本節主要根據研究結果，給予未來研究與教學上兩方面的建 議。
(一)
未來研究上的建議本研究針未來研究方面，提出以下 3 點建議，包含選用不同題 材、增加不同難易度的題目、增加研究對象。
1. 選用不同題材
本研究探討的是不同表徵下在函數圖形的解題歷程，除了 函數圖形之外，題目變化並不多，往後的研究可針對情境化以 及需要多步驟之題目作探討。
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2. 增加不同複雜度的題目
本研究發現，複雜度可能會影響題目表徵形式的解題歷程，
如：參與者試作難且複雜的交點題時，其解題歷程大多不順 利，且容易失敗。未來研究可從不同的解題複雜度或難易度，
來探討題目表徵形式的解題歷程。
3. 增加不同成就的研究對象
本研究因限於時間、人力之限制，樣本僅採用數學解題能 力較高之學生，建議在為來的研究中，可以增加不同成就的研 究對象，若是中、低能力對象未能解答較複雜的題目或是無法 呈現 Schoenfeld 六階段，研究者不妨使用 Polya (1945) 的解題 歷程來分析，其結果更具代表性。
(二) 教學上的建議
本研究針對實務教學方面，提出以下 3 點建議，包含著教師宜 著重於學生數學解題的過程，教師宜注意圖形對解題的影響，以及 教師應培養學生對於表徵間的轉譯能力。
1. 教師宜著重於學生解題能力的培養以及注重學生的解題歷程 本研究發現，解題者遇到不熟悉的題目，讀題後會簡單的分 析，再來進入執行階段，較不會有分析、探索、計畫階段。因 此，教師在建立觀念時，應有承先啟後的組織架構，強化學生
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在分析與探索的思維，並提醒學生要完成驗證與回顧的階段。
2. 教師宜注意圖對解題者的影響
本研究發現，良好的圖文題設計能夠改善解題歷程，不適合 的圖文題對解題者沒有幫助，教師得設計良好的圖像表徵來幫 助學生學習。此外，透過教師教學應指導學生辨別有效的圖，
以避免錯誤的圖干擾。
3. 教師應培養學生對於表徵間的轉譯能力
本研究發現，表徵間的轉譯能力十分的重要，除了將文字符 號轉譯成圖，亦或者將圖轉譯成數學式子。在函數圖形單元 中，表徵間的轉譯能力影響學生學習與解題，教師應加強學生 在表徵間的轉譯。除此之外，表徵間的轉譯能力也達到 108 課 綱所提及的溝通互動之基本理念，與他人溝通並解決問題之 外，也能避免學生一直作答失敗。
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參考文獻
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附錄
附錄一 預試試卷
放聲思考練習題
1. 試求出方程式(x − 2)2+ 5(𝑥 − 2) − 14 = 0的解為 a、b，且a >
b，則a =？
2. 有一個等式如下：
y = −5𝑥2 + 40𝑥 − 77 請找出這個拋物線的頂點坐標。
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預試試題
1. 設 A(1,1), B(3,5), C(5,3), D(0,-7), E(2,-3) 及 F(8,-6)為坐標平面上 的六個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 恰有 一個交點，則 L 的斜率之最小可能值為何？
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2. 坐標平面上，若直線 y = ax + b 與二次函數 y = x2的圖形恰交於 一點，亦與二次函數 y = (x - 2)2 + 12 的圖形恰交於一點，則 (𝑎, 𝑏)為何？
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附錄二 預試試題逐字稿
(一) 小元斜率圖文題逐字稿
原案 備註
(編號) 0015 (19s)
設 A(1,1), B(3,5), C(5,3), D(0,-7), E(2,-3) 及 F(8,-6)為坐標平面上的 六個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 恰有一個 交點，則 L 的斜率之最小可能值為何？
0034 (25s)
A(1,1), B(3,5) 最小… DEF 恰有一個交點所以 L 的斜率可能多少，
最小斜率…代表他要很靠近 x 軸。
0059 (36s)
所以這個圖看起來…等一下！若把這兩點連起來，恰有一個交 點，恰有一個交點的話，那就只能連在他的頂點上才會有一個交 點，要不然都會超過一個交點
0135 (59s)
所以他…嗯？怎麼感覺好像 BE 不太可能，好像只能 AD 跟 CF 而 已，不然感覺怎麼連都是怪怪的，所以不是 AD 就是 CF，如果連 BE 的話上面會有兩個交點，連 BD 也是，BF 也是上面會有兩個 交點，如果是 AD 則各有一個交點，AE 也是會有兩個交點，AF 也行，然後 CD 兩個交點，CE 也是兩個交點，CF 好像可以。
0234 (40s)
直接看這個圖，斜率最小的應該是 AF 這兩個點。
A 點是(1,1)F 點是(8,-6)，然後直接算斜率就行了， (計算 AF 斜 率)
0314 (13s)
最小可能值好像還有可能是另外一個，因為最小可能值，負號如 果越大的話就會越小
讀題(R)
分析(A)
探索(E1)
計畫(P1)
執行(I1)
探索(E2)
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原案 備註
(編號) 0327 (13s)
這個 CF 好像就更小，因為它的絕對值比較大，加上負號就變更 小，來求一下 CF 的斜率好了，覺得 CF 好像更符合題意
0340 (20s) (計算 CF 斜率)
0400 (18s)
-3 比-1 來得小，那應該是這個，因為 AD 的斜率應該是正值，所 以應該會比他們都還大，所以這應該是最小的斜率了！
0418 共 243s
計畫(P2)
執行(I2)
驗證(V)
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(二) 小元交點文字題逐字稿
原案 備註
(編號) 0003 (17s)
坐標平面上，若直線 y = ax + b 與二次函數 y = x2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數 y = (x - 2)2 + 12 的圖形恰交於一點，則 (𝑎, 𝑏)為 何？
0020 (20s)
要求交點就用…先把他列出來好了。(列條件式中)
0040 (53s)
圖形恰交於一點，代表直線與這個有交點，與那個也有交點，代 表他們有一個地方會相等。
他們都會有一個交點，所以他們三個函數都會有一個交點，嗯…
應該是
0133 (77s)
(計算一元二次式)，計算出 x = 4, y = 16。
將之代回去仍解不出 a,b，因為只有一個點是解不出兩個未知數。
所以(4,16)兩函數會有交點，但是…
0250 (29s) (將 y = x2畫出) 0319 (18s)
一函數通過原點，一函數通過(2,12)，恰交於一點的話，他們倆個 都是二次函數，代表要交於一點的話，他只會交在頂點上面
0337 (33s)
那代表 y = ax + b 應該會通過(0,0)，b 應該等於 0，然後他又跟 y = (x - 2)2 + 12 交於一點而已，應該也是交於他的頂點，所以他的頂 點應該是(2,12)，所以 y = ax + b 也會通過(2,12)，所以答案為 a = 6, b = 0。
0410 共 247 秒
讀題(R)
分析(A1)
探索(E)
執行(I1)
分析(A2)
計畫(P)
執行(I2)
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(三) 小安斜率文字題逐字稿
原案 備註
(編號) 0018 (30s)
設 A(1,1), B(3,5), C(5,3), D(0,-7), E(2,-3) 及 F(8,-6)為坐標平面上 的六個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 恰有 一個交點，則 L 的斜率之最小可能值為何？
0048 (87s)
先畫圖吧!(在紙上作圖)
0215 (16s)
直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 恰有一個交點。
0231 (23s)
最小值…最小值的話，是負的，這樣走的話。
0254 (25s)
與三角形 ABC 及三角形 DEF 恰有一個交點？
0319 (24s)
負的斜率的最小值(用手在空中比劃)，越平緩斜率越小。
0346 (36s) (計算 AF 斜率) 0422 (48s)
代代看 AD (計算 AD 斜率)。喔！是正的。那 AD 就不是答案。
AE 也不可能，那…
那答案就是 AF 了。
0510 共 292 秒
讀題(R1)
分析(A1)
讀題(R2)
分析(A2)
讀題(R3)
分析(A3)
執行(I)
驗證(V)
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(四) 小安交點圖文題逐字稿
原案 備註
(編號) 0004 (31s)
坐標平面上，若直線 y = ax + b 與二次函數 y = x2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數 y = (x - 2)2 + 12 的圖形恰交於一點，則 (𝑎, 𝑏)為 何？
0035 (59s)
直線 y = ax + b 與二次函數 y = x2 …y = x2 的話應該是這條，y = (x - 2)2 + 12，x = 2 的時候 y = 12 應該是這條(在圖形上標記)
恰交於一點，所以是三條都交於一點？不對。
0134 (136s)
y = ax + b 與二次函數 y = x2的圖形交於一點，亦與二次函數 y = (x - 2)2 + 12 的圖形恰交於一點。
亦與…他跟 y = x2的圖形交於一點，也跟 y = (x - 2)2 + 12 的圖形交 於一點。然後(𝑎, 𝑏)為何？
0350 (68s)
交於一點喔？所以要解聯立？
0458 (306s)
(計算二次函數分別與直線的交點)
(代入解倆二次函數交點)得知交點為(4, 16)
將(4, 16)代入直線方程式。不對耶！有三個未知數。
亂猜代入應該會知道(暴力破解)，答案為(8, -16)
1004 共 600 秒
讀題(R1)
分析(A1)
讀題(R2)
分析(A2)
執行(I)
103
附錄三 預試試題計算過程
(一) 小元斜率圖文題計算過程
104
(二) 小元交點文字題計算過程
105
(三) 小安斜率文字題計算過程
106
(四) 小安交點圖文題計算過程
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附錄四 正式施測試題 有聲練習題
1. 試求出方程式(x − 2)2+ 5(𝑥 − 2) − 14 = 0的解為 a、b，且a >
b，則a =？
2. 有一個等式如下：
y = −5𝑥2 + 40𝑥 − 77 請找出這個拋物線的頂點坐標。
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正式試題
1. 設A(1,1), (3,5), (5,3), (0, 7), (2, 3)B C D E 及F(8, 6) 為坐標平面 上的六個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 恰 有一個交點，則 L 的斜率之最小可能值為何？