結論

壹、國小三年級學童正整數除法概念的理解情形

研究者將正整數除法概念試題分為「平分概念」、「餘數概念」、「除法 算則」、「等分除概念」、「包含除概念」、「二步驟解題」六種類型試題來探 討三年級學童對於除法概念的理解情形。

一、學童在正整數除法概念之各類型試題的答題表現

（一）低、中、高分組學童在正整數除法概念之各類型試題的答題表現 1. 高分組學童在除法概念試題的平均答對率為 89%，「餘數概念」試

題的答對率最低為 80%，其他類型試題的答對率皆達九成以上，表 示高分組學童對於除法概念掌握良好。中分組學童在除法概念試題 的平均答對率為 72%，除了「餘數概念」與「二步驟解題」試題的 答對率為 53%與 64%，其他類型試題皆有七成以上的答對率，表示 中分組學童在除法概念試題上仍有不錯的答題表現。低分組學童在 除法概念試題的平均答對率為 52%，「餘數概念」試題的答對率最 低為 35%，其次為「二步驟題」試題，答對率為 38%，顯示多數低 分組的學童對於除法概念仍是感到困難的。對於三組學童而言，「包 含除」試題易於「等分除」試題，且「餘數概念」試題是最困難的 試題。

2. 在「平分概念」試題類型中，三組學童的答題表現為高分組>低分 組>中分組，各組間皆未達顯著差異。

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3. 在「除法算則」試題類型中，三組學童的表現是中分組>高分組>低 分組，低分組分別和高分組與中分組的平均數達顯著差異，但中分 組和高分組的平均數未達顯著差異。

4. 在「包含除」以及「等分除」試題類型中，三組學童的表現是高分 組>中分組>低分組，低分組的平均數分別和高分組與中分組達顯著 差異，但中分組和高分組的平均數未達顯著差異。

5. 在「餘數概念」與「二步驟解題」試題類型中，三組學童的表現是 高分組>中分組>低分組，且各組間的平均數皆達顯著差異。

（二）學童在不同情境下的答題表現

1. 學童在「包含除」試題的答題表現優於「等分除」試題，且有顯著 差異。此結果與 Brown（1992）、林碧珍（1991）、陳鵬全（2002）

的研究結果一致。

2. 學童在「整除」試題的答題表現優於「有餘數」試題，且有顯著差 異，與 Brown（1992）的結果相同。

二、正整數除法概念各類型試題答題情形之分析

（一）「平分概念」試題的答對率為 82%，超過八成的學童具有平分的概 念，約有 15%的學童因混淆單位數與單位量而選擇錯誤選項。

（二）「餘數概念」試題的平均答對率為 57%，表示學童對於餘數概念的 理解與應用是較具困難的。從學童的答題情形可知：

1. 學童因受了口語表達的影響，認為餘數 0 是沒有餘數。

2. 在要分得最多個數的情境下，有 76%的學童知道運用「餘數小於除 數」的概念解題，但有 20%的學童認為餘數可以等於除數。

3. 超過 50%的學童能從餘數值判斷是否還可再分以及不足的數量，多 數答錯的學童選擇以餘數作為答案，顯示其對餘數意義與應用方面 仍有困難。

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（三）「除法算則」試題的平均答對率為 85%，顯示大多數的學童對於被 除數、除數、商數的位名以及判斷除法算則的正確性是感到容易的。

少數學童易與乘法算則混淆，應是學童在學習除法之初以乘法概念 導入所致。Quinn et al.（2008）認為除數為 0 的除法問題會讓學生產 生混淆，在本研究中也發現部份學童有此現象。

（四）「等分除」試題的平均答對率為 73%，對於等分除整除情境的試題，

學童的平均答對率高，達九成以上；在有餘數的情境中，學童的答 對率下降，表示有餘數的除法問題對學童而言是具有難度的。而「包 含除」試題的平均答對率為 85%，比等分除的平均答對率高，可知 學童對「包含除」概念的理解較「等分除」概念好。

（五）「二步驟解題」試題的平均答對率為 66%。在除法與加法、除法與 減法以及除法與除法試題的平均答對率各為 73%、73%、80%，表 示大部份學童對於這三種類型的應用掌握良好。除法與乘法試題的 平均答對率為 58%，與其他三種類型試題的平均答對率下降許多，

從學童選擇的錯誤選項中，出現以兩個沒關係的數值相除、連除、

將三個數值相乘的解題策略，顯現出學童對於乘法與除法概念易混 淆。

貳、國小三年級正整數除法概念測驗之試題選項特徵曲線分析

本研究之測驗試題以 MATLAB7 計算，並以 EXCEL 繪製每道試題之 選項特徵曲線，呈現出受試者實際的作答情形。研究者將 23 道試題的正 確選項特徵曲線整理分類，共分為五種類型。分別探討如下：

一、正確選項特徵曲線前後兩端的幅度較為平緩，不易區別出此能力值範 圍之受試者的能力高低。對於能力值範圍為-1~1 的受試者而言，能明 顯區別出其能力高低。試題 2、6、8、9、13、17 屬於此類型曲線。

二、正確選項特徵曲線的中間區段呈現平緩，無法有效區別中能力者的能 力高低，對於低能力者能區別該能力組的能力高低。試題 12、14、15、

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21 屬於此類型曲線。

三、正確選項特徵曲線在能力值為-1 以上的區域，呈現遞增，表示此範圍 受試者的答對率隨著能力值的增加而愈高。至於能力值為-1 以下的曲 線區段較為平緩，因此不易區別此範圍受試者的能力。試題 3、5、7、

18 屬於此類型曲線。

四、正確選項特徵曲線在能力值為 1 以上的區段呈現較為平緩，不易區分 此範圍受試者的能力高低。至於在能力值為 1 以下的區段呈現遞增，

能力值愈高答對率隨之愈高，因此易區分此範圍受試者的能力高低。

試題 10、11、16 屬於此類型曲線。

五、正確選項特徵曲線變化的幅度不大，試題的答對率高，因此對於各能 力組的受試者而言，不易區分出其能力高低，試題 1、4、19、20、22、

23 屬於此類型。

參、國小三年級學童正整數除法概念之迷思概念

從受試者選答的錯誤選項以及訪談中，可知學童的的迷思概念有（1）

分不清單位量與單位數。（2）不清楚商的含意，將除法算則中的「商」與 乘法算則中的「積」混淆。（3）餘數大於或等於除數的情形，致使估商錯 誤。（4）根據題目中的關鍵字解題。（5）將商數與餘數的含意混淆。（6）

暗隱模式上的錯誤。（7）不清楚商數是否要加 1，認為只要有餘數，商數 則需加 1。（8）不熟練習九九乘法而估商錯誤。（9）未能掌握被除數的意 義，而導致判斷錯誤。（10）在二步驟解題中，未理解題意之下，僅以單 步驟的除法策略解題。（11）在等分除中，不清楚減數代表的意思。

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