傅立葉切片原理 - 模糊函數與韋格納分布函數於光學系統中的連結

3.3 模糊函數與韋格納分布函數於光學系統中的連結

3.3.1 傅立葉切片原理

傅立葉切片原理是傅立葉轉換在多維度的擴展，可廣泛的應用於各種影像技術，

如電腦斷層掃瞄(CT)影像的重建[20]，Ng 的光場相機亦使用此理論來提高計算機重建影像的速度[13]。其定義如下

Fourier slice theorem： 𝐹^𝑀。𝐼_𝑀^𝑁 = 𝑆_𝑀^𝑁。𝐹^𝑁 (3-24) 其中 𝐹^𝑀為傅立葉轉換運算子，表示將方程式中的𝑀個維度作傅立葉轉換。𝐼_𝑀^𝑁為投影運算子，將𝑁維方程式的𝑀個維度作積分投影。而𝑆_𝑀^𝑁為切片運算子，表示取出𝑁維方程式中的𝑀個維度為 0 的值。我們目標是證明方程式(3-24)等號左右兩側作用於同一方程式上有相同的結果。

首先定義一個具有𝑁個維度的方程式

𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁) (3-25)

將(3-24)等號左側作用於方程式上 𝐹^𝑀。𝐼_𝑀^𝑁[𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁)]

= 𝐹^𝑀。 ∫ 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁) 𝑑𝑥_𝑀+1𝑑𝑥_𝑀+2… 𝑑𝑥_𝑁

= ∫ [∫ 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁) 𝑑𝑥_𝑀+1𝑑𝑥_𝑀+2… 𝑑𝑥_𝑁] 𝑒^{−𝑖2𝜋(𝑥}¹^𝑢¹^+⋯+𝑥^𝑀^𝑢^𝑀⁾𝑑𝑥₁… 𝑑𝑥_𝑀

= ∫ 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁) 𝑒^{−𝑖2𝜋(𝑥}¹^𝑢¹^+⋯+𝑥^𝑀^𝑢^𝑀⁾𝑑𝑥₁… 𝑑𝑥_𝑀𝑑𝑥_𝑀+1𝑑𝑥_𝑀+2… 𝑑𝑥_𝑁

(3-26)

而(3-24)等號右側運算子作用於方程式上將得到 𝑆_𝑀^𝑁。𝐹^𝑁[𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁)]

= 𝑆_𝑀^𝑁。 ∫ 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁) 𝑒^{−𝑖2𝜋(𝑥}¹^𝑢¹^+⋯+𝑥^𝑁^𝑢^𝑁⁾𝑑𝑥₁… 𝑑𝑥_𝑀𝑑𝑥_𝑀+1𝑑𝑥_𝑀+2… 𝑑𝑥_𝑁

= ∫ 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁) 𝑒^{−𝑖2𝜋(𝑥}¹^𝑢¹^+⋯+𝑥^𝑀^𝑢^𝑀^+𝑥^𝑀+1^0+⋯+𝑥^𝑁⁰⁾𝑑𝑥₁… 𝑑𝑥_𝑀𝑑𝑥_𝑀+1𝑑𝑥_𝑀+2… 𝑑𝑥_𝑁

= ∫ 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁) 𝑒^{−𝑖2𝜋(𝑥}¹^𝑢¹^+⋯+𝑥^𝑀^𝑢^𝑀⁾𝑑𝑥₁… 𝑑𝑥_𝑀𝑑𝑥_𝑀+1𝑑𝑥_𝑀+2… 𝑑𝑥_𝑁

(3-27) 最後方程式(3-26)與方程式(3-27)有相同的結果，證明了方程式(3-24)中的傅立葉切片原理。若考慮輸入方程式只有二維的簡單情況

𝐹¹。𝐼₁² = 𝑆₁²。𝐹²

𝐹¹。𝐼₁²[𝑓(𝑥₁, 𝑥₂)] = ∫ 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂) e^{−𝑖2𝜋𝑥}¹^𝑢¹𝑑𝑥₁𝑑𝑥₂ = 𝑆₁²。𝐹²[𝑓(𝑥₁, 𝑥₂)]

(3-28) 本節證明了傅立葉切片原理，下一節中我們將把它應於連結韋格納分布函數與模糊函數。

3.3.2 韋格納分布函數與模糊函數於光學上的連結 (Connection of AF and WDF in optical system)

根據 3.1 節的推導結果，系統中某平面上純量場的韋格納分布函數𝑊(𝑥, 𝑢)在特定條件下，即等於此平面上的可視光場，其中𝑥描述了位置，𝑢則代表了光線行進的方向，𝑊 的值代表強度。Tom[18]等人提出韋格納分布函數的𝑢方向做投影即為純量場的強度，也就是影像

𝐼(𝑥) = ∫ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑑𝑢 = ∫ ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥) 𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}𝑑∆𝑥𝑑𝑢

= ∫ 𝑑∆𝑥⁡𝐽(𝑥, ∆𝑥) ∫ 𝑑𝑢⁡𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}

= ∫ 𝑑∆𝑥⁡𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝛿(∆𝑥)⁡

= 𝑢(𝑥)𝑢^∗(𝑥) = |𝑢(𝑥)|² (3-29) 物理圖像為將此位置上各個方向的光線匯集起來，即為影像。值得一提的是，韋格納分布函數會有負值出現，這在觀念上並不合理。其原因是我們將韋格納分布函數應用於光學上，但根據 Bastiaans [3]的說明，我們並無法找出一種完美的方程式來描述幅度學上的所有現象。不過經過了方程式(3-29)的證明，我們將韋格納分布函數作投影，將得到非負的結果。

另一方面，若將韋格納分布函數的兩個維度皆作傅立葉轉換

∬ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑒−𝑖2𝜋(𝑥∆𝑢+𝑢∆𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑢

= ∬[∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}𝑑∆𝑥]𝑒−𝑖2𝜋(𝑥∆𝑢+𝑢∆𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑢

= ∫ 𝐽̃(∆𝑢, 𝑢)𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}𝑑𝑢 = 𝐴(∆𝑢, −∆𝑥) (3-30) 其結果為倒置的模糊函數。如圖 3-4 所示，引入傅立葉切片原理，取出倒置模糊函數的

∆𝑥 = 0切片，即𝐴(∆𝑢, 0)，根據 3.2 節的推導，此式就是能量頻譜密度，將方程式(3-29) 做轉換結果亦為能量頻譜密度。倘若我們輸入系統內的為同調脈衝點光源，則傳播至系統像平面上的韋格納分布函數作方程式(3-29)運算的結果即為點擴散函數的強度。若考慮非同調系統下點擴散函數強度的傅立葉轉換即為光學傳遞函數。

圖 3-4：WDF 與 AF 在光學系統上的連結。

而在本節中我們使用了傅立葉切片原理將章節 3.1 與 3.2 做了完整的連結，強化了韋格納分布函數與模糊函數在光學系統中應用。目前為止，對於韋格納分布函數與模糊 函數在光學系統中傳播是如何變化並為詳細說明，此部分將於下一節中陳述。

3.4 韋格納分布函數與模糊函數於系統中的傳播 (Propagation of AF and WDF in optical system)

隨著純量場在光學系統中傳播，可以透過純量繞射理論推算出傳播至不同位置時，

純量場的分布情形。同樣地，相互強度、韋格納分布函數與模糊函數亦可透過理論計算傳播後的分布情形。本節內容的將介紹韋格納分布函數與模糊函數在系統中傳播的變化情形。

3.4.1 相互強度的傳播(Propagation of mutual intensity)

 自由空間中傳播 (Free-space propagation)

在本小節中，我們將探討相互強度在空間中傳播的情形，進而在下一小節中利用本節所推論出的結果推算出韋格納分布函數與模糊函數在空間中傳播的變化情形。

 行經元件與光柵 (Passing through element or grating)

考慮光行經一個薄元件，如圖 3-6，元件將對於入射波造成時間延遲

𝑢_𝑜(𝑥; 𝑡) = 𝐵(𝑥)𝑢_𝑖(𝑥; 𝑡 − 𝛿) (3-36) 𝐵(𝑥)代表元件對於波振幅的調製。其中

𝛿 =^𝑑(𝑥)

𝑣₂ +^𝑑⁰^{−𝑑(𝑥)}

𝑣₁ =^𝑛²^−𝑛¹

𝑐 ⁡𝑑(𝑥) +^𝑛¹^𝑑⁰

𝑐 ⁡ (3-37)

同樣是考慮單色光入射的情形𝑢_𝑖(𝑥; 𝑡) = 𝐴_𝑖(𝑥; 𝑡)𝑒^{−𝑖2𝜋𝑣𝑡}。則 𝐽_𝑜(𝑥₁, 𝑥₂) =< 𝑢_𝑜(𝑥₁, 𝑡)𝑢_𝑜^∗(𝑥₂, 𝑡) >

= 𝐵(𝑥₁)𝐵(𝑥₂) < 𝑢_𝑖(𝑥₁, 𝑡 − 𝛿(𝑥₁))𝑢_𝑖^∗(𝑥₂, 𝑡 − 𝛿(𝑥₂)) >

= ⁡𝐵(𝑥₁)𝐵(𝑥₂)𝑒^{−𝑖2𝜋𝑣(𝛿(𝑥}¹^{)−𝛿(𝑥}²⁾⁾

×< 𝐴_𝑖(𝑥₁; 𝑡 − 𝛿(𝑥₁) + 𝛿(𝑥₂))𝐴_𝑖^∗(𝑥₂, 𝑡₂) > (3-38) 在單色光條件下|𝛿(𝑥₁) + 𝛿(𝑥₂)| ≪ 𝜏_𝑐 = ¹

∆𝑣，故可將方程式(3-38)進一步化簡

𝐽_𝑜(𝑥₁, 𝑥₂) = 𝑡(𝑥₁)𝑡^∗(𝑥₂)𝐽_𝑖(𝑥₁, 𝑥₂) ≡ 𝐽_𝑡(𝑥₁, 𝑥₂)𝐽_𝑖(𝑥₁, 𝑥₂) (3-39) 其中𝑡(𝑥)為元件的穿透函數。𝐽_𝑡(𝑥₁, 𝑥₂)如圖 3-6，可視為平面波通過此元件後的相互強度。

因此，一個純量場通過一個薄元件後的相互強度為入射場的相互強度乘上元件的相互強度。注意到，元件可能是透過折射係數的變化而非不同厚度以提供不同位置上的相位差，

只要知道元件的穿透函數，此法亦可適用。

圖 3-6：薄元件對入射單色光相互強度的影響。

35 線追跡的光場技術做連結。在考慮一階光學(first order optics)的簡單情況之下，韋格納分

布函數也遵守幾何光學的線性轉換，即光線轉換矩陣(ray transfer matrix)，又常稱 ABCD 矩陣[21]，其定義如下

[𝑥_𝑜

𝜃_𝑜] = [𝐴 𝐵 𝐶 𝐷] [𝑥_𝑖

𝜃_𝑖] (3-44)

[𝑥_𝑖⁡𝜃_𝑖]⁡^𝑡代表輸入光線的位置與角度。[𝑥_𝑜⁡𝜃_𝑜]⁡^𝑡則描述經過 ABCD 矩陣作用後輸出的光線。

在一階光學的前提假設之下，我們所考慮的系統為近軸情況，空間頻率與光線行進角度的關係為

𝑢 = ^{𝑠𝑖𝑛𝜃}

𝜆 ≈^𝜃

𝜆 (3-45)

如圖 3-5，點光源入射單透鏡成像系統，透過 ABCD 矩陣作用，描述韋格納分布函數在各位置的變化情形。

光線在空間中傳播一段距離𝑧，ABCD 代表矩陣為，

[𝐴 𝐵

𝐶 𝐷]

𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒

= [1 𝑧

0 1] (3-46)

將此矩陣與方程式(3-33)代入韋格納分布函數中，可得到傳播一段距離𝑧後的韋格納分函數與輸入的韋格納分布函數關係

𝑊_𝑜(𝑥, 𝑢) = 𝑊_𝑖(𝑥 − 𝜆𝑢𝑧, 𝑢) (3-47) 其中𝑊_𝑖與𝑊_𝑜 分別代表輸入前與輸出後的韋格納分布函數。此方程式的結果與方程式(3-43)，也就是自相互強度的傳播，推導至韋格納分布函數傳播的結果相同，間接驗證了韋格納分布函數可用於與幾何光場技術的連結。

圖 3-7：透過 ABCD 矩陣作用於韋格納分布函數，描述光場在單透鏡成像系 統內各位置的變化情形。

 行經元件與光柵 (Passing through element or grating)

在第一階光學前提之下，光學系統中大多數的元件皆有其代表的 ABCD 矩陣，除了如方程式(3-44)代入矩陣中得到𝑊_𝑜與𝑊_𝑖關係之外，亦可透過方程式(3-39)延伸，得到𝑊_𝑜

𝑊_𝑜(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝐽_𝑜(𝑥, ∆𝑥)𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}𝑑∆𝑥 = ∫ 𝐽_𝑖(𝑥, ∆𝑥)𝐽_𝑡(𝑥, ∆𝑥)𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}𝑑∆𝑥

= ∫ 𝐽_𝑖(𝑥, ∆𝑥)𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}𝑑∆𝑥 ⊗_𝑢∫ 𝐽_𝑡(𝑥, ∆𝑥)𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}𝑑∆𝑥

= 𝑊_𝑖 ⊗_𝑢𝑊_𝑡= ∫ 𝑊_𝑖(𝑥, 𝛼 − 𝑢)𝑊_𝑡(𝑥, 𝛼)𝑑𝛼 (3-48) 其中𝑊_𝑡(𝑥, 𝛼)代表平面波穿越此元件(如圖 2-6)後的韋格納分布函數，元件的穿透函數為 𝑡(𝑥)，則

𝑊_𝑡 = ∫ 𝑡 (𝑥 +^∆𝑥

2) 𝑡^∗(𝑥 −^∆𝑥

2) 𝑒^{−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥}𝑑∆𝑥 (3-49)

以一個焦距為𝑓的薄透鏡為例，其代表 ABCD 矩陣為 [𝐴 𝐵

𝐶 𝐷]

𝑡ℎ𝑖𝑛⁡𝑙𝑒𝑛𝑠 = [ 1 0

−¹

𝑓 1] (3-50)

則穿過薄透鏡後

𝑊_𝑜(𝑥, 𝑢) = 𝑊_𝑖(𝑥, 𝑢 − ^𝑥

𝑓𝜆) (3-51) 現在改以方程式(3-35)的關係求其 WDF 變化。焦距𝑓薄透鏡的穿透函數為

 行經元件與光柵 (Passing through element or grating)

𝐴_𝑜(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝐴_𝑖(𝜂 − ∆𝑢, ∆𝑥)𝐴_𝑡(𝜂, ∆𝑥)𝑑𝜂

= 𝐴_𝑖(∆𝑢, ∆𝑥) ⊗_∆𝑢𝐴_𝑡(∆𝑢, ∆𝑥) (3-58) 同樣以焦距𝑓單透鏡為例，透過方程式(2-32)與(3-40)可得到其代表模糊函數

𝐴_𝑡(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝑒^{−𝑖2𝜋(∆𝑢−}^2𝑓𝜆^∆𝑥^)𝑥𝑑𝑥 = 𝛿(∆𝑢 −^∆𝑥

𝑓𝜆) (3-59) 代入方程式(3-45)中可得到穿過透鏡前後，模糊函數之間的關係

𝐴_𝑜(∆𝑢, ∆𝑥) = 𝐴_𝑖(∆𝑢 − ^𝑥

𝑓𝜆, ∆𝑥) (3-60) 3.5 章節總結 (Summary)

本章第一節先驗證第二章內所提及的，在巨觀條件下，韋格納分布函數即可等於光場技術。接著第二節則將模糊函數與能量頻譜密度做連結，若考慮輸入光源為點光源時，

則模糊函數與傅氏光學中的光學傳遞函數有關。前兩節出發點看似無關，第三節中則利用傅立葉切片原理連結了第一節與第二節內容，使整套系統更加完善。最後第四節則是說明了韋格納分布函數與模糊函數在光學系統中傳播會遇到的各種變化情形。

連結了韋格納分布函數與模糊函數並知道在系統中傳播兩者的變化情形後，已經可將此套相位空間理論應用於光學系統的模擬，尤其當系統內出現具有繞射現象的元件時，

此理論將變得格外實用。

第五章將把此理論作實際應用，分別自韋格納分布函數與模糊函數角度探討擴展景深技術。

章節四

韋格納分布函數的模擬

前面章節中，我們說明了韋格納分布函數於光學系統中的應用。並說明了韋格納分布函數在光學系統中傳播的變化情形。此章節中我們透過 Matlab 為工具，作定性模擬。

提供平面波通過一些簡單光學元件的韋格納分布函數，與此元件後，韋格納分布函數在空間中傳播的變化情形，以驗證前面連結光場技術與韋格納分布函數關係的合理性。

根據第三章所述，光學元件將會調變入射光場的相互強度與韋格納分布函數，出射光場的韋格納分布函數為入射光場的韋格納分布函數與元件的韋格納分布函數做摺合積分。以下我們模擬光場入射各式光學元件，假設入射光場為一平面波，其相互強度 𝐽(𝑥, ∆𝑥) = 1，此時的韋格納分布函數𝑊(𝑥, 𝑢) = 𝛿(𝑥)，結果分別如下所述：

 單狹縫 𝑡(𝑥) = 𝑟𝑒𝑐𝑡(^𝑥

𝐴)

平面波入射單狹縫後的同調強度與韋格納分布函數如圖 4-1 所示。單狹縫之外的範圍，因沒有光通過，故沒有相互強度值。而韋格納分布函數則因繞射的影響，在狹縫的位置，光向四面八方出射。

圖 4-1：單狹縫的同調強度與韋格納分布函數。

圖 4-2 提供了平面波經過單狹縫，韋格納分布函數隨著空間傳播變化的情況。經過單狹縫後，光向四面八方發散。隨著空間傳播。如方程式(3-43)所示，韋格納分布函數將隨著空間傳播，進行切變變化。

圖 4-2：平面波經過寬度為 A 的單狹縫後，韋格納分布函數的變化情形。

 雙狹縫 𝑡(𝑥) = 𝑟𝑒𝑐𝑡 (^𝑥−𝐵

𝐴 ) + 𝑟𝑒𝑐𝑡 (^𝑥+𝐵

𝐴 )

平面波入射雙狹縫後的同調強度與韋格納分布函數如圖 4-3 所示。(a)代表兩狹縫上的光場完全同調的情況，韋格納分布函數圖上，中央條紋源自於兩狹縫光場干涉的影響。(b)代表兩狹縫上的光場完全非同調的情況，韋格納分布函數與(a)情況不同，沒有干涉項出現。

圖 4-3：平面波經過雙狹縫後的相互強度與韋格納分布函數。

圖 4-4 提供了平面波經過雙狹縫，韋格納分布函數隨著空間傳播變化的情況。經過雙狹縫後，光向四面八方發散，並且出現干涉的項目。並隨著空間傳播，韋格納分布函數切變變化。

圖 4-4：平面波經過距離 2B 的雙狹縫後，韋格納分布函數的變化情形。

 稜鏡 𝑡(𝑥) = 𝑒^𝑖𝛼𝑥

稜鏡(prism)不調製通過光場的振幅，只調製相位。相位與位置呈線性關係。在光學上，常被用於改變光線行進方向。圖 4-5 中，利用稜鏡的穿透函數，模擬平面波入射稜鏡後，韋格納分布函數變化的情形。平面波的出射方向叫入射時多了傾斜角。

圖 4-5：平面波通過稜鏡的韋格納分布函數變化。

𝜆 = 550𝑛𝑚⁡, 𝛼 = 0.0025𝑚𝑚⁻¹⁡⁡⁡𝑧_𝑖+1− 𝑧_𝑖 = 50𝑚𝑚

 薄凸透鏡 𝑡(𝑥) = 𝑒^𝑖𝑘^𝑥2^2𝑓

透鏡為光學系統中最常見的元件，可分為凹透鏡與凸透鏡。平面波入射凸透鏡後將被匯聚到焦點上。圖 4-6 提供了平面波通過薄凸透鏡後，韋格納分布函數的變化情形。

圖 4-6：平面波通過薄凸透鏡的韋格納分布函數變化。

𝜆 = 550𝑛𝑚, 𝑓 = 100𝑚𝑚⁡, 𝑧_𝑖+1− 𝑧_𝑖 = 50𝑚𝑚

 薄凹透鏡 𝑡(𝑥) = 𝑒^𝑖𝑘^𝑥2^2𝑓

如圖 4-7 所示，平面波入射凹透鏡後將被發散。

圖 4-7：平面波通過薄凹透鏡的韋格納分布函數變化。

𝜆 = 550𝑛𝑚, 𝑓 = −100𝑚𝑚⁡, 𝑧_𝑖+1− 𝑧_𝑖 = 50𝑚𝑚

 三次方相位元件𝑡(𝑥) = 𝑒^𝑖𝛼𝑥³

圖 4-8 為平面波通過平面波經過三次方相位元件後，在光線空間中類似拋物線分布，並且不具有行進方向朝與光軸夾角為負值的成分。三次方相位元件最著名的

在文檔中韋格納分佈函數應用於光學系統之研究 (頁 38-0)