本节将从 H 型运动平台的通用龙门结构着手，以机理建模的方式，给出冗余直驱运 动平台系统中各组成构件（刚性的驱动器与物理连接件和相对柔性的导轨运动副支撑部分 等）相互之间的力、运动转换关系，进而建立其刚体与柔体结合的机构运动学和动力学模 型。
㓵⭫ᵰ <
㓵⭫ᵰ <
ặ
ᐛ֒ཪ䜞࠼
㓵ሲ䖞 㓵ሲ䖞
┇ඍ
┇ඍ
<
;
图 2-1 双边冗余驱动龙门平台示意图
图 2-1 所示的是双边直线电机冗余驱动的 H 型龙门运动平台结构示意图。两侧为并行 导向安装的精密直线导轨，在导轨之上安装有横梁结构。工作中通过分别安装在两个导轨 处的直线电机共同驱动，可以实现横梁沿 Y 轴方向的运动。直线电机 Y1 和 Y2 的动子分 别与横梁两端固定连接，而其定子分别沿两直线导轨排列。横梁上的工作头则由另外的电 机驱动实现沿 X 方向的运动。为简单起见，以下建模中首先假定移动工作头刚性固定在横 梁上。
2.2.1 滚珠式滚动直线导轨副
滚动直线导轨副由于其低成本、高精度、高可靠性、易于实现标准化、刚性高且可调 等特点，已经成为各种机床、精密电子机械中不可或缺的重要功能部件[117], 其中，滚珠式 滚动直线导轨副在本文所研究的冗余直驱精密运动平台上具有最普遍的应用。如图 2-2 所 示，滚动直线导轨副主要由带循环沟槽的滑块、滚珠以及直线导轨等部分构成。由于滚珠 和结合部自身相对而言较低的刚度[39, 118]，一般可将其作为弹性单元来考虑。因此，虽然 驱动电机的动子、横梁、导轨副的滑块因刚性连接在一起而整体可以视为刚性结构，系统 整体仍然受到导轨副支撑柔性的影响。具体来说，除了产生沿导轨导向的运动外，滑块在 受到显著的外作用力时，还有可能产生垂直于导轨导向的横向运动，而这也正是本文建模 研究的出发点之一。
考虑到在安装导轨副时施加预紧力所造成的预压缩，滚珠结合部产生的柔性效应在横 向方向可以用沿导轨导向分布的双向弹簧单元来近似表示。在简化平面示意图 2-3 中，滑 块 1 和滑块 2 分别与横梁两端刚性连接，滑块与导轨之间通过双向弹簧支撑。假设直线导 轨安装时的几何平行度可以充分保证，导轨副安装时施加的预紧力也不存在不均衡的情 况，那么当横梁垂直于导轨放置时，由于导轨柔性支撑而对滑块施加的净横向力为零，即 双向弹簧处于平衡状态。
Ball Carriage block
Rail
图 2-2 滚珠式滚动直线导轨副结构示意图
2.2.2 运动学描述
以 OXY 表示固定于 O 且 Y 轴平行于直线导轨导向的惯性世界坐标系，其原点到两 导轨距离相等。以G 代表横梁、直线电机动子、滑块构成的刚性一体移动部分的质心；l1 和 l2分别代表质心到两直线导轨的距离，即|GP1| = l1，|GP2| = l2；其中 P1 和 P2为固定 在横梁上的两点（在图 2-3 所示平衡状态下，P1 和 P2 分别处于过质心的横梁轴线与两直
Guide-Y1
X Y
Guide-Y2 b1
G Head
l
1l
2b1¢
b2
b2¢
O
y x
P1 P2
Carriage-1 Crossbeam Carriage-2
图 2-3 平台静态示意图
线导轨的交点位置）。滑块 1 的有效长度——滚珠弹性支撑分布长度——在 P1 点两侧分 别表示为b1，b′1；滑块 2 在 P2点两侧的有效长度分别为b2，b′2。
如果以 Gxy 表示原点位于 G 且坐标轴平行于 OXY 的运动参考坐标系，G˜x˜y 表示固 定于 G 且 ˜x 轴平行于横梁长度方向的附体坐标系（如图 2-4 所示），则横梁在 OXY 平面 运动可以通过以下三个广义坐标完整地表述出来：即质心位置坐标 xG，yG，以及附体坐 标系 G˜x˜y 的旋转角度 α。在这种平面刚体运动定义下，P1点和 P2 点在 OXY 中的位置可 以分别定义为 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，其中 y1 和 y2 信息可通过直线光栅编码器测量得到 以供之后的控制器设计使用。在本文中，我们假设旋转角度 α 很小，即关于 α 的非线性函 数都可以用其线性项近似描述，由图中可以得到
x1 = xG− l1cos(α)≈ xG− l1, y1 = yG− l1sin(α) ≈ yG− l1α, x2 = xG+ l2cos(α)≈ xG+ l2, y2 = yG+ l2sin(α)≈ yG+ l2α
(2-1)
令l = l1+ l2，可知
yG = ll2y1+ll1y2
α = 1l(y2− y1).
(2-2)
Guide-Y1
足够大的已知光滑函数 Sf(•) = arctan(ρ•)。在本文的研究情形中还需注意到，由于导轨
用Mαi项用来描述不均衡轴向力产生的力矩对旋转动力学的影响