國小三年級學童面積概念結構分析之研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：許天維. 博士. 國小三年級學童面積概念結構分析之研究. 研究生：張志吉撰. 中. 華. 民. 國. 一. 百. 年. 五. 月.

(2) 中文摘要本研究旨在探討國小三年級學童，其面積概念之理解情形，並藉由試題關聯結構分析法（簡稱 IRS），來了解其知識結構的分布情形。本研究以臺中縣某國小剛升上四年級的學童為對象，並根據測驗所得之結果，得到下列幾點發現：一、國小三年級學童「面積判別概念」通過率相當低，顯示此概念於三年級學童普遍不足。二、學童必須先發展「基本面積保留概念」再發展「互補面積保留概念」。三、「面積保留概念」有助於「面積判別概念」的發展。四、「面積測量概念」的發展有助於形成「面積估測概念」，但三年級學童「面積估測概念」通過率不到五成（0.44）。五、國小三年級學童面積測量概念之發展，由「完整格圖形面積測量」，至「≦1cm2 非完整格圖形面積測量」，再至「>1cm2 非完整格長方形組成面積測量」，最後至「>1cm2 非完整格三角形面積測量」。六、國小三年級學童在未學習三角形面積公式前，其不易求出>1cm2 非完整格三角形之面積。. 綜合本研究之結果，針對國小面積相關單元之教學提出若干建議，以提供教學者及未來研究之參考。. 關鍵詞：關鍵詞：面積概念三年級試題關聯結構分析法. I.

(3) A study on the area concepts for the third graders by using item relational structure analysis. Abstract The purpose of this study is to investigate the 3rd students’ comprehension and knowledge structure of the concept of area. Item Relational Structure Analysis（IRS）is adopted to understand the students’ knowledge structure. According to the data analysis, conclusions of this study are as follows: 1. The 3rd grade students rarely identify area figures and the pass rate is very low. This indicates that 3rd students’ concepts of area figures are inadequate generally. 2. "The essential conservatory concept of area" was developed prior to "the supplementary concept of area" for students. 3."The conservatory concept of area" will help students to develop the concepts of identifying area figures. 4. The "measurement concept of area" is useful for students to form "Estimation concepts of area". But the 3rd grade students’ pass rate of the "Estimation concept of area" is 44%. 5. The order of development of the 3rd grade students’ "measurement concepts of area" is (1)the figure formed by the full grid (2)the figure formed by the ≦1cm2 non-full grid (3)the figure formed by the >1cm2 non-full grid rectangle (4)the figure formed by the >1cm2 non-full grid triangle. 6. It is not easy to find the area of the " the figure formed by the >1cm2 non-full grid triangle", before the 3rd grade students in learning the triangle area formula.. Few suggestions were offered to educators and further research according to the conclusions above in this study.. Keywords： area,. item relational structure analysis,. II. IRS.

(4) 目. 次. 第一章緒論.............................................................................................................................. 緒論 1 第一節研究背景與動機 ........................................................................................................ 1 第二節研究目的 .................................................................................................................... 4 第三節名詞定義 .................................................................................................................... 4 第四節研究範圍與限制 ........................................................................................................ 5 第二章文獻探討...................................................................................................................... 6 文獻探討第一節兒童幾何概念之發展 ................................................................................................ 6 第二節九年一貫課程綱要分析 ............................................................................................ 9 第三節面積概念之分析 ...................................................................................................... 15 第四節面積概念之相關研究 .............................................................................................. 20 第五節試題關聯結構分析法 .............................................................................................. 25 第三章研究方法.................................................................................................................... 31 研究方法第一節研究架構 .................................................................................................................. 31 第二節研究對象 .................................................................................................................. 32 第三節研究工具 .................................................................................................................. 32 第四節研究流程 .................................................................................................................. 39 第五節資料處理與分析 ...................................................................................................... 41 第四章研究結果與分析........................................................................................................ 42 研究結果與分析第一節國小三年級學童面積之概念分析 .......................................................................... 42 第二節國小三年級學童面積之試題關聯結構圖分析 ...................................................... 58 第三節試題關聯結構圖與專家知識結構圖的比較與分析 .............................................. 66 第五章結論與建議................................................................................................................ 71 結論與建議第一節結論 .......................................................................................................................... 71 第二節研究建議 .................................................................................................................. 74 參考文獻.................................................................................................................................... 參考文獻 76 附錄一第一次預試題目.......................................................................................................... 第一次預試題目 84 附錄二第二次預試題目.......................................................................................................... 第二次預試題目 88 附錄三第二次預試之試題難易度及鑑別度指數分析表...................................................... 第二次預試之試題難易度及鑑別度指數分析表 91 附錄四數學領域三年級面積概念「正式施測」正式施測」題目...................................................... 題目 92 附錄五三年級學童面積概念試題雙向細目表...................................................................... 三年級學童面積概念試題雙向細目表 97 III.

(5) 附錄六面積概念結構圖（面積概念結構圖（修正後）修正後） ...................................................................................... 98 附錄七試題關聯順序性係數一覽表...................................................................................... 99 試題關聯順序性係數一覽表附錄八順序性係數之 0-1 矩陣表 ........................................................................................ 100. IV.

(6) 表目次表目次表 2-1 面積的四個階段發展特性 ............................................................................................ 10 表 2-2 國小階段面積相關能力指標（教育部，2003） .........................................................11 表 2-3 國小階段面積相關分年細目（教育部，2003） ...................................................... 12 表 2-4 DUVAL(1995)在幾何圖形的四種「了解」類型........................................................... 13 表 2-5 表 2-6 表 2-7 表 2-8. 面積保留概念之相關研究 ............................................................................................ 20 面積測量概念之相關研究 ............................................................................................ 21 面積估測概念之相關研究 ............................................................................................ 23 影響面積概念學習之相關研究 .................................................................................... 23. 表 2-9 A、B 組學生試題得分情形 ....................................................................................... 26 表 2-10 A、B 組學生試題得分情形簡表 ............................................................................. 27 表 2-11 A、B 組學生試題得分排序表 .................................................................................. 27 表 2-12 A、B 組學生試題得分、人數排序表 ..................................................................... 28 表 2-13 試題 I、J 答對與答錯人數統計表 ............................................................................. 30 表 3-1 三年級學童面積概念試題雙向細目表（預試） ...................................................... 34 表 3-2 國小三年級學童面積概念試題之 Cronbach’s α 信度分析表 .................................. 36 表 3-3 試題難易度及鑑別度指數分析表 ............................................................................... 37 表 3-4 預試後題目刪除與增修表 ............................................................................................ 38 表 4-2 「三年級學童面積基本概念」各試題答對率 ............................................................ 60 表 4-3「三年級學童面積測量概念與估測概念」各試題答對率.......................................... 62 表 4-4「三年級學童面積測量概念之發展」各試題答對率.................................................. 63 表 4-5 「三年級學童面積基本概念」學童、專家知識結構圖比較分析 ............................ 66 表 4-6 「三年級學童面積測量概念與估測概念」學童、專家知識結構圖比較分析 ........ 68 表 4-7 「三年級學童面積測量概念之發展」學童、專家知識結構圖比較分析 ................ 69. V.

(7) 圖目次圖目次圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4. 穀倉排列示意圖 ............................................................................................................ 16 互補面積概念示意圖 .................................................................................................... 16 面積點數與補償關係 .................................................................................................... 17 皮亞傑單位面積實驗各圖卡示意圖 ............................................................................ 18. 圖 2-5 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3. A、B 組學生試題關聯結構圖.................................................................................... 29 研究架構圖 ................................................................................................................... 31 三年級學童面積概念圖 ............................................................................................... 33 研究流程圖 ................................................................................................................... 40. VI.

(8) 第一章緒論本研究旨在探討接受九年一貫九十二年版課程綱要之國小三年級學童，其面積概念之理解情形，利用研究者自編之試題，並藉由試題關聯結構分析法（簡稱 IRS），來了解其知識結構的分布情形。本章就研究背景與動機、研究目的、名詞定義及研究範圍與限制分成四節討論。. 第一節研究背景與動機現行九年一貫數學領域教材（教育部，2003）在二年級數與量和幾何主題中即提到「能認識面積，並作直接比較」（2-n-17和2-s-05），為首先出現「面積」一詞的時候。而在此之前，一年級學童已學過簡單平面圖形的認識與描繪。面積在國小數學教材中，屬於「量與實測」的教材領域，而其學習又受到空間概念的影響。「面積」為一兼具幾何與測量概念的教材，其於二維平面空間中物體所占的大小，而測量活動設計除了需要擁有測量概念發展程序，亦應兼備兒童從知覺轉化成表徵空間和概念空間的發展（譚寧君，1998a)。面積的學習若能從分割到單位量的組合運用時，其計算方式也可用來做乘法教學以及詮釋乘法結構（Simon and Blume，1994)。在三年級的分年細目中，「面積」同時出現在「數與量」（3-n-18）以及「幾何」（3-s-05）的主題中，其提到「能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積「平方公分」（教育部，2003）。由此可知，除了面積大小的比較之外，更需認識「平方公分」的實際量感，及以「平方公分」做為個別單位來進行面積的表示。九年一貫課程綱要（教育部，2003）中量與實測主題提到，教學中包含生活中常出現的七種量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等。處理上學童可依照本身經驗、比較容易。然而學童的實際學習真是如此嗎？多項研究抱持不同看法。在較早期的研究即有指出，面積教材於國小數學課程佔有相當的比率，也是學童日常生活中常接觸到的經驗教材，學童學習應該不困難，但事實不 ~1~.

(9) 然；其常造成對於面積概念的認識不清以及公式之不正確運用；對於公式之由來並不了解，套用公式時也不一定清楚，只對於題目上所提供之資訊套用公式（高敬文，1989；周武男，1988；陳鉪逸，1997；譚寧君，1998a）。後來多項研究又指出，發現學生對於面積的解題，仍常常在於套入公式，也常發現兩數相乘所得的答案，而忽略面積概念中代表的意函，將面積的學習重點只放在公式的背誦（陳光勳、譚寧君，2001；許嵐婷，2003；Lynne and Michael,2000）。於面積公式的引入之前，必須透過一連串的操作、點數、切割、比較作圖等，才能夠從具象至心象再至抽象，體驗到在追求效率的原則下，漸漸形成面積的概念（譚寧君，1995a；陳嘉皇，2004）。在面積概念的形成過程中，點數動作關係兒童數字的計算能力、單位量轉換的能力，以及切割及拼湊的圖形概念，同時多位學者也認為學習面積概念除了「量」的學習外，其重點也包括幾何圖形的分解、。由此可知面積單元的辨別、合成和包含關係（譚寧君，1995b；陳鉪逸，1997）學習並不如預期的簡單，在學童不探究公式的來源，依賴性的簡單想法，造成了往後面積學習的錯誤開始。另一方面，面積的觀念也常涉及數、量、形等領域的牽連，教師在學童學習的過程中，必須好好察覺每個學童的學習歷程及進度，才能確保面積觀念正確的建立。另外在面積概念中，「基本保留概念」與「測量概念」的發展上，似乎也產生了不同的看法，早期的認知發展學家Piaget（1960）指出，首先發展面積保留概念，然後再發展面積測量概念，這好像已經是一個眾所認同的觀念。然而國內外最近的研究並不一定如此，國內有研究者指出，山區學童的面積保留概念與面積測量概念可以是平行發展的（蔡春美，1982)；面積測量概念與面積保留概念在不同年級時，具有不同的表現情形（楊美惠，2002)。國外研究報告亦有提到面積保留概念並非一定較早發展於面積測量概念；相反的，面積測量概念的成熟，可以增進面積保留概念的發展（Taloumis，1975)。在不同的環境時空下，面積概念的發展情形，有必要做一番重新審視與研究。面積教學應具有的素養，應透過學生實際操弄，才可以發展出學生紮實之面 ~2~.

(10) 積測量與解題能力。不然，公式的應用仍然是面積解題唯一的寶典（陳嘉皇，民 91）。課程綱要分年細目中提到：「能理解長方形和正方形的面積公式」（4-s-09），「能運用切割、重組理解三角形的面積公式」（5-s-05）；所以在介紹面積公式前，教師更必須在第一階段（一～三年級）了解學童面積概念的學習情形。在一般的情形下，教師常利用教科書作者所編之教材地位分析圖來進行教學設計，但學童是否能依照原教學計畫所設定之知識路徑而形成概念，無法得知。測驗對象如果只有一個班級學生數時，可使用試題關聯結構分析法，獲得學生學習之概念結構圖，其可和教師依教材特性建構之學習結構圖做比較，也可和依教科書作者所製的教材地位分析圖來做比較，其結果於教學方法之改進與教材設計。之指導，皆有莫大的幫助（許天維，1995）本研究欲探討國小三年級學童，在面積概念各方面的發展情形。其中包含「簡單平面圖形」以及「非簡單平面圖形」上，面積求取的表現情形；「非完整格圖形」之概念分布；在未接觸公式前，僅以點選、切割、重組之能力，是否亦能達到正確求得不同種類之三角形面積？另外在「面積保留概念」與「面積測量概念」的發展關聯到底為何？教學者必須了解學童的學習情形以奠定面積概念的礎石，在未來面積公式的導入時，才不會囫圇吞棗，而真正在於提升解題的便利性。藉由試題關聯結構分析法進行面積概念相關之研究，以供研究者及從事相關教學者之教學參考。. ~3~.

(11) 第二節研究目的本研究除了協助了解國小三年級學童面積概念之發展情形，亦能提供現職教師於施教之參考依據，進而提升實際教學品質，其目的如下列各項：一、編製一份分析「國小三年級學童面積概念」之測驗。二、了解「國小三年級學童面積概念」之發展情形。三、比較國小三年級學童高分群與低分群於「面積概念」的學習差異。四、比較以試題關聯結構分析法（IRS）所得之試題關聯結構圖，與專家結構圖之異同。. 第三節名詞定名詞定義本研究之主要目的為探究受測學童三年級面積之概念發展架構。茲將所提及的相關名詞做釋義如下：. 壹、國小三年級學童本研究所指的國小三年級學童，為九十八學年度就讀於臺中縣某國小三年級的學生，受測時剛完成九年一貫第一階段，目前已升上四年級一個月，且未接受過新的面積單元教學，其中排除就讀於資源班之學生。. 貳、面積概念面積代表二維空間的量，亦即平面上封閉區域的大小。一般而言，面積概念包含面積保留概念、面積測量概念及面積估測概念（國立編譯館，1999），分述如下：一、面積保留概念. ~4~.

(12) 能理解面積的大小，不會因其方向、位置的不同而存有差異，也不會因其分解或合成活動而有所改變。二、面積測量概念即在測量以單位面積覆蓋平面圖形封閉區域內的程度（譚寧君，1995）。從個別物件至單一個別單位，進而至普遍單位的使用，用以察覺面積公式的由來。三、面積估測概念為面積量感的表現，使得單位間的轉換不再是公式的背誦，而是單位量間的轉換和描述。. 參、簡單平面圖形九年一貫課程課要（教育部，2003）提到，如：三角形、正方形、長方形、圖形等。本研究所指的「簡單圖形」為正方形或長方形。. 肆、試題關聯結構分析法日本教授竹谷誠於 1980 年發表試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis）簡稱 IRS 分析法。依照題目彼此間反應所得到的順序性關係，繪製成有指向性的圖形結構，用以分析概念之間的特性。. 第四節研究範圍與研究範圍與限制範圍與限制限於研究者之人力、時間及資源，本研究範圍主要以國小三年級數學領域之面積單元為主，對象以研究者本身任教之學校學童進行抽樣，其中排除參加資源班之學童。對於研究所產生之結果，僅能做為教學改進之參考，無法做過度之推論。. ~5~.

(13) 第二章文獻探討本研究旨在探討國小三年級學童面積概念之結構分析，本章共分成四節，進行本研究所提到的相關文獻做深入之探討，其中第一節為兒童幾何概念之發展，第二節為九年一貫課程綱要分析，第三節為面積概念之分析，第四節為面積概念之相關研究，第五節為試題關聯結構分析法。茲將其內容分述如下：. 第一節兒童幾何概念之發展目前我國在幾何課程的理論基礎，多以Piaget及van Hiele的幾何理論為主， Piaget認為兒童從幾何概念的認知發展、形成概念和運思程序，最後才形成測量概念；另外van Hiele幾何概念為階層理論，由實體至分析再至抽象數學思考、推理能力。兩位學者的理論內容分述如下。. 壹、Piaget and Inhelder 的幾何發展理論 Piaget and Inhelder(1967)從認知心理學的角度，研究學童的幾何概念發展共分三個階段。且多位學者研究指出，其概念的發展是有先後順序，分別是：拓樸學概念、投影幾何學與歐氏幾何學（Copeland, 1974; Smock,1976; Clements and Battista, 1992）。國內亦有學者指出，兒童在低年級時大都已發展到歐氏幾何學（吳貞祥，1980）。兒童幾何概念三個階段分述如下：. 一、拓樸幾何概念（Topological concepts or structure）階段（4 歲前）：此時期的兒童無法察覺構成左右或曲直的不同因子，簡直言無法分辨左與右，彎曲或直線；相對的，在長度與角度的差異，也不能做詳細的判斷。在幾何形體的具體表現如下：對於四邊形與圓形無法判定，因為他們都覺得是封閉的圖形，同時在畫圖的表現上亦是如此。屬於運思前期（Preoperational stage），兒童只能掌握基本圖形的拓樸概念，分辨圖形屬於開放或是封閉，並不具邊與角及長度的觀念。 ~6~.

(14) 二、投影幾何概念（Projective geometry）階段（4~6 歲）：兒童在幾何的表現以本身的視覺為主，其具體內容舉例如下：兒童在面對平行的火車軌道時，當距離愈遠時，兒童會認為軌道「真的」變窄且變小，而不只在視覺上呈現的不同方式而已。又如拿取一張正方形色紙在兒童面前，當此色紙移到另一處而距離兒童較遠時，此時兒童亦會認為是色紙變小，而且連形狀也改變了；若將色紙移回原位置時，兒童又會覺得大小及形狀回復回原本的樣子。此階段屬於運思前期（ Preoperational stage ）至具體運思期（ concrete operational stage）的過渡時期，此時兒童對外界的認知（Cognition），以自己本身所在視覺的觀點為主，凡經過視覺認定的事物，才認為是真正的存在；相反的，若非視覺所認定的，即認為那並不是真實的。此時，兒童認為物體能因為視覺的感受不同而產生變化。. 三、歐幾里德幾何概念（Euclidean geometry）階段（6~8 歲）：此階段兒童已從視覺迷惑中跳脫，發展至下列幾何性質的保留性：線段長短、角度大小以及面積大小的保留性。歐幾里德幾何學是從全等變換（Congruent Transformation）的原則來探討圖形的不變定律，此時的兒童認為，物體不管如何移動，其形狀、大小皆不再改變。兒童最初會以「手的遷移」及「軀幹遷移」來測量身邊的事物，進步到以量尺來進行測量各種幾何性質。綜合而言，皮亞傑認為兒童的幾何概念發展，按照此三個階段依序發展，其中國小學童已發展至歐幾里德的幾何概念階段，特別在面積的保留性已經初步具備，本研究主要探討三年級的面積概念發展，在此亦提供相關的理論根據。貳、van Hiele 的幾何階層理論國內多項學者研究指出，八十二年版及九年一貫課程的數學教材，其幾何的部分與van Hiele幾何階層發展順序相符（朱建正，1999；吳德邦，2003；朱莉文， 2005）。而中年級學童可以達到層次一，高年級學童大約介於層次二至層次三之 ~7~.

(15) 間（林軍治，1992；劉好，1998）。可見van Hiele之幾何發展理論於我國數學幾何教材之重要性。 van Hiele的幾何發展理論共分為五個層次，可是國內外各有不同的表述方式，有的從「零至四」層次，亦有從「一至五」層次，本研究以van Hiele(1986) 對層次的說法，分述如下：. 一、層次一：視覺(visual)層次此階段之兒童能根據形體外觀來辨識長方形與正方形，並且能以長方形與正方形之口語表達出，但無法了解其組成特徵，如：長方形有四個直角而正方形有邊長相等的特徵；又如兒童可能將圖形像「門」的形體視為長方形，並非因其具有四個直角或四個邊。亦即兒童可辨別、稱呼、比較幾何圖形，卻無法了解這些圖形的組成要素，並非依圖形的屬性、特質來辨識圖形，而以物體之外觀輪廓來思考形狀。. 二、層次二：描述(descriptive)層次此階段兒童不再只靠視覺的外觀來判定圖形，可由圖形的組成要素來辨認整個圖形，也可由一個圖形來分析其構成的要素，即可以根據其幾何性質來辨識幾何圖形。可以知道旋轉一個正方形，並不影響其原本的幾何性質；亦可知正方形有四個等長的邊及四個直角，菱形之對角線互相垂直平分，可是卻無法接受正方形也是菱形的一種。亦即僅能由視覺來察覺圖形的組成要素，並不能經由推理的方式得知圖形特徵之間的關係，而無法整理出圖形之間的類別。. 三、層次三：理論(theoretical)層次此階段之學童在形狀之判別歸類上，已可知道正方形可以滿足菱形與長方形的所有必要條件，所以正方形是菱形的一種，而正方形也是長方形的一種，但其仍無法以有組織的方式來表達。亦即了解圖形之間的相互關係，也很清楚各種圖形的構成要素，明瞭圖形的包含與屬性的關係，來進行圖形的非形式推理，但仍不能作有系統的證明。. ~8~.

(16) 四、層次四：形式演繹(formal deduction)層次此階段之學童能了解充分及必要條件的關係，透過系統的演繹、抽象推理的過程，來證明各種幾何問題。能了解數學假設和定理的觀念，來表達出定理的證明，亦可知道證明的方式可能在一種以上。. 五、層次五：邏輯法則本質(the nature of logical laws)層次此層次並非大多數學童可以達成，達此層次者，具備不依賴具體事物的輔助，而進行高度抽象思考能力，不但可以了解公設化系統的意義，更可以在不同的公設體系中進行比較推論，甚至能建立定理成為可推廣事件。舉例來說，能進行歐幾里得幾何與非歐幾何之間的系統分析。綜合而言，Piaget及van Hiele的幾何理論對我國數學教材的編排，有很大的參考價值與影響。本研究的對象為國小三年級學童，已發展至Piaget幾何概念發展的「歐幾里德幾何概念」；而在van Hiele幾何階層發展理論上，皆已達到第一階層，而逐漸進入到第二個階層。其幾何概念仍以視覺為主，面積保留概念已初步完成。教學上仍應以具體物體來輔助教學，讓兒童進行觸摸、操作、感覺來探究幾何世界，而不應只靠知識的傳遞。. 第二節九年一貫課程綱要分析壹、量的學習階段與教學要點九年一貫課程的數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四至五年級，階段三為六至七年級，階段四為八至九年級。本研究對象為國小三年級學童，其階段目標為：「能掌握數、量、形的概念」；並期望在小學畢業前，能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積公式。「面積」單元屬於「量與實測」中長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積七種量的其中之一，除「時間」之外，其他六種量皆需經歷四個階段，所以. ~9~.

(17) 「面積」具有如表 2-1 之四個階段發展特性：. 表 2-1 面積的四個階段發展特性階段. 一. 二. 三. 四. 內容. 初步概念與直接比較. 間接比較與個別單位. 常用單位的約定. 常用單位的換算. 說明. 備註. 首先，透過感官直接感. 量的複製包括：整體複. 覺該量，再對兩同類量作直接比較，最後是量的複製。是下階段的前置經驗。. 製、合成複製、等量合成複製。. 對無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量，分別作直接比較，並利. 量的保留概念由皮亞傑提出，實驗得知未擁有某類量之保留概念的兒. 用比較結果，做出兩量之比較(涉及量的保留概念與量的遞移律)。能作間接比較，便能使用個別單位作測量。. 童，對此類量不能進行間接比較。但教師可透過恰當的教學與溝通，運用皮. 認識某類量之常用單位，並能運用此單位，. 亞傑「同一性」、「互逆性」與「互補性」三原則，主動誘發學生早日發展保留概念。常用單位如：平方公分. 作量的比較、加、減、乘、除。在測量時，首先能用大. 例： 12000 平方公分＝1. 小單位的複名數來描述測量結果。然後再學習使用單位換算的約定，來進行換算。. 平方公尺 2000 平方公分 =1.2 平方公尺. 量的教學還有三個教學要點：一、所有量的教學，都要重視培養量感，學習量的估測，並能與別人溝通觀察的結果。二、常用單位，一方面遵守中央標準局之約定，另一方面也鼓勵教師，配合生活情境，自行補充其他日常生活常用的單位（如：米、cm、m、台斤等）。三、長度、面積與體積作為量來教學，經常與幾何主題有許多重疊之處，因此有. ~ 10 ~.

(18) 一些指標是量與幾何共用。綜合而言，國小三年級學童必須能掌握數、量、形的概念，同時已發展至階段二的間接比較與個別單位比較；同時面積單元常與幾何主題有多處重疊，教學上必須注意並相通互用，以求相輔相成之效果。. 貳、國小階段面積相關能力指標與分年細目本研究對象為國小學童，以下為國小面積教材，屬於「數與量」主題下的「量與實測」中面積相關的能力指標，整理如表 2-2；其分年細目整理如表 2-3：. 表 2-2 國小階段面積相關能力指標（教育部，2003）階段. 一. 指標代號 N-1-14. 能對兩個同類量作直接比較。. N-1-15. 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。. N-1-16. 能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和刻度結構，並解決同單位量的比較、加減與簡單整數倍的問題。. N-2-15. 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。. N-2-16. 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，作不同單位間的換算。. N-2-17. 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。(S-2-07). N-2-19. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（S-2-08）. N-3-15. 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（S-3-03）. N-3-16. 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（S-3-04）. N-3-17. 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。. 二. 三. 能力指標. ~ 11 ~.

(19) 表 2-3. 國小階段面積相關分年細目（教育部，2003）. 細目代號. 分年細目. 對應指標. 2-n-17. 能認識面積，並作直接比較。（同 2-s-05）. N-1-14 S-1-03. 3-n-18. 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位「平方公分」。（同 3-s-05）. N-1-15 N-1-16. 4-n-15. 能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關係，並作相關計算。. N-2-15. 4-n-16. 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。（同 4-s-09）. N-2-17 S-2-07. 5-n-15. 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並作相關計算。. N-2-15 N-2-16. 5-n-16. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同 5-s-05）. N-2-19 S-2-08. 6-n-11. 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同 6-s-03*）. N-3-15 S-3-03. 6-n-12. 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同 6-s-04）. N-3-16 S-3-04. 6-n-13. 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同 6-s-06）. N-3-17 S-3-06. 綜合而言，國小「面積」單元從二年級開始出現於教材，而本研究之三年級學童必須認識面積單位「平方公分」，並進行間接比較或個別單位方法比較積的大小，並做為四年級理解長方形和正方形的面積公式的前置學習。. 參、圖形與空間的了解由表 2-2 和表 2-3 可知，國小數學課程中的「面積」單元雖然安排在「數與量」的主題中，其中牽連著許多幾何概念的瞭解與發展，其中提到圖形與空間的. ~ 12 ~.

(20) 了解可分為「知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解以及論述性的了解」，以下為 Duval(1995)在幾何圖形上「了解」類型的四種分類，如表 2-4：表 2-4 Duval(1995)在幾何圖形的四種「了解」類型分類. 內容一個圖形的出現一定伴隨著「知覺性了解」的形成，和一般呈. 一、知覺性了解. 現於視覺上的圖形所不同的是，存在著圖形組織的原則；從中. (Perceptual apprehension). 可辨識出圖形中的子圖形（sub-figure）（如：正方形可被對角線分割為二個直角三角形），不過這些子圖形不見得能建構出完整的圖形。為在圖形性質上所具有的一種了解。所謂構圖性了解，就是在構圖過程中，圖形的單位元素則會依. 二、構圖性了解 (Sequential apprehension). 序出現，此時即產生構圖性的了解。其並非靠知覺的方法和脈絡，而是靠著技術和數學性質的發展。若因工具或技術的限制（如不會使用直尺、圓規），則在構圖性的了解將受到侷限。此了解可增加學童的洞察力以協助解決問題。一個圖形所具有的數學特質無法完全靠著繪圖來呈現，而必須. 三、論述性了解 (Discursive apprehension). 藉由語詞的敘述進行表達，為了讓所有人對圖形的幾何性質具有共同的認知，我們必須做專有命名的工作以及提出假設。在表徵幾何性質時，我們必須先有敘述然後再進行演繹推理，以確認圖形表現的性質。學童在觀察一個圖形時，可以透過操弄圖形來得到解題的方向，亦即透過對圖形的操弄可以增加解題的洞察力。操弄的方. 四、操弄性了解 (Operative apprehension). 式則大致可分為下列幾種：1分解與組合圖形，2放大與縮小圖形，3平移與旋轉圖形。藉由不同的操弄過程中，以啟發某個證明步驟或解題的方向，而這三種方式可實際地去動手操弄，也可在心智上操作、想像。. ~ 13 ~.

(21) 綜合而言，教師在幾何主題的教學上，應讓學童具有不同的了解類型；而國內研究者發現，此四種認知理解方式，並沒有好壞之分，皆能協助學習者對於圖形的思考方式（左台益，2003）。同時課綱中幾何主題的說明亦提到，應讓學童拓展其幾何直覺，從操作中認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此間的關係。. ~ 14 ~.

(22) 第三節面積概念之分析譚寧君（1995b,1998a）曾提出面積概念的教學應該包含三個部分，即：面積保留概念的形成、面積測量概念的建立與面積估測概念的培養。以下就三大部份分析如下：壹、面積保留概念 Piaget（1960）指出「面積保留概念」為兒童的一種認知能力，即物件經過某種轉換後其面積仍然保持不變的能力。而譚寧君（1995）補充提到其能瞭解面積的大小，不會因為方向和位置的改變而有所不同，亦不會因為切割後而有所改變，這種概念是持續不斷的發展，而非一蹴可幾。其包含二種不同的層次，分述如下：一、基本面積保留概念此層次代表任何封閉範圍內面積的大小，不因平移、旋轉、切割及位置改變而改變其面積大小。如一個正方形是由兩個三角形組合而成，若移動其中一個三角形至另一側形成新的圖形，則新的圖形並不會因此而改變面積大小(譚寧君， 1995)。 Hutton（1978）也做過基本面積保留概念的實驗，向 48 名 11 歲的學童展示二個全等的長方形和. 將其中一個三角形移至另外一側而形成二種圖形，此時就有 9 名學童表示二者面積不同。類似. 的實驗亦見於二個圓形的圖形翻轉，此時有更多的學童表示二者面積不同。 Piaget, Inhelder and Szeminska（1960）為研究兒童的面積基本保留概念，設計了「牛吃草的實驗」，剛開始二頭牛分別在二個相同面積的草地，之後各放一個穀倉後，此時問兒童這二頭牛能吃的草一樣多嗎？剛開始的答案大家都覺得一樣，可是隨著穀倉愈放愈多，而且排列方式不同時（一緊縮一分散），開始有兒童覺得這二頭牛所能吃的草並不一樣多了。如圖 2-1 所示： ~ 15 ~.

(23) 圖 2-1 穀倉排列示意圖. 結果發現：五歲以下兒童不具備保留概念；五歲半到七歲對於等量面積減去等量面積，其所得之差為相等的概念仍不太穩定；超過七歲半的兒童能正確判斷出兩者面積相等，逐漸具備操作性保留概念。二、互補面積保留概念此層次表示在兩個面積相等的面上，各減去面積相同但形狀不同的小平面後，其所剩下的面積仍然相等。兒童必須已具備「基本面積保留概念」後，才可進行「互補面積」活動（譚寧君，1995a）。其表示方式如圖 2-2 所示。具有互補面積保留概念的學童，在甲、乙兩圖的黑色面積會回答一樣，不具互補面積保留概念者就會認為不一樣。乙. 甲. 圖 2-2 互補面積概念示意圖 Piaget, Inhelder and Szeminska（1960）針對互補面積保留概念，設計了「草地內圍馬鈴薯園」的實驗，兩塊全等的紙版代表草地甲和乙，兩塊全等正方形紙板丙和丁表示兩塊馬鈴薯園，並分別置於甲和乙紙版上，其中將丁紙版剪成許多破碎部份，先問：二個草地上的馬鈴薯園一樣大嗎？（可測知兒童是否具有基本 ~ 16 ~.

(24) 面積保留概念）；再問：兩塊已圍有馬鈴薯園的草地是否有一樣大呢？（可測知兒童是否具有互補面積保留概念）。其結果表示：八歲以上的兒童，才逐步具有互補面積保留概念。. 貳、面積測量概念面積測量是從「個別物件」到「個別單位」再到「普遍單位」的使用，最後才能察覺面積公式的由來(譚寧君，1998)。並分為三種概念分述如下：一、基本面積測量概念此階段表示在給予的平方單位格內，進行單位面積點數的個數，當圖形皆為整數格時，可透過視覺直接點數（如圖 2-3 甲）；若圖形包含非整數格時，此時形成面積的補償關係（如圖 2-3 乙），其必須建立在面積保留概念的基礎上。. 乙. 甲. 圖 2-3 面積點數與補償關係二、單位面積概念此階段是透過各個不同單位量的覆蓋或拼湊，來進行面積的測量。如：一個長方形長 8 公分、寬 4 公分，可以藉由不同的單位量來測量面積的大小，如利用邊長 1 公分的正方形來覆蓋，需要 32 個正方形來蓋滿；如果換成底和高各 1 公分的直角三角形來覆蓋，就需要 64 個三角形才能蓋滿。因為單位量(一為正方形，另一為三角形)的不同，所以單位數也會所不同(一為 32 個，一為 64 個)。另外此概念除了利用「覆蓋」活動體驗，面積相同但形狀不同的等積異形概念外，也可經由「切割」活動進行等積異形的比較；同時利用切割與疊合之活動，. ~ 17 ~.

(25) 也可進行二個圖形大小的比較。皮亞傑也曾設計一個實驗，來了解學童的單位面積概念和二個面積大小的比較，首先給予學童一些紙卡，有正方形、直角三角形和長方形，二個正方形圖卡等於一個長方形圖卡的大小，二個直角三角形圖卡等於一個正方形圖卡，而且這些圖卡的數量剛好可以於圖形上覆蓋，如圖 2-4 所示。此活動可測驗出二個重要概念： 1.合併使用測量紙卡，可使三個不同的單位量合併成一個新的單位量，進行測量活動。 2.相同單位量的紙卡分別覆蓋二個圖形，則這二個圖形的面積是相等的。. 直角三角形. 正方形. 長方形. 圖 2-4 皮亞傑單位面積實驗各圖卡示意圖三、直線測量面積概念直線測量的概念包括單位在數學上的相乘關係，一般所謂的長方形和三角形面積公式皆屬此類。但其實除了一般特定的圖形面積公式外，仍具有其他層次，分述如下： 1.面積公式學童必須了解二維的相乘關係，而非提供學生一系列的圖形公式，學生應由自己發展公式與瞭解其相互關係。首先認識平方公分這一個普遍單位，再經由覆蓋的經驗，了解一排有 8 個一平方公分，若有 4 排即可得到長為 8 公分、寬為 4 公分的長方形的面積，也就是 32 平方公分，獲得「長」的單位數乘以「寬」的單位數，即可得知長方形面積的單位數。再透過切割、拼湊的方式，可以得到平行四邊形、三角形以及梯形之間的面積關係，而非只靠背誦，這樣的公式教學才具意義。 ~ 18 ~.

(26) 2.面積作圖面積的實際操作部分，在國小課程教學中常常不受重視的，當我們要檢測學生的面積概念時，可讓學童於釘板或方格圖的實際操作進行作圖，如：讓學生畫出面積是 20 平方公分的長方形，他們能畫出長、寬各為 5 公分、4 公分或是長、寬各為 20 公分、1 公分的長方形面積。 3.單位量的轉換此階段透過各種不同的單位量進行覆蓋或拼湊，來達到面積的測量。若要測量一長為 6 公分寬為 4 公分的長方形面積，若使用邊長為 1 公分的正方形，需要 24 個才能蓋滿，也就是此正方形面積是 24 平方公分；但若使用兩股各長是一公分的直角三角形當單位，則需要 48 個單位量。特別的是，若剛剛提到的正方形或是直角三角形，其邊長及股變為 0.5 公分時，學童常常因此感到困惑。 4.面積的包含關係當一個圖形為多種圖形組合或疊合而成時，如要計算面積的大小時，可透過切割而形成獨立的封閉區域，求出個別代表的面積再行組合；但若某一封閉區域由二個封閉區域交集而形成的，此時學童必須先了解集合的包含關係，然後藉由面積測量公式才能解題。從皮亞傑的研究可以發現，「面積保留概念」是面積測量的必備條件，兒童約從七歲起可以開始使用測量工具，然而此時是不穩定的；而面積的測量概念約在八歲半形成，至於運用直線測量來進行面積測量，則約在十一歲至十二歲才漸漸成熟(林育柔，2001)。. 參、面積估測概念面積估測概念是數學教育中重要的一環，其為培養面積量感的一項活動（林育柔，2001)，主要藉由「面積保留概念」的形成和「面積測量概念」的建構中所逐漸形成的。量感的培養，可藉由自然工具如目測或手測來進行，待估測活動結束後，再使用測量工具檢查，用來引發學童的學習興趣和培養其估測能力（譚寧君，1995)。同時面積估測可以讓學生檢查其答案是否正確，在面積量感的培 ~ 19 ~.

(27) 養上，應先進行估算活動後再進行測量活動，才能讓學童掌握面積的真正量感（王選發，2002)。在應用面上，若學生遇到需要利用特殊方法找出面積時，可先預估面積的大小，再找尋解題的方法，或是應用適當的測量工具（Hiebert，1981）。綜合而言，國小三年級學童面積測量概念已開始形成，為奠定往後測量活動的礎石。高年級在解決面積問題時，時常誤用公式改變已知條件（陳鉪逸，1996）。所以教師在進行面積教學時，必須了解其在面積基本概念的能力，是否有足夠的實際操作體驗，以及有無達到單位量的概念，如此才能進行公式的教學及應用；而估測能力亦為培養面積量感的重要活動，同時能檢查所求答案的合理性，如此的面積教學才具意義。. 第四節面積概念之相關研究壹、面積概念發展之相關研究玆將國內外針對國小學童對於面積概念發展之相當研究，整理如下表如列：一、面積保留概念（如表 2-5）. 表 2-5 面積保留概念之相關研究研究學者. 時間. 研究內容從「牛吃草」的實驗可知：未滿五歲之兒童其不具有. Piaget, Inhelder and Szeminska. Wagman. 保留概念；五歲半到七歲的兒童，屬於形成中階段；而七歲半以上之兒童才開始擁有此概念。 1960. 而在「草地內圍馬鈴薯園」的實驗可知：未滿七歲之兒童並沒有基本面積保留概念和互補面積保留概念；而七歲至八歲開始具有基本面積保留概念；但八歲開始才逐漸形成互補面積保留概念。. 1968. 其研究指出八歲的學童大部份已具有面積保留概念。. Taloumis. 1975. Hart. 1981. 其研究指出：測量概念發展時，其面積保留概念不一定已經具備，相對的，測量概念的發展可增進保留概念的成熟；且此兩概念與皮亞傑的研究相較之下，其發展年齡較遲，但隨著年齡的增加而更成熟。 CSMS 的研究中發現保留概念與測量概念的獲得先後關係並不明確。 ~ 20 ~.

(28) 表 2-5（續）. 蔡春美. 1982. 周武男. 1988 1989. 高敬文譚寧君. 其研究指出：山地兒童的面積保留概念與測量概念是平行發展的，且兩者皆需以長度保留概念為基礎，隨年齡增長而提升。國小三年級學童約有三分之一具有面積保留概念，且隨著年齡增長而提升。. 1998 四年級學童的保留概念其通過率是 74.6﹪，而大概有. 戴政吉. 2001. 楊美惠. 2002. 15.4﹪的學童容易因視覺而誤導，會因圖形的左右長度較長，而認為其面積較大，仍缺乏此概念。研究中發現低年級在面積保留概念方面，易因所見之圖形外形不同，而認為面積也會有所不同。六年級大部份學童已具面積保留概念，但部份學童有. 王選發. 2002. 時會受到影響，特別在當圖形切割或變形之後，和邊長或排列位置之不同時。. 二、面積測量概念（如表 2-6）. 表 2-6 面積測量概念之相關研究研究學者 Piaget, Inhelder and Szeminska Tierney Simon and Blnme Lynne and Michael.. 時間. 研究內容. 1960. 其研究指出：兒童在八歲半開始建立基本測量概念；九歲具有重複使用單位的能力；約在十一歲才具有直線測量能力。. 1990. 其研究指出：當正方形的邊長改變時，學童對於面積. 1994 2000. 容易只進行一維思考的改變，如邊長變成原本的二倍時，其認為新的面積也會變成原本的二倍。有時甚至連教師也會有此盲點。. Rober. 1993. 其研究指出：部份學童會以長加寬的方式來求出面積。. Nunes et al. 1994. Outhrd and Mitchelmore. 其研究指出：若以方瓦的方式取代直尺去測量面積，易提升學童對於面積公式的了解。其研究指出：一至四年級學童，對於測量長方形面積. 1996. 的方法，較早出現的是覆蓋與點數具體物操作，然後才能達到藉由測量邊長而得到面積。. ~ 21 ~.

(29) 表 2-6（續） Baturo ＆ Nason 陳鉪逸陳光勳、譚寧君許嵐婷楊瑞智譚寧君戴政吉王選發陳鉪逸王選發. 1996 1996 2001. 其研究指出：部份學童易認為 1 平方公尺等於 100 平方公分，將長度單位關係誤植於面積單位上。. 2003 1996 1998 2001 2002 1996 2002. 其研究指出：進行面積點數時，部分學童容易把未滿一格的單位量，可能採取以下列方式計算策略：1 皆當成半格；2 皆當成一格；3 完全忽略不計等。亦有學童以圖形內含的格子點總數作為面積點數的策略。其研究指出：若學童無法分析面積的題意時，常常隨意套用公式來解題，答對率相當低。其研究指出：學童常受限於教學進度，對於尚未教過. 吳德邦等人. 1997. 譚寧君. 1998 2001. 林慈容王選發許嵐婷. Lynne et al.. 2002 2003. 2000. 的內容易出現焦慮而不知解法，如四年級並未教過三角形面積公式，但其實可藉由正方形或長方形面積的一半來解出。其研究指出：學童易忽略單位量之間的差異而誤認面積。如：甲圖的單位數是 8，而乙圖的單位數是 4，即可能認為甲圖面積較大，而忽略了其中甲、乙兩圖其代表的單位量。面積概念與單位量概念具有密切的關係。其研究指出：學童利用具體物覆蓋面積時，其策略為加法的概念，思維方式是一維的；而面積公式是二維的乘法概念，在無法完全了解覆蓋情形與乘法間的關係時，面積公式不應該太早出現。. 2001. 其研究指出：四年級部分學童在進行點數圖形面積時，易忽略底的因素，而以高度較高者認為其面積即較大。. 朱建正等人. 2001. 其研究指出：面積公式的教學應結合分割重組的概念，如：平行四邊形可由兩個全等的三角形所組成，而不是只背誦底乘以高的面積公式。. 許嵐婷. 2003. 戴政吉. 陳嘉皇. 2004. 其研究指出：國小五年級學童能以分合移補策略進行面積的點數。其研究指出：學童以分合移補等策略進行點數覆蓋物單位數，以利公式計算，所以在測量概念的發展前，必須加強圖形性質的認識，以利切割重組。. ~ 22 ~.

(30) 三、面積估測概念（如表 2-7）. 表 2-7 面積估測概念之相關研究研究學者 Hart 譚寧君. 時間. 研究內容. 1981. 其研究指出：以英國 11-16 歲學童為對象，學童量感普遍不足，其通過率約四成左右。. 1998. 其研究指出：學童對於面積估測的不適宜策略有：1 常以視覺處理 2 以公式進行解題。其研究指出：由於面積估測活動很少於課堂上實施，即. 譚寧君. 1998. 陳建誠. 1998. 戴政吉王選發. 2001 2002. 戴政吉. 2001. 使對長方形這種較易進行估測活動的圖形，在限制使用工具的情形下，其通過率也只有六成左右。其研究指出：學童在規則圖形（如長方形）的估測通過率佳，不規則形狀的估測能力表現較差。前者所採方式以先估出長與寬的值，再依面積公式求出。其研究指出：學童對於量感掌握不佳，易造成面積錯估情形；若以 1 平方公分估測面積，易有低估現象；但在以 1 平方公尺為單位時，則有高估情形。其研究指出：四年級學童其面積估測通過率約為五成。在面積較大的物件上，其錯誤率較高；以 1 平方公分為單位量時，易將面積高估。其研究指出：五年級學童在進行不同量之間的估測表現. 莊維展. 2001. 上，面積的估測表現與長度、容量與重量相較下，表現最差。. 貳、影響面積概念學習之相關研究（如表 2-8）. 表 2-8 影響面積概念學習之相關研究研究學者. 時間. 研究內容. Hademenos Taloumis 莊維展. 1974 1975 2001. 其研究指出：性別在面積概念的學習上並無顯著差異。. Silvern＆Yawkey 蔡春美朱玉如. 1976 1982 2003. 其研究指出：在面積概念的表現上，數學能力較高者優於較低者。. 蔡春美朱玉如. 1982 2003. 其研究指出：家長的教育程度，對學童在面積概念上的表現有影響。. ~ 23 ~.

(31) 表 2-8（續）高敬文 DemboandLevin 王選發陳雯貞. 1989 1997 2002. 其研究指出：學童易認為兩圖形的周長相同，其面積亦相等的迷思概念。. 2005 其研究指出：部分學生認為只有規則的圖形才具有面. 陳鉪逸. 1997. 戴政吉. 2001. 其研究指出：部份學童僅以圖形出現的數字，進行面積的解題活動，而忽略其幾何性質。. 翁錦瑛. 2001. 其研究指出：在面積教學上應用建構概念圖，可提昇學童後設認知的能力，加強其知識結構，以利學習。. 吳鳳萍. 2002. 其研究指出：在面積保留概念方面，動態幾何軟體教學活動有助於其概念的建立及穩固，特別在低分組學童。. 朱玉如. 2003. 其研究指出：學童自我信心與面積概念表現呈現高度相關。. 2003. 其研究指出：輔導發現法能讓五年級學童在面積概念表現，有更進步並產生較好的延宕效果；且在低分組學童的「面積初步概念」與「面積保留概念」表現上，有更佳的輔助效果。. 許嵐婷. 積。. 其研究指出：融合「數」、「量」、「形」的教學活動設陳嘉皇. 2004. 計，可協助學童取得較完整之面積概念體系，提升面積解題成就。. 綜合而言，本研究對象為國小三年級學童，已具備面積保留概念，在測量概念的發展上雖然與前者發展順序有不同的研究結果，但皆隨著年齡增長而有所提升；學童在進行點數活動中，教學者應注意學童對於「單位量」與「單位數」的學習情形，避免產生單位數較大，其面積即較大，或是邊長改變時，其面積改變仍停留在一維的思考方式。雖然本階段學童仍未接觸過三角形面積公式，但其可憑藉著其累積切割、覆蓋、拼湊、點數與合成的操作經驗，試著解出其代表的面積，以奠定將來學習面積公式的前置經驗。影響面積概念學習的原因可能有很多種，但重要的是應累積足夠的實際操作活動，理解面積公式的由來，重視面積量感的訓練，培養在數學表現的自信心，再融合「數」、「量」、「形」的教學活動設計，可讓學童獲得較完整的面積概念。 ~ 24 ~.

(32) 第五節試題關聯結構分析法日本學者竹谷誠為了解決學習情況與教學成果的分析，於 1980 年代提出試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis）；其根據測驗試題的結果，藉由題目相互間反應所得的順序關係，以分析試題的特性，得到具有指向性的圖形結構（引自許天維，1995）。以下為此法之功能與簡介。壹、試題關聯結構分析法之功能許天維(1995)提到試題關聯結構分析法具有下列五種功能：一、教學設計：教師於單元教學活動前，可先分析課程內先前的經驗概念之結構，再依其所對應的知識概念分別出題，以「試題關聯結構分析法」進行施測後所得結果的分析，可得知先前經驗概念不足之處，做為教學歷程設計的參考。二、形成性評量：欲知班上於單元教學活動後的學習成果，可用知識結構分析以編製形成性評量，再以「試題關聯結構分析法」進行結果的分析，可知學童學習後的知識結構，以針對學童不瞭解之處，進行補救教學。三、認知學習構造：利用佐藤 S-P 表，從形成性評量的反應結果得到注意係數，可分析出異質性的學童，再從其與班上進行兩者結構圖的交互比較，可得知其異質的成因，以進行加強輔導教學。四、概念形成過程：山田完針對教師進行評定學童具有四個層次，有操作經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次及因果論理層次；所以試題關聯結構分析法在縱貫研究（longitudinal study）方面，可了解學童概念形成過程的層次差別，若以此四層次來評定各年級班上學生的形成過程，並建立各年級的結構圖，可得知學生的概. ~ 25 ~.

(33) 念形成過程的發展。在橫斷研究方面，亦可知班上學生的概念形成過程的分布。五、課程教材構造：以「試題關聯結構分析法」考驗從母群體隨機抽出的樣本，可獲得一般學童的學習構造，對於教科書編者及分析典範教師的學習指導構造圖而言，皆為寶貴的資料。由此可知，試題關聯結構分析法對於學生概念形成過程的判斷及瞭解，提供了教師及教科書編者一項相當重要的分析方式。. 貳、試題關聯結構分析法簡介一、試題關聯結構法理論以下舉例說明此理論的直觀意義：假設有 A、B 兩組各有十位學生，均參加試題數共六題的同一種測驗，並設答對者得一分，答錯者得零分，其得分情形如下（表 2-9）：. 表 2-9 A. A、B 組學生試題得分情形. 組試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6. 學生 1 學生 2 學生 3 學生 4 學生 5 學生 6 學生 7 學生 8 學生 9 學生 10 答對者數. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 5. 7. 4. 7. 6. B. 組試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6. 學生 1 學生 2 學生 3 學生 4 學生 5 學生 6 學生 7 學生 8 學生 9 學生 10 答對者數. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 5. 7. 4. 7. 6. 由表可知兩組測驗後，各組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，可以改成下（表 2-10）：. ~ 26 ~.

(34) 表 2-10. A、B 組學生試題得分情形簡表. A組. 試. 題. B組. 4. 5. 6. 3. 4. 5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 3. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 3. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 4. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 4. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 5. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 6. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 6. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 7. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 7. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 8. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 8. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 9. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 9. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 5. 7. 4. 7. 6. 2. 5. 7. 4. 7. 6. 答對者數. 生. 3. 學. 2. 生. 2. 題. 1. 學. 1. 試. 答對者數. 其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得下（表 2-11）：. 表 2-11. A、B 組學生試題得分排序表. A組. 試. 題. B組. 3. 4. 5. 6. 1 2 5 7. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 6. 0. 0. 8. 0. 3. 4 9 10. 答對者數. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 7. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 6. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 8. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 3. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 4. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 9. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 5. 7. 4. 7. 6. 2. 5. 7. 4. 7. 6. 高分. 生. 生. 2. 學. 學. 1. 試. 低分. 答對者數. ~ 27 ~. 高分. 低分.

(35) 接著，以學生在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤 S-P 表如下（表 2-12）. 表 2-12. A、B 組學生試題得分、人數排序表. A組. 試. 題. B組. 6. 2. 4. 1. 1 2 5 7. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 6. 1. 1. 1. 0. 0. 8. 0. 1. 1. 0. 3. 1. 1. 0. 4 9 10. 1. 0. 0. 答對者數. 題. 3. 5. 6. 2. 4. 1. 1 2 5 7. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 6. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 8. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 3. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4 9 10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 7. 7. 6. 5. 4. 2. 7. 7. 6. 5. 4. 2. 多. 生. 生. 5. 學. 學. 3. 試. 答對者數. 少. 多. 少. 從表 2-12 可知，兩組學生的總分及答對者人數的試題次序皆相同；也就是二組之試題難易分配與試題號碼之對應完全相同，但如果依順序結構圖進行分析，即會有很大的不同。於 A 組中答對試題 1 的學生分別為 1 號及 2 號，他們也同時答對了試題 4，此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭，記作 4→1；相同道理，答對試題 4 的學生為 1 號、2 號、7 號及 8 號，他們也同時答對了試題 6，所以有，而答對試題 6 的學生為 1 號、2 號、5 號、6 號、7 號及 8 號，他們也同時答對了試題 5，所以有 5→6。於另一方面，答對試題 1 的學生分別為 1 號及 2 號，他們也同時答對了試題 2，答對試題 2 的學生為 1 號、2 號、3 號、4 號及 5 號，他們也同時答對了試題 3，所以有 2→1、3→2。需特別注意的是，因為答對試題 4 的學生有 7 號和 8 號沒答對試題 2，所以沒有試題 2 到試題 4 的指向箭頭；相同道理，也沒有試題 6 到試題 2 的指向箭頭，此二點與 B 組大不相同。 ~ 28 ~.

(36) 於 B 組中答對試題 1 的學生分別為 1 號及 2 號，他們也同時答對了試題 4，所以有 4→1；答對試題 4 的學生為 1 號、2 號、5 號及 7 號，他們也同時答對了試題 2，所以有 2→4；答對試題 2 的學生為 1 號、2 號、5 號、6 號及 7 號，他們也同時答對了試題 6，所以有 6→2；答對試題 6 的學生為 1 號、2 號、5 號、6 號、7 號及 8 號，他們也同時答對了試題 3 及試題 5，所以分別有 3→6 及 5→6；另外 3 和 5 答對者皆相同，代表為相同概念，有等價關係，記為 3. 5。. 假設定義答對率為受試學生答對人數試題答對率＝ ────────── 受試全體學生的人數我們以答對率為縱座標，標示出所有相關的指向箭頭，可得完整的試題關聯結構圖，如下圖 2-5 所示：答對率. A 組結構圖. 0.2. B 組結構圖. 1. 1. 0.3 0.4. 4. 0.5. 2. 0.6 0.7. 4 2. 6 5. 6 3. 圖 2-5. 5. 3. A、B 組學生試題關聯結構圖. 從圖 2-5 可知 A、B 兩組試題關聯結構圖完全不同，雖然兩個表的試題答對率相同，但兩組學生的理解結構卻不相同。即左圖 A 組可分為試題 1、2、3 的系列和試題 1、4、6、5 的系列；而右圖可以看出 B 組的試題形成一個單純的一元化系列。所以「試題關聯結構圖」可以看出，在 S-P 表所察覺不到的各試題間之順序關係，可以當成具有方向性的圖形判讀。 ~ 29 ~.

(37) 二、試題關聯結構順序性係數以上說明只為表示試題關聯結構分析法而設計的特殊範例，以下為用數學推導理論來建立順序性係數，說明如下：首先令 A、B、C、D 分別表示下列的意義： A：試題 i 與試題 j 均答對的人數 B：試題 i 答對而試題 j 答錯的人數 C：試題 i 答錯而試題 j 答對的人數 D：試題 i 與試題 j 均答錯的人數又設 N=A+B+C+D，按照下面的試題關聯順序性係數公式，即可求得 i 題到 * j 題的 r ij 值（許天維，1995）。 * CN r ij＝1﹣. （C + D）（A + C）. 而試題 i 與試題 j 之間的關係如下表所示：. 表 2-13 試題 i、j 答對與答錯人數統計表試題j 對. 錯. 合計. 對. A. B. A+B. 錯. C. D. C+D. 合計. A+C. B+D. N. 試題 i. 順序性係數 r*ij 表示試題 i 指向試題 j 的順序性程度，亦即試題 i 為下位概念（lower concept），試題 j 為上位概念（upper concept）的程度。順序性係數是一個由電腦模擬產生的數值，而竹谷誠（1991）以 0.5 為閥值（threshold），如果順序性係數大於閥值，即表示試題 i 與試題 j 有順序關係，反之則無。如果順序性指向過多，則可以增加閥值為 0.6，反之可以減少閥值為 0.4；一般而言閥值宜介於 0.4 到 0.6 之間。. ~ 30 ~.

(38) 第三章研究方法本研究欲利用試題關聯結構分析法，來探究國小三年級學童面積概念之架構，以下說明研究方法及資料處理方式。. 第一節研究架構本研究根據研究目的與相關文獻資料，繪出簡化圖示的研究架構圖，如圖 3-1 所示：面積相關研究文獻. 九年一貫國小面積教材. 國小三年級面積概念圖. 修改試題. 進行預試. Bloom 雙向細目表. 國小三年級面積自編試題. 正式抽樣施測. IRS 分析. 試題關聯結構圖. 解釋概念結構圖. 圖 3-1 研究架構圖. ~ 31 ~.

(39) 第二節研究對象研究對象本研究對象是剛升上國小四年級之學童，其習完國小三年級課程，探討其對於面積概念之表現。本研究於九十九學年度第一學期，開學第一個月後進行預試，限於人力、時間條件等限制，除選取自己任教學校的四年級一個班級24名學童，再考慮樣本數量問題，另取一班以隨機抽樣再取7名學童，總計31名學童進行預試。考慮預試結果修改試卷後，扣除原本參與預試之學生，再隨機選取本校2班計32名學童進行正式施測，施測地點皆選在受測學生原班教室，由研究者事先說明筆測之目的與做答方式，為鼓勵學生認真做答，凡做答完整者給予適當的小禮物。學童作答時間計40分鐘。. 第三節研究工具本研究試題之編製，依據教育部所公佈之九年一貫數學領域面積能力指標，參考國小三年級數學科教材及教師手冊，及82年版數學科課程標準之面積單元內容，再配合面積的相關研究文獻，以及學生的認知發展，完成自製之面積概念試題，期能正確測得學童之面積概念結構圖，做為教師教學上參考之依據。題目共計26題選擇題。本研究者自編之面積概念試題，以及相關之統計軟體等，茲說明如下：. ~ 32 ~.

(40) 壹、自編試題流程 >1cm2 非完整格三角形面積. 一、建立面積概念結構圖. 28.29.30. 2. 面積估測 7.11. >1cm 非完整格長方形組成面積. ≦1cm2 單一非完整格面積. ≦1cm2 混合非完整格面積. 16.17.18.19. 20.21. 完整格簡單圖形面積 12.13.14.15. 完整格非簡單圖形面積 8.22.23. 24.25. 面積保留 3、4、5、6. 九九乘法表 9.10. 面積判別 1、2. 圖 3-2 三年級學童面積概念圖. ~ 33 ~.

(41) 二、制定 Bloom 雙向細目表依據表3-1之「三年級學童面積概念圖」，及Bloom認知領域教學目標分類表，制定「三年級學童面積概念試題雙向細目表」，如表3-1所示：. 表 3-1. 三年級學童面積概念試題雙向細目表（預試）教學目標面積概念知識. 理解. 面積判別. 1. 2. 面積保留. 4. 5. 12.13. 14.15. 8.22.23. 24.25. 16.18. 17.19. 應用. 3.6. 簡單圖完整格之圖形面積. 形非簡單圖形. 面積測量. 小於等於一平方. 概念. 公分非完整格之圖形面積. 大於一平方公分非完整格之圖形面積. 單一混合長方. 20.21. 26. 27. 28. 29. 形三角形. 面積估測概念. 7.11. 九九乘法表運算能力. 9.10. ~ 34 ~. 30.

(42) 三、試題編製本研究欲探討「國小三年級學童面積概念」之學習情形，依據教育部（2003）公布之九年一貫面積概念能力指標，參考國內外現行教材中面積之相關試題及面積概念相關研究之試題（陳鉪逸，1997；譚寧君，1998b；戴政吉，2001；王選發，2003；黃怡維，2006；張文莉，2009），發展出如圖3-2之「三年級學童面積概念圖」，及如表3-1之「三年級學童面積概念試題雙向細目表」，以編製試題。期能真正評量出三年級學童之面積概念表現情形。（預試題目如：附錄一）四、審查與修改測驗試題為了避免題目不夠清晰、明瞭、或語句有不通順之處，於題目草擬完成之後，敦請指導教授、國內從事數學教育研究之專家及實際進行數學領域教學的國小教師數名，請其依據「面積概念圖」及「雙向細目表」，檢視試題是否合乎命題原則、文句是否清晰明瞭，以及能否達到研究者所欲測量之概念，進行試題的檢視與建議，以達試題的正確性及完整性。五、進行預試因考慮研究之方便性，實施對象的選取以研究者任教之臺中縣某國小四年級學童31人，於開學一個月後進行預試，並由研究者本人發卷、監測；測驗題目共計30題，測驗時間控制在40分鐘以內，所有學童皆能在時限內完成。（一）信度分析信度（Reliability）又可稱為可靠性，指的是測驗結果的穩定性（郭生玉， 1989）。本研究採用 Cronbach’s α 係數來代表其測驗之內部一致性，經 SPSS/PC 分析整體測驗信度之 Cronbach’s α 係數值為.839，表示測驗之信度良好，信度分析表如表 3-2 所示：. ~ 35 ~.

(43) 表 3-2 題號. 國小三年級學童面積概念試題之 Cronbach’s α 信度分析表刪除此題後的 α 值刪除情形. 題號. 刪除此題後的 α 值刪除情形. 1. 0.836. 16. 0.821. 2. 0.848. 17. 0.822. 3. 0.839. 18. 0.823. 4. 0.832. 19. 0.833. 5. 0.847. 20. 0.818. 6. 0.842. 21. 0.833. 7. 0.837. 22. 0.840. 8. 0.838. 23. 0.840. 9. 0.845. 24. 0.828. 10. 0.840. 25. 0.826. 11. 0.835. 26. 0.829. 12. 0.842. 27. 0.832. 13. 0.837. 28. 0.830. 14. 0.837. 29. 0.834. 15. 0.833. 30. 0.839. 測驗整體 Cronbach’s α 係數＝.839. （二）效度分析本研究之效度分析採內容效度和專家效度。前者根據研究者所整理出之三年級學童面積概念試題雙向細目表（如表 3-1），可以清楚的檢視所欲測量之目標概念，和題目之配置是否恰當。後者經過長期致力於數學教育領域研究之大學教授，二位國小數學教育研究所畢業之國小教師，以及三名擔任數學教育滿五年之現職國小中年級教師的校閱，判斷是否符合國小三年級學童之認知發展，並修改其中文句不夠通順以及概念模糊之處，確認試題之正確代表性，以建立本測驗之專家效度。. ~ 36 ~.

(44) （三）難易度分析依全部受試者之總分從高至低排列，從最高分向下取全體受試者的 27%為高分組，再從全體受試者的最低分向上取 27%為低分組，使用 SPSS 統計軟體可得高分組和低分組在每個試題之答對率；以高分組之答對率 PH 和低分組之答對率 PL 平均後，可得該試題之難易度指數 D（item difficulty index），即「D=(PH+PL)/2」。（四）鑑別度分析利用高分組之答對率 PH 減掉低分組之答對率 PL，可得該試題之鑑別指數 d （item discrimination index），即「d=(PH－PL)」。可和整體答對率指數 P，及上述討，如表 3-3 所示。論之難易度指數 D，整理可得「試題難易度及鑑別度指數分析表」. 表 3-3 試題難易度及鑑別度指數分析表題號. 整體答對. 高分組答對低分組答對. 難易度指數. 鑑別度指數. 百分比 P. 百分比 PH. 百分比 PL. D=(PH＋PL)/2. d=PH－PL. 1. 0.48. 1.00. 0.25. 0.63. 0.75. 2. 0.42. 0.75. 0.50. 0.63. 0.25. 3. 0.26. 0.50. 0.13. 0.31. 0.38. 4. 0.45. 0.63. 0.00. 0.31. 0.63. 5. 0.65. 0.75. 0.50. 0.63. 0.25. 6. 0.39. 0.75. 0.25. 0.50. 0.50. 7. 0.97. 1.00. 0.88. 0.94. 0.13. 8. 0.90. 1.00. 0.75. 0.88. 0.25. 9. 0.97. 1.00. 1.00. 1.00. 0.00. 10. 1.00. 1.00. 1.00. 1.00. 0.00. 11. 0.87. 1.00. 0.63. 0.81. 0.38. 12. 0.97. 1.00. 1.00. 1.00. 0.00. 13. 0.97. 1.00. 0.88. 0.94. 0.13. 14. 0.97. 1.00. 0.88. 0.94. 0.13. 15. 0.94. 1.00. 0.75. 0.88. 0.25. 16. 0.74. 1.00. 0.25. 0.63. 0.75. 17. 0.77. 1.00. 0.25. 0.63. 0.75. 18. 0.65. 1.00. 0.13. 0.56. 0.88. 19. 0.71. 0.88. 0.25. 0.56. 0.63. ~ 37 ~.

(45) 表 3-3（續） 20. 0.68. 1.00. 0.00. 0.50. 1.00. 21. 0.77. 1.00. 0.50. 0.75. 0.50. 22. 1.00. 1.00. 1.00. 1.00. 0.00. 23. 1.00. 1.00. 1.00. 1.00. 0.00. 24. 0.84. 1.00. 0.50. 0.75. 0.50. 25. 0.81. 1.00. 0.38. 0.69. 0.63. 26. 0.55. 0.88. 0.13. 0.50. 0.75. 27. 0.84. 1.00. 0.50. 0.75. 0.50. 28. 0.68. 0.88. 0.25. 0.56. 0.63. 29. 0.26. 0.63. 0.13. 0.38. 0.50. 30. 0.19. 0.38. 0.00. 0.19. 0.38. 六、刪減與增修題目由預試結果之試題難易度及鑑別度指數分析表，挑選出鑑別度及難易度不合宜之題目，其次補充未考慮到之教學目標，刪減與增修題目如表3-4。. 表 3-4 預試後題目刪除與增修表題號. 原因. 處理情形. 7. 難易度指數太高，鑑別度指數太低. 8. 鑑別度指數低. 9. 難易度指數太高，鑑別度指數太低刪除. 10. 難易度指數太高，鑑別度指數太低刪除. 12. 難易度指數太高，鑑別度指數太低刪除. 13. 難易度指數太高，鑑別度指數太低刪除. 14. 難易度指數太高，鑑別度指數太低. 15. 難易度指數太高，鑑別度指數低. 17. 鑑別度高，但概念重覆. 修改題目以符合欲探討之概念. 19. 鑑別度高，但概念重覆. 修改題目以符合欲探討之概念. 22. 難易度指數太高，鑑別度指數太低刪除. 23. 難易度指數太高，鑑別度指數太低刪除. 因題目含所欲探討之重要概念，故保留並增加難度增加難度. 因題目含所欲探討之重要概念，故保留並增加難度因題目含所欲探討之重要概念，故保留並增加難度. ~ 38 ~.