第一章 緒論
第一節 研究背景與動機
「數與量」是數學領域的五大主題之一，在數學課程中佔有主要的地 位，其中整數的計算是一切數學學習的基礎（教育部，2009）。加法、減 法、乘法與除法廣泛的運用於我們的日常生活之中，學齡前的兒童在與他 人日常生活中的互動中便開始發展除法基本的概念（Parmar, 2003），根據 國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域，國小二年級學童開始接觸基 礎的除法概念—平分與分裝，三年級便正式引入除法課程，學童須瞭解被 除數、除數以及商數三者的意義，並且學習區分它們，這是理解除法重要 的開始（Squire & Bryant, 2002）。
在四則運算的學習上，加減法僅有一種單位進行合成或分解，而乘除 法常牽涉到兩單位的運算，相較之下，學童對於乘除法概念較不容易理解
（尤彥喬，2004）。而除法運算是以加法、減法與乘法為基礎（Parmar, 2003）， 在許多文獻中也可以看出學童在解決除法問題時是使用加法、減法或乘法 策略（Kouba, 1989；Mulligan & Mitchelmore, 1997；Downton, 2009；楊瑞 智，1997；尤彥喬，2004）。在學習除法課程前需先具備相關的先備知識，
它是一門複雜的課程，若無法掌握基本數學技能會導致學童理解與學習各 種數學概念的困難（Bryant, Hartman, & Kim, 2003）。而除法不同於加法、
減法與乘法，可用三種符號來表示，分別是「/」、「÷」與「 」，這可能會 造成學童學習上的混亂（Robinson, Arbuthnott, Rose, McCarron, Globa, &
Phonexay, 2006），因此除法的學習可算是四則運算中最困難的（Robinson &
Dubé, 2008）。
在除法概念相關研究中，有針對學童在解題策略方面的研究（Kouba, 1989；Mulligan, 1992；Mulligan & Mitchelmore, 1997；Heirdsfield, Cooper, Mulligan, & Irons, 1999；Downton, 2009；楊瑞智，1997；尤彥喬，2004）， 亦有探討兒童在不同除法情境的解題表現之研究（Brown, 1992；Kornilaki
2
& Nunes,2005）。除此之外，游麗卿（1999）針對三年級學童在除法概念 形成的過程中的錯誤進行研究分析、林原宏（1995）在研究中探討高年級 學童的乘除概念、冷月琴（2012）探討中年級學童的錯誤類型、陳鵬全（2002）
研究分析三年級學童在除法問題的解題表現、黃堂瑋（2012）以遊戲式的 除法補救教學對三年級學童進行研究、林碧珍（1991）研究高年級學童乘 除法應用問題的認知結構。
研究者在教學的歷程中，發現三年級學童在除法課程的學習並沒有太 大的落差，但當學習到更複雜、更高層次的除法知識與概念時，如：被除 數為三位數以上、除數為二位以上、小數與分數的除法、不同情境的除法 文字題，學童則往往感到學習困難。
學校教育應提供學童有效且有意義的學習，讓學童理解重要的數學概 念，並具備熟練的演算能力，進而能夠理解與解決日常生活中的數學問題
（教育部，2009）。許清陽（2001）指出學童在解題過程中，往往只注意 到程序性知識，而忽略了陳述性知識，游麗卿（1997）從研究中發現雖然 許多學童能以加法、減法或乘法算式而成功解決除法問題，但卻無法說明 其含意，因此檢驗學生數學概念的正確與否、了解他們的錯誤類型以及迷 思概念，是在教學歷程中很重要的一環。因此研究者以三年級除法教材內 容與九年一貫課程綱要正整數除法之相關能力指標，編製試題並分析，希 望透過研究了解三年級學童在正整數除法概念的理解情形以及迷思概 念。
3
第二節 研究目的與待答問題
本研究根據九年一貫數學學習領域能力指標，以及參考正整數除法相 關教材與文獻編擬正整數除法概念試題，目的在於探討三年級學童正整數 除法概念學習情形。依據研究目的，提出三個待答問題：
（一）三年級學童對正整數除法概念之理解情形為何？
（二）依據試題的選項特徵曲線，分析正整數除法概念試題之特性，並整 理歸納 23 道試題的正確選項特徵曲線的類型為何？
（三）三年級學童對正整數除法概念之迷思為何？
第三節 名詞釋義
一、除法概念
（一）等分除
等分除（partitive division）是利用已知的總量除以新的單位數，來求得 的單位量，即為平分。例題：將 15 顆蘋果平分給 5 個人，每個人可以得 到幾顆？
（二）包含除
包含除（quotitive division）是利用已知的總量除以新的單位量，來求 得新的單位數，即為分裝。例題：桌上有 15 顆蘋果，每個人分給 5 顆，
可以分給幾個人？
二、國小三年級學童
本研究中的國小三年級學童是指一百零三學年度就讀國小三年級的 學童，使用九十七年九年一貫課程綱要版本的數學領域教材。
三、迷思概念
當學習者與專家認為的概念不同時，學習者的所形成的概念即為迷思
概念（misconceptions）。
4
四、選項特徵曲線
心理計量學者 Ramsay（1991）以擴張高低試題鑑別指數與核平滑化 無參數估算法，發展出了正確選項與誘答選項皆可分析的「核平滑化法無 參數試題特徵曲線估算法」（kernel smoothing approaches to nonparametric item characteristic curve estimation），分析受試者實際作答的資料，是屬於 無參數的試題反應理論。Ramsay 的 TestGraf98 軟體是以受試者的潛在能 力為橫軸，且以其在某一試題的選答率為縱軸，繪製出的一個平滑曲線，
即為選項特徵曲線（option characteristic curve, OCC）（劉湘川，2001；楊 志強，2004）。
第四節 研究範圍與限制
本研究的試題內容主要是測試國小三年級學童正整數除法概念的理 解情形。試題內容的設計是參考施測學校三年級所使用的數學領域教科書 版本，此屆三年級學童所使用的數學領域教科書版本與其一、二年級使用 的版本相同。另外本研究由於受限於經費、人力與時間之因素，以研究者 任教的臺中市某國小三年級學童為研究對象，樣本數僅為 55 人，因此本 研究的結果不宜過度推論。
5