第一節 第一節
第一節 兒童幾何概念之發展 兒童幾何概念之發展 兒童幾何概念之發展 兒童幾何概念之發展
目前我國在幾何課程的理論基礎，多以Piaget及van Hiele的幾何理論為主，
Piaget認為兒童從幾何概念的認知發展、形成概念和運思程序，最後才形成測量 概念；另外van Hiele幾何概念為階層理論，由實體至分析再至抽象數學思考、推 理能力。兩位學者的理論內容分述如下。
壹、Piaget and Inhelder 的幾何發展理論
Piaget and Inhelder(1967)從認知心理學的角度，研究學童的幾何概念發展共 分三個階段。且多位學者研究指出，其概念的發展是有先後順序，分別是：拓樸 學概念、投影幾何學與歐氏幾何學（Copeland, 1974; Smock,1976; Clements and Battista, 1992）。國內亦有學者指出，兒童在低年級時大都已發展到歐氏幾何學（吳 貞祥，1980）。兒童幾何概念三個階段分述如下：
一、拓樸幾何概念（Topological concepts or structure）階段（4 歲前）：
此時期的兒童無法察覺構成左右或曲直的不同因子，簡直言無法分辨左與 右，彎曲或直線；相對的，在長度與角度的差異，也不能做詳細的判斷。在幾何 形體的具體表現如下：對於四邊形與圓形無法判定，因為他們都覺得是封閉的圖 形，同時在畫圖的表現上亦是如此。
屬於運思前期（Preoperational stage），兒童只能掌握基本圖形的拓樸概念，
分辨圖形屬於開放或是封閉，並不具邊與角及長度的觀念。
二、投影幾何概念（Projective geometry）階段（4~6 歲）：
兒童在幾何的表現以本身的視覺為主，其具體內容舉例如下：兒童在面對平 行的火車軌道時，當距離愈遠時，兒童會認為軌道「真的」變窄且變小，而不只 在視覺上呈現的不同方式而已。又如拿取一張正方形色紙在兒童面前，當此色紙 移到另一處而距離兒童較遠時，此時兒童亦會認為是色紙變小，而且連形狀也改 變了；若將色紙移回原位置時，兒童又會覺得大小及形狀回復回原本的樣子。
此 階 段 屬 於 運 思 前 期 （ Preoperational stage ） 至 具 體 運 思 期 （ concrete operational stage）的過渡時期，此時兒童對外界的認知（Cognition），以自己本 身所在視覺的觀點為主，凡經過視覺認定的事物，才認為是真正的存在；相反的，
若非視覺所認定的，即認為那並不是真實的。此時，兒童認為物體能因為視覺的 感受不同而產生變化。
三、歐幾里德幾何概念（Euclidean geometry）階段（6~8 歲）：
此階段兒童已從視覺迷惑中跳脫，發展至下列幾何性質的保留性：線段長 短、角度大小以及面積大小的保留性。
歐幾里德幾何學是從全等變換（Congruent Transformation）的原則來探討圖 形的不變定律，此時的兒童認為，物體不管如何移動，其形狀、大小皆不再改變。
兒童最初會以「手的遷移」及「軀幹遷移」來測量身邊的事物，進步到以量尺來 進行測量各種幾何性質。
綜合而言，皮亞傑認為兒童的幾何概念發展，按照此三個階段依序發展，其 中國小學童已發展至歐幾里德的幾何概念階段，特別在面積的保留性已經初步具 備，本研究主要探討三年級的面積概念發展，在此亦提供相關的理論根據。
貳、van Hiele 的幾何階層理論
國內多項學者研究指出，八十二年版及九年一貫課程的數學教材，其幾何的 部分與van Hiele幾何階層發展順序相符（朱建正，1999；吳德邦，2003；朱莉文，
2005）。而中年級學童可以達到層次一，高年級學童大約介於層次二至層次三之
間（林軍治，1992；劉好，1998）。可見van Hiele之幾何發展理論於我國數學幾 何教材之重要性。
van Hiele的幾何發展理論共分為五個層次，可是國內外各有不同的表述方 式，有的從「零至四」層次，亦有從「一至五」層次，本研究以van Hiele(1986) 對層次的說法，分述如下：
一、層次一：視覺(visual)層次
此階段之兒童能根據形體外觀來辨識長方形與正方形，並且能以長方形與正 方形之口語表達出，但無法了解其組成特徵，如：長方形有四個直角而正方形有 邊長相等的特徵；又如兒童可能將圖形像「門」的形體視為長方形，並非因其具 有四個直角或四個邊。亦即兒童可辨別、稱呼、比較幾何圖形，卻無法了解這些 圖形的組成要素，並非依圖形的屬性、特質來辨識圖形，而以物體之外觀輪廓來 思考形狀。
二、層次二：描述(descriptive)層次
此階段兒童不再只靠視覺的外觀來判定圖形，可由圖形的組成要素來辨認整 個圖形，也可由一個圖形來分析其構成的要素，即可以根據其幾何性質來辨識幾 何圖形。可以知道旋轉一個正方形，並不影響其原本的幾何性質；亦可知正方形 有四個等長的邊及四個直角，菱形之對角線互相垂直平分，可是卻無法接受正方 形也是菱形的一種。亦即僅能由視覺來察覺圖形的組成要素，並不能經由推理的 方式得知圖形特徵之間的關係，而無法整理出圖形之間的類別。
三、層次三：理論(theoretical)層次
此階段之學童在形狀之判別歸類上，已可知道正方形可以滿足菱形與長方形 的所有必要條件，所以正方形是菱形的一種，而正方形也是長方形的一種，但其 仍無法以有組織的方式來表達。亦即了解圖形之間的相互關係，也很清楚各種圖 形的構成要素，明瞭圖形的包含與屬性的關係，來進行圖形的非形式推理，但仍 不能作有系統的證明。
四、層次四：形式演繹(formal deduction)層次
此階段之學童能了解充分及必要條件的關係，透過系統的演繹、抽象推理的 過程，來證明各種幾何問題。能了解數學假設和定理的觀念，來表達出定理的證 明，亦可知道證明的方式可能在一種以上。
五、層次五：邏輯法則本質(the nature of logical laws)層次
此層次並非大多數學童可以達成，達此層次者，具備不依賴具體事物的輔 助，而進行高度抽象思考能力，不但可以了解公設化系統的意義，更可以在不同 的公設體系中進行比較推論，甚至能建立定理成為可推廣事件。舉例來說，能進 行歐幾里得幾何與非歐幾何之間的系統分析。
綜合而言，Piaget及van Hiele的幾何理論對我國數學教材的編排，有很大的 參考價值與影響。本研究的對象為國小三年級學童，已發展至Piaget幾何概念發 展的「歐幾里德幾何概念」；而在van Hiele幾何階層發展理論上，皆已達到第一 階層，而逐漸進入到第二個階層。其幾何概念仍以視覺為主，面積保留概念已初 步完成。教學上仍應以具體物體來輔助教學，讓兒童進行觸摸、操作、感覺來探 究幾何世界，而不應只靠知識的傳遞。
第二節 第二節 第二節
第二節 九年一貫課程綱要分析 九年一貫課程綱要分析 九年一貫課程綱要分析 九年一貫課程綱要分析
壹、量的學習階段與教學要點
九年一貫課程的數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三 年級，階段二為四至五年級，階段三為六至七年級，階段四為八至九年級。本研 究對象為國小三年級學童，其階段目標為：「能掌握數、量、形的概念」；並期望 在小學畢業前，能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積公式。
「面積」單元屬於「量與實測」中長度、重量、容量、時間、角度、面積、
體積七種量的其中之一，除「時間」之外，其他六種量皆需經歷四個階段，所以
「面積」具有如表 2-1 之四個階段發展特性：
一些指標是量與幾何共用。
綜合而言，國小三年級學童必須能掌握數、量、形的概念，同時已發展至階 段二的間接比較與個別單位比較；同時面積單元常與幾何主題有多處重疊，教學 上必須注意並相通互用，以求相輔相成之效果。
貳、國小階段面積相關能力指標與分年細目
本研究對象為國小學童，以下為國小面積教材，屬於「數與量」主題 下的「量與實測」中面積相關的能力指標，整理如表 2-2；其分年細目整 理如表 2-3：
表 2-2 國小階段面積相關能力指標（教育部，2003）
階段 指標代號 能 力 指 標
N-1-14 能對兩個同類量作直接比較。
N-1-15 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。
一
N-1-16 能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和刻度結 構，並解決同單位量的比較、加減與簡單整數倍的問題。
N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。
N-2-16 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，作不同單位 間的換算。
N-2-17 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。(S-2-07) 二
N-2-19 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公 式。（S-2-08）
N-3-15 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面 積。（S-3-03）
N-3-16 能 理 解 圓 面 積 與 圓 周 長 的 公 式 ， 並 計 算 簡 單 扇 形 面 積 。
（S-3-04）
三
N-3-17 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。
表 2-3 國小階段面積相關分年細目（教育部，2003）
了解可分為「知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解以及論述性的了解」，
綜合而言，教師在幾何主題的教學上，應讓學童具有不同的了解類型；而國 內研究者發現，此四種認知理解方式，並沒有好壞之分，皆能協助學習者對於圖 形的思考方式（左台益，2003）。同時課綱中幾何主題的說明亦提到，應讓學童 拓展其幾何直覺，從操作中認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的 推理性質與彼此間的關係。
第三節 第三節 第三節
第三節 面積概念之分析 面積概念之分析 面積概念之分析 面積概念之分析
譚寧君（1995b,1998a）曾提出面積概念的教學應該包含三個部分，即：面 積保留概念的形成、面積測量概念的建立與面積估測概念的培養。以下就三大部 份分析如下：
壹、面積保留概念
Piaget（1960）指出「面積保留概念」為兒童的一種認知能力，即物件經過 某種轉換後其面積仍然保持不變的能力。而譚寧君（1995）補充提到其能瞭解面 積的大小，不會因為方向和位置的改變而有所不同，亦不會因為切割後而有所改 變，這種概念是持續不斷的發展，而非一蹴可幾。其包含二種不同的層次，分述 如下：
一、基本面積保留概念
此層次代表任何封閉範圍內面積的大小，不因平移、旋轉、切割及位置改變 而改變其面積大小。如一個正方形是由兩個三角形組合而成，若移動其中一個三 角形至另一側形成新的圖形，則新的圖形並不會因此而改變面積大小(譚寧君，
1995)。
Hutton（1978）也做過基本面積保留概念的實驗，向 48 名 11 歲的學童展示
二個全等的長方形 將其中一個三角形移至另外一側而形成
和 二種圖形，此時就有 9 名學童表示二者面積不同。類似
的實驗亦見於二個圓形的圖形翻轉，此時有更多的學童表示二者面積不同。
的實驗亦見於二個圓形的圖形翻轉，此時有更多的學童表示二者面積不同。