第二章 文獻探討
第一節 兒童除法概念與運思發展
第二章 文獻探討
本研究是藉由正整數除法概念試題測驗，分析國小三年級學童學習正 整數除法概念的情形。本章就其相關理論與研究進行探討，共分為五節：
第一節為兒童除法概念與運思發展；第二節為 Greer 的乘除法文字題分類；
第三節為正整數除法之相關研究；第四節為九年一貫課程綱要數學領域正 整數除法相關能力指標與教材分析；第五節為試題編製理論與命題原則；
第六節為試題選項特徵曲線估計法探討。
第一節 兒童除法概念與運思發展
壹、除法的概念
兒 童 對 於 除 法 的 初 步 理 解 是 來 自 於 他 們 生 活 中 平 分 的 活 動 經 驗
（Squire & Bryant, 2002）。陳鵬全（2002）的研究發現三年級學童在等分 除問題分的策略有「一個一個分」、「先多個分，再一個一個分」以及「多 個多個分」。楊瑞智（1997）認為學齡前的兒童在生活中已具備有「平分 東西」的經驗，然而多數二年級學童無法在平分活動結束後便推理結果是 否平分，而是要經過計數，確認每個集合的個數皆相等，才能確認為平分。
至於包含除分的策略是「依每個人應分得的數量，先分給一個人，再分給 下一個人，直到沒有剩餘」（陳鵬全，2002）。
除法包含兩種概念，一為包含除（quotitive division），即是分裝；另 一概念為等分除（partitive division），即為平分。包含除是利用已知的總量 除以新的單位量，來求得新的單位數。而等分除是利用已知的總量除以新 的單位數，來求得新的單位量（李源順，2013）。甯自強（1993）認為包 含除是將低階單位的量轉化成高階單位的量之單位量轉化活動，而等分除 是未知的新高階單位量之單位量轉化活動。
在國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域，以「分裝」與「平分」
兩種不同類型的情境，讓學童理解除法的意義（教育部，2009）。當學童 在模擬情境問題，依照題意操作具體物時，較能解決包含除問題；而在解
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決等分除問題時，學童則需將集合內的元素公平的分配到各個新的集合內，
因此包含除在運算上較等分除容易。在生活經驗上，學童在平分物品方面 早已具有經驗，因此在問題語意結構的理解上，等分除是較包含除容易（劉 秋木，1996）。
在進行平分活動時，可分為「離散量」的平分與「連續量」的平分，
初學者通常是先透過離散量之具體物進行操作，來理解平分的概念（李源 順，2013）。本研究之正整數除法概念試題包括了等分除與包含除之情境 問題，在這兩種情境問題之下，分別包含了離散量與連續量之問題，再各 自細分為可整除與不可整除之情境。除此之外，亦包含平分、餘數、除法 算則之正整數除法概念試題及與除法相關之兩步驟解題，以了解學童在除 法概念上的理解與應用情形。另外，由於國民中小學九年一貫課程綱要數 學學習領域，指出學童初期的除法學習重點應著重九九乘法範圍內的心算 練習（教育部，2009），因此本研究除法算則中的總量以在九九乘法範圍 之內的數值為主。
貳、兒童除法運思的發展
甯自強（1993）就兒童在整數詞上的意義發展之合成運思期（integration operations）、累進性合成運思期（progressive integration operations）、部份 全體運思期（part-whole operations）與測量運思期（measurement operations）
四個階段，探討學童的乘除運思表現，其分述如下：
一、合成運思期
合成運思期的兒童建構出一個不同於「1」的集聚單位量，也就是將 數個元素「1」合成為一群體。由於此階段的兒童所建構出來的集聚單位 是相互獨立的，彼此之間不具關係，因此無法處理單位量轉換的問題，需 要藉由具體物的操作，透過數數活動，來連繫彼此的關聯。
二、累進性合成運思期
當兒童處於累進性合成運思期時，可以重複製作一個集聚單位，當部 份從全體分離出來時，認為此時的全體已經不存在，只有分離出來的部份
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與剩下的部份。在除法問題中，此時期的兒童是以較大的集聚單位中的元 素製作成較小且相等的集聚單位，可視為連減活動，然而兒童並不認為除 法是包含除意義。以 15÷3 為例，其算則意義是「15 個 1 可以製造出幾個 3？」而非「15 包含幾個 3？」，當「3」從「15」被分離出來後，只剩「3」
與「12」，總量「15」則不具意義。另外，Ning 認為此階段的兒童在解決 等分除問題時，無法清楚的區隔集聚單位中的元素與全體，因此對於平分 成幾等份（單位數）與一份有幾個（單位量）的含意易產生混淆（引自甯 自強，1993）。累進性合成運思期的學童可經由連續截取的活動，理解並 解決包含除問題，而由於等分除問題的語意不同於包含除，學童可經由逐 一分配的方式，理解並解決等分除問題（蔣治邦、謝堅、陳竹村、吳淑娟、
林昭珍，2000）。
三、部份全體運思期
在部份全體運思期，兒童在面對「15 中包含幾個 3？」的問題時，以 截割解決問題，認為「3」是「15」的部份且獨立於「15」，能注意到部份
（除數 3）與整體（被除數 15）間的關係，然而還不認為具有包含除的意 義，是因為兒童不覺得「3」是構成「15」的單位。此時期的兒童能藉由 乘法尋求除法算則的答案，但不認為乘除互逆。
四、測量運思期
測量運思期的兒童在解決「15 中包含幾個 3？」的問題時，亦是採取 截割的策略，除了認為「3」是「15」的部份且獨立於「15」之外，亦覺 得「3」是構成「15」的單位，因此認為除法具有包含除之意義。兒童運 用相同的策略，於每個新集聚單位裡逐一分配元素，建構出 3 個相等、大 小未知的集聚單位，以解決等分除問題。此時期的兒童能藉由乘法尋求除 法算則的答案，且認為乘除互逆。
甯自強（1995）認為當學童具備了部份全體運思後，解決了乘除問題，
此時所具備的運思才可以稱為乘除運思。學童乘除運思的成形是從三年級 下學期開始，經過處理乘除問題經驗的累積，而產生乘除互逆的概念。並
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且認為包含除是部份全體運思的產品，而等分除是測量運思的產品，因此 主張包含除概念應比等分除概念先建構。
第二節 Greer 的乘除文字題分類
Greer（1992）指出若是以乘除問題情境的觀點為考量，會比以計算的 觀點顯現出兒童在乘除運算上的心理複雜度，因此依問題的情境將整數之 乘除法文字題分為四種類型，分別為等組型（equal groups）、乘法比較型
（multiplicative comparison）、笛卡爾積型（cartesian product）以及矩形面 積/矩形陣列型（rectangular area/ rectangular array），並將等組型、乘法比 較型細分為等分除與包含除之問題情境。
一、等組型：在除法問題情境中，當每一集合中的個數或數值皆相等時，
則為等組型問題。
二、乘法比較型：乘法比較類型的問題，通常以「幾倍」的方式來表示，
如：「姐姐有 6 顆糖果，妹妹的糖果是姐姐的 3 倍，妹妹有幾顆？」
三、笛卡爾積型：笛卡爾積類型問題為不同組合的配對問題，如：「3 頂不 同的帽子（A、B、C）和 2 件不同的衣服（a、b）做搭配，會有多少 不同的搭配方式？」
圖 2-2-1 笛卡爾積型
四、矩形面積/矩形陣列型：此類型問題即是將長寬相乘以求得矩形面積，
或求一陣列的個數，如：「學生每列排 7 位學生，總共排了 4 列，學 生總共有幾位？」
A B C
a b
(A,a)、(B,a)、(C,a)
(A,b)、(B,b)、(C,b)
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速處理；減法；加、減與乘法；分配律。
（一）直接表徵：學童透過操作具體物或是以畫圖的方式呈現問題情境，
以解決除法問題。
（二）數值上的加速處理：以等分除問題為例，學童先畫出除數的圖像表 徵，接著在每個除數的圖像表徵下，以數字記錄每一次處理的個數 值。這樣的解題策略可分為嘗試錯誤重複的估計策略與估計後對餘 數處理的策略兩種。
1. 嘗試錯誤重複的估計策略：學童會先以一個估計值嘗試，當發覺結 果不吻合時，會以新的估計值再去嘗試，直到剛好分完。
2. 估計後對餘數處理的策略：學童會先以一個估計值嘗試，當發現估 計值太少時，會對餘數做估算，獲得第二個估計值，接著再將第一 個與第二個估計值相加。
（三）減法：學童以「一次分一個」或「估計」的方式解決等分除問題。
對於包含除問題，則以「重複減去除數」的方式處理。
（四）加、減與乘法：學童一開始解決除法問題時，是以累加或累減的方 式處理，當累積足夠的經驗後，便以乘法來取代累加或累減策略。
（五）分配律：學童分解被除數，並算出其為除數的倍數之和。
二、Kouba 的研究
Kouba（1989）對一、二、三年級的學童共 128 位進行研究，給予語 意結構不同的乘除法文字題，發現一年級學童皆使用直接表徵策略，二年 級學童大多採用直接表徵策略，而三年級學童則大多使用背誦乘法表解題。
研究結果顯示學童約有 56 種解題策略，大致可分為五種不同抽象程度的 策略，分別為直接表徵（direct representation）、雙重計數（double counting）、
過渡型計數（transitional counting）、加法或減法（additive or subtractive）
與背誦乘法表（recalled number fact），其分述如下：
（一）直接表徵：根據問題情境，學童藉由具體物的操作，一個一個點數 出答案。
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（二）雙重計數：雙重計數需要更抽象的處理，並且涉及整合兩個計數的 序列。當學童在進行雙重計數策略時，先用具體物表示出被除數集 合，接著在數出除數個數的同時也計數出幾個部份集合。
（三）過渡型計數：當學童在進行過渡型計數策略時，他們利用一個倍數 序列的計數方式計算出答案，如：兩個一數或五個一數。
（四）加法或減法：在加法或減法策略中，學童會利用連加或連減的方法 算出答案。
（五）背誦乘法表：學童透過記憶的乘法結果而求得答案，如：利用九九 乘法表。
三、Mulligan 的研究
Mulligan（1992）以 70 名二、三年級的學童為研究對象，發現有 75%
的學童在還未學習基本的乘除法知識之下，能使用不同的策略解題，將除
的學童在還未學習基本的乘除法知識之下，能使用不同的策略解題，將除