在本研究中，參考了Moyer 等人 (1984) 數學問題情境的分類，
將數學問題分成圖文題與文字題。本節分別針對斜率圖文題和斜率 文字題與交點圖文題和交點文字題進行探討，也就是針對不同表徵 同一題目做探討，茲分述如下。
(一) 斜率圖文題 G2 與文字題 G1 差異之比較 讀題 R
分析 A 探索 E 計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 17 S21 的斜率圖文題 G2 之解題歷程分析圖 讀題 R
分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 18 S22 的斜率圖文題 G2 之解題歷程分析圖
從斜率圖文題之比較中整理出共同的觀點，花費時間差距小，
78
分別是 S21 的 130 秒和 S22 的 160 秒，且 S21 和 S22 皆沒有分析的 階段，主要是因為有參考的函數圖形，不需花費時間另外繪圖。
讀題 R 分析 A
探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 19 S12 的斜率文字題 G1 之解題歷程分析圖 讀題 R
分析 A
探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 20 S11 的斜率文字題 G1 之解題歷程分析圖
從斜率文字題之比較中整理出共同的觀點，花費時間差距大，
分別是 S12 的 104 秒和 S11 的 207 秒，且 S12 和 S11 皆有進行分析 繪圖的階段，但由於對函數圖形的敏感度不同，S12 採用了簡潔的 作圖方法，S11 則鉅細靡遺地將條件繪出，因此，自行繪圖的 S12 和 S11 也多了誤差這樣的不確定因素。
79
從解題歷程圖能看出，斜率圖文題與斜率文字題的解題歷程都 很順利，最後也都得出正確的答案。在時間上，斜率圖文題與斜率 文字題的花費，分別是 S21 的 130 秒和 S22 的 160 秒與 S12 的 104 秒和 S11 的 207 秒，兩人在斜率圖文題的時間相差 30 秒，但另兩人 在斜率文字題的時間相差 103 秒。除此之外，其中一人的斜率文字 題的解題時間僅花了 104 秒，原因是簡潔的繪圖，使解題者省略大 多的時間來進行計畫的階段。值得一提的是，僅在斜率文字題中有 繪圖分析的階段，在兩種題目表徵中，圖文題的圖可以起到輔助的 效益。但又因為斜率題的難度較低，所以兩種不同表徵的解題歷程 都很順利，並無出現往返的情形。
Moyer 等人 (1984) 提到，圖畫題對數學學習上有 4 個優點，試 作斜率圖文題的 S21 和 S22 運用了圖形來減少閱讀的工作記憶，並 建立了適當的數學式子。然而，試作斜率文字題的 S12 和 S11 也透 過了自行的繪圖分析，來彌補了題意的不明確，使題目的需求更清 楚。因此，在學習亦或在解題時，以圖輔助能起到幫助學習的功 用。
Lesh 等人 (1987) 提到，表徵系統互動模式的 5 個元素，表徵 之間的轉譯和同一個表徵內的轉化亦同等重要。試作斜率圖文題的 S21 和 S22 有著參考圖來輔助解題，所以僅經過一次的表徵系統間
80
的轉譯，即為圖轉譯為書寫符號。然而，試作斜率文字題的 S12 和 S11 並無參考圖，故 S12 和 S11 皆經過兩次以上的表徵系統間的轉 譯，即為書寫符號轉譯為圖，再經圖轉譯為書寫符號，在兩次表徵 系統間的轉譯下，工作記憶區的負擔也大幅提升。
(二) 交點圖文題 I2 與文字題 I1 差異之比較
圖 4- 21 S12 的交點圖文題 I2 之解題歷程分析圖 讀題 R
分析 A 探索 E 計畫 P
執行 I ☹
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 22 S22 的交點圖文題 I2 之解題歷程分析圖
從交點圖文題之比較中整理出共同的觀點，兩人皆花費較多的 時間在執行階段，S12 花費了 211 秒，S22 花費了 139 秒。此外，
讀題 R
分析 A ☹ 探索 E
計畫 P
執行 I 驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
81
S12 在解題時經歷了往返的過程，也就是 S12 在執行階段後又回到 讀題的階段。另一個有趣的點是，S22 在解題時並無運用圖來輔助 解題，也就是圖的存在與否不影響到 S22 的解題。
讀題 R 分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I ☹
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 23 S21 的交點文字題 I1 之解題歷程分析圖 讀題 R
分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 24 S11 的交點文字題 I1 之解題歷程分析圖
從交點文字題之比較中整理出共同的觀點，S21 和 S11 花費許多 的時間在執行階段，S21 花了 275 秒，S11 花了 150 秒。僅有 S11 經 歷往返的過程，也就是從執行階段回到探索的階段。在交點文字題 發現，S11 讀題之後便先進行繪圖分析，但 S21 並無繪圖僅列出條 件式。
82
從解題歷程圖可以看出，4 位參與者皆花費大部分的時間在執行 階段，交點圖文題與交點文字題的在執行階段上的花費，分別是 S12 的 211 秒和 S22 的 139 秒與 S21 的 275 秒和 S11 的 150 秒。在 解題的成敗上，僅有 S11 做出正確解答，S22 運用了適合的解題策 略，但在最後關頭 S22 運算失誤，造成 S22 做出了錯誤的答案；另 外，S12 和 S21 皆放棄答題。
值得一提的是，試作交點圖文題的 S22 並無參考圖的資訊，S22 藉著豐富的先備知識，並運用良好的解題策略來解題；試作交點文 字題的 S11 也是藉著豐富的先備知識，透過執行階段中所運算出的 資訊，來推演出題目的關鍵需求。此外，試作交點圖文題的 S12 和 S22 並未運用圖的優勢來解題，主要是因為交點題的複雜度較高，
圖的輔助作用較小。
由於交點題難度較高，解題的流程也相對複雜，在這樣子的情 形下，本研究者觀察到參與者在面對複雜的難題時，在讀題完之 後，先會進行少許的分析，再來進入長時間的執行階段。倘若解題 者在執行的階段中察覺異常狀態，可能會使參與者往返其解題歷 程，就如同 S12 和 S11 在解題時，皆有從執行階段回到讀題或探索 的階段。倘若解題者未發現其中的關鍵，則會一直進行解題，直到 放棄或拼湊出一個解答，就如同 S21 在解題時，持續在執行階段中
83
摸索題目的需求，直到放棄達題。
Schoenfeld (1985) 提到，影響解題須考慮到 4 個變項，包含資 源、捷思、控制及信仰系統。在資源的運用上，試作交點圖文題的 S22 和試作交點文字題的 S11 都展現良好的表現；在捷思上，試作 交點圖文題的 S22 也運用良好的解題策略，來分析與探索題目的條 件。因此，在解題中，有效的利用資源與捷思策略能夠解決不熟悉 的題目。
另外，Clement 等人 (1981) 提到，圖示法會造成學生概念抽象 化的困難。從試作交點圖文題的 S12 之解題歷程，確實發現圖對解 題者的幫助有限，也就是說在複雜的題型，圖較難彌補題意的不 足。
在解題歷程的過程中，Leung (2009) 提出解題歷程可以是雙向 的。從試作交點圖文題的 S12 和試作交點文字題的 S11 中，可以發 現兩人皆在解題過程中出現了往返，試作交點圖文題的 S12 是因為 執行中發現不合理的未知數，因而跳回讀題階段重新審視題目的需 求；試作交點文字題的 S11 是從執行的階段發現線索，因而跳回探 索的階段重新構思。因此，在解題的歷程中，並非單向的過程，重 新審視題目也可以得到更多的線索。
84
85
第伍章 結論與建議
本章將就研究目的和結果，闡述參與者解題中的歷程。本章共 計兩節，第一節提出本研究的結論，第二節則為建議，詳見如下。