(Wigner distribution function and light field)
光場的概念與韋格納分布函數非常相似，即光線的參數化、用以描述光線位置與行 進方向。如圖 3-1 所示，根據 Z. Zhang 與 M. Levoy[4]的文章所言，我們首先建構一個 純量光場𝑓(𝑥, 𝜏)，向 z 方向傳遞。為簡化討論，我們僅在特定平面考慮一維光場資訊。
我們目的在於提出一個方法，可以同時描述波動場在空間與頻譜中的表現。為了達到此 目的，Z. Zhang 等人引入一空間參考座標 s，與𝑥落在同一平面上，並加上一個範圍有限 的觀察孔徑，利用 s 控制孔徑的位置，即𝑎(𝑥 − 𝑠)，此時純量光場形式為：
𝑓(𝑥, 𝜏)𝑎(𝑥 − 𝑠) (3-1) 根據傅氏光學中方向餘弦理論[7]，我們可將純量場視為由朝不同行方向行進的平面波 所組成，將純量場由空間基底轉換為以各方向平面波基底。當光學系統為近軸近似，
此轉換即為傅立葉轉換，即所我們想要的觀察孔徑內的空間頻譜。
𝑓̃(𝑠, 𝜃) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝜏)𝑎(𝑥 − 𝑠)𝑒−𝑖2𝜋(𝜃𝜆𝑥)𝑑𝑥 (3-2) 式(3-2)為複數振幅函數，其光場強度(或稱可視光場；observable light field)為純量場的絕 對值平方並對時間取平均:
𝑙𝑜𝑏𝑠𝑇 (𝑠, 𝜃) =< |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏 (3-3)
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其中
< |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏
= ∬ < 𝑓(𝑥1, 𝜏)𝑓∗(𝑥2, 𝜏) >𝜏 𝑎(𝑥1 − 𝑠)𝑎∗(𝑥2 − 𝑠)
× 𝑒−𝑖2𝜋𝜃𝜆(𝑥1−𝑥2)𝑑𝑥1𝑑𝑥2 (3-4)
(a) (b)
圖 3-1：韋格納分布函數與光場的連結。(a)一純量光場f(x, τ)在 z = 0 平(b) 在 z = 0 處放置一觀察孔徑(aperture)，並將其轉換成各方向平面波基底。
接著，我們使用變數變換，將空間座標𝑥1與𝑥2作轉換 𝑥1− 𝑥2 = ∆𝑥;𝑥1+𝑥2
2 = 𝑥 (3-5)
原式變為
< |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏
= ∬ < 𝑓 (𝑥 +∆𝑥
2 , 𝜏) 𝑓∗(𝑥 −∆𝑥
2 , 𝜏) >𝜏𝑎 (𝑥 +∆𝑥
2 − 𝑠)
× 𝑎∗(𝑥 −∆𝑥
2 − 𝑠) 𝑒−𝑖2𝜋𝜃𝜆(∆𝑥)𝑑𝑥𝑑∆𝑥 (3-6) 參考相互強度定義後，可將(3-6)改寫成
< |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏= ∬ 𝐽𝑓(𝑥, ∆𝑥)𝐽𝑎(𝑥 − 𝑠, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝜃𝜆∆𝑥𝑑∆𝑥𝑑𝑥 (3-7) 我們會發現方程式(3-7)為入射光場相互強度與孔徑相互強度的相乘，並對∆𝑥空間座標 進行傅立葉轉換。根據傅立葉摺積定理(convolution)與方程式(2-31)韋格納分布函數的
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圖 3-2：光纖中的傳遞光韋格納分布函數變化。
[資料來源: Tom Cuypers et al., "Validity of Wigner Distribution Function for Ray-based Imaging," IEEE ICCP, 2011.]
3.2 模糊函數與系統的光學傳遞函數
(Ambiguity function and optical transfer function)
前一小節中，我們連結了韋格納分布函數與光場技術的關係。此段將把韋格納分布 函數的傅立葉對偶-模糊函數(AF)，傅氏光學中的的光學傳遞函數[7] 作連結。
首先考慮模糊函數的定義：
𝐴(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 = ∫ 〈𝑢 (𝑥 +∆𝑥2) 𝑢∗(𝑥 −∆𝑥
2)〉 𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 (3-13) 當其中的變數∆𝑥等於0時
𝐴(∆𝑢, 0) = ∫ 𝐽(𝑥, 0)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 = ∫〈𝑢(𝑥)𝑢∗(𝑥)〉𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 (3-14) 代表將純量場場的強度做傅立葉轉換，在訊號與系統內[19]，我們稱此為訊號的能量頻 譜密度(Power spectrum density, PSD)，代表組成訊號各頻率成分的強度。而當𝑢(𝑥)代表 光學系統中在像平面上的點擴散函數(Point spread function; PSF)時，此時方程式(3-14)與 傅氏光學中的非同調系統光學傳遞函數具有相同型式。目前為止，先提供了模糊函數與 光學傳遞函數連結概念，接下來將從成像系統的觀念完整地證明兩者的關係。
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圖 3-3：光學成像系統。將光學系統視為一個黑盒子，輸入點光源脈衝進入系 統內，像平面上的點擴散函數為光學系統出瞳(exit pupil)p(r,q)的夫朗和斐繞 射結果，亦即出瞳的傅立葉轉換。
首先自光學成像系統出發，如圖 3-3 所示，根據 Goodman[7]，輸入物體純量場訊號 𝑢𝑜𝑏(𝑥)進入成像系統中，於像平面上的輸出影像訊號𝑢𝑖𝑚(𝑥)的關係為
𝑢𝑖𝑚(𝑥) = 𝑢𝑜𝑏(𝑥) ⊗ ℎ(𝑥) = ∫ 𝑢𝑜𝑏(𝜉)ℎ(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉 (3-15) 其中ℎ(𝑥)是系統的點擴散函數。
在像平面上的相互強度為
𝐽im(𝑥1, 𝑥2) = 𝑢𝑖𝑚 (𝑥1)𝑢𝑖𝑚∗ (𝑥2)
= ∫ 𝑢𝑜𝑏(𝜉1)ℎ(𝑥1− 𝜉1)𝑑𝜉1[∫ 𝑢𝑜𝑏(𝜉2)ℎ(𝑥2− 𝜉2)𝑑𝜉2]∗
= ∬ 𝑢𝑜𝑏(𝜉1)𝑢𝑜𝑏∗ (𝜉2)ℎ(𝑥1 − 𝜉1)ℎ∗(𝑥2− 𝜉2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2
= ∬ 𝐽𝑜𝑏(𝜉1, 𝜉2)ℎ(𝑥1− 𝜉1)ℎ∗(𝑥2− 𝜉2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2 (3-16) 其中𝐽ob(𝜉1, 𝜉2)代表物平面上訊號的相強度。引用方程式(2-26)則此方程式改寫為
∬ 𝐽ob(𝜉1, 𝜉2)ℎ (𝑥 +∆𝑥
2 − 𝜉1) ℎ∗(𝑥2 −∆𝑥
2 − 𝜉2) 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = 𝐽im(𝑥, ∆𝑥) (3-17) 像平面上的模糊函數為
𝐴𝑖𝑚(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝐽im(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 (3-18) 類似方程式(2-26)，我們將物平面坐標系作轉換
ξ =ξ1+ξ2
2 , ∆ξ = ξ1− ξ2 (3-19a)
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其中𝐻(∆𝑢)代表光學系統的同調傳遞函數(Coherence transfer function; CTF or Amplitude transfer function; ATF)，根據 Goodman 的理論[7]，𝐻(∆𝑢)與像平面上的純量場，也就是
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系統點擴散函數呈ℎ(𝑥)傅立葉轉換的關係。當方程式(3-22)中的∆𝑥變數等於 0 時 𝐴ℎ(∆𝑢, 0) = ∫ 𝐻 (𝑢 +∆𝑢2) 𝐻∗(𝑢 −∆𝑢
2) 𝑑𝑢 = 𝑂𝑇𝐹 (3-23) 同調傳遞函數的自相關運算(autocorrelation)，也就是非同調光學系統的光學傳遞函數，
意即影像純量場各空間頻率成分經過光學系統被調製的情況。當方程式(3-20e)中的∆𝑥變 數為 0，可得影像的能量頻譜等於物體的能量頻譜乘上系統的光學傳遞函數
𝐴𝑖𝑚(∆𝑢, 0) = 𝐴𝑜𝑏(∆𝑢, 0)𝐴ℎ(∆𝑢, 0) (3-24)。
目前為止，證明了當模糊函數中的∆𝑥等於 0 時即等於系統的光學傳遞函數，此關係 最常被利用於離焦光學系統的模擬，此內容將於章節五中詳細說明。
3.3 模糊函數與韋格納分布函數於光學系統內之連結 (Connection of AF and WDF in optical system)
在分別說明了韋格納分布函數與模糊函數在光學上的意義後 ，接著要將兩方理論 透過傅立葉切片原理(Fourier slice theorem)[13]作連結，使此理論在光學系統上應用性 更為廣泛。
3.3.1 傅立葉切片原理(Fourier slice theorem)
傅立葉切片原理是傅立葉轉換在多維度的擴展，可廣泛的應用於各種影像技術，
如電腦斷層掃瞄(CT)影像的重建[20]，Ng 的光場相機亦使用此理論來提高計算機重建 影像的速度[13]。其定義如下
Fourier slice theorem： 𝐹𝑀。𝐼𝑀𝑁 = 𝑆𝑀𝑁。𝐹𝑁 (3-24) 其中 𝐹𝑀為傅立葉轉換運算子，表示將方程式中的𝑀個維度作傅立葉轉換。𝐼𝑀𝑁為投影運 算子，將𝑁維方程式的𝑀個維度作積分投影。而𝑆𝑀𝑁為切片運算子，表示取出𝑁維方程式 中的𝑀個維度為 0 的值。我們目標是證明方程式(3-24)等號左右兩側作用於同一方程式 上有相同的結果。
首先定義一個具有𝑁個維度的方程式
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) (3-25)
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將(3-24)等號左側作用於方程式上 𝐹𝑀。𝐼𝑀𝑁[𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁)]
= 𝐹𝑀。 ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁
= ∫ [∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁] 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑀𝑢𝑀)𝑑𝑥1… 𝑑𝑥𝑀
= ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑀𝑢𝑀)𝑑𝑥1… 𝑑𝑥𝑀𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁
(3-26)
而(3-24)等號右側運算子作用於方程式上將得到 𝑆𝑀𝑁。𝐹𝑁[𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁)]
= 𝑆𝑀𝑁。 ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑁𝑢𝑁)𝑑𝑥1… 𝑑𝑥𝑀𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁
= ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑀𝑢𝑀+𝑥𝑀+10+⋯+𝑥𝑁0)𝑑𝑥1… 𝑑𝑥𝑀𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁
= ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑀𝑢𝑀)𝑑𝑥1… 𝑑𝑥𝑀𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁
(3-27) 最後方程式(3-26)與方程式(3-27)有相同的結果，證明了方程式(3-24)中的傅立葉切片原 理。若考慮輸入方程式只有二維的簡單情況
𝐹1。𝐼12 = 𝑆12。𝐹2
𝐹1。𝐼12[𝑓(𝑥1, 𝑥2)] = ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2) e−𝑖2𝜋𝑥1𝑢1𝑑𝑥1𝑑𝑥2 = 𝑆12。𝐹2[𝑓(𝑥1, 𝑥2)]
(3-28) 本節證明了傅立葉切片原理，下一節中我們將把它應於連結韋格納分布函數與模糊函 數。
3.3.2 韋格納分布函數與模糊函數於光學上的連結 (Connection of AF and WDF in optical system)
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根據 3.1 節的推導結果，系統中某平面上純量場的韋格納分布函數𝑊(𝑥, 𝑢)在特定條 件下，即等於此平面上的可視光場，其中𝑥描述了位置，𝑢則代表了光線行進的方向，𝑊 的值代表強度。Tom[18]等人提出韋格納分布函數的𝑢方向做投影即為純量場的強度，也 就是影像
𝐼(𝑥) = ∫ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑑𝑢 = ∫ ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥) 𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥𝑑𝑢
= ∫ 𝑑∆𝑥𝐽(𝑥, ∆𝑥) ∫ 𝑑𝑢𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥
= ∫ 𝑑∆𝑥𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝛿(∆𝑥)
= 𝑢(𝑥)𝑢∗(𝑥) = |𝑢(𝑥)|2 (3-29) 物理圖像為將此位置上各個方向的光線匯集起來，即為影像。值得一提的是，韋格納分 布函數會有負值出現，這在觀念上並不合理。其原因是我們將韋格納分布函數應用於光 學上，但根據 Bastiaans [3]的說明，我們並無法找出一種完美的方程式來描述幅度學上 的所有現象。不過經過了方程式(3-29)的證明，我們將韋格納分布函數作投影，將得到非 負的結果。
另一方面，若將韋格納分布函數的兩個維度皆作傅立葉轉換
∬ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑒−𝑖2𝜋(𝑥∆𝑢+𝑢∆𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑢
= ∬[∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥]𝑒−𝑖2𝜋(𝑥∆𝑢+𝑢∆𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑢
= ∫ 𝐽̃(∆𝑢, 𝑢)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑𝑢 = 𝐴(∆𝑢, −∆𝑥) (3-30) 其結果為倒置的模糊函數。如圖 3-4 所示，引入傅立葉切片原理，取出倒置模糊函數的
∆𝑥 = 0切片，即𝐴(∆𝑢, 0)，根據 3.2 節的推導，此式就是能量頻譜密度，將方程式(3-29) 做轉換結果亦為能量頻譜密度。倘若我們輸入系統內的為同調脈衝點光源，則傳播至系 統像平面上的韋格納分布函數作方程式(3-29)運算的結果即為點擴散函數的強度。若考 慮非同調系統下點擴散函數強度的傅立葉轉換即為光學傳遞函數。
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圖 3-4：WDF 與 AF 在光學系統上的連結。
而在本節中我們使用了傅立葉切片原理將章節 3.1 與 3.2 做了完整的連結，強化了 韋格納分布函數與模糊函數在光學系統中應用。目前為止，對於韋格納分布函數與模糊 函數在光學系統中傳播是如何變化並為詳細說明，此部分將於下一節中陳述。
3.4 韋格納分布函數與模糊函數於系統中的傳播 (Propagation of AF and WDF in optical system)
隨著純量場在光學系統中傳播，可以透過純量繞射理論推算出傳播至不同位置時，
純量場的分布情形。同樣地，相互強度、韋格納分布函數與模糊函數亦可透過理論計算 傳播後的分布情形。本節內容的將介紹韋格納分布函數與模糊函數在系統中傳播的變化 情形。
3.4.1 相互強度的傳播(Propagation of mutual intensity)
自由空間中傳播 (Free-space propagation)
在本小節中，我們將探討相互強度在空間中傳播的情形，進而在下一小節中利用本 節所推論出的結果推算出韋格納分布函數與模糊函數在空間中傳播的變化情形。
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行經元件與光柵 (Passing through element or grating)
考慮光行經一個薄元件，如圖 3-6，元件將對於入射波造成時間延遲
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𝑢𝑜(𝑥; 𝑡) = 𝐵(𝑥)𝑢𝑖(𝑥; 𝑡 − 𝛿) (3-36) 𝐵(𝑥)代表元件對於波振幅的調製。其中
𝛿 =𝑑(𝑥)
𝑣2 +𝑑0−𝑑(𝑥)
𝑣1 =𝑛2−𝑛1
𝑐 𝑑(𝑥) +𝑛1𝑑0
𝑐 (3-37)
同樣是考慮單色光入射的情形𝑢𝑖(𝑥; 𝑡) = 𝐴𝑖(𝑥; 𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑣𝑡。則 𝐽𝑜(𝑥1, 𝑥2) =< 𝑢𝑜(𝑥1, 𝑡)𝑢𝑜∗(𝑥2, 𝑡) >
= 𝐵(𝑥1)𝐵(𝑥2) < 𝑢𝑖(𝑥1, 𝑡 − 𝛿(𝑥1))𝑢𝑖∗(𝑥2, 𝑡 − 𝛿(𝑥2)) >
= 𝐵(𝑥1)𝐵(𝑥2)𝑒−𝑖2𝜋𝑣(𝛿(𝑥1)−𝛿(𝑥2))
×< 𝐴𝑖(𝑥1; 𝑡 − 𝛿(𝑥1) + 𝛿(𝑥2))𝐴𝑖∗(𝑥2, 𝑡2) > (3-38) 在單色光條件下|𝛿(𝑥1) + 𝛿(𝑥2)| ≪ 𝜏𝑐 = 1
∆𝑣，故可將方程式(3-38)進一步化簡
𝐽𝑜(𝑥1, 𝑥2) = 𝑡(𝑥1)𝑡∗(𝑥2)𝐽𝑖(𝑥1, 𝑥2) ≡ 𝐽𝑡(𝑥1, 𝑥2)𝐽𝑖(𝑥1, 𝑥2) (3-39) 其中𝑡(𝑥)為元件的穿透函數。𝐽𝑡(𝑥1, 𝑥2)如圖 3-6，可視為平面波通過此元件後的相互強度。
因此，一個純量場通過一個薄元件後的相互強度為入射場的相互強度乘上元件的相互強 度。注意到，元件可能是透過折射係數的變化而非不同厚度以提供不同位置上的相位差，
只要知道元件的穿透函數，此法亦可適用。
圖 3-6：薄元件對入射單色光相互強度的影響。
35 線追跡的光場技術做連結。在考慮一階光學(first order optics)的簡單情況之下，韋格納分
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布函數也遵守幾何光學的線性轉換，即光線轉換矩陣(ray transfer matrix)，又常稱 ABCD 矩陣[21]，其定義如下
[𝑥𝑜
𝜃𝑜] = [𝐴 𝐵 𝐶 𝐷] [𝑥𝑖
𝜃𝑖] (3-44)
[𝑥𝑖𝜃𝑖]𝑡代表輸入光線的位置與角度。[𝑥𝑜𝜃𝑜]𝑡則描述經過 ABCD 矩陣作用後輸出的光線。
在一階光學的前提假設之下，我們所考慮的系統為近軸情況，空間頻率與光線行進角度 的關係為
𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜆 ≈𝜃
𝜆 (3-45)
如圖 3-5，點光源入射單透鏡成像系統，透過 ABCD 矩陣作用，描述韋格納分布函數在 各位置的變化情形。
光線在空間中傳播一段距離𝑧，ABCD 代表矩陣為，
[𝐴 𝐵
𝐶 𝐷]
𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
= [1 𝑧
0 1] (3-46)
將此矩陣與方程式(3-33)代入韋格納分布函數中，可得到傳播一段距離𝑧後的韋格納分函 數與輸入的韋格納分布函數關係
𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = 𝑊𝑖(𝑥 − 𝜆𝑢𝑧, 𝑢) (3-47) 其中𝑊𝑖與𝑊𝑜 分別代表輸入前與輸出後的韋格納分布函數。此方程式的結果與方程式(3-43)，也就是自相互強度的傳播，推導至韋格納分布函數傳播的結果相同，間接驗證了韋 格納分布函數可用於與幾何光場技術的連結。
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圖 3-7：透過 ABCD 矩陣作用於韋格納分布函數，描述光場在單透鏡成像系 統內各位置的變化情形。
行經元件與光柵 (Passing through element or grating)
在第一階光學前提之下，光學系統中大多數的元件皆有其代表的 ABCD 矩陣，除了 如方程式(3-44)代入矩陣中得到𝑊𝑜與𝑊𝑖關係之外，亦可透過方程式(3-39)延伸，得到𝑊𝑜
𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝐽𝑜(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 = ∫ 𝐽𝑖(𝑥, ∆𝑥)𝐽𝑡(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥
= ∫ 𝐽𝑖(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 ⊗𝑢∫ 𝐽𝑡(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥
= 𝑊𝑖 ⊗𝑢𝑊𝑡= ∫ 𝑊𝑖(𝑥, 𝛼 − 𝑢)𝑊𝑡(𝑥, 𝛼)𝑑𝛼 (3-48) 其中𝑊𝑡(𝑥, 𝛼)代表平面波穿越此元件(如圖 2-6)後的韋格納分布函數，元件的穿透函數為 𝑡(𝑥)，則
𝑊𝑡 = ∫ 𝑡 (𝑥 +∆𝑥
2) 𝑡∗(𝑥 −∆𝑥
2) 𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 (3-49)
以一個焦距為𝑓的薄透鏡為例，其代表 ABCD 矩陣為 [𝐴 𝐵
𝐶 𝐷]
𝑡ℎ𝑖𝑛𝑙𝑒𝑛𝑠 = [ 1 0
−1
𝑓 1] (3-50)
則穿過薄透鏡後
𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = 𝑊𝑖(𝑥, 𝑢 − 𝑥
𝑓𝜆) (3-51) 現在改以方程式(3-35)的關係求其 WDF 變化。焦距𝑓薄透鏡的穿透函數為
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行經元件與光柵 (Passing through element or grating)
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𝐴𝑜(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝐴𝑖(𝜂 − ∆𝑢, ∆𝑥)𝐴𝑡(𝜂, ∆𝑥)𝑑𝜂
= 𝐴𝑖(∆𝑢, ∆𝑥) ⊗∆𝑢𝐴𝑡(∆𝑢, ∆𝑥) (3-58) 同樣以焦距𝑓單透鏡為例，透過方程式(2-32)與(3-40)可得到其代表模糊函數
𝐴𝑡(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝑒−𝑖2𝜋(∆𝑢−2𝑓𝜆∆𝑥)𝑥𝑑𝑥 = 𝛿(∆𝑢 −∆𝑥
𝑓𝜆) (3-59) 代入方程式(3-45)中可得到穿過透鏡前後，模糊函數之間的關係
𝐴𝑜(∆𝑢, ∆𝑥) = 𝐴𝑖(∆𝑢 − 𝑥
𝑓𝜆, ∆𝑥) (3-60) 3.5 章節總結 (Summary)
本章第一節先驗證第二章內所提及的，在巨觀條件下，韋格納分布函數即可等於光 場技術。接著第二節則將模糊函數與能量頻譜密度做連結，若考慮輸入光源為點光源時，
則模糊函數與傅氏光學中的光學傳遞函數有關。前兩節出發點看似無關，第三節中則利
則模糊函數與傅氏光學中的光學傳遞函數有關。前兩節出發點看似無關，第三節中則利