(Extending depth of field by wavefront coding in frequency domain)
Dowski 於 1995 年首先發表了以三次方相位元件進行擴展景深的理論打開了光學擴 展景深的大門，接著開始有許多人陸陸續續發表不同的相位元件來達擴展景深的目的，
如 Sherif[24]設計以對數形式的相位形式的元件可以達到更好的表現。Dowski 最初所推 導出的結果是解析解的形式，而其後多是發表形式較為複雜或非解析形式的相位元件，
但多數仍是承接 Dowski 理論加以延伸而來，因此要進行波前編碼研究者皆須了解最基 礎的擴展景深系統模型。本節將詳述 Dowski 的理論，首先考慮不同離焦系統的光學傳 遞函數，並與模糊函數連結。接著再透過數學上的穩相法[8,23]近似出適合擴展景深的相 位元件，最後選擇適當的數位影像還原濾波器以達擴展景深的目的。
離焦系統與模糊函數 (Defocus system and AF)
在第 3 章中，我們說明了成像系統中系統的光學傳遞函數為像平面上模糊函數在
∆𝑢軸上的切片。並且模糊函數將隨著空間傳播在∆𝑥方向上進行切變，離焦系統的光學 傳遞函數為切變後的模糊函數在∆𝑢軸上的切片。若我們將目光放在成像系統的焦平面 上，則離焦的光學傳遞函數為焦平面上模糊函數的斜向切片。考慮一個一維的孔徑函 數(pupil function)𝑃(𝑟)並加入離焦所造成的相位差
𝜙 = e𝑖𝑟2𝜓 (5-1)
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擴展景深技術目的是希望能設計出一個出瞳使得在不同離焦距離，能維持相同的調製傳 遞函數，並且沒有零點的出現。也就是設計出一個出瞳使其模糊函數分布圖上通過原點 不同斜率的切片能有相同的函數表現。而推導過程中一個重要的步驟是透過穩相法 (Stationary phase method)估計，它是數學上的一種近似方法，將於下小節中說明。
圖 5-1：一維方形孔徑的模糊函數與不同離焦變數所對應的 調製傳遞函數。
穩相法(Stationary phase method)
在電腦還沒高度發展前，一些複雜複數函數的積分很難處理，可以用穩相法[8,23]
來近似積分的結果。舉例而言，首先考慮函數積分：
𝐼 = ∫−∞∞ 𝑟(𝑥)𝑒𝑖𝜇(𝑥)𝑑𝑥 (5-8) 其中 𝑟(𝑥)與𝜇(𝑥)皆為實函數，如圖 5-2(a)與(b)所示。𝑟(𝑥)𝑒𝑖𝜇(𝑥)的實部與虛部分別如圖 5-2(c)與(d)所示。
此函數震盪快的部分，也就是相位變化比較快的部分，若𝑟(𝑥)相對於𝑒𝑖𝜇(𝑥)變化速 率慢，函數正負的快速震盪，而且大小相同，積分值就互相抵銷。故積分值主要的貢 獻就來自於相位變化緩慢的部分。圖 5-2(e)與(f)為自負無窮大積分至𝑥的半積分值𝐼 =
∫−∞𝑥 𝑟(𝑥)𝑒𝑖𝜇(𝑥)𝑑𝑥。可以看到積分值的主要貢獻來自於震盪慢，也就是相位變化慢的區
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域。函數變化慢的區域即為函數的極值附近，在此區域內函數的一階導數很小，或者 是等於零。
此相位項微分等於零的點 我們稱為穩相點(stationary phase point)，而對積分主要 貢獻區（穩相點附近）稱為穩相區(stationary phase region)。值得注意的是，相位函數
𝜇(𝑥)必須大於等於二次函數，才具有穩相點存在。
圖5-2：穩相法範例。
穩相法的基本觀念到此為止，下一小節將透過穩相法，找出適合用於擴展景深的 相位元件。
三次方相位元件(Cubic phase mask)
考慮一個不調製強度，只調製相位的全通率波元件(all-pass filter)放置於光學系統 出瞳位置
𝑃(𝑥) = {
1
√2𝑒𝑖𝜙(𝑥)𝑓𝑜𝑟|𝑥|≤1
0𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 (5-9)
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圖 5-3：三次方相位元件的模糊函數分布圖。