正整數除法之相關研究

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速處理；減法；加、減與乘法；分配律。

（一）直接表徵：學童透過操作具體物或是以畫圖的方式呈現問題情境，

以解決除法問題。

（二）數值上的加速處理：以等分除問題為例，學童先畫出除數的圖像表 徵，接著在每個除數的圖像表徵下，以數字記錄每一次處理的個數 值。這樣的解題策略可分為嘗試錯誤重複的估計策略與估計後對餘 數處理的策略兩種。

1. 嘗試錯誤重複的估計策略：學童會先以一個估計值嘗試，當發覺結 果不吻合時，會以新的估計值再去嘗試，直到剛好分完。

2. 估計後對餘數處理的策略：學童會先以一個估計值嘗試，當發現估 計值太少時，會對餘數做估算，獲得第二個估計值，接著再將第一 個與第二個估計值相加。

（三）減法：學童以「一次分一個」或「估計」的方式解決等分除問題。

對於包含除問題，則以「重複減去除數」的方式處理。

（四）加、減與乘法：學童一開始解決除法問題時，是以累加或累減的方 式處理，當累積足夠的經驗後，便以乘法來取代累加或累減策略。

（五）分配律：學童分解被除數，並算出其為除數的倍數之和。

二、Kouba 的研究

Kouba（1989）對一、二、三年級的學童共 128 位進行研究，給予語 意結構不同的乘除法文字題，發現一年級學童皆使用直接表徵策略，二年 級學童大多採用直接表徵策略，而三年級學童則大多使用背誦乘法表解題。

研究結果顯示學童約有 56 種解題策略，大致可分為五種不同抽象程度的 策略，分別為直接表徵（direct representation）、雙重計數（double counting）、

過渡型計數（transitional counting）、加法或減法（additive or subtractive）

與背誦乘法表（recalled number fact），其分述如下：

（一）直接表徵：根據問題情境，學童藉由具體物的操作，一個一個點數 出答案。

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（二）雙重計數：雙重計數需要更抽象的處理，並且涉及整合兩個計數的 序列。當學童在進行雙重計數策略時，先用具體物表示出被除數集 合，接著在數出除數個數的同時也計數出幾個部份集合。

（三）過渡型計數：當學童在進行過渡型計數策略時，他們利用一個倍數 序列的計數方式計算出答案，如：兩個一數或五個一數。

（四）加法或減法：在加法或減法策略中，學童會利用連加或連減的方法 算出答案。

（五）背誦乘法表：學童透過記憶的乘法結果而求得答案，如：利用九九 乘法表。

三、Mulligan 的研究

Mulligan（1992）以 70 名二、三年級的學童為研究對象，發現有 75%

的學童在還未學習基本的乘除法知識之下，能使用不同的策略解題，將除 法解題策略歸納為三個層次，其依序如下：

（一）直接計數：藉由具體物計數的解題策略，計數方式包含（1）全部 計數（一個一個分、一對多分、嘗試錯誤）；（2）跳著數（3、6、9）；

（3）雙重計數。

（二）加法與減法：在不使用具體物的情形下，透過加法或減法計算。

（三）運用已知或衍生的事實：學童透過已知的加法、乘法、除法事實、

衍生的乘法事實解決問題。

四、Mulligan & Mitchelmore 的研究

Mulligan & Mitchelmore（1997）的研究中發現二、三年級的學童在除 法問題中有四種直觀模式，分別為直接計數（direct counting）、反覆加法

（ repeated addition ）、 反 覆 減 法 （ repeated subtraction ） 與 乘 法 運 算

（multiplication operations）。二年級學童很少使用乘法運算模式，但在三 年級學童中則開始出現。研究結果發現大部份的學童由於受到除法問題的 語義結構或特定數字的影響，而使用不同的直觀模式，而非保持一致。四

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種直觀模式分述如下：

（一）直接計數：先透過具體物模擬情境，再計數組數或組內的個數。

（二）反覆加法：學童透過累加固定數值，直至累加總量等於被除數，也 包括雙重計數、跳著數、加倍的方式。

（三）反覆減法：透過有系統的計算過程，將被除數重複減去固定數值，

直至結果為零，以求得組數或組內的個數，也包括單一計數、規律 的倒數、跳著倒數、減半的方式。

（四）乘法運算：學童猜測答案並運用已知或衍生的乘法事實檢查答案的 正確性。

五、Heirdsfield, Cooper, Mulligan and Irons 的研究

Heirdsfield et al.（1999）觀察 95 位學童從四年級到六年級，觀察學童 在一~三位數的數字組合之乘除法問題中心理計算解題策略的變化，以除 法而言，可歸納出學童具有五種策略，分別為計數（counting）、基本事實

（basic fact）、LR 分離（LR separated）、RL 分離（RL separated）與整體

（wholistic），分述如下：

（一）計數：向前和向後跳著計數、反覆加減、加倍和減半策略。

（二）基本事實：使用已知的除法事實或衍生事實。

（三）LR 分離：根據位值將數由左至右分離分別計算，再將其結合。以 100÷ 5為例，解題策略為 10÷ 5 = 2，0÷ 5 = 0，因此答案為 20。

（四）RL 分離：根據位值將數由右至左分離分別計算，再將其結合。與 LR 分離策略相似，僅分離順序不同。

（ 五 ） 整 體 ： 將 數 視 為 整 體 來 解 題 。 以 100÷ 5 為 例 ， 解 題 策 略 為 100÷ 10 = 10，10× 2 = 20。

六、Downton 的研究

Downton（2009）以 26 位三年級學童為研究對象，探討學童在解決 四種不同語義結構的等分除與包含除時的策略，分別為直接建模（direct

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modelling）、部份建模（partial modelling）、重複加法或減法（repeated addition or repeated subtraction）、建立（building up）、加倍或減半（doubling or halving）、乘法計算 （multiplicative calculation）與整體思維（wholistic thinking），其分述如下：

（一）直接建模：使用實物、手指跳著數或添加計數。

（二）部份建模：藉由具體物或畫圖跳著數或雙重計數到總量（被除數）。

（三）重複加法或減法：從零累加除數，直到累加的量等於被除數。或者 將被除數重複減去除數，直到沒有剩下。

（四）建立：在不使用圖像或計數符號的情形下，從除數跳著計數，直到 結果等於被除數。

（五）加倍或減半：利用加倍或減半結合估算解題。

（六）乘法計算：使用已知或衍生的乘法或除法的事實。

（七）整體思維：將數量視為部份整體思考，使用分配性質、分組或估算 策略解題。

七、尤彥喬的研究

尤彥喬（2004）針對 56 位國小三年級學童進行研究，探討學童在不 同階段除法文字題的解題情形與策略的轉變，發現學童除法文字題的解題 策略有圖像表徵、累減、累加、估算、乘法與除法。

由上述研究可以發現學童在處理除法問題時，其解題策略是由需藉具 體物到運用抽象概念解題，由於處於不同的思考層次而有不同抽象程度的 解題策略，大致可分為直接表徵、加法與減法、乘法事實三種。一般而言，

學童在學習除法知識之初需透過實物的操作來解決問題，此時的學童處於 合成運思期，其解題策略屬於直接表徵。隨著經驗與知識的累積以及思考 層次的提升，二年級學童開始使用加法或減法，可以重複製作一個集聚單 位，此時的學童處於累進性合成運思期 （蔣治邦等人，2000）。甯自強（1994）

認為三年級下學期的學童能以乘法事實解決除法問題，因此其開始具備部

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份全體運思。另外，曾淑芬（2009）從研究結果推估三年級學童的乘除法 運思大致上是處於累進合成運思期到部份全體運思期階段；而四年級學童 的乘除法運思則大致處於部份全體運思期到部份測量運思期階段。

貳、學童正整數除法概念之研究 一、在解題行為方面

在許多關於正整數除法概念之研究中，發現關於學童解題行為的研究 包括：

（一）林碧珍（1991）以五、六年級的學生 128 人為研究對象，主要在探 討兒童解乘除法應用問題的解題行為。發現（1）學童對於乘除法 應用問題的瞭解由簡單至困難是量數同構型、叉積型、比較型、多 重比較型。（2）包含除問題較等分除問題容易。

（二）Brown（1992）將除法問題分為等分除與包含除，在整除、有餘數 且是否被使用（考慮商是否因餘數的關係而加 1）的情境下，探討 二年級學童對於除法問題的理解與解題策略。研究結果發現學童在 包含除且整除的情境問題表現最好，等分除且整除的情境問題表現 次之，而在等分除且需考慮餘數的情境問題表現最差。

（三）Kornilaki & Nunes（2005）探討兒童在離散量與連續量除法問題情 境下的解題表現，研究結果發現量的性質並不會影響兒童的解題表 現。兒童在理解連續量分的問題，並非藉由離散量情境下的策略，

而 是 從 除 數 與 商 數 的 互 換 關 係 中 理 解 ， 如 由12 ÷ 4 = 3，可知 12 ÷ 3 = 4。

（四）游麗卿（1999）針對一群二年級學童從下學期開始進行研究直到四 年級下學期，檢測其除法概念。研究結果中顯示當學生在學習除法 概念時，許多學生能使用加法、減法、乘法算式成功解決問題，但 可能無法正確的說出算式的意義，如：累減策略中減數與乘法策略 中乘數與被乘數的意思。在解決包含除問題時，大多數的學生能正

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確解釋出乘數未知算式的意義，但卻沒辦法正確說明解決等分除問 題乘法算式的含意，雖然學生早已學習過「幾個幾」與「計數集聚 單位的個數」。探究其主要原因是學童不夠瞭解乘式的含意，因此 未將解題活動與乘式的含意做連結。

（五）陳鵬全（2002）以三年級 258 位學童作為研究對象，探討學童在除 法問題上的解題表現。研究結果發現（1）學童無法清楚區別等分 除與包含除問題。（2）當學童以累減策略解題時，發現學童對減數 的含意不清楚；當學童以乘法策略解題時，學童對於乘數與被乘數 的含意不清楚。（3）學童在包含除問題的答對率比等分除問題高。

（六）曾淑芬（2009）從單位量轉換的觀點探討中年級學童在乘除法問題 上的解題表現，研究結果發現：

1. 一階單位轉換問題對三、四年級學童而言最為簡單，依序為二階單 位轉換問題、追加問題與集聚單位，而集聚單位轉換問題則為最難。

2. 三年級學童大致能解決一階單位轉換問題與部份二階單位轉換問題，

2. 三年級學童大致能解決一階單位轉換問題與部份二階單位轉換問題，