國立交通大學
光電工程學系碩士班
碩士論文
韋格納分佈函數應用於光學系統之研究
Study of Wigner Distribution Function in Optical Systems
研究生：楊錫汶
指導教授：田仲豪副教授
韋格納分佈函數應用於光學系統之研究
Study of Wigner Distribution Function in Optical Systems
研究生：楊錫汶 Student：Shi-Wen Yang
指導教授：田仲豪 Advisor：Chung-Hao Tien
國立交通大學
光電工程學系碩士班
碩士論文
A ThesisSubmitted to Department of Photonics College of Electrical and Computer Engineering
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Department of Photonics
July 2013
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
i
韋格納分佈函數應用於
光學系統之研究
碩士研究生：楊錫汶 指導教授：田仲豪
國立交通大學
光電工程學系碩士班
摘要
以計算效率的角度而言，利用幾何光學模型，並以光線追跡評估光學系統特性是 一項重要且方便的手段，然而，光的物理特性僅有在巨觀尺度下滿足直線傳播的特 性。為了克服此弱點，我們選擇了韋格納分布函數為工具，透過統計光學與傅氏光學 理論，連結了此項函數模型與光場技術的關係；證明韋格納分布函數在巨觀條件下與 光場等價，同時考慮到繞射效應。接著，我們分析韋格納分布函數的傅立葉對偶函數-模糊函數在光學系統中的意義，建立模糊函數與光學傳遞函數之關係，並與韋格納分 布函數整合。論文最後，我們將韋格納分布函數，應用於擴展景深系統。ii
Study of Wigner Distribution Function
in Optical Systems
Master Student: Shi-Wen Yang
Advisor: Dr. Chung-Hao Tien
Department of Photonics
National Chiao Tung University
Abstract
In viewpoint of computational efficiency, ray tracing based on geometric model is a convenient but effective way to analyze the performance of an optical system. However, neglect of diffraction effect may leads to the error of optical modeling-. In order to overcome this defect, we use the Wigner distribution function (WDF) as a tool, based on statistics and Fourier optics, to address the correspondence between WDF and light field technique. On account of macroscopic conditions, WDF could be proved equivalent to light field including diffraction effect. After discussing the WDF, we examine the physical significance of its Fourier dual – Ambiguity function (AF) associated with optical transfer function. The connection between AF and WDF in optical system will be given. Finally, we employ WDF analyses in extending depth of field (EDoF) system.
iii
誌謝
首先感謝 田仲豪老師與 栗永徽老師兩年來的指導，在碩士學位的期間毫不吝嗇地 和我分享學習上與人生經歷上的寶貴經驗，讓我能夠順利完成學業及此論文。 再來感謝實驗室中一路帶領我的李杰恩學長與謝昇勳學長，沒有他們在工作上的協 助與研究上的建議，相信我沒有辦法在這麼短暫的時間內交出這些研究成果。還有在這 段路上同樣給予我許多經驗的小陸學長、玉麟學長、國恩學長、松柏學長以及孟潔同學， 沒有你們伸出的援手我無法走出那些艱困的時刻。以及一起一路努力到畢業的同伴陳柏 宇、張睿與邱郁勛，很幸運能有這麼傑出並友好的夥伴。少宏、子豪、承瑋、皓謙等學 弟妹們，希望你們都能順利畢業。 感謝我的父母多年來的栽培與教養，沒有他們的諄諄教誨與大力支持，不會造就現 在的我，並感謝我其他的好朋友們，因為你們讓我在學習的路上並不孤單。在此，將畢 業的喜悅分享給大家。iv
目錄
中文摘要 Abstract (Chinese) ... i 英文摘要 Abstract (English) ... ii 誌謝 Acknowledgement ... iii 目錄 Table of Contents ... iv 圖目錄 Figure Captions ... vi 一、研究背景與介紹 ... 1 1.1 緒論 ... 1 1.2 純量繞射理論 ... 2 1.2.1 克希荷夫繞射公式 ... 3 1.2.2 菲涅爾-克希荷夫繞射公式 ... 5 1.2.3 瑞利-索莫菲繞射公式 ... 6 1.3 光場技術 ... 8 1.3.1 光場相機 ... 9 二、同調性與相位空間 ... 13 2.1 同調性與相互同調函數 ... 13 2.1.1 時間同調 ... 13 2.1.2 空間同調 ... 16 2.2 相互強度與韋格納分布函數 ... 18 2.3 章節總結 ... 23 三、光學系統之分析 ... 23 3.1 韋格納分布函數與光場技術之關聯 ... 23 3.2 模糊函數與光學傳遞函數之關聯 ... 26 3.3 模糊函數與韋格納分布函數於光學系統中的連結 ... 29v 3.3.1 傅立葉切片原理 ... 29 3.3.2 模糊函數與韋格納分布函數於光學系統中的連結 ... 30 3.4 韋格納分布函數與模糊函數於光學系統中的傳播 ... 32 3.4.1 相互強度於光學系統中的傳播 ... 32 3.4.2 韋格納分布函數於光學系統中的傳播 ... 35 3.4.3 模糊函數於光學系統中的傳播 ... 38 3.5 章節總結 ... 39 四、模擬結果 ... 40 五、波前編碼元件應用於擴展景深系統 ... 45 5.1 頻域中探討波前編碼元件與擴展景深 ... 45 5.2 空間中探討波前編碼元件與擴展景深 ... 51 六、結論與未來工作展望 ... 56 6.1 結論 ... 56 6.2 未來工作展望 ... 56 引用 Reference ... 58
vi
圖目錄
圖 1-1：積分的表面 ... 4 圖 1-2：一點光源照在平面孔洞 A 上的繞射情況 ... 6 圖 1-3：平面屏幕上的瑞利-索莫菲原理 ... 7 圖 1-4：光場模型 ... 8 圖 1-5：光場相機技術 ... 9 圖 1-6：光場相機運作基本原理 ... 10 圖 1-7：光場相機之重新對焦技術 ... 12 圖 2-1：邁克森干涉儀 ... 14 圖 2-2：兩種不同條紋之清晰度差別 ... 16 圖 2-3：楊氏雙狹縫干涉實驗 ... 16 圖 2-4：雙狹縫干涉實驗，中央亮紋清晰度與狹縫距離之關係 ... 18 圖 2-5：空間同調函數示意圖與其座標轉換 ... 19 圖 2-6：雙狹縫相互同調函數 ... 20 圖 2-7：點光源在相位空間內的四種描述函數 ... 21 圖 2-8：以韋格納分布函數解釋不同光源特性 ... 22 圖 3-1：韋格納分布函數與光場的連結 ... 24 圖 3-2：光於光纖中傳遞，其韋格納分布函數變化 ... 26 圖 3-3：光學成像系統 ... 27 圖 3-4：WDF 與 AF 在光學系統上的連結 ... 32 圖 3-5：相互強度於空間中的傳播 ... 33 圖 3-6：薄元件對入射單色光相互強度的影響 ... 34 圖 3-7：透過 ABCD 矩陣作用於韋格納分布函數，描述光場在單透鏡成像系統內各 位置的變化情形 ... 37 圖 4-1：單狹縫的同調強度與韋格納分布函數 ... 40vii 圖 4-2：平面波經過寬度為 A 的單狹縫後，韋格納分布函數的變化情形 ... 41 圖 4-3：平面波經過雙狹縫後的相互強度與韋格納分布函數 ... 41 圖 4-4：平面波經過距離 2B 的雙狹縫後，韋格納分布函數的變化情形 ... 42 圖 4-5：平面波通過稜鏡的韋格納分布函數變化 ... 43 圖 4-6：平面波通過薄凸透鏡的韋格納分布函數變化 ... 43 圖 4-7：平面波通過薄凹透鏡的韋格納分布函數變化 ... 43 圖 4-8：平面波通過三次方相位元件的韋格納分布函數變化 ... 44 圖 5-1：一維方形孔徑的模糊函數與不同離焦變數所對應的調製傳遞函數 ... 47 圖 5-2：穩相法範例 ... 48 圖 5-3：三次方相位元件的模糊函數分布圖 ... 51 圖 5-4：傳統成像系統和擴展景深之光場、PSF 分佈之分析情形 ... 53 圖 5-5：傳統成像系統和波前編碼擴展景深 PSF 分佈之比較情形。 ... 55
1
章節一
研究背景與介紹
1.1 緒論 (Introduction) 全光方程式(plenoptic function)，是記錄影像在所有位置的幅度(radiance)資訊，一般 以七個維度的方程式表示： 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢, 𝑣, 𝜆, 𝜏) (1-1) 其中 𝑥,𝑦,𝑧 表示空間位置，𝑢指𝑥方向上的行進角度，𝑣則為𝑦方向上之行進角度，𝜆 為波 長，𝜏 則為時間。簡化起見，考慮特定波長，靜態影像，在某一特定深度的 z 平面，全 光方程式可被化簡至五維方程式： 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢, 𝑣) (1-2) 此數學模型亦被稱為光場(light field)[1]，光場技術連結了幾何光學與輻射度量學，是近 年來倍受矚目的一種數位影像技術。一般而言，光在光學系統內傳播或是經由元件偏折， 其光場資訊可由線性座標轉換來描述。 除了透過全光方程式表示光線在光學系統中的傳播行為，純量的光場亦可由另一種數學形式：韋格納分布函數(Wigner distribution function; WDF) [2,3]描述。與光場資訊
相似，光在系統內傳播或是經過元件偏折，可以透過韋格納分布的線性座標轉換來表示。
在此論文中，首先將說明韋格納分布函數與光場的關係[4]，並證明出光場即為韋
格納分布函數的一種特例，在特定條件下，韋格納分布函數與光場等價。接著說明韋格
納分布函數的傅立葉對偶(Fourier dual)模糊函數(Ambiguity function) [5]在光學系統中的
意義，並透過理論連結模糊函數與韋格納分布函數。最後將使用韋格納分布函數應用於 光學系統的模擬。我們將以波前編碼技術作為主要討論對象，藉由韋格納分布函數設計
相位元件，以達擴展景深的效果[6]。
最後值得一提的是，由於光場技術以純幾何光學為背景，當光學系統尺寸逐漸變小， 光的波動性質，如干涉與繞射等現象所造成的影響不可被忽略(例如經過光柵時)，此時
2 光場技術所預測的結果與實際狀況有非常大的誤差，因此無法使用該模型；然而，韋格 納分布函數從物理光學的角度出發再連結到幾何光學，因而保留了光的波動性質，便可 應用於微小光學系統的模擬，對如今的尺度越趨微小之光學系統發展頗有益助。 1.2 純量繞射理論 傳統的訊號理論中，大多是在空間域中描述光的場形。或是透過傅立葉轉換將訊號 轉移，在頻域中觀察其表現。傅立葉光學理論連結了波動光學與訊號與系統的關係，建 立了資訊光學的觀念；然而，由於科技的發展，我們需要一個能同時描述訊號在空間域 與頻域的行為的方法，但是傅立葉轉換卻無法滿足這方面的需求。韋格納分布函數可以 同時描述訊號在空間與頻域中的行為，才能更進一步地分析訊號的某些行為，如同調性 (Coherence)。無論是傅立葉轉換或是韋格納分布函數，其基礎均為純量繞射理論，它同 時也是韋格納分布函數理論發展的不可或缺的重要基石。純量繞射理論將光視為一純量 場，忽略極化等具有向量形式的現象，因此可以用一個簡單的波動方程式(Wave equation) 描述光的行為[7]，此近似將使繞射等波動行為的形式變得簡易，方便做數學上的推導。 而此段的內容即是說明純量繞射理論。 首先從馬克斯威爾方程式出發： ∇ ∙𝜖𝐸⃑ = 0 (1-3a) ∇ ∙ μH⃑⃑ = 0 (1-3b) ∇ × E⃑⃑ = −μ∂H⃑⃑ ∂t (1-3c) ∇ × H⃑⃑ = ϵ∂E⃑⃑ ∂t (1-3d) 假設此波所傳遞介質是線性(linear)、各向同性(isotropic)、同質(homogeneous)，並不具色 散(dispersive)與磁化(magnetic)現象，我們可以用向量分析的觀念，加入∇ ×運算子在方 程式(1-3c) and (1-3d)上： ∇ × (∇ × 𝐻⃑⃑ ) = ϵd(∇×𝐸⃑ ) dt (1-4a) ∇ × (∇ × 𝐸⃑ ) = −μd(∇×𝐻⃑⃑ ) dt (1-4b)
3 將方程式(1-2a)使用(1-1d)置換，與方程式(1-2b)使用(1-1c)置換將得到： ∇2𝐻⃑⃑ −𝑛2 𝑐2 𝜕2𝐻⃑⃑ 𝜕𝑡2 = 0 (1-5a) ∇2𝐸⃑ −𝑛2 𝑐2 𝜕2𝐸⃑ 𝜕𝑡2 = 0 (1-5b) 其中 n 是傳遞介質的折射率，因為以假設其為非磁性介質𝜇 = 𝜇0，故： 𝑛 = (𝜖 𝜖0) 1 2 ⁄ (1-6) c 是真空中的光速： 𝑐 = 1 √𝜇0𝜖0 (1-7) 因為方程式(1-5a)與(1-5b)是相同的形式作用於磁場與電場，我們可以使用單一純量變數 u(𝑃, 𝑡) 來代表： ∇2u(𝑃, 𝑡) −𝑛2 𝑐2 𝜕2u(𝑃,𝑡) 𝜕𝑡2 = 0 (1-8) 其中 u(𝑃, 𝑡) 中的 P 代表空間上的變數而 t 代表時間上的變數。. 目前我們接假設光所傳遞介質是線性、各向等性、同質，並且沒有色散和磁化現象。 在這個情況下，我們可以簡化計算，將電磁波(EM Wave)視為純量場，接著可以使用傅 立葉的數學方法加以分析。
1.2.1 克希荷夫繞射公式(Kirchhoff diffraction formula)
此節要介紹的克希荷夫繞射理論將證明惠更斯-菲涅爾原理可視為封閉曲面 P 所包 圍的場中任意一點上，同質波動方程式的解，並且被一些特殊的積分定理展開後的近似 形式。而其形式將包含波動方程式的解與其一階導數[8]。 我們首先考慮一個嚴格定義的單色(monochromatic)純量波： 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒−𝑖𝜔𝑡 (1-9) 將純量波分成空間變數相關項乘上時間變數相關項，方程式(1-9)中與空間變數相關項目 U(x, y, z) 將滿足真空中的時間獨立波動方程式： (∇2+ 𝑘2)𝑈 = 0 (1-10),
4
其 中 波 數 (wave number) 𝑘 = 𝜔 𝑐⁄ 。 此 式 子 即 為 常 見 的 亥 姆 霍 茲 方 程 式 (Helmholtz equation)。 定義 V 為三維空間中的一塊體積，並被一封閉曲面 S 所包圍。P 則為此體積範圍 中任意一點。我們引入格林定理(Green’s theorem)： ∭ (𝑈∇2𝐺 − 𝐺∇2𝑈)𝑑𝑉 𝑉 = ∬ (𝑈 𝜕𝐺 𝜕𝑛− 𝐺 𝜕𝑈 𝜕𝑛)𝑑𝑆 𝑆1+𝑆2 (1-11), 其中 n 為曲面 S 任意一點的法向量，並指向外。 U 和 G 是圖 1-1 中位置的任意函數： 圖 1-1：積分的表面(Surface of integration)。 假設 U 與 G 皆符合亥姆霍茲方程式 (∇2+ 𝑘2)𝑈 = 0 (1-12a) (∇2+ 𝑘2)𝐺 = 0 (1-12b) 將方程式(1-12a)與(1-12b)代入方程式(1-11)中，我們將會獲得： ∬ (𝑈𝜕𝐺 𝜕𝑛− 𝐺 𝜕𝑈 𝜕𝑛) 𝑑𝑆 𝑆1+𝑆2 = 0 (1-13) 假定有一個點光源坐落於位置 P0之上，接著對於曲面 S 上的常點 P1 而言將會有： 𝐺(𝑃1) =𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟01) 𝑟01 (1-14a) 以及 𝜕𝐺(𝑃1) 𝜕𝑛 = 𝑐𝑜𝑠(𝑛⃑ , 𝑟⃑⃑⃑⃑⃑ ) (𝑗𝑘 −01 1 𝑟01) 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟01) 𝑟01 (1-14b) 其中 𝑟01 是向量 𝑟⃑⃑⃑⃑⃑ 的長度，此向量自 P01 0 指向 P1 。 對於 S2上的 P1上的一個特例：
5 cos(𝑛⃑ , 𝑟⃑⃑⃑⃑⃑ ) = −1 而言，方程式(1-14a)與(1-12b)變成： 01 𝐺(𝑃1) = 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟) 𝑟 (1-15a) 和 𝜕𝐺(𝑃1) 𝜕𝑛 = ( 1 𝑟− 𝑗𝑘) 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟) 𝑟 (1-15b) 接著我們令 r 趨近於零, U 在點 P0 上的連續性使我們可以這樣改寫： 𝑙𝑖𝑚 𝑟→0∬ (𝑈 𝜕𝐺 𝜕𝑛− 𝐺 𝜕𝑈 𝜕𝑛) 𝑆2 𝑑𝑠 = 𝑙𝑖𝑚 𝑟→04𝜋𝑟 2[𝑈(𝑃 0) ( 1 𝑟− 𝑗𝑘) 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟) 𝑟 − 𝜕𝑈(𝑃0) 𝜕𝑛 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟) 𝑟 ] = 4𝜋𝑈(𝑃0) (1-16) 再將方程式(1-13)的結果代入此式，可得到： 𝑈(𝑃0) =4𝜋1 ∬ {𝜕𝑈𝜕𝑛[𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟01) 𝑟01 ] − 𝑈 𝜕 𝜕𝑛[ 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟01) 𝑟01 ]} 𝑆1 𝑑𝑠 (1-17) 此結果即是克希荷夫公式；它在純量場理論的發展上扮演極為重要的角色。它可以使場 中的任意一點 P0 ，透過包圍此點的封閉曲面上使用球面波的邊界值加以展開。
1.2.2 菲涅爾-克希荷夫繞射公式(Fresnel-Kirchhoff diffraction formula)
我們現在考慮一個常見的情況，當克希荷夫繞射公式中的𝑟01，也就是孔洞與觀察點 之間的距離遠大於入射波的波長。此情況代表光的波數將遠大於孔洞與觀察點之間的距 離的倒數，即k ≫ 1 𝑟⁄01，方程式(1-14b) 變成 𝜕𝐺(𝑃1) 𝜕𝑛 ≈ 𝑗𝑘 𝑐𝑜𝑠(𝑛⃑ , 𝑟⃑⃑⃑⃑⃑ )01 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟01) 𝑟01 (1-18) 將方程式(1-17)的結果代入其中，可得到 𝑈(𝑃0) =4𝜋1 ∬ 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟𝑟 01) 01 𝑆1 [ 𝜕𝑈 𝜕𝑛− 𝑗𝑘𝑈 𝑐𝑜𝑠(𝑛⃑ , 𝑟⃑⃑⃑⃑⃑ )] 𝑑𝑠 01 (1-19) 現在我們將光源加入這個情況內。考慮在位置 P2上個點光源，並照在 位置在 P1上 的孔洞 A 之上，如圖 1-2 所示 我們假設從 P2發出、照在孔洞 A 上的光皆是以球面波的形式傳遞
6 𝑈(𝑃1) = 𝐴𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟21) 𝑟21 (1-20) 其中 𝑟21 與 𝑟01 相同，兩者皆遠大於光的波長，方程式(1-19)變可被表示成 𝑈(𝑃0) = 𝐴 𝑖𝜆∬ exp[𝑗𝑘(𝑟21+𝑟01)] 𝑟21𝑟01 A [ cos(𝑛⃑ ,𝑟⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )−cos(𝑛⃑ ,𝑟01 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )21 2 ] 𝑑𝑠 (1-21) 注意，此結果只在點光源的情況下成立。而此結果即是所謂的菲涅爾-克希荷夫繞射公式。 之前所推導的情況皆被嚴格限制在特殊情況下，也就是單一球面波照射在一個孔洞 之上。但這個限制將會被接下來的瑞利-索莫菲理論(Rayleigh-Sommerfeld theory)所克服。 圖 1-2：一點光源照在平面孔洞 A 上的繞射情況。
1.2.3 瑞利-索莫菲繞射公式(Rayleigh-Sommerfeld diffraction formula)
菲涅爾-克希荷夫理論已被實驗上精確的驗證，並且在實際是廣泛的運用。然而當我 們考慮邊界情況(boundary conditions)，也就是觀察點非常接近邊緣或孔洞時，此菲涅爾-克希荷夫繞射公式的結果將出現錯誤。後來被索莫菲(Sommerfeld)所克服，而他所發表 的理論稱為瑞利-索莫菲理論(Rayleigh-Sommerfeld theory)。 若 U 是屏幕上的邊界值，G 則必須為零，如此一來格林定理的第二項才會被消去。 同樣的，若是𝜕𝑈 𝜕𝑛⁄ 是邊界值，則 𝜕𝐺 𝜕𝑛⁄ 必須為零，格林定理中的第一項才可被消去。 考慮一個特殊的情形，如圖 1-3 所示，有一個平面屏幕與孔洞 A。格林方程式透過 鏡射法(mirror method)定義，並由兩個球面波所組成。
7 圖 1-3：平面屏幕上的瑞利-索莫菲原理。 在 U 為邊界值的情況下，可以得到瑞利-索莫菲的第一個解。它可以被表示成： 𝑈1𝑠𝑡(𝑃0) = −1 2𝜋∬ 𝑈 𝜕𝐺 𝜕𝑛 𝐴 𝑑𝑠 (1-22) 而 𝜕𝑈 𝜕𝑛⁄ 為邊界值的情況下，可以得到瑞利-索莫菲的第二個解。 𝑈2𝑛𝑑(𝑃0) = 1 2𝜋∬ 𝐺 𝜕𝑈 𝜕𝑛 𝐴 𝑑𝑠 (1-23) 將方程式(1-18)與(1-20)代入方程式(1-22)中： U1st(P0) = A jλ∬ exp[jk(r01+r21)] r01r21 cos(n⃑ , r⃑⃑⃑⃑⃑ )01 A ds (1-24) 方程式(1-24)即是瑞利-索莫菲繞射公式，他同時遵守惠更斯菲涅爾原理(Huygens-Fresnel principle)。接著，我們將方程式(1-22)重新改寫已獲得一個更加特殊且實用並具數學意義 的形式 𝑈(𝑃0) =𝑗𝜆1 ∬ 𝑈(𝑃1) 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟01) 𝑟01 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴 𝑑𝑠 (1-25) 此結果證明一個被觀察到的場𝑈(𝑃0) 可以由孔洞 A 上所有的點上所發出的球面波所疊 加組合而成。 到目前的推導為止，純量繞射理論已被克希荷夫和索莫菲發展的很健全，而此理論 將接下來會透過菲涅爾與弗勞恩霍夫(Fraunhofer)的理論發展而更加完整。
8
1.3 光場技術(Light field technique)
如同方程式(1-2)，光場技術記錄了光學系統中深度為 z 的平面上，光線經過的位置 與行進方向。為了得到光線行進的角度，會在像平面前引入一個參考平面，接著透過幾 何關係推算出光線的行進方向。如圖 1-4 所示，將成像平面置放於z2，並在z1處放置參 考平面，欲推算出光線在成像平面上的行進角度，也就是(𝑢, 𝑣)。 圖 1-4：光場模型。五維光場L(x, y, z, u, v)具有光束在深度為z的平面上之位置 與角度資訊。為了記錄下光束入射像平面的角度資訊，通常會引入一個參考平 面，並利用光束直線前進的性質，推算出光線的行進方向。 光學系統的光源或成像系統的物常常位於距離系統主平面很遠處，此時可引入常用 的近軸小角度近似 𝑢 = sin−1(𝑥2−𝑥1 𝑧2−𝑧1) ~ tan −1(𝑥2−𝑥1 𝑧2−𝑧1) ~ ( 𝑥2−𝑥1 𝑧2−𝑧1) (1-26a). 𝑣 = sin−1(𝑦2−𝑦1 𝑧2−𝑧1) ~ tan −1(𝑦2−𝑦1 𝑧2−𝑧1) ~ ( 𝑦2−𝑦1 𝑧2−𝑧1) (1-27b). 如此一來，便可透過參考平面記錄下了光線在像平面上的位置與行進角度。 光場技術有很多應用，例如 Ashdown[9]利用它估計三維空間中任意位置上的照度， 應用於照明工程上。Javidi[10]則利用記錄下光場重建 3D 影像，應用於 3D 電視技術的 發展。近期最著名的應用則是 Ng[11,12]所發表的事後對焦相機技術，相較於傳統成像系
9
統只記錄下了成像平面上所有位置的照度資訊，利用加入微透鏡陣列(micro-lens array)額 外記錄下光束入射到感光元件上的方向，利用演算法計算出對焦在不同平面上的影像， 並已經商品化推出了光場相機(Plenopitc camera; Light field camera)。
1.3.1 光場相機 (Light field camera)
本節的內容是在說明 Ng[11,12]利用光場技術來達到光場相機事後對焦技術的原理， 圖 1-5 介紹了光場相機的機構[13]。 圖 1-5：光場相機技術。(a)微透鏡陣列機構示意圖。(b)與(c)為光場相機之事 後對焦技術說明。光場相機不同於一般相機使用單一鏡頭、感光元件接收單 一光束的原理，而是透過微透鏡陣列，將不同視角在不同空間位置記錄下來， 之後透過軟體定址運算還原影像，並可隨意調整對焦點再次運算出新的影 像。此技術將犧牲空間解析度與大量記憶體，但使用者可以通過多種方式對 影像資訊做後處理，隨著硬體與數位影像技術的進步，未來十分具有發展性。 [資料來源: R. Ng. Fourier slice photography. In Proc. ACM SIGGRAPH, 2005.] 光場相機透過在感光元件前方加入了微透鏡陣列，記錄下光場資訊，透過電腦演算 法，重建出對焦在不同物平面上的影像。其基本的成像原理與傳統數位相機相同，皆是 使用鏡頭將外界的光線聚集到感光元件上記錄之。如圖 1-6 所示，不同之處在於光場相
10 機將原來在傳統相機中置放感光元件位置以微透鏡陣列取代，並在其後方放置感光元件。 每一個微透鏡後方皆涵蓋了多個感光元件畫素。對影像而言，每一個微透鏡即為一個影 像中的畫素點，即𝑥。而後方的多個感光畫素則記錄了光線所行進的方向，並可利用幾 何方法對應至主透鏡上的某個位置，即𝑢。將此𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣)關係記錄下來，如圖 1-6(b)所 示，稱為光在光線空間(Ray-space)中的表現。此系統藉著加入了微透鏡陣列記錄下了光 場。下段會簡單說明 Ng 是如何使用被記錄下的光場來達到相片事後對焦的目的。 圖 1-6：光場相機運作基本原理。(a)光場相機在傳統相機的感光元件平面改置 微透鏡陣列，並在其後方放置感光元件。(b)來自不同物平面的光線在經過光 場相機系統記錄後，於光線空間(Ray space)中之呈現方式。其中主透鏡在圖中 以單透鏡示意，實際光場相機中的主透鏡為一透鏡組。我們可以注意到來自於 物平面 1 並經過主透鏡對焦在微透鏡陣列上(傳統相機的感光元件位置)的光 (圖中綠色部分)在光線空間中是一條垂直線，此線的寬度即為單一微透鏡之寬 度，其意義為所有角度的入射光線皆曝光於同一影像畫素之上。而來自於物平 面 2 非對焦平面的光(圖中紅色部分)，在光線空間中將會是斜線。
11 對於傳統相機而言，最後的影像與感光元件上的輻射照度(irradiance)成正比，將曝 光在感光元件上某個畫素點上所有方向的入射光積分加總，即為： 𝐸𝑧1 = ∫ ∫ 𝐿𝑧1(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) cos4𝜙 𝑑2 𝑑𝑢𝑑𝑣 (1-27) 其中cos4𝜙 𝑑2 項來自於面光源對與平面感光元件的輻度學修正[24]，𝑑為感光元件與主透鏡 的距離，𝜙為光線與感光元件平面法向量之夾角。此定義意即：影像是四維光場在二維 (𝑥, 𝑦)空間上的投影。 光場相機最具突破性的功能在於，可以將拍攝到的影像透過演算法重新對焦，也就 是將影像重建成對焦於不同物平面上。對於單一主透鏡而言，不同的物平面皆有對應共 軛像平面，重建對焦於不同物平面上的影像，意即為重建不同其共軛像平面上的影像。 如圖 1-7，於距離主透鏡𝑑的感光元件平面上記錄了光場資訊𝐿𝑧1，經幾何運算後， 在距離主透鏡α𝑑平面上的光場𝐿𝑧2為： 𝐿𝑧2(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) = 𝐿𝑧1(𝑢 + 𝑥−𝑢 𝛼 , 𝑣 + 𝑦−𝑣 𝛼 , 𝑢, 𝑣) = 𝐿𝑧1(𝑢(1 −1 𝛼) + 𝑥 𝛼, 𝑣(1 − 1 𝛼) + 𝑦 𝛼, 𝑢, 𝑣) (1-28) 根據(1-28)式子可以看出光在空間中傳播，光場傳播時，在光線空間中的表現是以切變 (shear)的方式變化。由於光線是直線前進，光線在空間中傳播，在不同深度平面之上位 置將改變，但光線行進角度不隨著空間傳播而變化。 而在𝑧2上的影像與平面上的輻射照度成正比： 𝐸𝑧2 = ∫ ∫ 𝐿𝑧2(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) cos4𝜙 𝑑2 𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∫ ∫ 𝐿𝑧1(𝑢(1 − 1 𝛼) + 𝑥 𝛼, 𝑣(1 − 1 𝛼) + 𝑦 𝛼, 𝑢, 𝑣) cos4𝜙 𝑑2 𝑑𝑢𝑑𝑣 (1-29) 與(1-27)相同，影像是經過空間傳播，切變過後的四維光場在二維空間上的投影。 透過圖 1-6 中的微透鏡陣列機構記錄下光場，加上式(1-29)的重新對焦演算法，便可 得到不同對焦於不同深度像平面的影像，達到影像事後對焦的目的。
12
圖 1-7：光場相機之重新對焦技術。感光元件平面距離透鏡平面d，另一重新 對焦平面距離透鏡平面αd。光線來自於透鏡平面上u並落在重新對焦平面上
x的位置，此光線會穿過感光元件平面上𝑢 +𝑥−𝑢
13
章節二
同調性與相位空間
若將訊號分析領域的韋格納分布函數應用在光學領域上，在某些特定條件下，即為 光場技術。而韋格納分布函數與同調性理論上的相互同調函數(mutual coherence function)
有直接的關聯性[7,14]。本章節將從光學上的空間同調性出發，解釋相互同調函數的意
義，接著連結到韋格納分布函數與其傅立葉對偶(Fourier dual)；模糊函數(Ambiguity
function)。而這些函數所共同展開的空間稱為相位空間(Phase space)[5]。
2.1 同調性與相互同調函數(Coherence and mutual coherence function)
光學上的同調性特定條件下可被分為兩類[15]，空間同調(spatial coherence)與時間同
調(temporal coherence)。空間同調性指波動在空間中傳播，同一時刻，空間中任兩點上波 的相關性。時間同調性則指固定位置上，同一傳遞波不同時刻的相關性。在說明同調性 時，時常引入二種不同的干涉實驗為例子，以邁克森干涉儀(Michelson interferometer)解 釋時間同調性，而楊氏雙狹縫干涉(Young’s double-slit interferometer)則用於說明空間同 調性。 2.1.1 時間同調(Temporal coherence) 邁克森干涉儀的實驗架構如圖 2-1 所示，將一穩定光源透過分束器(beam splitter)一 分為二，兩個電場分別為表示為𝐸1、𝐸1。接著兩束光分別被平面透鏡𝑀1與𝑀2的反射，利 用微調𝑀2的位置，造成兩束光之間的光程差(2d)，最後於觀察屏幕上產生干涉條紋。 兩束光在屏幕上干涉所形成的條紋會成正比於 |E|2 = 〈𝐸⃑ ∙ 𝐸⃑ ∗〉 = 〈(𝐸 1 ⃑⃑⃑⃑ + 𝐸⃑⃑⃑⃑ ) ∙ (𝐸2 ⃑⃑⃑⃑ + 𝐸1 ⃑⃑⃑⃑ )2 ∗〉 = 〈|𝐸1|2+ |𝐸 2|2 + 2𝑅𝑒[𝐸⃑⃑⃑⃑ ∙ 𝐸1 ⃑⃑⃑⃑ 2 ∗ ]〉 (2-1) 其中箭型括弧代表對時間上取平均 〈𝑓〉 = lim 𝑇→∞ 1 𝑇∫ 𝑓(𝑡) 𝑇 0 𝑑𝑡 (2-2)
14 圖 2-1：邁克森干涉儀。 假設兩束光具有相同極化(polarization)方向，並且兩束光的電場之間的相位關係穩 定(stationary)。因此干涉條紋的強度為 𝐼 = 𝐼1+ 𝐼2+ 2𝑐𝜖0𝑅𝑒 [〈𝐸⃑⃑⃑⃑ ∙ 𝐸1 ⃑⃑⃑⃑ 2∗〉] (2-3) 其中 𝐼𝑖 = 𝑐𝜖0|𝐸𝑖|2 (2-4) 𝑐為光在介質中的傳播速度，𝜖0為真空中的介電常數。假設兩束光因反射鏡距離不同，到
達屏幕上有時間差𝜏，我們定義了相互同調函數(mutual coherence function) 𝛤12(𝜏) = 〈𝐸1(𝑡)𝐸2∗(𝑡 + 𝜏)〉 = 𝑙𝑖𝑚 𝑇→∞ 1 𝑇∫ 𝐸1(𝑡)𝐸2 ∗(𝑡 + 𝜏) 𝑇 0 𝑑𝑡 (2-5) 其中時間差𝜏與分束器至兩面鏡之距離差𝑑有關 𝜏 =2𝑑 𝑐 (2-6) 當𝑑漸漸變大時，因為光程差改變，將看到干涉條紋隨之改變。當干涉條紋完全消失時， 定義下同調時間
15 𝜏𝑐 = 2𝑑𝑚𝑎𝑥 𝑐 (2-7) 表示兩道光之時間差若超過此同調時間，彼此將沒有關聯(uncorrelated)，因此不再產生 干涉現象；反之，只要兩束光的時間差仍在同調時間之內，即兩束光彼此是有關聯 (correlated)。 接著，我們可以定義同調程度(degree of coherence) γ12(𝜏) =Γ12(𝜏) Γ12(0)= 𝑐𝜖0Γ12(𝜏) √𝐼1𝐼2 (2-8) 將上式代回方程式(2-3)，即可得到： 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2+ 2√𝐼1𝐼2𝑅𝑒[γ12] (2-9) γ12(𝜏)是一個複數，代表兩個光場間的同調程度。當|γ12(𝜏)| = 1時，稱為完全同調
(complete coherence；coherence)。當0 < |γ12(𝜏)| < 1時，稱為部分同調(partial coherence)。
當|γ12(𝜏)| = 0時，稱為完全非同調(incoherence)。 接著我們定義條紋清晰度(fringe visibility) 𝑉 =𝐼𝑚𝑎𝑥−𝐼𝑚𝑖𝑛 𝐼𝑚𝑎𝑥+𝐼𝑚𝑖𝑛 (2-10) 如圖 2-2 所示，𝑉值越大代表條紋的對比度越好。在邁克森干涉儀實驗中，屏幕上干涉 條紋之亮紋強度為𝐼𝑚𝑎𝑥，暗紋強度為𝐼𝑚𝑖𝑛，則 𝐼𝑚𝑎𝑥= 𝐼1+ 𝐼2 + 2√𝐼1𝐼2|γ12| (2-11a) 𝐼𝑚𝑖𝑛= 𝐼1+ 𝐼2− 2√𝐼1𝐼2|γ12| (2-11b) 可重新改寫方程式(2-10) 𝑉 =2√𝐼1𝐼2|γ12| 𝐼1+𝐼2 (2-12) 表示條紋清晰度與同調程度有關，當兩道光完全同調時，將有最大的條紋清晰度；當兩 道光完全非同調時，則條紋清晰度為零，無法看到有亮暗變化的條紋，即無法觀測到干 涉現象。
16 (a) (b) 圖 2-2：兩種不同條紋之清晰度差別。條紋(a)的條紋清晰度大於(b) 2.1.2 空間同調(Spatial coherence) 接著我們藉楊氏雙狹縫干涉實驗說明空間同調性，如圖 2-3 所示，一道單色光(quasi-monochromatic)[14]，分別經過光程𝑟1′與𝑟2′後打在一對狹縫上。而狹縫落於位置𝑃1與𝑃2上， 兩者距離為𝑑，並在遠方屏幕上出現亮暗條紋。 圖 2-3：楊氏雙狹縫干涉實驗。 自惠更斯-菲涅爾定理出發，光由𝑂發出，傳播至狹縫，狹縫上的光場可視為光源上 各點發出之球面波的疊加 𝐸(𝑃𝑖, 𝑡) ≅ ∫ 1 𝑖𝜆𝑟′𝑢(𝑂)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑆𝑖 𝐴𝑖 (2-13)
17 𝜆為入射光之中心波長，𝐴𝑖為光源面積，𝜃為波前法向量(wave normal)與光軸夾角。接著， 光場自狹縫傳播至觀察平面上，假設狹縫的面積很小，其內光場分布近乎相同，可提出 積分之外，觀察平面上𝑄點的光場可被表示成 𝐸(𝑄, 𝑡) = 𝐾1𝐸 (𝑃1, 𝑡 −𝑟1 𝑐) + 𝐾2𝐸 (𝑃2, 𝑡 − 𝑟2 𝑐) (2-14) 其中 𝐾1 = ∫ 𝑗𝜆𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 1′𝑑𝑆 𝐴1 , 𝐾2 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗𝜆𝑟2′𝑑𝑆 𝐴2 (2-15) 𝐴1與𝐴2代表兩個狹縫的面積。接著，分別設狹縫𝑃1與𝑃2在𝑄點上所造成的強度分別為𝐼1 與𝐼2 𝐼𝑝1(𝑄) = 𝐼1(𝑄) = 𝑐𝜖0|𝐾1|2〈|𝐸 (𝑃 1, 𝑡 − 𝑟1 𝑐)| 2 〉 (2-16a) 𝐼𝑝2(𝑄) = 𝐼2(𝑄) = 𝑐𝜖0|𝐾2|2〈|𝐸 (𝑃 2, 𝑡 − 𝑟2 𝑐)| 2 〉 (2-16b) 並定義雙狹縫的相互同調函數 𝛤12(𝜏) = 〈𝐸1(𝑃1, 𝑡)𝐸2∗(𝑃2, 𝑡 + 𝜏)〉 (2-17) 其中 𝜏 =|𝑟1−𝑟2| 𝑐 (2-18) 因此在觀察屏幕上的光強度可以被寫成 𝐼(𝑄) = 𝐼1(𝑄) + 𝐼2(𝑄) + 2𝑐𝜖0𝐾1𝐾2𝑅𝑒[𝛤12(𝜏)] (2-19) 與相互同調函數相關。根據史瓦茲不等式(Schwarz’s inequality) |𝛤12(𝜏)| ≤ √𝛤11(0)𝛤22(0) (2-20)
定義複數同調程度(complex degree of coherence) 𝛾̃12(𝜏) ≡ Γ12(𝜏)
√Γ11(0)Γ22(0) (2-21)
其中𝛤11(0)與𝛤22(0)分別為狹縫為𝑃1與𝑃2的自同調函數(self-coherence function)。若將方程
式(2-21)之振幅(amplitude)與相位(phase)分開，可得到
18 可以將方程式(2-19)改寫成與同調程度相關的形式 𝐼(𝑄) = 𝐼1(𝑄) + 𝐼2(𝑄) + 2√𝐼1(𝑄)𝐼2(𝑄)γ12(𝜏)cos[2𝜋𝜈𝜏 − 𝛼12(𝜏)] (2-23) 𝜈為入射光的中心波長。設𝐼1=𝐼2，則當觀察點𝑄坐落於兩狹縫之對稱軸上時， 可獲得𝑄 點上的條紋清晰度為 𝑉 =2√𝐼1𝐼2𝛾12(0) 𝐼1+𝐼2 = 𝛾12(0) (2-24) 又由上述可知，雙狹縫之間的距離𝑑會影響條紋清晰度。圖 2-4 為改變的雙狹縫距離時， 狹縫間距𝑑與𝛾12(0)的關係圖。當雙狹縫間距越大時，中央亮紋的清晰度會隨之下降。代 表入射光打在兩狹縫上後，空間同調性隨著狹縫距離增加而下降。 圖 2-4：楊氏雙狹縫干涉實驗，中央亮紋清晰度與狹縫距離之關係。 2.2 相互強度與韋格納分布函數
(Mutual intensity and Wigner distribution function)
前一節介紹了同調性理論與相互同調函數的意義，本節則要將相互同調函數加以延 伸，並連結至本論文的中心：韋格納分布函數理論與應用[2,5]。 相互強度(mutual intensity) 如圖 2-5 所示，空間中有一純量場𝑢(𝑥, 𝑡)，為了簡化形式，以向量𝑥 = [𝑥𝑦]𝑡表示。 在考慮特定時間𝑡下，空間中兩點𝑥1與𝑥2的相關性(correlation)或同調性(coherence)可表示 成 𝛤12(𝑥1, 𝑥2; 𝜏) = 〈𝑢(𝑥1, 𝑡 + 𝜏)𝑢∗(𝑥2, 𝑡)〉 (2-25)
19 圖 2-5：相互同調函數示意圖與其座標轉換。 其值越大代表兩點的關聯性愈高，反之則愈低。使用座標轉換，令 𝑥 =𝑥1+𝑥2 2 , ∆𝑥 = 𝑥1− 𝑥2 (2-26) 則方程式(2-25)可改寫成 𝛤12(𝑥, ∆𝑥; 𝜏) = 𝛤(𝑥, ∆𝑥, 𝜏) = 〈𝑢 (𝑥 + ∆𝑥 2 ; 𝑡 + 𝜏) 𝑢 ∗(𝑥 −∆𝑥 2 ; 𝑡)〉 (2-27) 當入射純量場為單色光(quasi-monochromatic)，光到達兩位置上的時間差遠小於同調時 間(𝜏𝑐 = 1 ∆𝑣)，可針對方程式(2-27)中與時間項無關的項目作探討，則 𝛤(𝑥, ∆𝑥; 0) = 〈𝑢 (𝑥 +∆𝑥 2 ; 𝑡) 𝑢 ∗(𝑥 −∆𝑥 2 ; 𝑡)〉 ≡ 𝐽(𝑥, ∆𝑥) (2-28) 𝐽(𝑥, ∆𝑥)稱為相互強度(mutual intensity)，用於描述單色光的空間同調性質。當描述的兩 點所指同一位置，𝑥1 = 𝑥2或是∆𝑥 = 0時，有最大的同調值 𝐽(𝑥, 0) = 〈𝑢(𝑥)𝑢∗(𝑥)〉 = |𝑢(𝑥)|2 (2-29) 等於純量場在𝑥位置上的強度。當入射光為單色光時，兩位置的相互同調函數以相互強 度取代可化簡過程。如圖 2-6 所示，一道完全同調的單頻平面波入射雙狹縫上，雙狹縫 上的相互同調函數可以相互強度表示。
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圖 2-6：雙狹縫的相互同調函數。 韋格納分布函數(Wigner distribution function；WDF )
韋格納分布函數的定義為
𝑊(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 (2-31)
是將相互強度𝐽(𝑥, ∆𝑥)中的位移空間座標(∆𝑥)透過傅立葉轉換，映射到局部空間頻率(u:
local spatial frequency)或角譜資訊(slope, angular spectrum)。如圖 2-7，平面波入射一寬 度極小之單狹縫，一旦考慮的兩點距離∆𝑥超過狹縫的間距，則其中一位置不在狹縫 上，其相互強度為零。兩點的位置差與角譜互為傅立葉轉換，如公式(2-31)所示。透過 WDF 可同時描述一個場的空間(x)與頻譜(u)資訊。 模糊函數(Ambiguity function；AF ) 模糊函數在最著名的應用是在設計雷達時所用的訊號理論[16]，與待測物體移動造 成反射訊號的都卜勒效應有關。而在相位光學中[5]，模糊函數是將相互強度𝐽(𝑥, ∆𝑥)中 的空間座標(𝑥)透過傅立葉轉換，映射到空間頻率或頻譜資訊上。其定義如下 𝐴(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 (2-32) 當狹縫寬度很小，近似為點光源，便展延𝑥座標上的空間頻率，如圖 2-7(d)所示。其中模 糊函數與韋格納分布函數兩者具有傅立葉對偶關係(Fourier dual)
21
𝐴(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑒−𝑖2𝜋(∆𝑢𝑥−𝑢∆𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑢 (2-33)
而模糊函數在光學系統上有一個著名的應用，是模糊函數與光學系統之調製傳遞函數 (Modulation transfer function; MTF)的關係，其連結原理我們將在第四章內詳細描述。在 本節的最後，我們提及相位空間中最後一個函數：相互頻譜(mutual spectrum)。其定義為 𝐽 ̃(∆𝑢, 𝑢) = ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋(𝑢∆𝑥+∆𝑢𝑥)𝑑∆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑈(𝑢1)𝑈∗(𝑢2) (2-34) 𝑈(𝑢)是純量場𝑢(𝑥)在頻域中的表現。此式代表自頻域中看兩純量場的相關性或同調性。 與相互同強度呈現傅立葉對偶關係。 圖 2-7：點光源在相位空間內的四種描述函數。 光源在空間中傳播的行為與其同調性有關，圖 2-8[17]為一面光源在不同的同調條件 下，光場的行為。(a)為完全同調光源，空間上不同位置皆有最大的同調強度值 𝐽(𝑥, ∆𝑥) = 1，則其韋格納分布函數𝑊(𝑥, 𝑢) = 𝛿(𝑢)，代表光線具有極高的準直性。(c)完全非同調， 唯有同一位置上有同調強度值，不同位置上的同調強度皆為零，𝐽(𝑥, ∆𝑥) = 𝛿(𝑥)，其韋 格納分布函數𝑊(𝑥, 𝑢) = 1，所有位置皆發出各個方向的光，為朗伯(Lambertian)形式。(b) 則為部分同調的情況，介於完全同調與完全非同調之間。
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圖 2-8：以韋格納分布函數解釋不同光源特性。
[資料來源:W. Singer et al., Handbook of Optical Systems.]
2.3 章節總結(Summary) 本章第一節中由光學純量場的同調性出發，分別以邁克森干涉儀與楊氏雙狹縫實 驗介紹時間同調與空間調的觀念，並解釋相互同調數與相互強度的定義與意義。在第 二節中將相位空間中的相互強度連結至本論文的主旨-韋格納分布函數與模糊函數。韋 格納分布函數在光學上最常被應用於將純量場，連結至幾何上的光場分布，求得光線 位置與行進方向。在最後給了一個面光源的範例。同調光源、部分同調光源與非同調 光源不同的韋格納分布情形，證明他在光學系統模擬中很具實用性。至於為何可將韋 格納分布函數連結至光場技術，以及其傅立葉對偶-模糊函數的在光學上的連結，將在 下一章節中詳述。
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章節三
光學系統分析
在介紹相位空間中常見四個方程式的定義與其相互關係之後，此章節主旨是將四個 方程式中的韋格納分布函數與模糊函數與光學系統連結。第一與第二段將分別連結<韋 格納分布函數-光場技術>與<模糊函數-光學傳遞函數>的關係，第三段則透過傅立葉切片理論(Fourier slice theorem)[13]將兩者整合。最後說明在光學系統中傳播時，這些函數
變化的情形。
3.1 韋格納分布函數與光場技術
(Wigner distribution function and light field)
光場的概念與韋格納分布函數非常相似，即光線的參數化、用以描述光線位置與行 進方向。如圖 3-1 所示，根據 Z. Zhang 與 M. Levoy[4]的文章所言，我們首先建構一個 純量光場𝑓(𝑥, 𝜏)，向 z 方向傳遞。為簡化討論，我們僅在特定平面考慮一維光場資訊。 我們目的在於提出一個方法，可以同時描述波動場在空間與頻譜中的表現。為了達到此 目的，Z. Zhang 等人引入一空間參考座標 s，與𝑥落在同一平面上，並加上一個範圍有限 的觀察孔徑，利用 s 控制孔徑的位置，即𝑎(𝑥 − 𝑠)，此時純量光場形式為： 𝑓(𝑥, 𝜏)𝑎(𝑥 − 𝑠) (3-1) 根據傅氏光學中方向餘弦理論[7]，我們可將純量場視為由朝不同行方向行進的平面波 所組成，將純量場由空間基底轉換為以各方向平面波基底。當光學系統為近軸近似， 此轉換即為傅立葉轉換，即所我們想要的觀察孔徑內的空間頻譜。 𝑓̃(𝑠, 𝜃) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝜏)𝑎(𝑥 − 𝑠)𝑒−𝑖2𝜋(𝜃𝜆𝑥)𝑑𝑥 (3-2)
式(3-2)為複數振幅函數，其光場強度(或稱可視光場；observable light field)為純量場的絕 對值平方並對時間取平均:
24 其中 < |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏 = ∬ < 𝑓(𝑥1, 𝜏)𝑓∗(𝑥2, 𝜏) >𝜏 𝑎(𝑥1 − 𝑠)𝑎∗(𝑥2 − 𝑠) × 𝑒−𝑖2𝜋𝜃𝜆(𝑥1−𝑥2)𝑑𝑥1𝑑𝑥2 (3-4) (a) (b) 圖 3-1：韋格納分布函數與光場的連結。(a)一純量光場f(x, τ)在 z = 0 平(b) 在 z = 0 處放置一觀察孔徑(aperture)，並將其轉換成各方向平面波基底。 接著，我們使用變數變換，將空間座標𝑥1與𝑥2作轉換 𝑥1− 𝑥2 = ∆𝑥;𝑥1+𝑥2 2 = 𝑥 (3-5) 原式變為 < |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏 = ∬ < 𝑓 (𝑥 +∆𝑥 2 , 𝜏) 𝑓 ∗(𝑥 −∆𝑥 2 , 𝜏) >𝜏𝑎 (𝑥 + ∆𝑥 2 − 𝑠) × 𝑎∗(𝑥 −∆𝑥 2 − 𝑠) 𝑒 −𝑖2𝜋𝜃𝜆(∆𝑥)𝑑𝑥𝑑∆𝑥 (3-6) 參考相互強度定義後，可將(3-6)改寫成 < |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏= ∬ 𝐽𝑓(𝑥, ∆𝑥)𝐽𝑎(𝑥 − 𝑠, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋 𝜃 𝜆∆𝑥𝑑∆𝑥𝑑𝑥 (3-7) 我們會發現方程式(3-7)為入射光場相互強度與孔徑相互強度的相乘，並對∆𝑥空間座標 進行傅立葉轉換。根據傅立葉摺積定理(convolution)與方程式(2-31)韋格納分布函數的
25 定義，我們可以將(3-7)可視光場改寫成： < |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏= ∫ 𝑊𝑓(𝑥, 𝜃 𝜆) ⊗𝑢𝜆𝑊𝑎(𝑥 − 𝑠, 𝜃 𝜆) 𝑑𝑥 (3-8) ⊗𝑢 𝜆 代表在𝑢 𝜆上作摺合積分。 此算式亦是對𝑥作摺積，因此原式變成： < |𝑓̃(𝑠, 𝜃)|2 >𝜏= 𝑊𝑓(𝑠,𝜃 𝜆) ⊗2𝐷𝑊𝑎(−𝑠, 𝜃 𝜆) (3-9) ⊗2𝐷表示二維的摺合積分運算。 我們可以得到可視光場(也就是記錄平面上光束的位置與行進方向之函數)的物理 意義，是純量場 WDF 與觀察孔徑的 WDF 二維摺積： 𝑙𝑜𝑏𝑠𝑇 (𝑠, 𝑢) = 𝑊̂𝑓(𝜆)(𝑠, 𝑢) ⊗2𝐷𝑊̂𝑎 (𝜆) (−𝑠, 𝑢) (3-10) 其中 𝑊̂𝑓(𝜆)(𝑠, 𝑢) = 𝑊𝑓(𝑠, 𝜃 𝜆) 在此，根據 Zhang[4]對於幾何光學量測上測不準原理的說明，引入了一個假設。我們 為了得到局部的頻譜資訊，引入了一個虛構觀察孔徑。若此孔徑尺寸遠大於光波長， 則此觀察孔徑將不造成繞射影響，因此可將觀察孔徑代表 WDF 視為一個脈衝函數： 𝑊̂𝑎(𝜆)(−𝑠, 𝑢) = 𝛿(𝑠, 𝑢) (3-11) 因此韋格納分布函數由在巨觀系統下與可視光場完全等價。 𝑙𝑜𝑏𝑠𝑇 (𝑠, 𝑢) = 𝑊̂𝑓(𝜆)(𝑠, 𝑢) (3-12) 圖 3-2 為一個折射率漸變光纖，韋格納分布函數的變化。由於 GRIN 光纖的相位 傳播分布是 chirp 形式，與自由空間傳播相位相似。第二列為 WDF，第三列為光場投 射在某一特定平面上的強度分佈。
26
圖 3-2：光纖中的傳遞光韋格納分布函數變化。
[資料來源: Tom Cuypers et al., "Validity of Wigner Distribution Function for Ray-based Imaging," IEEE ICCP, 2011.]
3.2 模糊函數與系統的光學傳遞函數
(Ambiguity function and optical transfer function)
前一小節中，我們連結了韋格納分布函數與光場技術的關係。此段將把韋格納分布 函數的傅立葉對偶-模糊函數(AF)，傅氏光學中的的光學傳遞函數[7] 作連結。 首先考慮模糊函數的定義： 𝐴(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 = ∫ 〈𝑢 (𝑥 +∆𝑥2) 𝑢∗(𝑥 −∆𝑥 2)〉 𝑒 −𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 (3-13) 當其中的變數∆𝑥等於0時 𝐴(∆𝑢, 0) = ∫ 𝐽(𝑥, 0)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 = ∫〈𝑢(𝑥)𝑢∗(𝑥)〉𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 (3-14) 代表將純量場場的強度做傅立葉轉換，在訊號與系統內[19]，我們稱此為訊號的能量頻
譜密度(Power spectrum density, PSD)，代表組成訊號各頻率成分的強度。而當𝑢(𝑥)代表 光學系統中在像平面上的點擴散函數(Point spread function; PSF)時，此時方程式(3-14)與 傅氏光學中的非同調系統光學傳遞函數具有相同型式。目前為止，先提供了模糊函數與 光學傳遞函數連結概念，接下來將從成像系統的觀念完整地證明兩者的關係。
27 圖 3-3：光學成像系統。將光學系統視為一個黑盒子，輸入點光源脈衝進入系 統內，像平面上的點擴散函數為光學系統出瞳(exit pupil)p(r,q)的夫朗和斐繞 射結果，亦即出瞳的傅立葉轉換。 首先自光學成像系統出發，如圖 3-3 所示，根據 Goodman[7]，輸入物體純量場訊號 𝑢𝑜𝑏(𝑥)進入成像系統中，於像平面上的輸出影像訊號𝑢𝑖𝑚(𝑥)的關係為 𝑢𝑖𝑚(𝑥) = 𝑢𝑜𝑏(𝑥) ⊗ ℎ(𝑥) = ∫ 𝑢𝑜𝑏(𝜉)ℎ(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉 (3-15) 其中ℎ(𝑥)是系統的點擴散函數。 在像平面上的相互強度為 𝐽im(𝑥1, 𝑥2) = 𝑢𝑖𝑚 (𝑥 1)𝑢𝑖𝑚∗ (𝑥2) = ∫ 𝑢𝑜𝑏(𝜉1)ℎ(𝑥1− 𝜉1)𝑑𝜉1[∫ 𝑢𝑜𝑏(𝜉2)ℎ(𝑥2− 𝜉2)𝑑𝜉2]∗ = ∬ 𝑢𝑜𝑏(𝜉1)𝑢𝑜𝑏∗ (𝜉2)ℎ(𝑥1 − 𝜉1)ℎ∗(𝑥2− 𝜉2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = ∬ 𝐽𝑜𝑏(𝜉1, 𝜉2)ℎ(𝑥1− 𝜉1)ℎ∗(𝑥2− 𝜉2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2 (3-16) 其中𝐽ob(𝜉1, 𝜉2)代表物平面上訊號的相強度。引用方程式(2-26)則此方程式改寫為 ∬ 𝐽ob(𝜉1, 𝜉2)ℎ (𝑥 + ∆𝑥 2 − 𝜉1) ℎ ∗(𝑥 2 − ∆𝑥 2 − 𝜉2) 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = 𝐽im(𝑥, ∆𝑥) (3-17) 像平面上的模糊函數為 𝐴𝑖𝑚(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝐽im(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 (3-18) 類似方程式(2-26)，我們將物平面坐標系作轉換 ξ =ξ1+ξ2 2 , ∆ξ = ξ1− ξ2 (3-19a)
28 𝜎 = 𝑥 − ξ (3-19b) 方程式(3-18)改寫成 𝐴𝑖𝑚(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝑑𝑥𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢(𝜉+𝜎) ∬ 𝑑𝜉 1𝑑𝜉2𝐽ob(ξ + ∆ξ 2 , ξ − ∆ξ 2) × ℎ (𝑥 +∆𝑥 2 − ξ − ∆ξ 2) ℎ ∗(𝑥 −∆𝑥 2 − ξ + ∆ξ 2) (3-20a) = ∬ 𝑑𝜎𝑑𝜉𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢(𝜉+𝜎)∫ 𝑑∆𝜉 𝐽 ob(ξ + ∆ξ 2 , ξ − ∆ξ 2) × ℎ (𝜎 +∆𝑥−∆𝜉 2 ) ℎ ∗(𝜎 −∆𝑥−∆𝜉 2 ) (3-20b) = ∫ 𝑑∆𝜉 ∫ 𝑑𝜎𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝜎𝐽 h(𝜎 + ∆𝑥−∆𝜉 2 , 𝜎 − ∆𝑥−∆𝜉 2 ) × ∫ 𝑑𝜉𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝜉𝐽 ob(ξ + ∆ξ 2 , ξ − ∆ξ 2) (3-20c) = ∫ 𝑑∆𝜉 𝐴ℎ(∆𝑢, ∆𝑥 − ∆𝜉)Aob(∆𝑢, ∆ξ) (3-20d) = 𝐴𝑜𝑏(∆𝑢, ∆𝑥) ⊗∆𝑥𝐴ℎ(∆𝑢, ∆𝑥) (3-20e) 其中方程式(3-20a)到(3-20b)，由座標(𝜉1, 𝜉2)轉換到(𝜉, ∆𝜉)的雅可比行列式(Jacobian determinate)值為 1。經過座標轉換與整理後，可得到影像在像平面上的模糊函數，為物 平面上的模糊函數與點擴散函數在∆𝑥坐標軸上的摺和積分。根據方程式(3-14)，物體純 量場的能量頻譜密度與模糊函數關係為 𝐴𝑜𝑏(∆𝑢, 0) = ∫ 𝑢𝑜𝑏(𝜉)𝑢𝑜𝑏∗ (𝜉)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝜉𝑑𝜉 (3-21) 代表物體的純量場在各個空間頻率成分的強度。而根據方程式(2-34)的定義，點擴散函 數的模糊函數與相互頻譜的關係為 𝐴ℎ(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ ℎ (𝑥 +∆𝑥2) ℎ∗(𝑥 −∆𝑥 2) 𝑒 −𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝐻 (𝑢 +∆𝑢2) 𝐻∗(𝑢 −∆𝑢 2)𝑒 𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑𝑢 (3-22)
其中𝐻(∆𝑢)代表光學系統的同調傳遞函數(Coherence transfer function; CTF or Amplitude
29 系統點擴散函數呈ℎ(𝑥)傅立葉轉換的關係。當方程式(3-22)中的∆𝑥變數等於 0 時 𝐴ℎ(∆𝑢, 0) = ∫ 𝐻 (𝑢 +∆𝑢2) 𝐻∗(𝑢 −∆𝑢 2) 𝑑𝑢 = 𝑂𝑇𝐹 (3-23) 同調傳遞函數的自相關運算(autocorrelation)，也就是非同調光學系統的光學傳遞函數， 意即影像純量場各空間頻率成分經過光學系統被調製的情況。當方程式(3-20e)中的∆𝑥變 數為 0，可得影像的能量頻譜等於物體的能量頻譜乘上系統的光學傳遞函數 𝐴𝑖𝑚(∆𝑢, 0) = 𝐴𝑜𝑏(∆𝑢, 0)𝐴ℎ(∆𝑢, 0) (3-24)。 目前為止，證明了當模糊函數中的∆𝑥等於 0 時即等於系統的光學傳遞函數，此關係 最常被利用於離焦光學系統的模擬，此內容將於章節五中詳細說明。 3.3 模糊函數與韋格納分布函數於光學系統內之連結 (Connection of AF and WDF in optical system)
在分別說明了韋格納分布函數與模糊函數在光學上的意義後 ，接著要將兩方理論
透過傅立葉切片原理(Fourier slice theorem)[13]作連結，使此理論在光學系統上應用性
更為廣泛。
3.3.1 傅立葉切片原理(Fourier slice theorem)
傅立葉切片原理是傅立葉轉換在多維度的擴展，可廣泛的應用於各種影像技術，
如電腦斷層掃瞄(CT)影像的重建[20]，Ng 的光場相機亦使用此理論來提高計算機重建
影像的速度[13]。其定義如下
Fourier slice theorem： 𝐹𝑀。𝐼
𝑀𝑁 = 𝑆𝑀𝑁。𝐹𝑁 (3-24) 其中 𝐹𝑀為傅立葉轉換運算子，表示將方程式中的𝑀個維度作傅立葉轉換。𝐼𝑀𝑁為投影運 算子，將𝑁維方程式的𝑀個維度作積分投影。而𝑆𝑀𝑁為切片運算子，表示取出𝑁維方程式 中的𝑀個維度為 0 的值。我們目標是證明方程式(3-24)等號左右兩側作用於同一方程式 上有相同的結果。 首先定義一個具有𝑁個維度的方程式 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) (3-25)
30 將(3-24)等號左側作用於方程式上 𝐹𝑀。𝐼𝑀𝑁[𝑓(𝑥 1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁)] = 𝐹𝑀。 ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁] 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑀𝑢𝑀)𝑑𝑥 1… 𝑑𝑥𝑀 = ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑀𝑢𝑀)𝑑𝑥 1… 𝑑𝑥𝑀𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁 (3-26) 而(3-24)等號右側運算子作用於方程式上將得到 𝑆𝑀𝑁。𝐹𝑁[𝑓(𝑥 1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁)] = 𝑆𝑀𝑁。 ∫ 𝑓(𝑥 1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑁𝑢𝑁)𝑑𝑥1… 𝑑𝑥𝑀𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁 = ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑀𝑢𝑀+𝑥𝑀+10+⋯+𝑥𝑁0)𝑑𝑥 1… 𝑑𝑥𝑀𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁 = ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) 𝑒−𝑖2𝜋(𝑥1𝑢1+⋯+𝑥𝑀𝑢𝑀)𝑑𝑥1… 𝑑𝑥𝑀𝑑𝑥𝑀+1𝑑𝑥𝑀+2… 𝑑𝑥𝑁 (3-27) 最後方程式(3-26)與方程式(3-27)有相同的結果，證明了方程式(3-24)中的傅立葉切片原 理。若考慮輸入方程式只有二維的簡單情況 𝐹1。𝐼12 = 𝑆 12。𝐹2 𝐹1。𝐼 12[𝑓(𝑥1, 𝑥2)] = ∫ 𝑓(𝑥1, 𝑥2) e−𝑖2𝜋𝑥1𝑢1𝑑𝑥1𝑑𝑥2 = 𝑆12。𝐹2[𝑓(𝑥1, 𝑥2)] (3-28) 本節證明了傅立葉切片原理，下一節中我們將把它應於連結韋格納分布函數與模糊函 數。 3.3.2 韋格納分布函數與模糊函數於光學上的連結 (Connection of AF and WDF in optical system)
31 根據 3.1 節的推導結果，系統中某平面上純量場的韋格納分布函數𝑊(𝑥, 𝑢)在特定條 件下，即等於此平面上的可視光場，其中𝑥描述了位置，𝑢則代表了光線行進的方向，𝑊 的值代表強度。Tom[18]等人提出韋格納分布函數的𝑢方向做投影即為純量場的強度，也 就是影像 𝐼(𝑥) = ∫ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑑𝑢 = ∫ ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥) 𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥𝑑𝑢 = ∫ 𝑑∆𝑥𝐽(𝑥, ∆𝑥) ∫ 𝑑𝑢𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥 = ∫ 𝑑∆𝑥𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝛿(∆𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑢∗(𝑥) = |𝑢(𝑥)|2 (3-29) 物理圖像為將此位置上各個方向的光線匯集起來，即為影像。值得一提的是，韋格納分 布函數會有負值出現，這在觀念上並不合理。其原因是我們將韋格納分布函數應用於光 學上，但根據 Bastiaans [3]的說明，我們並無法找出一種完美的方程式來描述幅度學上 的所有現象。不過經過了方程式(3-29)的證明，我們將韋格納分布函數作投影，將得到非 負的結果。 另一方面，若將韋格納分布函數的兩個維度皆作傅立葉轉換 ∬ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑒−𝑖2𝜋(𝑥∆𝑢+𝑢∆𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑢 = ∬[∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥]𝑒−𝑖2𝜋(𝑥∆𝑢+𝑢∆𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑢 = ∫ 𝐽̃(∆𝑢, 𝑢)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑𝑢 = 𝐴(∆𝑢, −∆𝑥) (3-30) 其結果為倒置的模糊函數。如圖 3-4 所示，引入傅立葉切片原理，取出倒置模糊函數的 ∆𝑥 = 0切片，即𝐴(∆𝑢, 0)，根據 3.2 節的推導，此式就是能量頻譜密度，將方程式(3-29) 做轉換結果亦為能量頻譜密度。倘若我們輸入系統內的為同調脈衝點光源，則傳播至系 統像平面上的韋格納分布函數作方程式(3-29)運算的結果即為點擴散函數的強度。若考 慮非同調系統下點擴散函數強度的傅立葉轉換即為光學傳遞函數。
32 圖 3-4：WDF 與 AF 在光學系統上的連結。 而在本節中我們使用了傅立葉切片原理將章節 3.1 與 3.2 做了完整的連結，強化了 韋格納分布函數與模糊函數在光學系統中應用。目前為止，對於韋格納分布函數與模糊 函數在光學系統中傳播是如何變化並為詳細說明，此部分將於下一節中陳述。 3.4 韋格納分布函數與模糊函數於系統中的傳播 (Propagation of AF and WDF in optical system)
隨著純量場在光學系統中傳播，可以透過純量繞射理論推算出傳播至不同位置時， 純量場的分布情形。同樣地，相互強度、韋格納分布函數與模糊函數亦可透過理論計算 傳播後的分布情形。本節內容的將介紹韋格納分布函數與模糊函數在系統中傳播的變化 情形。
3.4.1 相互強度的傳播(Propagation of mutual intensity)
自由空間中傳播 (Free-space propagation)
在本小節中，我們將探討相互強度在空間中傳播的情形，進而在下一小節中利用本 節所推論出的結果推算出韋格納分布函數與模糊函數在空間中傳播的變化情形。
33 圖 3-5：相互強度於空間中的傳播。 首先考慮一個單色光純量場在空間中傳播，如圖 3-5 所示[14]。在Σ2面上的相互強 度為： 𝐽𝑜(𝑥1, 𝑥2) =< 𝑢(𝑥1, 𝑡)𝑢∗(𝑥2, 𝑡) > (3-31) 根據惠更斯費涅爾定理，則可將其與前方Σ1面上的相互強度連結 𝐽𝑜(𝑥1, 𝑥2) = ∫ ∫ Σ 1 < 𝑢 (𝜉1, 𝑡 − 𝑟1 𝑐) 𝑢 ∗(𝜉 1, 𝑡 − 𝑟2 𝑐) > χ(θ1) λr1 χ(θ2) λr2 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 Σ1 = ∫ ∫ 𝐽Σ1 𝑖(𝜉1, 𝜉2)𝑒− 𝑖2𝜋 𝜆 (𝑟1−𝑟2) χ(θ1) λr1 χ(θ2) λr2 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 Σ1 (3-32) 考慮近軸情況，則可將振幅項近似為 𝜒(𝜃1) 𝜆𝑟1 =̃ 𝜒(𝜃2) 𝜆𝑟2 =̃ 1 (𝜆𝑧)2 (3-33) 相位項內的𝑟1與𝑟2近似為 𝑟1 =̃ 𝑧 +(𝑥1−𝜉1)2 2𝑧 𝑟2 =̃ 𝑧 + (𝑥2−𝜉2)2 2𝑧 (3-34) 方程式(3-32)便可近似改寫成 𝐽𝑜(𝑥1, 𝑥2) =̃ 1 (λ𝑧)2∫ ∫ 𝐽Σ1 𝑖(𝜉1, 𝜉2)𝑒 −𝑖2𝜋 2𝜆𝑧(|𝑥1−𝜉1| 2−|𝑥 2−𝜉2|2)𝑑𝜉 1𝑑𝜉2 Σ1 (3-35) 此式即為近軸情況下，相互強度在空間中傳播的變化。 行經元件與光柵 (Passing through element or grating)
34 𝑢𝑜(𝑥; 𝑡) = 𝐵(𝑥)𝑢𝑖(𝑥; 𝑡 − 𝛿) (3-36) 𝐵(𝑥)代表元件對於波振幅的調製。其中 𝛿 =𝑑(𝑥) 𝑣2 + 𝑑0−𝑑(𝑥) 𝑣1 = 𝑛2−𝑛1 𝑐 𝑑(𝑥) + 𝑛1𝑑0 𝑐 (3-37) 同樣是考慮單色光入射的情形𝑢𝑖(𝑥; 𝑡) = 𝐴𝑖(𝑥; 𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑣𝑡。則 𝐽𝑜(𝑥1, 𝑥2) =< 𝑢𝑜(𝑥1, 𝑡)𝑢𝑜∗(𝑥2, 𝑡) > = 𝐵(𝑥1)𝐵(𝑥2) < 𝑢𝑖(𝑥1, 𝑡 − 𝛿(𝑥1))𝑢𝑖∗(𝑥 2, 𝑡 − 𝛿(𝑥2)) > = 𝐵(𝑥1)𝐵(𝑥2)𝑒−𝑖2𝜋𝑣(𝛿(𝑥1)−𝛿(𝑥2)) ×< 𝐴𝑖(𝑥1; 𝑡 − 𝛿(𝑥1) + 𝛿(𝑥2))𝐴𝑖∗(𝑥 2, 𝑡2) > (3-38) 在單色光條件下|𝛿(𝑥1) + 𝛿(𝑥2)| ≪ 𝜏𝑐 = 1 ∆𝑣，故可將方程式(3-38)進一步化簡 𝐽𝑜(𝑥1, 𝑥2) = 𝑡(𝑥1)𝑡∗(𝑥2)𝐽𝑖(𝑥1, 𝑥2) ≡ 𝐽𝑡(𝑥1, 𝑥2)𝐽𝑖(𝑥1, 𝑥2) (3-39) 其中𝑡(𝑥)為元件的穿透函數。𝐽𝑡(𝑥1, 𝑥2)如圖 3-6，可視為平面波通過此元件後的相互強度。 因此，一個純量場通過一個薄元件後的相互強度為入射場的相互強度乘上元件的相互強 度。注意到，元件可能是透過折射係數的變化而非不同厚度以提供不同位置上的相位差， 只要知道元件的穿透函數，此法亦可適用。 圖 3-6：薄元件對入射單色光相互強度的影響。
35 3.4.2 韋格納分布函數的傳播 (Propagation of WDF) 自由空間中傳播 (Free-space propagation) 我們在上小節中推導了近軸情況下，相互強度在空間中隨著傳播變化的情形，最後 結果即方程式(3-35)。接著我們引入方程式(2-26)與(3-19a)的關係式，將其座標作基底轉 換並經過整理後可得 𝐽𝑜(𝑥, ∆𝑥) =(λ𝑧)1 2∬ 𝐽𝑖(𝜉, ∆𝜉)𝑒− 𝑖2𝜋 𝜆𝑧(𝑥∆𝜉+𝜉∆𝑥−𝑥∆𝑥−𝜉∆𝜉)𝑑𝜉𝑑∆𝜉 (3-40) 此座標轉換的雅可比行列式為 1。在Σ2面上的韋格納分布函數為 𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝐽𝑜(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 = (λ𝑧)1 2∫ 𝑑∆𝜉 ∫ 𝑑𝜉𝐽𝑖(𝜉, ∆𝜉)𝑒− 𝑖2𝜋 𝜆𝑧(𝑥∆𝜉−𝜉∆𝜉)∫ 𝑑∆𝑥𝑒𝑖2𝜋[ 𝑥 𝜆𝑧− 𝜉 𝜆𝑧−𝑢]∆𝑥 (3-41) 切記，以上所有過程為了簡化形式，將與光軸垂直平面(即 x-y 平面)的基底座標以一個 二維的向量表示 ∆𝑥 = [∆𝑥∆𝑦]𝑡, 𝑑∆𝑥 = 𝑑∆𝑥𝑑∆𝑦 因此，方程式(3-37)中與∆𝑥相關的積分結果為 ∫ 𝑑∆𝑥𝑒𝑖2𝜋[ 𝑥 𝜆𝑧− 𝜉 𝜆𝑧−𝑢]∆𝑥 = (𝜆𝑧)2𝛿(𝑥 − 𝜉 − 𝜆𝑧𝑢) (3-42) 代入方程式(3-37)中可得 𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝑑∆𝜉 ∫ 𝑑𝜉𝐽𝑖(𝜉, ∆𝜉)𝑒− 𝑖2𝜋 𝜆𝑧(𝑥∆𝜉−𝜉∆𝜉)𝛿(𝑥 − 𝜉 − 𝜆𝑧𝑢) = ∫ 𝑑∆𝜉𝐽𝑖(𝑥 − 𝜆𝑢𝑧, ∆𝜉)𝑒− 𝑖2𝜋 𝜆𝑧(𝑥∆𝜉−(𝑥−𝜆𝑢𝑧)∆𝜉) = ∫ 𝑑∆𝜉𝐽(𝑥 − 𝜆𝑢𝑧, ∆𝜉)𝑒−𝑖2𝜋(𝑢∆𝜉) = 𝑊𝑖(𝑥 − 𝜆𝑢𝑧, 𝑢) (3-43) 最後可得光場在空間中傳播，其韋格納分布函數變化的情形是在空間座標𝑥軸上以切變 的形式改變。 自另一個觀點，在本章第一節中我們利用韋格納分布函數將波動學純量場與幾何光 線追跡的光場技術做連結。在考慮一階光學(first order optics)的簡單情況之下，韋格納分
36
布函數也遵守幾何光學的線性轉換，即光線轉換矩陣(ray transfer matrix)，又常稱 ABCD
矩陣[21]，其定義如下 [𝑥𝜃𝑜 𝑜] = [ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷] [ 𝑥𝑖 𝜃𝑖] (3-44) [𝑥𝑖𝜃𝑖]𝑡代表輸入光線的位置與角度。[𝑥 𝑜𝜃𝑜]𝑡則描述經過 ABCD 矩陣作用後輸出的光線。 在一階光學的前提假設之下，我們所考慮的系統為近軸情況，空間頻率與光線行進角度 的關係為 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜆 ≈ 𝜃 𝜆 (3-45) 如圖 3-5，點光源入射單透鏡成像系統，透過 ABCD 矩陣作用，描述韋格納分布函數在 各位置的變化情形。 光線在空間中傳播一段距離𝑧，ABCD 代表矩陣為， [𝐴 𝐵 𝐶 𝐷]𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 = [1 𝑧 0 1] (3-46) 將此矩陣與方程式(3-33)代入韋格納分布函數中，可得到傳播一段距離𝑧後的韋格納分函 數與輸入的韋格納分布函數關係 𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = 𝑊𝑖(𝑥 − 𝜆𝑢𝑧, 𝑢) (3-47) 其中𝑊𝑖與𝑊𝑜 分別代表輸入前與輸出後的韋格納分布函數。此方程式的結果與方程式(3-43)，也就是自相互強度的傳播，推導至韋格納分布函數傳播的結果相同，間接驗證了韋 格納分布函數可用於與幾何光場技術的連結。
37
圖 3-7：透過 ABCD 矩陣作用於韋格納分布函數，描述光場在單透鏡成像系 統內各位置的變化情形。
行經元件與光柵 (Passing through element or grating)
在第一階光學前提之下，光學系統中大多數的元件皆有其代表的 ABCD 矩陣，除了 如方程式(3-44)代入矩陣中得到𝑊𝑜與𝑊𝑖關係之外，亦可透過方程式(3-39)延伸，得到𝑊𝑜 𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝐽𝑜(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 = ∫ 𝐽𝑖(𝑥, ∆𝑥)𝐽𝑡(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 = ∫ 𝐽𝑖(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 ⊗𝑢∫ 𝐽𝑡(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 = 𝑊𝑖 ⊗𝑢𝑊𝑡= ∫ 𝑊𝑖(𝑥, 𝛼 − 𝑢)𝑊𝑡(𝑥, 𝛼)𝑑𝛼 (3-48) 其中𝑊𝑡(𝑥, 𝛼)代表平面波穿越此元件(如圖 2-6)後的韋格納分布函數，元件的穿透函數為 𝑡(𝑥)，則 𝑊𝑡 = ∫ 𝑡 (𝑥 +∆𝑥 2) 𝑡 ∗(𝑥 −∆𝑥 2) 𝑒 −𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 (3-49) 以一個焦距為𝑓的薄透鏡為例，其代表 ABCD 矩陣為 [𝐴 𝐵 𝐶 𝐷]𝑡ℎ𝑖𝑛𝑙𝑒𝑛𝑠 = [ 1 0 −1 𝑓 1] (3-50) 則穿過薄透鏡後 𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = 𝑊𝑖(𝑥, 𝑢 − 𝑥 𝑓𝜆) (3-51) 現在改以方程式(3-35)的關係求其 WDF 變化。焦距𝑓薄透鏡的穿透函數為
38 𝑡(𝑥) = 𝑒𝑖𝑘 𝑥2 2𝑓 (3-52) 其相互強度 𝐽(𝑥, ∆𝑥) = 𝑒𝑖𝑘 𝑥∆𝑥 𝑓 (3-53) 則平面波穿過此薄透鏡後，韋格納分布函數變為 𝑊𝑡(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝑒−𝑖2𝜋(𝑢− 𝑥 𝑓𝜆)∆𝑥𝑑 ∆𝑥 = 𝛿(𝑢 − 𝑥 𝑓𝜆) (3-54) 代入方程式(3-48)中得到 𝑊𝑜(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝑊𝑖(𝑥, 𝛼 − 𝑢)𝛿(𝑢 − 𝑥 𝑓𝜆)𝑑𝛼 = 𝑊𝑖(𝑥, 𝑢 − 𝑥 𝑓𝜆) (3-55) 此結果與方程式(3-51)利用 ABCD 矩陣計算的結果相同。若光所穿過的元件為光柵 等具有繞射或干涉效應的元件時，因為無法找到對應的 ABCD 矩陣而不可行。但可找到 透過方程式(3-36)，找到光柵的韋格納分布函數𝑊𝑡。並透過方程式(3-35)找到光經過光柵 或繞射元件後的韋格納函數分布。此特性即為使用韋格納分布函數做光學系統設計，較 幾何光線追跡的光場技術所強大之處。 成像投影 (Imaging projection) 如方程式(3-29)所描述的，光學系統中某個平面上所看到的影像為韋格納分布函數 的積分 𝐼(𝑥) = ∫ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑑𝑢 (3-56) 並如同 3.3.2 節中所描述的，此積分輸出非負值。 3.4.3 模糊函數的傳播 (Propagation of AF) 根據 Guigay[5]所推導的，同樣在空間中傳播時，模糊函數與韋格納分布函數類似， 可透過相互強度傳播或是線性的座標轉換求傳播後的模糊函數。推導的方法與過程與前 一小節相同。 自由空間傳播 (Free-space propagation) 𝐴𝑧(∆𝑢, ∆𝑥) = 𝐴(∆𝑢, ∆𝑥 − 𝜆𝑧∆𝑢) (3-57)
