本節採用Schoenfeld (1985) 的解題歷程，針對參與者 S12、
S21、S11、S22 的解題歷程進行探討與並分析。由於每個人在不同 的題目間都有其解題特色，故分別賦予形容詞說明 4 位學生在不同 題目的解題歷程，茲分述如下：
S12
斜率文字題 G1：一蹴而就；交點圖文題 I2：突發奇想卻失敗。
S21
斜率圖文題 G2：事以密成；交點文字題 I1：一意孤行。
S11
斜率文字題 G1：敏銳且成功；交點文字題 I1：靈光乍現。
S22
斜率圖文題 G2：迎刃而解；交點圖文題 I2：大意失荊州。
(一) S12：斜率文字題 G1、交點圖文題 I2
1. 斜率文字題 G1：一蹴而就
設A
1,1 ,B 3,5 ,C 5,3 ,D 0, 7 ,
E 2, 3
及F
8, 6
為坐標平面上的六個點。若直線L分別與三角形 ABC 及三角形DEF 恰有一個交 點，則L的斜率之最小可能值為何？
S12 率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R：29 秒），就
55
開始下一步動作。S12 選擇先作圖，並將點依序標至坐標平面中
（分析 A：41 秒）。
緊接著，S12 判斷L斜率的最小值是通過 C 和F（計畫 P：11 秒），並著手進行計算。將C 和F的坐標代入斜率公式中（執行 I：
23 秒），最後得出L斜率的最小值為3。 讀題 R
分析 A
探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 1 S12 的斜率文字題 G1 之解題歷程分析圖
56
2. 交點圖文題：突發奇想卻失敗
坐標平面上，若直線yax b 與二次函數yx2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數y
x 2
212的圖形恰交於一點，則 (a,b)為 何？S12 率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R1：35 秒）， 就開始下一步執行動作。S12 不管題目的條件如何，直接進行運 算，並將yx2代入y
x 2
212，得出x4和y16（執行 I1：140 秒）。此時，S12 將點 (4,16) 標至圖中，但對解題進度沒有明顯 的進展。
這時候，S12 突發奇想，把yx2代入yax b ，得
2 0
x ax b 一式（執行 I2：71 秒）。此時，S12 又陷入一片沉 思。突然間，S12 再去讀了題目，且反覆的讀了又讀（讀題 R2：58 秒）。
S12： y ax b 與二次函數yx2的圖形恰交於一點，亦與二次函數
57
22 12
y x 恰交於一點。都恰交於一點…
S12 經過讀題後，似乎有些許的靈感，便假設兩拋物線與 yax b 分別交於兩點A、B，A點為yx2和yax b 解聯立方 程式，B點為y
x 2
212和yax b 解聯立方程式（分析 A：47 秒）。經整理後，S12 面對著三個未知數，仍舊束手無策，最終放 棄回答這一題。圖 4- 2 S12 的交點圖文題 I2 之解題歷程分析圖 讀題 R
分析 A ☹
探索 E
計畫 P
執行 I 驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
58
(二) S21：斜率圖文題 G2、交點文字題 I1
1. 斜率圖文題 G2：事以密成
設A
1,1 ,B 3,5 ,C 5,3 ,D 0, 7 ,
E 2, 3
及F
8, 6
為坐標平面上的六個點。若直線L分別與三角形 ABC 及三角形DEF 恰有一個交 點，則L的斜率之最小可能值為何？
S21 率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R：19 秒），就 開始下一步動作。S21 從圖形中，判斷出直線 L 恰與兩三角形各交 於一點的情況，只會出現在直線 L 分別通過兩三角形的其中一個頂 點（探索 E：54 秒）。接著，S21 便在圖上繪出可能的狀況，透過三 角形的頂點連線來確定交點的數量（計畫 P：10 秒）。
S21 由斜率的性質知道，CF 線段的斜率會是最小值。把 C 和F 座標列出來後，用斜率的定義將之算出（執行 I：53 秒)，得出答 案。
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讀題 R 分析 A 探索 E 計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 3 S21 的斜率圖文題 G2 之解題歷程分析圖
2. 交點文字題 I1：一意孤行
坐標平面上，若直線yax b 與二次函數yx2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數y
x 2
212的圖形恰交於一點，則 (a,b)為 何？S21 率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R：45 秒），就 開始下一步動作。S21 由題目得知yax b 會過y x2和
2
2 12y x （分析 A：24 秒），所以 S21 試圖去找出他們的交 點。
緊接著，S21 把yx2代入y
x 2
212，得出x4和y16（執行 I1：111 秒）。此時，S21 將點 (4,16) 代入yax b 中，得出
16 4a b 一式（執行 I2：87 秒），接著 S21 便陷入一陣沉思，這
樣的結果顯然對解題進度沒有進展。
60
但 S21 仍想從此一觀點切入，S21 把yax b 整理成 y b x a
的
形式，並且將 y b x a
代入y x2中，經過一連串的運算與化簡（執
行 I3：77 秒）。最後面對有三個未知數的式子，S21 最終放棄了答 題。
讀題 R 分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I ☹
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 4 S21 的交點文字題 I1 之解題歷程分析圖
61
(三) S11：斜率文字題 G1、交點文字題 I1
1. 斜率文字題 G1：敏銳且成功
設A
1,1 ,B 3,5 ,C 5,3 ,D 0, 7 ,
E 2, 3
及F
8, 6
為坐標平面上的六個點。若直線L分別與三角形 ABC 及三角形DEF 恰有一個交 點，則L的斜率之最小可能值為何？
S11 率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R：27 秒），就 開始下一步動作。S11 沒多想什麼，便直接開始作圖，並將點依序 標至坐標平面中（分析 A：58 秒）。
S11 直接從所畫的圖中判斷，直線有可能是BD、BF、CE 、 CF 的連線（計畫 P：70 秒），並開始著手下一個步驟。S11 憑藉著 他驚人的觀察力，立刻知道CF 連線的斜率最小並計算之（執行 I：
48 秒），即得出答案。
S11：用眼睛看一下，看起來CF連線的斜率最小，(計算CF連線斜率)，
得出答案。
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讀題 R 分析 A
探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 5 S11 的斜率文字題 G1 之解題歷程分析圖
2. 交點文字題 I1：靈光乍現
坐標平面上，若直線yax b 與二次函數yx2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數y
x 2
212的圖形恰交於一點，則 (a,b)為 何？S11 率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R：33 秒），就 開始下一步分析的動作。S11 不管題目的條件為何，便直接開始作 圖，畫出兩拋物線的對應關係（分析 A：73 秒）。
緊接著，S11 試圖去推進解題的進度，並把yx2代入
yax b ，得x2 ax b 0一式（執行 I1：29 秒）。此時，S11 靈光 乍現，恰交於一點代表方程式重根，也就是說其判別式為零（探索 E：52 秒）。
S11：因為恰交於一點所以重根，所以判別式為零。
63
因此，S11 把y
x 2
212也代入yax b 中，經整理後，求出其判別式。並將前後兩判別式經運算，最終得出答案（執行 I2：
121 秒）。
讀題 R 分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 6 S11 的交點文字題 I1 之解題歷程分析圖 (四) S22：斜率圖文題 G2、交點圖文題 I2
1. 斜率圖文題 G2：迎刃而解
設A
1,1 ,B 3,5 ,C 5,3 ,D 0, 7 ,
E 2, 3
及F
8, 6
為坐標平面上的六個點。若直線L分別與三角形 ABC 及三角形DEF 恰有一個交 點，則L的斜率之最小可能值為何？
首先，S22 率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R：24
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秒），就開始下一步動作。緊接著，S22 認為答案只有AD、CF 與 CE 的連線（計畫 P：67 秒），並開始著手計算。
S22 分別計算了AD、CF 與CE 連線的斜率，並運用斜率的特 性，快速的分辨斜率的大小（執行 I：69 秒），最後得出答案。
S22：所以如果是AD的話(計算AD連線的斜率)，如果是CF(計算CF連線 的斜率)，然後CE是正的，所以答案是3。
讀題 R 分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 7 S22 的斜率圖文題 G2 之解題歷程分析圖
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2. 交點圖文題 I2：大意失荊州
坐標平面上，若直線yax b 與二次函數yx2的圖形恰交於一 點，亦與二次函數y
x 2
212的圖形恰交於一點，則 (a,b)為 何？S22 率先進行讀題，先將題目念過一遍後（讀題 R：23 秒），就 開始下一步動作。S22 立即意會題目的意思，恰交於一點就代表只 有一個解（分析 A：6 秒），接著，S22 認為可以運用判別式等於零 的方法，來解釋相交的狀況（探索 E：25 秒）。
S22：與ax b x2有一解，與ax b x22 12有一解，所以可以用判
別式等於零。
S22 便將yax b 和y x2恰交於一點的情形，與yax b 和
2
2 12y x 恰交於一點的情形，分開討論並整理（計畫 P：8 秒）。最後將整理出的兩式，經聯立方程解出答案（執行 I：139 秒）。最終的答案仍然錯了，在最後的環節中 S22 計算錯誤，又沒做 最後的驗證，與正確答案擦肩而過。
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讀題 R 分析 A 探索 E 計畫 P
執行 I ☹
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 8 S22 的交點圖文題 I2 之解題歷程分析圖
67
(五) 綜合比較與討論
根據上述之解題歷程分析，底下分別針對 S12、S21、S11、S22 之斜率圖文題 G2、斜率文字題 G1、交點圖文題 I2、交點文字題 I1 進行探討，詳述如下。
1. 斜率圖文題 G2 之比較 讀題 R
分析 A 探索 E 計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 9 S21 的斜率圖文題 G2 之解題歷程分析圖 讀題 R
分析 A 探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 10 S22 的斜率圖文題 G2 之解題歷程分析圖
68
由以上兩人的斜率圖文題可以看出，S21 與 S22 總花費時間相差 30 秒，S21 相較於 S22 多花費 44 秒在探索階段上，但 S22 沒有進 行探索階段，相對的 S22 則花了較多時間在計畫階段上，S22 比 S21 多花了 57 秒在計畫的階段上。
此外，由解題歷程分析圖中發現，兩人皆無往返的歷程，也就 是兩人皆沒有在兩階段中反覆的過程，代表都順利的完成解題。主 要原因是 S21 和 S22 運用圖形來減少讀題的資訊量，只有 S21 花費 了 44 秒在探索階段，來更了解題目需求有解的關係。S21 和 S22 也 透過現有的圖來減少計畫的時間，同時 S21 和 S22 也能透過圖來降 低判斷的誤差。因此，兩人在執行階段，都可以有效且順利的完成 題目的條件需求。
Larkin & Simon (1987) 提到，在圖畫題中，通常找到第一個資 訊，解題者就容易在鄰近的地方搜尋到其他的相關資訊了。在圖文 題中，除了文字敘述外再加上符合文字敘述的函數圖形，確實能讓 解題者更容易找到所需的條件，因此，S21 和 S22 並未花費過多的 時間在分析和探索的階段上。
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2. 斜率文字題 G1 之比較 讀題 R
分析 A
探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 11 S12 的斜率文字題 G1 之解題歷程分析圖 讀題 R
分析 A
探索 E
計畫 P
執行 I 🙂
驗證 V
時間(分) 0 1 2 3 4 5 6
圖 4- 12 S11 的斜率文字題 G1 之解題歷程分析圖
由斜率文字題可以看出，S11 在解題總時間比 S12 多花了 103 秒，在各個階段上 S11 花費的時間皆比 S12 多，尤其在計畫與執行 的階段上，在計畫階段上 S11 比 S12 多花了 59 秒，在執行階段上 S11 也比 S12 多花了 25 秒。
值得一題的是，在斜率文字題中，S12 和 S11 的解題歷程圖的歷 程階段一樣，在解題歷程中也沒有往返的情形，也就代表 S12 和 S11 面對斜率文字題的策略相似。S12 和 S11 在讀題之後，皆因為無
70
參考圖所以花費時間在作圖上，在繪圖分析上兩人花費時間相差較 小，但所繪出之函數圖形有很大的落差，S12 所繪出之函數圖形較 簡潔，僅標註了座標點；S11 在作圖時，將函數圖形畫的相對較 小，且描繪出兩三角形頂點的連線。在執行階段，S12 和 S11 運用 所繪出的函數圖形，進行數學式子的運算，但 S11 對斜率的計算生 疏，所以 S11 相較於 S12 花了較多的時間。
Janvier (1987) 提到，個體讀取文字訊息時，必須從頭開始閱讀 與搜尋相關資訊，必要時轉譯成其他的表徵，之後週而復始的搜尋 下一個需要的資訊，直到解題所需要資訊都齊全為止。S12 和 S11 皆在讀題之後，將文字敘述的表徵轉譯成圖像表徵，從圖像表徵得 到相關資訊後，再由圖像表徵轉譯成數學式子。