光學上的同調性特定條件下可被分為兩類[15]，空間同調(spatial coherence)與時間同 調(temporal coherence)。空間同調性指波動在空間中傳播，同一時刻，空間中任兩點上波 的相關性。時間同調性則指固定位置上，同一傳遞波不同時刻的相關性。在說明同調性 時，時常引入二種不同的干涉實驗為例子，以邁克森干涉儀(Michelson interferometer)解 釋時間同調性，而楊氏雙狹縫干涉(Young’s double-slit interferometer)則用於說明空間同 調性。
2.1.1 時間同調(Temporal coherence)
邁克森干涉儀的實驗架構如圖 2-1 所示，將一穩定光源透過分束器(beam splitter)一 分為二，兩個電場分別為表示為𝐸1、𝐸1。接著兩束光分別被平面透鏡𝑀1與𝑀2的反射，利 用微調𝑀2的位置，造成兩束光之間的光程差(2d)，最後於觀察屏幕上產生干涉條紋。
兩束光在屏幕上干涉所形成的條紋會成正比於
|E|2 = 〈𝐸⃑ ∙ 𝐸⃑ ∗〉 = 〈(𝐸⃑⃑⃑⃑ + 𝐸1 ⃑⃑⃑⃑ ) ∙ (𝐸2 ⃑⃑⃑⃑ + 𝐸1 ⃑⃑⃑⃑ )2 ∗〉
= 〈|𝐸1|2+ |𝐸2|2 + 2𝑅𝑒[𝐸⃑⃑⃑⃑ ∙ 𝐸1 ⃑⃑⃑⃑ 2∗]〉 (2-1) 其中箭型括弧代表對時間上取平均
〈𝑓〉 = lim
𝑇→∞
1
𝑇∫ 𝑓(𝑡)0𝑇 𝑑𝑡 (2-2)
14
圖 2-1：邁克森干涉儀。
假設兩束光具有相同極化(polarization)方向，並且兩束光的電場之間的相位關係穩 定(stationary)。因此干涉條紋的強度為
𝐼 = 𝐼1+ 𝐼2+ 2𝑐𝜖0𝑅𝑒 [〈𝐸⃑⃑⃑⃑ ∙ 𝐸1 ⃑⃑⃑⃑ 2∗〉] (2-3) 其中
𝐼𝑖 = 𝑐𝜖0|𝐸𝑖|2 (2-4) 𝑐為光在介質中的傳播速度，𝜖0為真空中的介電常數。假設兩束光因反射鏡距離不同，到 達屏幕上有時間差𝜏，我們定義了相互同調函數(mutual coherence function)
𝛤12(𝜏) = 〈𝐸1(𝑡)𝐸2∗(𝑡 + 𝜏)〉 = 𝑙𝑖𝑚
𝑇→∞
1
𝑇∫ 𝐸0𝑇 1(𝑡)𝐸2∗(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 (2-5) 其中時間差𝜏與分束器至兩面鏡之距離差𝑑有關
𝜏 =2𝑑
𝑐 (2-6)
當𝑑漸漸變大時，因為光程差改變，將看到干涉條紋隨之改變。當干涉條紋完全消失時，
定義下同調時間
15
接著，我們可以定義同調程度(degree of coherence) γ12(𝜏) =Γ12(𝜏) (complete coherence；coherence)。當0 < |γ12(𝜏)| < 1時，稱為部分同調(partial coherence)。
當|γ12(𝜏)| = 0時，稱為完全非同調(incoherence)。
接著我們定義條紋清晰度(fringe visibility) 𝑉 =𝐼𝑚𝑎𝑥−𝐼𝑚𝑖𝑛
16
(a) (b)
圖 2-2：兩種不同條紋之清晰度差別。條紋(a)的條紋清晰度大於(b) 2.1.2 空間同調(Spatial coherence)
接著我們藉楊氏雙狹縫干涉實驗說明空間同調性，如圖 2-3 所示，一道單色光(quasi-monochromatic)[14]，分別經過光程𝑟1′與𝑟2′後打在一對狹縫上。而狹縫落於位置𝑃1與𝑃2上，
兩者距離為𝑑，並在遠方屏幕上出現亮暗條紋。
圖 2-3：楊氏雙狹縫干涉實驗。
自惠更斯-菲涅爾定理出發，光由𝑂發出，傳播至狹縫，狹縫上的光場可視為光源上 各點發出之球面波的疊加
𝐸(𝑃𝑖, 𝑡) ≅ ∫𝐴 𝑖𝜆𝑟′1 𝑢(𝑂)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑆𝑖
𝑖 (2-13)
17 與相互同調函數相關。根據史瓦茲不等式(Schwarz’s inequality)
|𝛤12(𝜏)| ≤ √𝛤11(0)𝛤22(0) (2-20) 定義複數同調程度(complex degree of coherence)
𝛾̃12(𝜏) ≡ Γ12(𝜏)
√Γ11(0)Γ22(0) (2-21) 其中𝛤11(0)與𝛤22(0)分別為狹縫為𝑃1與𝑃2的自同調函數(self-coherence function)。若將方程 式(2-21)之振幅(amplitude)與相位(phase)分開，可得到
𝛾̃12(𝜏) = |γ12(𝜏)|𝑒−𝑗[2𝜋𝜈𝜏−𝛼12(𝜏)] (2-22)
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可以將方程式(2-19)改寫成與同調程度相關的形式
𝐼(𝑄) = 𝐼1(𝑄) + 𝐼2(𝑄) + 2√𝐼1(𝑄)𝐼2(𝑄)γ12(𝜏)cos[2𝜋𝜈𝜏 − 𝛼12(𝜏)] (2-23) 𝜈為入射光的中心波長。設𝐼1=𝐼2，則當觀察點𝑄坐落於兩狹縫之對稱軸上時， 可獲得𝑄 點上的條紋清晰度為
𝑉 =2√𝐼1𝐼2𝛾12(0)
𝐼1+𝐼2 = 𝛾12(0) (2-24) 又由上述可知，雙狹縫之間的距離𝑑會影響條紋清晰度。圖 2-4 為改變的雙狹縫距離時，
狹縫間距𝑑與𝛾12(0)的關係圖。當雙狹縫間距越大時，中央亮紋的清晰度會隨之下降。代 表入射光打在兩狹縫上後，空間同調性隨著狹縫距離增加而下降。
圖 2-4：楊氏雙狹縫干涉實驗，中央亮紋清晰度與狹縫距離之關係。