概念的轉變

以下利用個案晤談的記錄來說明學童乘法概念轉變的情形，本研究由第一次 半結構式晤談及有獎徵答、學習單、平時測驗卷中挑選出的8 位個案學童中，有 7 位出現單位量與單位數相反的迷思，3 位出現「倍」概念不清的狀況，其中 S23 甚至沒有分組計數的概念而且所列的算式與題意無法連結。接著，個人再針對此8 個案的問題癥結進行第二、第三與第四次Vygotsky 策略的晤談，藉以評估個案在 單位量與單位數以及倍的概念的學習轉變。

第二次晤談以兩張平時考卷的答錯問題為基礎，8 位個案學童中有 6 人在「坐 咖啡杯一次要投 3 枚 10 元硬幣，坐四次要投多少錢？」一題中，知道「3 枚 10 元」是 30 元，卻無法正確列式表示。例如 S03 最初寫「4×10＝40」而在晤談中則 認為「3 個 10 就是 3+10」，顯示當題目需要兩步驟計算時學童不懂題目的意思以及 混淆單位量與單位數，經過晤談之後，有些學童仍然需要藉助具體物的協助來了 解，但是大多數學童均能釐清概念並成功解題。以下舉S07、S23 及 S34 為例說明

學童在晤談中的概念轉變情形（S07，晤談 5，1）：

師：算算看的第4 題，你能說說看題目的意思嗎？

S07：就是總共坐 4 次，然後 1 次 10 元。

師：題目是說「坐1 次只要 10 元」嗎？

S07：……3……30 元，總共 120 元，30+30+30+30。

S07 的例子顯示學童可能習慣於一個步驟就可以完成的簡單問題，卻很少深入仔

S07：30+30+30+30。

師：但是題目上沒有30 啊？30 是怎麼算出來的呢？

S07：就是這個 3 枚 10 元。

師：你能不能用算式來表達「3 枚 10 元就是 30 元」呢？

S07：就是 1 次有 3 枚。

師：用算式怎麼寫？

S07：3 加 10 次，3+3+3+3+3+3+3+3+3+3。

師：3 枚 10 元是誰的多少倍？

S34：3+3+3+3+3+3+3+3+3+3。

師：咦？一個硬幣3 元嗎？

S34：30+4。

師：為什麼是30+4 呢？

S34：10+10+10，就是 10×3。

這顯示出兩位學童仍偶爾會陷入迷思之中，但是並非沒有釐清的能力，只是 需要他人的協助。其實，「3 枚 10 元」與「一次 3 枚 10 元玩四次要多少錢？」是 相同數學結構的問題，但是學童可以寫出30+30+30+30 卻寫不出 10+10+10，又明 明知道「3 枚 10 元就是 30 元」卻無法寫算式，經過晤談中的詢問、反問及追問可以

幫助她們釐清本身的想法，運用思考解決問題而非憑直覺猜猜看。但是，有些學 童需要更長的時間並透過具體物來啟動和檢測自己的思考，同時適應面對老師的 追問，如S23（S23，晤談 5，1）：

師：你怎麼知道3 個 10 元就是 30 元呢？

S23：10×30。

師：10×30=300？

S23：嘿嘿……（知道不對卻又無法說明的表情）。

師：來，這些是10 元硬幣，你來坐咖啡杯，付錢吧！

S23：（拿出 3 個 10 元硬幣）這樣是 30 元。

師：加法怎麼寫？

S23：10+20＝30。

師：20 哪來的？

S23：30×10。

師：30×10＝300，可是這裡只有 30。

S23：……（沒有回答）。

S23：等一下、等一下，我再算一下，120，對呀，30+30+30+30。

師：30 哪裡來的？

S23：坐一次不是 30 嗎？

師：怎麼算的？

S23：……（過了很久）10、20、30。

師：這是用數的，算式呢？

S23：……（又過了很久）10+10+10。

在與 S23 的晤談過程中，常常發生不管是算式或圖形都無法釐清其概念的情況，

但是個人卻相信 S23 在生活中絕對有能力可以解決這類問題，因此嘗試藉助具體

物協助她發展潛能，尤其是能夠將題意與生活情境連結時更具成效。個人在本研 究兩個階段中均持續觀察 S23 的表現，她學習數學時並不想瞭解其中的緣由，只 是記憶「對的答案」或是使用一些簡單的步驟，然而經過晤談之後卻開始有自己 的想法。這似乎反映了Ginsburg （謝如山譯，2004）所說的，學童在教育系統中 並沒有常常得到夠多的鼓勵來進行思考的教育現象。

S03：1、2、3、4、5、6。

師：這裡有幾個？

師：這樣哪裡有3 個？那是多少？ 是在晤談中卻能立即說出正確的概念，這似乎符合Ginsburg （謝如山譯，2004）

所說，學童剛開始的錯誤是來自於想要很快算出答案或計算不小心，但是，當他

錢？」來測驗個案學童的單位量與單位數概念是否正確？以及「倍」的概念是否 釐清？其中在「4 個 5 是 4×5」一題中，S03 仍不清楚「到底是誰有多少個？」，

顯示仍難以分辨單位量與單位數。S04、S21、S23 和 S35 一開始有點錯誤，在晤 談的過程中就可以自己釐清，例如S21 本來排出○○○○○ ○○○○○ ○○○○○ ○○○○○，並表示這是

「4 有 5 個」，但是在說明加法算式時發現問題，接著便自行釐清；又如 S23 本來 做出一盤5 個、一盤 4 個，經過個人詢問發現錯誤接著排出如上述 S21 的圖形。

S07、S34 的概念和說明都很清楚；S14 本來以為兩者相同，操作磁鐵和盤子時排 的正確但說成「5 個 4」，花了一段時間才釐清。「九隻老虎共有幾隻腳？」只有S35 本來直覺地說「9×5=45」，個人反問「是 45 隻老虎嗎？」又想了一下，開始排磁 鐵，排完就說出正確的答案，顯示仍需要以「被乘數和答數單位相等」和「具體 物操作」溝通後才能夠釐清，其餘7 人皆很快的清楚說明。「坐大怒神一次要投 2 枚 5 元硬幣，坐六次要投多少錢？」8 位個案學童雖有些需透過具體物操作的協 助，但是皆能成功解題並說明。例如 S21 先放每盤 2 個共 6 盤，又追加為每盤 5 個，經過詢問再追加為每盤10 個，整個排列的過程顯示出 S21 的思考歷程是：原 先看到題目出現「2 枚」所以先放了 2 個磁鐵，想一想發現這樣好像沒有代表要付 幾元，如果 1 個磁鐵代表 1 元，那麼 5 元就要放 5 個磁鐵，但是一盤 5 個只有 5 元，想一想好像不對，再追加為10 個磁鐵。另外，S34 本來做出「6 個 5」，再聽 一次題目後改為「6 個 10」，顯示對兩步驟解題的問題仍有些困擾，需要提醒才能 正確解題；又如 S35 做出每盤 2 個共 6 盤，顯示其概念已跳脫「1 個磁鐵代表 1 元」，而是以「1 個磁鐵代表 1 枚 5 元硬幣」。由以上學童解題的歷程可以看出「倍」

的概念已較之前清楚。

第四次晤談時8 位之中已有 4 位學童完全正確，但 S03 和 S23 仍有單位量、

單位數相反的問題，經過長時間的晤談才釐清，S21 和 S34 在思考一陣之後也能 自行合理解釋，而S23 終於開始使用分組計數策略。觀察 8 位個案學童在四次晤

談中的表現，個人將她們的概念轉變區分為以下三類：

1. 穩定成長：S04、S07、S14 和 S35 屬於此類，其中自第三次晤談開始 S07 的概 念已經都很清楚，而S04 也可以自行釐清，S14 口語表達不清或筆誤的狀況應 多於概念混淆，而S35 錯誤的原因可能是自信不足和比較粗心。

2. 隨時折返：S21 和 S34 屬於此類，其中 S21 需要較長的思考時間來釐清想法，

對於非例行性問題一開始會有點不知所措，但是經過一段時間思考以後可以釐 清；S34 原本的數學程度不佳，推測因此自信不足，經過兩階段的教學實驗之 後可以習慣於思考並解題，對她來說是很大的進步。

3. 不動如山：S03 和 S23 屬於此類，S03 常在晤談中「猜測」個人想要的答案，

如果回答「3 的 6 倍」不對那麼就改口說「6 的 3 倍」，仔細一問便會發覺他的 回答中並沒有包含自己的想法，此外，在前、後測問卷中S03 在等值群組問題 大量出現單位量與單位數相反的問題，每一次的晤談也總是要花相當長的時 間，過程中發現S03 的概念並不清楚；S23 則慣於記憶答案或公式，對於數學 問題沒有真正的理解，需要多次的問答才有可能逐漸幫助她思考。

個人在晤談中也發現「倍」的語言、「出雙入對」活動的盤子與磁鐵以及具體物操 作是協助學童釐清概念的有用媒介。這樣的研究經驗使個人更清楚學童的問題癥 結、思考模式以及適於支撐其概念的教學設計。

三、 學習態度的差異

比較第一階段前測與第二階段後測全班學童的數學態度差異發現，數學探究 動機和數學成功態度是-0.01、數學學習信心 0.21、數學焦慮 0.27、教師態度 0.34 和數學的有用性 0.44。顯示在數學探究動機和數學成功態度兩個向度雖稍有降 低，但差異極小，推測學童在這兩個部分的感受相近；提升最多的是數學的有用

性 0.44，或許這與各項教學活動均著重數學與生活的連結有關，而使學童的態度 有較大幅度的轉變；其次是教師態度0.34，再由表 4-5-5 中的教師態度 t 考驗達到 顯著可以看出，教學活動的設計有助於學童提升對自己的信心與能力。

表4-5-5 態度量表第一階段前測和第二階段後測之 t 考驗摘要表

人數 平均數 標準差 自由度 T值 探究動機 第一階段前測 34 23.35 2.78 33 0.00

第二階段後測 34 23.35 3.69

數學焦慮 第一階段前測 34 17.82 2.67 33 0.24 第二階段後測 34 17.71 1.96

有用性 第一階段前測 34 16.71 3.24 33 1.71 第二階段後測 34 15.41 3.22

教師態度 第一階段前測 34 22.68 3.39 33 -2.52^＊ 第二階段後測 34 24.00 2.90

成功態度 第一階段前測 34 26.18 3.36 33 -1.88 第二階段後測 34 27.24 2.70

學習信心 第一階段前測 34 24.88 4.12 33 -1.50 第二階段後測 34 26.15 4.43

＊P＜0.05

資料來源：作者自製

四、 與對照班級的比較

由表 4-5-6 中得知，本班與試測時篩選的能力相近班級在研究之前的月考成績 差異為0.4 分，在研究之後的差異為 7.1 分。再由表 4-5-7 中得知，三類型的乘法 概念問題在前測時只有「等值群組問題」差異較大，「倍數比較問題」和「陣列與 組合問題」兩班學童幾無差異，但是在後測時此兩類題型的差異便相當顯著。這 當然可能是因為本班學童已經過多次施測，對問卷的題目類型比較熟悉，但是，

教學實驗的介入也應該扮演相當的角色。另外，表4-5-8 顯示分分看學習單中以兩 種情境測試學童對乘法算式意義的掌握及說明能力，本班學童在算式掌握上略優 於對照班學童，但在說明能力上確有一段差異，本班學童除了能說明的人數較多 之外，說明的方式也較多樣化，如表4-5-9。

表4-5-6 本班與對照班級在本研究前後學校定期評量成績的比較