(Extending depth of field by wavefront coding in space domain)
在 3.1 節中，我們瞭解光場與韋格納分布函數之間的關係，本節中，我們將此分析 技巧應用於實際光學系統中，其中我們從 WDF 的角度來探討三次方相位元件，並將此 相位分佈應用於孔徑函數，達到擴展景深目的。不同於 Dowski 使用模糊函數在頻域上 探討擴展景深的做法，韋格納分布函數則是在二維座標(𝑥, 𝑢)上討論。擴展景深從模糊函 數角度來看是希望在不同的離焦位置系統維持相同的調製傳遞函數，而從空間角度來看，
則是維持相同的點擴散函數，兩者具有四個維度的傅立葉轉換關係(Fourier Dual)。
以最簡單的單透鏡系統來說明，首先從普通的單透鏡，透過 WDF 看其 PSF 的效果。
接著在此透鏡的孔徑函數插入三次方相位原件，觀察系統之 PSF 做何種形式的變化。本 段中我們引入了幾何光學中的 ABCD 矩陣[21]，如同 WDF 一樣，ABCD 矩陣可同時描 述了光的位置與角度資訊。透過此方法，可看出光源或影像進入某些光學系統的相位傳 播，其 WDF 分布在系統中行進是如何變化的。承接 3.1 節的內容，可視光場經過 ABCD 矩陣轉換後
𝑙𝑜𝑢𝑡 = 𝑀 ∗ 𝑙𝑖𝑛;[𝑆𝑢𝑜𝑢𝑡
𝑜𝑢𝑡] = [𝐴 𝐵 𝐶 𝐷] [𝑆𝑢𝑖𝑛
𝑖𝑛] (5-24)
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根據 Z. Zhang 的推導[4]，我們對可視光場𝑙𝑜𝑏𝑠𝑇 (𝑠, 𝑢)或是 WDF 對其角頻譜𝑢作積分，亦 即將可視光場投影在空間座標(𝑠)上，亦即在此平面上的幾何影像(geometric image)，其 物理意義為將此平面上某個位置所具有的角譜做積分，獲得其照度(radiance)。
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圖 5-4：傳統成像系統和擴展景深(Extended Depth of Field)之光場、PSF 分佈 之分析情形。(a)為系統架構圖，在單透鏡後方加入三次方(cubic phase)相位元 件，以達擴展景深之目的。(b)代表不同位置下光場分佈之情形。藍色表示傳統 成像系統；洋紅色表示 EDoF 系統(α=0.5)，α為相位調變權重因子；綠色表示 EDoF 系統(α=10)。(c) 成像系統 PSF。其中z0為物平面；z4 為成像平面；z5、
z6 分別代表不同離焦下之 PSF 變化。(d) EDoF PSF，當 α = 0.5，z5、z6幾乎維 持相同大小但有較大之橫向位移。(e) EDoF PSF，當 α = 10，其中z5、z6幾乎維 持相同大小並且有較小之橫向位移，代表光學系統在高相位調變下，其 PSF 可 以呈現相當程度的一致性。
如圖 5-4 藍色所示。其點擴散函數會隨著離焦愈大，而落在愈大的區間上，預測結果與 文獻完全吻合。在一般的光學系統上，成像面的點擴散函數會由原先理想的點函數，隨 著離焦像差的增加，會形成一個愈來愈大的擴散光場。擴散光場與後端影像感測器的分 辨率，定義了數位光學系統的景深條件。
當我們考慮擴展景深技術，將三次方相位元件置放於光學系統光瞳，如圖 5-4 紅色
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𝑙𝑓𝑜𝑐𝑢𝑠+𝑑 = 𝛿 (𝑝
𝑘3𝛼(𝑠 − (𝑞 + 𝑑)𝑢)2 + ((𝑞 + 𝑑)𝑝
𝑓 − (𝑞 + 𝑑) + 𝑝) 𝑢 + (1 −𝑝 𝑓) 𝑠)
= 𝛿 (𝑝
𝑘3𝛼(𝑠 − (𝑞 + 𝑑)𝑢)2+ (1 −𝑝
𝑓) (𝑠 − 𝑑𝑢)) (5-38) 以放大倍率𝑀 = 1為例，取𝑝 = 2𝑓; 𝑞 = 2𝑓; 𝑘 = 1; 𝑑 = 0.5𝑓; 𝑑′ = 5𝑓。觀察系統的可 視光場自源點開始向方向傳播的變化情形，其光場結果如圖 5-4 下方所示。與傳統透鏡 系統之 PSF 隨著離焦劇烈的變化相比，三次方相位元件的系統對於離焦像差則具有相當 的抵抗力。
同樣為三次方相位元件系統，公式(5-38)中所示，不同大小的波前編碼權重因子(α) 會對於離焦像差有不同程度的變化。綠色(α = 10)的 PSF 在一定範圍的焦平面，皆保持 一定大小，此種特性可經由後段濾波器設計，將調變過的影像信號還原。
圖 5-5 為實際傳統成像系統和波前編碼擴展景深 PSF 分佈的比較情形，此技術被應 用於虹膜辨識系統。我們將α = 150的三次方元件置於鏡頭的出瞳，並於三公尺遠處架 設點光源，前後移動點光源位置拍攝成像系統的 PSF。上排為傳統、下排為波前編碼系 統的 PSF 表現。傳統系統在對焦平面上 PSF 表現為一個點，並隨著離焦擴散，造成影像 品質的劣化。波前邊碼系統在對焦位置上雖表現不如傳統系統好，但隨著離焦確有相似 的 PSF 表現，可事後透過影像處理還原將對焦與離焦的影像還原，達到擴展景深的效果。
至此，我們已經將此數學模型做一定的假設與簡化，並將此分析工具應用至光場相 機與擴展景深這兩種重要且富發展性的技術中。此模型可擴展是更多更加複雜之光學系 統設計，例如光學鏡頭設計、半導體之光罩設計等，具有非常大的發展潛力，可用來發 展更多強而有力的系統。
圖 5-5：傳統成像系統和波前編碼擴展景深 PSF 分佈之比較情形。
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