(Mutual intensity and Wigner distribution function)
前一節介紹了同調性理論與相互同調函數的意義，本節則要將相互同調函數加以延 伸，並連結至本論文的中心：韋格納分布函數理論與應用[2,5]。
相互強度(mutual intensity)
如圖 2-5 所示，空間中有一純量場𝑢(𝑥, 𝑡)，為了簡化形式，以向量𝑥 = [𝑥𝑦]𝑡表示。
在考慮特定時間𝑡下，空間中兩點𝑥1與𝑥2的相關性(correlation)或同調性(coherence)可表示 成
𝛤12(𝑥1, 𝑥2; 𝜏) = 〈𝑢(𝑥1, 𝑡 + 𝜏)𝑢∗(𝑥2, 𝑡)〉 (2-25)
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圖 2-5：相互同調函數示意圖與其座標轉換。
其值越大代表兩點的關聯性愈高，反之則愈低。使用座標轉換，令 𝑥 =𝑥1+𝑥2
2 , ∆𝑥 = 𝑥1− 𝑥2 (2-26) 則方程式(2-25)可改寫成
𝛤12(𝑥, ∆𝑥; 𝜏) = 𝛤(𝑥, ∆𝑥, 𝜏) = 〈𝑢 (𝑥 +∆𝑥
2 ; 𝑡 + 𝜏) 𝑢∗(𝑥 −∆𝑥
2 ; 𝑡)〉 (2-27) 當入射純量場為單色光(quasi-monochromatic)，光到達兩位置上的時間差遠小於同調時 間(𝜏𝑐 = 1
∆𝑣)，可針對方程式(2-27)中與時間項無關的項目作探討，則 𝛤(𝑥, ∆𝑥; 0) = 〈𝑢 (𝑥 +∆𝑥
2 ; 𝑡) 𝑢∗(𝑥 −∆𝑥
2 ; 𝑡)〉 ≡ 𝐽(𝑥, ∆𝑥) (2-28) 𝐽(𝑥, ∆𝑥)稱為相互強度(mutual intensity)，用於描述單色光的空間同調性質。當描述的兩 點所指同一位置，𝑥1 = 𝑥2或是∆𝑥 = 0時，有最大的同調值
𝐽(𝑥, 0) = 〈𝑢(𝑥)𝑢∗(𝑥)〉 = |𝑢(𝑥)|2 (2-29) 等於純量場在𝑥位置上的強度。當入射光為單色光時，兩位置的相互同調函數以相互強 度取代可化簡過程。如圖 2-6 所示，一道完全同調的單頻平面波入射雙狹縫上，雙狹縫 上的相互同調函數可以相互強度表示。
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圖 2-6：雙狹縫的相互同調函數。
韋格納分布函數(Wigner distribution function；WDF ) 韋格納分布函數的定義為
𝑊(𝑥, 𝑢) = ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋𝑢∆𝑥𝑑∆𝑥 (2-31) 是將相互強度𝐽(𝑥, ∆𝑥)中的位移空間座標(∆𝑥)透過傅立葉轉換，映射到局部空間頻率(u:
local spatial frequency)或角譜資訊(slope, angular spectrum)。如圖 2-7，平面波入射一寬 度極小之單狹縫，一旦考慮的兩點距離∆𝑥超過狹縫的間距，則其中一位置不在狹縫 上，其相互強度為零。兩點的位置差與角譜互為傅立葉轉換，如公式(2-31)所示。透過 WDF 可同時描述一個場的空間(x)與頻譜(u)資訊。
模糊函數(Ambiguity function；AF )
模糊函數在最著名的應用是在設計雷達時所用的訊號理論[16]，與待測物體移動造 成反射訊號的都卜勒效應有關。而在相位光學中[5]，模糊函數是將相互強度𝐽(𝑥, ∆𝑥)中 的空間座標(𝑥)透過傅立葉轉換，映射到空間頻率或頻譜資訊上。其定義如下
𝐴(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋∆𝑢𝑥𝑑𝑥 (2-32) 當狹縫寬度很小，近似為點光源，便展延𝑥座標上的空間頻率，如圖 2-7(d)所示。其中模 糊函數與韋格納分布函數兩者具有傅立葉對偶關係(Fourier dual)
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𝐴(∆𝑢, ∆𝑥) = ∫ 𝑊(𝑥, 𝑢)𝑒−𝑖2𝜋(∆𝑢𝑥−𝑢∆𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑢 (2-33) 而模糊函數在光學系統上有一個著名的應用，是模糊函數與光學系統之調製傳遞函數 (Modulation transfer function; MTF)的關係，其連結原理我們將在第四章內詳細描述。在 本節的最後，我們提及相位空間中最後一個函數：相互頻譜(mutual spectrum)。其定義為
𝐽
̃(∆𝑢, 𝑢) = ∫ 𝐽(𝑥, ∆𝑥)𝑒−𝑖2𝜋(𝑢∆𝑥+∆𝑢𝑥)𝑑∆𝑥 𝑑𝑥
= 𝑈(𝑢1)𝑈∗(𝑢2) (2-34) 𝑈(𝑢)是純量場𝑢(𝑥)在頻域中的表現。此式代表自頻域中看兩純量場的相關性或同調性。
與相互同強度呈現傅立葉對偶關係。
圖 2-7：點光源在相位空間內的四種描述函數。
光源在空間中傳播的行為與其同調性有關，圖 2-8[17]為一面光源在不同的同調條件 下，光場的行為。(a)為完全同調光源，空間上不同位置皆有最大的同調強度值 𝐽(𝑥, ∆𝑥) = 1，則其韋格納分布函數𝑊(𝑥, 𝑢) = 𝛿(𝑢)，代表光線具有極高的準直性。(c)完全非同調，
唯有同一位置上有同調強度值，不同位置上的同調強度皆為零，𝐽(𝑥, ∆𝑥) = 𝛿(𝑥)，其韋 格納分布函數𝑊(𝑥, 𝑢) = 1，所有位置皆發出各個方向的光，為朗伯(Lambertian)形式。(b) 則為部分同調的情況，介於完全同調與完全非同調之間。
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圖 2-8：以韋格納分布函數解釋不同光源特性。
[資料來源:W. Singer et al., Handbook of Optical Systems.]