表徵形式依據不同的層面有不同的解釋，其分類方法也不同，
本節就表徵形式的意義、表徵形式的分類與不同表徵形式之間的差 異來討論，分別敘述如下：
(一) 表徵形式的意義
「表徵」( representation) 是認知心理學研究領域中相當重要的 概念，因為認知心理學研究的重點在探討人類如何將原始訊息經由 表徵歷程的轉換後，將資訊儲存於記憶中，又如何於需要時取回使 用（張春興，1988）。
由於每位學者所研究的觀點不同，因此對於「表徵」的定義也 有所不同的見解。就問題解決的層次而論，好的表徵有助於問題解 決，而不當的表徵則會妨礙問題的解決。因此問題表徵適當與否，
將會影響數學問題的解題成功與否。
在心理學上，表徵指的是「將外在現實世界的事物以另一種較 為抽象或符號化的形式來代表的歷程」或「訊息處理過程中，將訊 息經編碼後，轉換成另一種型式，以便儲存或表達的歷程」（張春 興，1988）。
在數學方面，Lesh、Post 與 Behr (1987 ) 以問題解決及溝通的觀
17
點，指出「表徵」是指心智過程模式化所使用的符號系統，如：實 物情境、具體操作物、圖、書寫符號、口語符號，也就是學生心中 的想法轉為外顯的外在表現。此外，Kaput (1987) 認為數學中的表 徵主要為心智運作歷程及將心智活動的產物外在化。
綜上所述，表徵是指將心中的概念，用大家可以了解的方式呈 現；亦即用另一種形式將事物或想法重新表現出來，具有溝通的功 能。所以「表徵」除了是進行學習的重要媒介以外，更是個體在進 行運思時的重要工具。在本研究中，表徵所代表的意義為傳遞題目 的資訊，透過具體的形象經解題者對數學概念的了解，而進行訊息 的轉化。
(二) 表徵形式的分類
Bruner (1966) 的認知發展中，認為兒童透過動作表徵、形象表 徵及符號表徵等三種方式，兒童可以從過去的經驗提取保留下來的 經驗模型，以認識當前的刺激或將當前的刺激收納至過去的經驗模 型。其三種表徵模式簡述如下：
1. 動作表徵：只靠動作了解環境的刺激，以動作和操弄等方式 來增加外在環境的認識，尤其當兒童很難藉由文字、語言與圖表 進行表達時，通常需要藉由動作表徵為之。此外，教學者若能經 由實際的操作活動，應能讓學生更清楚瞭解其教學內容。
18
2. 形象表徵：以記憶中的心向做為運思的材料，它是以經濟有 效的方式管理知覺組織，將它有系統的納入過去經驗模型。例 如：學生經由過去所學的一元二次方程式觀念套用在一元二次方 程式圖形上，並且有系統的做取捨。
3. 符號表徵：以抽象的文字符號進行運思。例如：將未知數用𝑥 來取代運算中的未知元素。事實上，符號本身是一種人為的、抽 象的、規約化的文化產物，若欲流暢的使用符號得必須先經過社 會化學習。
從認知歷程的觀點中，Kaput (1987) 將數學中的表徵系統分為四 類：
1. 認知與知覺的表徵 (cognitive and perceptual representation)：
指個體大腦中將訊息儲存或轉換的型式，亦即為個體內在對 於知識與訊息的表徵。
2. 解釋性表徵 (explanatory representation)：用以描述心理結構 的模式，指自然語言或心像與其他數學符號間的聯結。
3. 數學內的表徵 (representation within mathematics)：指以數學 的某一結構來呈現另一種結構特性的系統，亦即為不同數學 結構之間的關聯。
4. 外在符號表徵 (external symbolic representation)：是用來表示
19
抽象的數學概念的物質型式，指以外在的符號物體來表徵數 學概念的系統。
Kaput 表徵的分類中，前三類屬於心智活動，為「內在表徵」； 第四類屬於「外在表徵」。心智活動主要是在個體腦海裡的心智運 作。而外在表徵則是將心智活動，用不同的表徵方式表現出來，即 指將問題的某些部份外在化，利用不同型式表現出來。
除了 Bruner 從運思的觀點及Kaput 從認知歷程的觀點所提及的 表徵，還有一些表徵形式可做為幫助數學思考的工具。Lesh、Post 和 Behr (1987) 用溝通的觀點描述了五種表徵的元素，包括實物情境 (real scripts)、具體操作物 (manipulative models)、圖 (static
pictures)、書寫符號 (written symbols)、以及口語符號 (spoken language)。
Lesh 等人 (1987) 強調此表徵系統互動模式不僅五個元素都很 重要，表徵之間的轉譯和同一個表徵內的轉化亦同等重要。換言 之，不只是構成的五個元素為重要，元素與元素間的動態關係亦至 為重要。解題者在其中一個表徵狀態下解題，若是不順利，就會轉 譯成別的表徵下再次進行解題，直到順利完成。例如：解題者在書 寫符號「yx2」時，也許會轉譯到圖，在這兩個表徵間往返，便產 生意義，協助解題。
20
圖 2- 3 表徵系統互動模式圖（譯自 Lesh, 1987）
Moyer 等人 (1984) 則將數學問題的情境，運用圖畫式
(drawn)、文字式 (verbal) 和短語式 (telegraphic) 等三種表徵方式呈 現。圖畫式問題是參照具體物繪製，以圖畫為主呈現問題的形式；
文字式問題則類似應用問題的模式；短語式問題則是以文字式問題 為基礎，但盡量減少冗長的文字敘述，以短語的方式呈現問題的主 軸。可見同一道數學問題，能運用三種不同的方式來呈現。在本研 究中，也運用了 Moyer 等人 (1984) 對數學問題的分類方法，本研 究者將函數的數學問題分成圖文題與文字題，以兩種表徵方式來做 解題歷程的探討。
上述各學者對表徵的看法在某些觀點上是有所不同的，Bruner 與 Kaput 認為表徵是個體內在的活動，所以當個體形成心像或符 號，並不必然需要與他人溝通，而動作、圖像、與符號的表徵代表 著運思的抽象程度；Lesh 所謂的表徵，以溝通為目的，運用不同表
21
徵之轉換能力作為判斷理解知識的證據；Moyer 則以數學問題的情 境為主，去區分數學問題的面向，作為訊息轉化的依據。雖然四者 的分類觀點不同，但是相同的地方為學習者必需從不同型式的表徵 系統中獲得數學概念，更要能將同一數學概念在不同表徵之間自由 轉譯，才表示完全理解數學概念。
(三) 不同表徵形式之間的差異
在數學的學習上，同一個數學知識或概念均可用多種不同的形 式加以表徵。若能透過不同題目表徵型式的輔助，幫助學生理解問 題描述，改善學生解題時的工作記憶負荷，對其解題表現將有所助 益 (Chi, 1983)。由於本研究將探討圖文表徵與文字表徵對學生解題 歷程的影響，因此就圖像表徵、文字表徵的差異做探討。
對概念學習而言，圖通常蘊含大量訊息與概念內容，另具描繪 與事物有關的空間及視覺特性、整合與補充課文內容…等性質。換 言之，圖像表徵為協助學生從教材中，快速了解及建構的有效工 具。反觀，口語訊息則較難說明概念的整理架構，需用複雜與大量 語法或文字方能詳盡說明。
對教學而言，雖然圖像表徵具有上述的優點，但使用之際需考 量學生的認知負荷，以免使用不當造成干擾或誤導，加上目前許多 教科書並非極力極度重視文本內圖像的呈現 (Schnotz & Bannert,
22
2003)。因此，圖像表徵的使用雖具提升教學成效的潛力，但若使用 不當亦可能出現反效果。蔡興國、陳錦章和張惠博（2010）亦指出 若學生對於抽象幾何概念的學習有困難，應鼓勵學生退回圖像表 徵，充分瞭解情境之後，再進入抽象幾何概念。
然而，Clement、Lochhead & Monk (1981) 認為圖像表徵對於學 生在形成有效的問題上是無助益的，甚至會造成學生概念抽象化的 困難。因此，有學者 (Moyer et al., 1984) 認為圖像表徵在數學的學 習上優點如下。
1. 減少與閱讀有關的工作記憶。
2. 幫助學生回憶類似記憶，建立適當的問題表徵。
3. 鼓勵學生投入理解題意。
4. 使不明的題意更明確，彌補文字資料的不足。
在文字符號表徵部份，Davis (1984) 提到數學概念的理解包括兩 個部分，一個是能以多重的表方式徵來呈現某一個概念，一個是能 夠以一套符號或系統來表徵數學的概念，並且能夠在不同表徵系統 間作轉換。Brenner、Heaman 和 Zimmer (1999)認為表徵系統的轉 譯方式分為兩類，一類在各個表徵系統之間的轉譯；另一類為在某 一個表徵系統做轉化。其實，Davis 和 Brenner 等人的說法是一樣 的，而這些內容包含了較多的訊息待處理，會增加解題者工作記憶
23
的負擔。
Collis (1975) 將學生對文字符號的理解分為「視文字符號為一 個數字」、「視文字符號忽略不用」、「視文字符號為一個物 件」、「視文字符號為一個特定的未知數」、「視文字符號為一般 數」以及「視文字符號為一個變數」等六個類別。郭汾派、林光賢 與林福來（1989）指出，文字符號在代數解方程式、應用題等題材 上都需被使用，是重要的數學概念。
綜合這些文獻發現，學生對於文字符號會產生將文字符號當成 未知數、某數或任意數的另有概念 (Clement, Lochhead & Monk, 1981)。若問題的陳述內容與學生的經驗有關係，將有助於訊息的提 取，減少工作記憶負荷，幫助學生在文字題的解題表現。然而，若 文字題的問題長度過長，包含了較多的訊息待處理，會增加解題者 在工作記憶的負擔 (Barnett, 1979)，減慢解題速度或增強解題難度。
除此之外，Janvier (1987) 把表徵形式分成口語、表、圖及公 式，並將各個表徵之間轉換的關係命名，如下表。
24
表 2- 3 表徵間轉化之命名表 (譯自 Janvier, 1987) 目標表徵
口語 表 圖 公式
原 始 表 徵
口語 測量 素描 建模
表 閱讀 繪製 代入
圖 詮釋 讀 曲線代入
公式 察覺 計算 素描
然而，個體讀取文字訊息時，必須從頭開始閱讀與搜尋相關資 訊，然後儲存在記憶中，之後週而復始的搜尋下一個需要的資訊，
直到解題所需要資訊都齊全為止。反之，在圖畫題中，通常找到第 一個資訊，解題者就容易在鄰近的地方搜尋到其他的相關資訊了 (Larkin & Simon, 1987)。然而，Lesh 等人 (1987) 也發現表徵形式 間的轉換有難度差別，也發現將圖片題轉譯成書寫符號，在認知上 是最困難的。
在國內，郭汾派、林光賢與林福來（1989）修訂 CSMS 團隊所 編製的試題進行本土的研究，研究指出，學生在文字符號單元容易 出現錯誤。
而其他學位論文（吳曜溱，2009；林美惠，1997；林欣姿，
2011；劉永政，2015；胡惠茹，2009；郭錦蓉，2012；蔡其霖，
25
2011；邱欣慧，2008）也呼應郭汾派等（1989）的發現。
綜合上述觀點，多位學者均肯定不同表徵方式在學生數學學習 上的意義，學生若能適當地運用多樣化的表徵，不僅能夠增進數學 概念的理解，並且可做為與他人溝通數學想法的媒介。此外，圖像 表徵的使用雖具提升教學成效的潛力，但若使用不當亦可能出現反 效果 (Clement, et al., 1981)。因此，在數學學習如果多提供學生運用 表徵的機會，讓表徵成為數學思考能力的工具，對於學生數學概念 的發展有很大的助益。