本研究者對高雄市某高中二年級小元和小安進行原案分析，並 參考 Schoenfeld (1985) 提出來的數學解題歷程，把參與者之解題歷 程分為六個階段，分別為讀題 (R)、分析 (A)、探索 (E)、計畫 (P)、執行 (I)、驗證 (V)，分別詳述如下。
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(一) 小元：斜率圖文題、交點文字題
1. 斜率圖文題：事有蹊蹺 🙂
設A
1,1 ,B 3,5 ,C 5,3 ,D 0, 7 ,
E 2, 3
及F
8, 6
為坐標平面上的六個點。若直線L分別與三角形 ABC 及三角形DEF恰有一個交 點，則L的斜率之最小可能值為何？
首先，小元率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R：19 秒），就開始下一步動作。小元認為L的斜率之最小可能值，應該是 最平緩（分析 A：25 秒）。因此，小元從圖中，判斷出直線L恰與兩 三角形各交於一點的情況，只會出現在直線L分別通過兩三角形的 其中一個頂點（探索 E1：36 秒）。
接著，小元便在圖上繪出可能的狀況，透過三角形的頂點連線 來確定交點的數量，小元也發現了不是所有的頂點連線都剛好可以
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滿足題目的條件(計畫 P1：59 秒)。
整理出題目的條件後，小元便開始計算兩點連線的斜率(執行 I1：40 秒)。
在計算完其連線斜率後，小元有一個突破性的發現：
小元：最小可能值好像還有可能是另外一個，因為最小可能值，如果絕對 值越大加上負號的話結果就會越小。
此一發現讓小元有新的想法，L的斜率之最小可能值是負數，所 以其值的絕對值越大所得出的負數越小(探索 E2：13 秒)。小元立即 從圖中選取符合需求的兩點連線(計畫 P2：13 秒)。並計算其斜率值 (執行 I2：20 秒)。
小元將新的結果「-3」與前一答案「-1」相比，確實有比上一 次算的小。除此之外，小元再一次去確認圖中兩點連線的斜率值是 否還有其最小的可能性(驗證 V：18 秒)，經確認後得出其答案。
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讀題 R 分析 A 探索 E 計畫 P 執行 I
驗證 V 🙂
時間(分) 0 1 2 3 4 5
圖 3- 2 小元的斜率圖文題之解題歷程分析圖 2. 交點文字題：錯誤判斷 ☹
坐標平面上，若直線yax b 與二次函數yx2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數y
x 2
212的圖形恰交於一點，則 (a,b)為 何？小元率先進行讀題，先將題目念過一遍後(讀題 R：17 秒)，就 開始下一步動作。小元看到題目的條件，題目需要求交點，小元便 把條件列出來(分析 A1：20 秒)。
接著，小元認為yax b 和y x2恰交於一點，以及yax b 和
2
2 12y x 也恰交於一點，因此，這三個方程式必會交於一點 (探索 E：53 秒)。
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經過運算與化簡後，最後得出x4和y16(執行 I1：77 秒)，
小元嘗試著將x4和y16代回yax b ，卻發現無效。小元重新 檢視題目與作圖(分析 A2：29 秒)，並著手下一個步驟。
小元認為直線yax b 與兩拋物線恰有一交點的情形，只會發 生在拋物線的頂點(計畫 P：18 秒)。
小元：一函數通過原點，一函數通過 (2,12) ，恰交於一點的話，他們倆個 都是二次函數，代表要交於一點的話，他只會交在頂點上面。
接著，小元便將(0,0)和 (2,12)代入直線yax b (執行 I2：33 秒)，最後得出答案。
讀題 R 分析 A
探索 E
計畫 P
執行 I ☹
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5
圖 3- 3 小元的交點文字題之解題歷程分析圖
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(二) 小安：斜率文字題、交點圖文題
1. 斜率文字題：粗枝大葉 ☹
設A
1,1 ,B 3,5 ,C 5,3 ,D 0, 7 ,
E 2, 3
及F
8, 6
為坐標平面上的六個點。若直線L分別與三角形 ABC 及三角形DEF恰有一個交 點，則L的斜率之最小可能值為何？
首先，小安率先進行讀題，先將題目念過一遍後(讀題 R1：30 秒)，就開始下一步動作。小安就直接進行作圖的步驟(分析 A1：87 秒)。作完圖的小安，似乎忘了題目的條件，又重新閱讀了題目(讀 題 R2：16 秒)。
接著，小安嘗試在空中比劃斜率的走向(分析 A2：23 秒)。然 而，小安不確定題目給出的條件，又回去讀了一次題目(讀題 R3：
25 秒)。小安再次在空中比劃斜率的走向，小安認為負斜率才可能 是最小值，而且直線越平緩斜率越小(分析 A3：24 秒)。
小安：負的斜率的最小值(用手在空中比劃)，越平緩斜率越小。
小安從圖中找出滿足剛剛的分析結果：直線越平緩斜率越小，
就是A和F的連線線段，並計算AF連線線段的斜率(執行 I：36
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秒)。為了驗證答案就是AF連線線段的斜率，小安還去計算了AD 連線線段的斜率，發現AD連線線段的斜率為正數，所以AF連線線 段的斜率即為最小值(驗證 V：36 秒)。
讀題 R 分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I
驗證 V ☹
時間(分) 0 1 2 3 4 5
圖 3- 4 小安的斜率文字題之解題歷程分析圖 2. 交點圖文題：一意孤行 ☹
坐標平面上，若直線yax b 與二次函數yx2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數y
x 2
212的圖形恰交於一點，則 (a,b)為 何？小安率先進行讀題，先將題目念過一遍後(讀題 R1：31 秒)，就
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開始下一步動作。接著，小安在圖上標記題目的資訊(分析 A1：59 秒)，然而，小安對題目給出的條件「恰交於一點」感到疑惑。
小安：恰交於一點，所以是三條都交於一點？不對。
小安便陷入一片沉默，並一直重複的讀題(讀題 R2：136 秒)。
小安突然跳脫迴圈，提出解聯立方程的想法，把y x2和yax b 解聯立方程式，及y
x 2
212和yax b 解聯立方程式(分析A2：68 秒)。
小安經過一番的整理與化簡，最後得出了x4和y16，此 時，小安將點 (4,16) 代入yax b 中，得出16 4a b 一式。接著小 安面對這樣的結果採取了暴力破解法(執行 I：306 秒)，最後得出了 答案為(8, 16) 。
讀題 R 分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I ☹
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 圖 3- 5 小安的交點圖文題之解題歷程分析圖
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(三) 綜合討論與比較
本研究主要分析圖文題與文字題的差異，所篩選出題目的類型 相關性較低，第一題為斜率題、第二題為交點題，兩道題目要求解 題者的解題技巧上也有很大的差異，故不討論題目順序對解題歷程 的影響。
另外，由於以上兩道題是本研究者從大考中心篩選出，經大考 中心的統計整理中得知，斜率題全體學生的答對率為 39%，高分組 學生的答對率為 71%；交點題全體學生的答對率為 15%，高分組學 生的答對率為 42%。由此可知，交點題的難度高於斜率題。在本研 究中，從 Schoenfeld 解題歷程也能看出相對應的結果，也就是說，
交點題比較難，然而解題歷程也比較複雜。
研究者分別對斜率圖文題和斜率文字題以及交點圖文題和交點 文字題做分析，結果得知斜率圖文題、斜率文字題、交點圖文題、
交點文字題，4 題分別歷時 243 秒、292 秒、600 秒、247 秒，發現 交點圖文題所花費時間與本研究的假設不同，本研究假設的觀點為 圖文題的解題時間會少於文字題，預試後的結果發現交點圖文題所 花費的時間遠高於交點文字題。另外，只有參與者小元的斜率圖文 題答案是正確的，其餘的斜率文字題、交點圖文題、交點文字題答 案皆是錯誤的。
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在時間上，斜率圖文題花費最多的時間為計畫階段 59+13 共 72 秒，其次為執行階段 40+20 共 60 秒。斜率文字題花費最多時間為分 析階段 87+23+24 共 134 秒，其次為讀題階段 30+16+25 共 71 秒。
交點圖文題時間花費最多的為執行階段共 306 秒，其次為讀題階段 31+136 共 167 秒。交點文字題時間花費最多的為執行階段 77+33 共 110 秒，其次為分析階段 20+29 共 49 秒。
本研究認為，第一題斜率題較為單純，題目架構簡單明瞭。從 斜率圖文題中可以看出，參與者小元花費許多時間在分析與計畫的 階段，並在執行完後，透過圖形的資訊能夠有更好的驗證方法。然 而，從斜率文字題中可以看出，參與者小安花費了許多時間在讀題 與分析上，研究者從旁觀察發現，小安時常檢視題目中的敘述，又 因為不準確的手繪作圖，造成小安判別上的錯誤。
由於題目篩選的關係，交點題的難度較高，其解題歷程也較繁 瑣，因此，這一題答對率相當地低。從交點圖文題可以看出，參與 者小安花費許多時間在執行階段，研究者從旁觀察發現，小安在做 困難的題目時，分析階段的時間相對執行階段少。反之，從交點文 字題可以看出，參與者小元花費許多時間也是在執行階段。面對困 難的題目，小元和小安皆直接根據先備知識來執行，較少將時間花 費在分析的階段上，才導致失敗的解題。
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綜觀上述所說，本研究認為在 Schoenfeld 解題歷程中，影響函 數圖形問題解題的 3 個關鍵階段分別為讀題階段、分析階段與執行 階段，茲分別敘述如下：
1. 讀題階段
從以上 4 題的解題歷程階段圖得知，讀題階段在整個解題歷 程中扮演重要的角色，讀題所花費的時間越長，後續執行的階 段所花費的時間則越少。學者 Chi (1983) 提到，若能透過不同 題目表徵型式的輔助，幫助學生理解問題描述，改善學生解題 時的工作記憶負荷，對其解題表現將有所助益。
2. 分析階段
在分析階段，學生必須要掌握圖的具體意象，以及了解題目 條件的需求，方可進入探索階段。斜率文字題的部分，由於參 與者小安在不準確的手繪圖形中，犯下判別的失誤。在此也呼 應 Lesh 等人 (1987) 提到不同的表徵間的轉譯難度不同，尤其 是圖像表徵轉換為符號表徵，便會影響解題的成功與否及解題 歷程。
3. 執行階段
解決函數圖形問題的過程中，執行階段包含了解聯立方程 組、熟悉判別式的運用以及解一元二次方程式，這些都牽涉到
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解題者本身過去所培養的計算能力。羅迎新（2006）認為在解 題中若能轉換解題策略，對解題者的解題方式將有所助益。
本研究於預試階段，目的在了解試題的語句敘述是否清楚明 瞭、條件是否完整，以及是否有未設想到的外在因素存在，故只將 預試資料進行初步的解題歷程分析。
(四) 試題修正
經預試後，斜率圖文題、斜率文字題與交點文字題無需做修 正，參與者能迅速清楚了解題意。但交點圖文題於預試階段中，參 與者無法從圖示當中明確的辨認出其所代表的方程式，以及兩拋物 線與直線的交點為何，導致圖形判斷的偏差。故研究者與 3 位研究 生及 1 位教授共同討論之後，決定將交點圖文題中的圖示做修改，
並標記題目文字敘述中的恰交與一點的情形。修改後試題如下（見 表 3-4 的比較表）：
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表 3- 4 試題修正之前後比較表
坐標平面上，若直線yax b 與二次函數yx2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數y
x 2
212的圖形恰交於一點，則 (a,b)為 何？原始題目之圖形 修改後之圖形 修改內容
因原圖形造成參與者 的判斷困難，所以僅 將圖形做修改並未修 改文字內容，並將題 目文字敘述中的恰交 與一點的情形標記在 圖形上。
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第肆章 研究結果
本研究以屏東市某高中二年級的學生為研究對象，採便利取樣 選取 4 位男學生化名為：
S12（斜率文字題 G1，交點圖文題 I2）
S21（斜率圖文題 G2，交點文字題 I1）
S11（斜率文字題 G1，交點文字題 I1）
S22（斜率圖文題 G2，交點圖文題 I2）
學生化名的依據為 Student 的首位英文文字 S，序號為其拿到題 目表徵的編號，研究者將文字題編碼為 1、圖文題則編碼為 2，故第 一位男學生為 S12 也就代表第一題的表徵是文字題、第二題的表徵 是圖文題。此外，研究者將斜率題 Gradient 取其首位英文文字 G 作 為編碼，以及將交點題 Intersect 取其首位英文文字 I 作為編碼。
題目所對應的表徵類型的分配為隨機抽選，並以放聲思考與事 後晤談蒐集資料並撰寫逐字稿。本章輔以正式施測試題逐字稿（附 錄五）、正式施測試題計算過程（附錄六），針對 S12、S21、S11、
S22 之解題歷程進行分析。
本章研究結果與發現共分為 2 節，第一節為函數圖形解題歷程 分析；第二節為兩種表徵間解題歷程的差異。