」改變為「在數學課上沒有解決的數 學問題，我會在下課後繼續想辦法算」，個人認為本班大多數的學童已經具體地感 受到數學的趣味，所以從較空泛的「有趣」轉變為「主動投注下課時間來完成」。
表4-2-5 數學探究動機向度的第一階段前測與後測結果比較
題目 量表分數的平均 第一階 段前測
第一階 段後測
轉置後 的差異
我覺得數學是有趣的。 4.59 4.32 -0.27
遇到不容易算的數學問題，我還是會繼續算。 4.06 4.29 0.23 一旦我開始算數學問題，我就不想停下來直到算完為止。 4.24 4.21 -0.03 在數學課上沒有解決的數學問題，我會在下課後繼續想辦法算。 4.18 4.50 0.32
我願意挑戰困難的數學問題。 4.41 3.97 -0.44
我對算數學問題沒有興趣。 1.88 1.53 0.35
轉置後的平均 4.10 4.13 0.03
資料來源：作者自製
由表4-2-6 中得知數學焦慮平均值為 3.74，較第一階段前測上升 0.25，顯示部 分學童對數學的焦慮感稍有降低，但是整體平均仍傾向中立。其中的「一想到要 做困難的數學問題，我的心情就不太好」（0.35）和「數學令我感到困難和頭痛」
（0.38）的差異最大，這可能與「本階段的教學活動減少數學的刻板印象或壓迫感」
有關。最高分的一題由「我一點都不害怕數學」改變為「考數學時我從不感到害 怕」，則顯示學童已能更具體指出自己的感受是在「考數學時」比較不會感到害怕。
表4-2-6 數學焦慮向度的第一階段前測與後測結果比較
題目 量表分數的平均 第一階 段前測
第一階 段後測
轉置後 的差異
我一點都不害怕數學。 4.00 4.18 0.18
考數學時我從不感到害怕。 3.94 4.24 0.30
我覺得考數學是一件容易的事。 3.94 4.00 0.06
數學令我感到不舒服、不安、生氣和不耐煩。 1.71 1.50 0.21 一想到要做困難的數學問題，我的心情就不太好。 2.29 1.94 0.35
數學令我感到困難和頭痛。 1.94 1.56 0.38
轉置後的平均 3.49 3.74 0.25
資料來源：作者自製
由表4-2-7 中得知數學有用性平均值為 3.65，較第一階段前測上升 0.35，在六 個向度中是增加最多的，顯示部分學童初步感受到數學與生活之間的連結，但是 整體平均仍傾向中立。其中的「數學與我以後的生活無關」（0.59）和「我認為以 後在日常生活中很少會用到數學」（0.47）差異最大，這可能與「本階段教學活動 的似真情境與遊戲設計」有關。但是，在「長大之後我在許多方面都會用到數學」
和「學數學是浪費時間」的分數卻降低了，這指出了一個下階段需要再進一步觀 察的方向。最高分的一題由「長大之後我在許多方面都會用到數學」改變為「數 學是很重要的科目」，則可能是大多數的學童經過本階段的教學實驗之後更加感受 到了數學的重要性，也或許是教師對數學的重視而影響了學童對數學的觀感，這 仍需要持續地觀察。
表4-2-7 數學有用性向度的第一階段前測與後測結果比較
題目 量表分數的平均 第一階 段前測
第一階 段後測
轉置後 的差異
數學是很重要的科目。 3.97 4.59 0.62
長大之後我在許多方面都會用到數學。 4.29 4.26 -0.03
數學與我以後的生活無關。 2.38 1.79 0.59
我認為以後在日常生活中很少會用到數學。 2.65 2.18 0.47
學數學是浪費時間。 1.41 1.47 -0.06
我希望從學校畢業以後不要再用到數學。 2.00 1.50 0.50
轉置後的平均 3.30 3.65 0.35
資料來源：作者自製
由表4-2-8 中得知教師態度平均值為 4.36，較第一階段前測上升 0.35，顯示大 部分學童的感受朝正向提升，整體平均傾向「同意」教師的鼓勵與肯定。其中的
「老師鼓勵我上更多不同的數學課」（0.59）和「老師認為學比較難的數學是浪費 我的時間」（0.41）差異最大，這可能與「本階段的教學活動讓部分學童感受到數 學課比以往更具挑戰性，而且教師也相信她們經得起挑戰」有關。
表4-2-8 教師態度向度的第一階段前測與後測結果比較
題目 量表分數的平均 第一階 段前測
第一階 段後測
轉置後 的差異
我的老師鼓勵我學更多的數學。 4.21 4.59 0.38
我的老師認為我可以把數學學得很好。 4.21 4.47 0.26 老師讓我覺得我有能力往數學方面發展。 4.06 4.32 0.26 老師鼓勵我上更多不同的數學課。 4.00 4.59 0.59
老師關心我在數學上的進步。 4.38 4.62 0.24
老師認為學比較難的數學是浪費我的時間。 1.82 1.41 0.41
轉置後的平均 4.01 4.36 0.35
資料來源：作者自製
由表4-2-9 中得知數學成功態度平均值為 4.06，較第一階段前測上升 0.12，顯 示大部分學童對數學成功的態度朝正向提升，整體平均傾向「同意」自己能在數 學方面有好的表現。其中的「我覺得數學好是一件很棒的事」（0.39）和「得到數 學比賽第一名我會很高興」（0.26）差異最大，這可能與「學童在第一階段教學中 獲得的肯定」有關。
表4-2-9 數學成功向度的第一階段前測與後測結果比較
題目 量表分數的平均 第一階 段前測
第一階 段後測
轉置後 的差異 得到數學獎狀是很光榮的事。 4.38 4.50 0.12
數學考得好我會很高興。 4.62 4.74 0.12
我覺得數學好是一件很棒的事。 4.32 4.71 0.39 得到數學比賽第一名我會很高興。 4.62 4.88 0.26
我喜歡別人說我數學很好。 4.47 4.50 0.03
如果我在數學上得到好成績，別人會認為那只是因為我非常用
功。 3.76 3.97 -0.21
轉置後的平均 3.94 4.06 0.12
資料來源：作者自製
由表4-2-10 中得知數學學習信心平均值為 4.27，較第一階段前測上升 0.12，
顯示部分學童對數學學習的信心有提高的趨勢。其中的「我可以得到好的數學成 績」（0.58）和「我有信心算出困難的數學問題」（0.27）差異最大，這可能與「本 階段教學設計的取向」有關；由於，學童在遊戲之中的心情應該是比較興奮愉悅 的，又有同儕可以互相提醒指導，即使出現錯誤也可馬上修正，隨著遊戲的步調 提高了成功解題的機會，這樣也許就自然提高了她們學習數學的信心。最高分的 一題由「我對數學很有信心」改變為「我可以得到好的數學成績」，則可能是大多 數的學童經過本階段的教學實驗之後對考試更有信心。
表4-2-10 數學學習信心向度的第一階段前測與後測結果比較
題目 量表分數的平均 第一階 段前測
第一階 段後測
轉置後 的差異
我不害怕算數學。 4.18 4.09 -0.09
我相信我可以算更難的數學問題。 3.85 3.82 -0.03
我相信我可以學好數學。 4.26 4.38 0.12
我有信心算出困難的數學問題。 3.97 4.24 0.27
我可以得到好的數學成績。 4.18 4.76 0.58
我對數學很有信心。 4.44 4.32 -0.12
轉置後的平均 4.15 4.27 0.12
資料來源：作者自製
如表4-2-11 所示，六個向度 t 考驗的學習態度僅「教師態度」達顯著差異，
這是否意味經過第一階段的教學之後，學童只明顯地感受到教師對她們數學學習 的關心？這是一個下階段需要持續觀察的方向。綜觀六個向度的分數均介於 3.65 和4.36 之間，較第一階段前測的 3.3 到 4.15 之間略微提高，其中的「數學的有用 性」和「教師態度」差異最大，各上升了0.35 分，這是否顯示本階段教學讓學童 感受最強烈的就是「數學與生活的連結」和「教師對她們數學學習的關心」。雖然
「數學的有用性」仍舊是六個向度中分數最低的，但「教師態度」已經躍升為六 個向度中最高分的一個，因此，在第二階段教學中仍應持續加強「數學與生活的
連結」。以下將提出教學後省思作為調整第二階段教學活動的依據。
表4-2-11 態度量表第一階段前測和後測之 t 考驗摘要表
人數 平均數 標準差 自由度 T值
探究動機 第一階段前測 34 23.35 2.78 33 .78 第一階段後測 34 22.82 3.33
數學焦慮 第一階段前測 34 17.82 2.67 33 .61 第一階段後測 34 17.41 2.87
有用性 第一階段前測 34 16.71 3.24 33 1.30 第一階段後測 34 15.79 2.92
教師態度 第一階段前測 34 22.68 3.39 33 -2.33＊ 第一階段後測 34 24.00 2.69
成功態度 第一階段前測 34 26.18 3.36 33 -2.00 第一階段後測 34 27.29 2.32
學習信心 第一階段前測 34 24.88 4.12 33 -.93 第一階段後測 34 25.62 5.09
＊P＜0.05
資料來源：作者自製
二、 第一階段研究經驗的省思
在這一階段的教學行動研究中，個人反思所閱讀過的教育理論並與實際的課 堂研究經驗相互驗證，以思考和設計下一階段的教學方向與內容。以下從教師的 教學和學童的學習兩方面省思這段研究經驗。
（一） 教師的教學
經過第一階段教學實驗之後，個人在教學過程中得到五項心得，以下討論：
如何建立班級的討論文化？如何運用情境或突發事件接續教學？如何適時鼓勵與 支持學童的學習？如何發現學童的學習潛能？如何使教學活動兼具意義及趣味 性？
1. 如何建立班級的討論文化？
由於個人的教學方式和態度的調整，對未曾有過類似經驗的學童來說，上課 就像下課一樣有趣，往往會興奮得管不住自己。對於凡事幾乎由別人替她們做決 定的二年級學童來說，在突然擁有決定權之初，也同時讓她們無法適應這種權力 運用，更不知如何適時表達自己的意見以及何時該尊重團體的共識？因此經常在 討論中發生有個別學童一意孤行或完全處在狀況外的情形。所以，在討論之前要 先協商討論規則，或建立獎勵制度，並在活動中適時提醒學童參與活動應有的概 念、方法或態度。教師必須依發生的狀況馬上想出對策來調整教學內容與方向，
才能使學童的討論聚焦在課程的主題。一開始，學童不會討論也不會發表；有些 學童不知道要如何討論，經常大呼小叫要全組的同學依照自己的方式解題；也有 些學童不參與活動，樂得坐在一旁等同組的某一同學解答。因此，個人在課堂中 需要再三與學童溝通討論的規則「輕聲、人人參與、尊重每一個人」。並將這些規 範寫在黑板上，每逢有學童忘記就提醒一次。發表的時候有些學童認為事不關己，
便不停的把玩物品；有些學童沒有看黑板或漫不經心，以致於數數常常數超過，
或根本沒有依照白板上顯示的方式數。因此，個人在教學活動進行當中常常需要 提醒學童「聽一聽、看一看發表小組寫些什麼？說些什麼？」鼓勵學童參與活動 並常常關心她的行動，同時也透過適當的獎勵提高討論的效果。經過長時間的溝 通與協調教室內的規則，並時時提醒學童注意這些規範，個人和這班學童在本階 段的前期中終於逐步掌握住教室討論的上課模式。
而在本階段的後期，逐漸感覺到學童討論文化的進步，也許是個人調整前期 分組討論方式轉而先進行全班共同討論之故，學童在個人的適時掌控與推動之 下，思考與發表都變得比較積極，個人也會適時詢問某些容易分心的學童的意見，
以確保全班學童都能參與討論。相對的，學童在討論中因為認為決定權在老師，
是非對錯應由老師公斷，所以對自己的看法不會無理的堅持，對於別人的說法即 使不想認同也不敢隨便反駁，要想過自己確實有更好的理由或意見才會提出來。
或許這個年齡的孩子的參與討論經驗與習慣都還在摸索、練習的階段，一開始還 是需要由教師來主持，再慢慢形成小組的主持人，最後才能達到人人都能主持的 地步。
胡蕙芬（2005）指出，良好的班級常規與溫馨民主的討論氣氛，是需要教師 用心經營的，教師可依教學目標、教學的對象、教材的性質、教師自己欲主控的 程度，和當時教學實際狀況決定採用共同討論或分組討論。個人在下一階段當中 除了在討論之前再次與學童協商討論的規則之外，將嘗試先以共同討論的方式引 導學童參與並熟悉討論文化，以便在活動中適時提醒學童參與討論應有的概念、
方法或態度，一段時間之後再進行分組討論來觀察學童討論的情況是否比第一階 段更成熟。
2. 如何運用情境或突發事件接續教學？
以故事繪本的似真情境引導學童進入乘法概念，在前後兩個小階段中皆非常 吸引學童，例如S19 在「螞蟻搬東西」的故事裡自動說出「哇！後來的螞蟻數量都是 前一組的兩倍耶！」，可見故事的數學性和感染力。個人在說故事的過程一次一次的 高潮中，也漸漸體會到故事的選擇不只在於故事本身的趣味性，而是如何講故事 使其中的數學感呈現出來，讓學童在聽故事之後能熱烈地討論故事中呈現的數學 趣味。因此，在接續的教學活動中要能利用故事的情境拋出問題，或時時引用故 事的情境來提醒學童正確的概念。
在「一隻蛤蟆一張嘴」的遊戲中，學童玩得很開心，活動結束後學童可以將
