第四章 研究結果與分析
第一節 正整數除法概念理解情形的分析
本節根據研究對象的答題情形，透過 EXCEL 與 SPSS 軟體統計，針 對學童在各類型試題的答題表現與各類型試題答題情形進行分析探討。
壹、學童在各類型試題的答題表現
研究者依據學童的測驗總分，將學童區分為低分組（16 人）、中分組
（21 人）與高分組（18 人），透過 EXCEL 統計各組學童在各類型試題上 的答對率，且以 SPSS 統計軟體進行單因子變異數分析（one-way ANOVA），
探討三組學童在各類型除法試題上答題表現的差異。另外，藉由成對樣本 t 檢定分析學童分別在「等分除」與「包含除」、「整除」與「有餘數」情 境下的答題表現之差異。
一、低、中、高分組學童在各類型試題的答題表現
圖 4-1-1 各組學童在各類型試題的答對率統計圖
平分概念 餘數概念 除法算則 等分除 包含除 二步驟 解題
平均 答對率 高分組 0.89 0.80 0.89 0.86 0.92 0.94 0.89 中分組 0.76 0.53 0.95 0.74 0.89 0.64 0.72 低分組 0.81 0.35 0.69 0.58 0.71 0.38 0.52
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90
答 1.00
對 率
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由圖 4-1-1 顯示，高分組、中分組與低分組在不同類型試題的答題表
現之難易排序不盡相同。對高分組學童來說，試題答對率由高至低依序為
「二步驟解題」、「包含除」、「平分概念」與「除法算則」、「等分除」、「餘 數概念」，平均答對率為 89%，除了「餘數概念」試題的答對率為 80%，
其他各類型試題的答對率均達八成五以上，表示高分組學童對於除法問題 的掌握度良好；對於中分組來說，試題答對率由高至低依序為「除法算則」、
「包含除」、「平分概念」、「等分除」、「二步驟解題」、「餘數概念」，平均 答對率為 72%，除了「餘數概念」與「二步驟解題」試題的答對率較低，
分別為 53%與 64%，其他類型試題的答對率達七成以上，顯示中分組學童 對於除法問題的掌握度雖低於高分組學童，但仍具備不錯的程度；對於低 分組學童來說，試題答對率由高至低依序為「平分概念」、「包含除」、「除 法算則」、「等分除」、「二步驟解題」、「餘數概念」，平均答對率為 52%，「餘 數概念」試題的答對率 35%最低，其次為「二步驟解題」的答對率為 38%，
讓低分組學童感到最困難，皆不到四成的答對率，至於「等分除」試題有 58%的答對率，而「除法算則」與「包含除」試題的答對率接近約為七成，
並無太大的差異，其答對率最高的為「除法算則」試題，約有八成的低分 組學童答對。
對於三組學童而言，可以發現兩個共通點，第一個共通點為「包含除」
試題較「等分除」試題容易，第二個共通點為「餘數概念」試題對學童來 說是最困難的，此類型問題大多無法從算則中的數字找到答案，而是需從 題目中推敲出結果，因此最讓學童感到困難。
表 4-1-1 為三組學童之各類型試題成績變異數同質性檢定，可知在「平 分概念」、「除法算則」、「等分除」與「包含除」類型的 F 值未達顯著 差異（p>.05），表示在這四個類型中，低、中、高分組學童成績的變異數 具有同質性，而「餘數概念」與「二步驟解題」類型中的 F 值達顯著差異
（p<.05），因此在這兩個類型中，三組學童成績的變異數具有異質性。
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二、學童在不同情境下的答題表現
研究者將等分除與包含除試題細分為整除問題與有餘數的除法問題。
以下就「等分除與包含除」、與「整除與有餘數」兩種不同類型的情境下 分析學童的答題表現。
（一）「等分除」與「包含除」情境
以「等分除」與「包含除」兩種不同情境分析，其平均數與標準差如 表 4-1-5，經成對樣本 t 檢定，t 值為-3.263（p=.002<.01），可知學童在「包 含除」的答題表現優於「等分除」的答題表現，且有顯著的差異，此結果 與文獻（Brown, 1992；林碧珍，1991；陳鵬全，2002）一致。
表 4-1-5
「等分除」與「包含除」情境問題之成對樣本 t 檢定
情境問題 平均數 標準差
t
等分除 .73182 .208913
-3.263**
包含除 .84727 .180385
**p<.01
（二）「整除」與「有餘數」情境
以「整除」與「有餘數」兩種不同情境分析，其平均數與標準差如表 4-1-6，經成對樣本 t 檢定，t 值為 6.552（p<.001），可知學童在「整除」的 答題表現優於「有餘數」的答題表現，且有顯著的不同。
表 4-1-6
「整除」與「有餘數」情境問題之成對樣本 t 檢定
情境問題 平均數 標準差
t
整除 .90909 .154887
6.552***
有餘數 .70545 .203140
***p<.001
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貳、正整數除法概念各類型試題答題情形之分析
本研究透過自編的測驗，主要目的是要了解國小三年級學童對於正整 數除法概念的理解情形與迷思概念。透過 EXCEL 軟體統計正式施測後所 取得的資料，算出每道試題各個選項的選答率，以作為分析之用。研究者 將除法概念區分為六個部份加以探討，包含「平分的概念」、「餘數的概念」、
「除法算則」、「等分除概念」、「包含除概念」與「綜合解題」。
一、平分的概念 表 4-1-7
「平分概念」各選項之選答率
試題類型 試題 選項
1 2 3 4 5
平分概念 4 .82※ .15 0 .04 0
註：標記「※」記號的選項表示為正確選項
此試題主為基本的平分概念試題，主要測試學童對於總量、單位量與 單位數的掌握程度，由表 4-1-7 可知學童的答對率為.82，表示超過八成的 學童之平分概念良好。約有一成五的學童雖然能將總量平分，但將單位數 3 誤認為單位量，因此選擇了錯誤選項。
二、餘數的概念 表 4-1-8
「餘數概念」各選項之選答率
試題類型 試題 選項 平均
1 2 3 4 5 答對率
餘數概念
3 .25 .02 .04 .65※ .04
.57 6 .04 0 .76※ 0 .20
8 .27 0 .02 .13 .58※
10 .05 .31 .07 .04 .53※
18 .04 .31※ .40 .16 .09 註：標記「※」記號的選項表示為正確選項
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餘數概念試題的平均答對率為 57%，第 3、6 題為餘數概念中基本的試 題，第 8、10、18 題為較具有變化，並非學童經常練習的試題，其答對率 明顯較基本試題的答對率低，表示學童對於餘數概念的掌握度不夠穩固。
第 3 題，除了測試學童對於九九乘法的熟練度，也測驗在除數固定的 情形下，學童是否能觀察到餘數會隨著被除數改變而改變。大部份未答對 的學童選擇選項○1，佔有 25%，36÷7 的餘數為 1，42÷7 的餘數為 0，顯示 學童不認為 0 為餘數。李源順（2013）建議在教學時要用「餘數為 0」表 達，而非「沒有餘數」，避免讓學童產生誤解。第 6 題在只提供除數的情 形下，判斷餘數值，測驗學童在分得最多的情境下，是否具有餘數需小於 除數的概念。測試結果有 76%的答對率，表示大多數學童具有餘數的基本 概念，而有 20%的學童無法判斷當餘數等於除數時，商還可以加 1，也就 是每個人還可以多分得 1 顆。
第 8 題是讓學童運用餘數概念判斷當餘數小於除數時，每個人則無法 再分得；第 10 題當每個人還要多分得 1 塊時，學童需依據餘數值，判斷 不足的數量，即為需補足之數量。兩道試題的答對率分別為 58%與 53%，
顯示約有 4 成的學童感到困難，大部份是選擇餘數的選項作為答案，各佔 27%（選項○1 ）與 31%（選項○2 ），可見學童能列出正確的除法算則，但在 餘數的意義與應用上顯然是有不足之處。第 18 題是在有剩餘的情形下，
藉由餘數推算出總量，但由於餘數值未知，因此對大部份的學童而言是困 難的，此試題的答對率僅為 31%。40%的學童未考慮有剩餘的狀況，因此 選擇已分出去的數量作為總量，或在未了解題意之下將兩數相乘；有 25%
的學童選擇○4 、○5 錯誤選項，因未能辨識題意之下以關鍵字（不夠分）解 題，選擇小於已分出去的數量（24），而選項○4 的選答率高於選項○5 ，分 別為 16%與 9%，可見得學童能夠判斷選項○5 是無法符合「平分給 4 組，
每組分得 6 瓶」的情況。
53 除法問題仍存在著困惑。Quinn, Lamberg and Perrin（2008）認為除數為 0 的除法問題會讓學生產生混淆，而也有研究發現多數教師對於除數為 0 的 除法問題無法於概念上做有意義的解釋（Ball, 1990；Quinn et al., 2008）。
四、等分除概念
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試題 17 為除法與加法應用的情境，學童須具備除法與加法知識，才 能解題成功，答對率分別為 73%；試題 11 為除法與減法應用的情境，學 童須具備除法與減法知識，才能成功解題，答對率為 73%，此兩種類型試 題的答對率高，學童對於除法與加法、除法與減法的運用具有良好的掌握 度。錯誤類型包含以單一除法策略解題試題常出現的錯誤類型：混淆商數 與餘數的含意、不熟練九九乘法、未能辨識商數加 1 的問題情境，另外還 有僅以除法步驟解題結果作為答案之情形，表示學童未能理解題意。
試題 9、13、16 為除法與乘法應用的情境問題，第 16 題的答對率為 76%，有 13%的學童可能以乘法策略解題，在不清楚單位量與單位數意義 的情形之下，選擇了選項 3；而第 9、13 題的答對率偏低，分別僅有 55%
及 42%。第 9 題中有 24%的學童以（36÷9）解題，忽略了總量為 36×2=72。
14%的學童以 36÷2=18 作為答案，以兩個沒關係的數值相除，顯現出對於 乘法與除法概念皆不夠清楚。另外有連除、將三個數值相乘的解題策略，
分別顯現出學童乘法概念與除法概念上的不足；第 13 題中有 45%的學童 以（18÷3）解題，以不相干的兩個數值相除，表示不具備有完整且清楚的 乘法與除法概念。13%的學童以連除的方式解題，於第一個步驟中以除法 計算出總量，可看出其乘法概念薄弱。除法與乘法結合的試題為四種類型 中難度較高，平均答對率為 58%。
試題 14 為連除的情境問題，八成的學童能解決此類型問題。20%的學 童能成功解決第一個步驟，於第二步驟中有 13%的學童未考慮到，另外 7%
的學童以乘法策略解題，顯示其未能完全掌握題意。
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-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2
選項1 選項2 選項3 選項4 選項5