自适应鲁棒运动跟踪控制算法

对于本文研究的对象系统，所设计的控制器很重要的一点是能够处理参数不确定性和 不确定非线性影响。参数不确定性是指常参数矢量 θ 的未知性，例如其负载质量可能根据 不同的工作任务而不同，摩擦力系数等也可能根据润滑情况的不同而发生变化等，但一般 来说，各个参数的实际物理意义决定了其必然落在某一定范围之内，因此可以认为系统符 合以下假设条件^∗

　　 假设 3.1： 未知参数 θ 值的范围是已知的，即描述为

θ ∈ Ωθ ,{

θ : θmin < θ < θmax

}

(3-8) 其中 Ω_θ 是一个有界的凸集，θ_min = [θ_{1 min},· · ·, θ4 min]^T 和 θ_max = [θ_{1 max},· · ·, θ4 max]^T 是由已

知常数构成的参数上下界矢量。 

对于建模误差，虽然 e∆ 未知，但在实际中也往往是有界的，例如受到系统物理状态限 制，非线性摩擦力和定位力的大小总不会超过某一个值，因此这里同样可以做如下假设 　　 假设 3.2： 不确定非线性的范围是已知的，其大小可以用一个已知函数 δ_∆(y_G, ˙y_G, t)

来限定

∆e ∈ Ω∆,{

∆ :e | e∆(yG, ˙yG, t)| ≤ δ∆(yG, ˙yG, t) }

(3-9) 其中 δ∆是关于时间有界的，即∃ δp(y_G, ˙y_G) s.t. |δ∆(y_G, ˙y_G, t)| ≤ δp(y_G, ˙y_G), ∀t。 

∗如无特别说明，以下本文中两个矢量之间的不等号表示矢量中所有相对应元素之间的大小关系。

系统输出对期望运动轨迹的跟踪误差定义为 ey(t) = yG(t)− yd(t)。对于具有匹配不确 定性的二阶的非线性动力学（3-7），这里设计一个类似滑模变量的性能指标 s 以简化控制 器设计过程，即定义

s= ˙e_y + k₁e_y (3-10)

其中 k₁ 是表示增益的正常数。直观上看相当于定义了对跟踪误差的比例微分反馈，并且 从 s 到 e_y 之间存在的传递函数关系具有稳定收敛的特性，使得 e_y 会在 s 趋近于零的基础 上以 e^−k1t的速度趋近于零，这样就将前面所述的控制目标 1）转化为了如何保证 s 的瞬态 和稳态性能。

定义

˙

y_eq= ˙y_d− k1e_y (3-11) 注意到式（3-7）以及 s = ˙y_G− ˙yeq，v 到 s 的动力学可以描述为

Mk˙s = Mky¨G− Mky¨eq

= v− Mky¨_eq− Bky˙_G− AkS_f( ˙y_G) + ∆_n+ e∆

(3-12)

其中 ¨y_eq= ¨y_d− k1˙e_y。定义一个正定函数

V (t) = 1

2M_ks² (3-13)

对 V 关于时间求微分有

V =sM˙ k˙s

=s [

v− Mky¨_eq− Bky˙_G− AkS_f( ˙y_G) + ∆_n+ e∆

] (3-14)

将式（3-14）中相关多项式用参数 θ 线性化表示为

M_ky¨_eq+ B_ky˙_G+ A_kS_f( ˙y_G)− ∆n=−φ^Tθ (3-15) 其中 φ = [−¨yeq, − ˙yG, −Sf( ˙y_G), 1]^T 即为由已知函数构成的回归量矢量。于是（3-14）可 以简化为

V = s˙ (

v + φ^Tθ + e∆ )

(3-16) 对于式（3-16）的结构形式，设计以下的自适应鲁棒控制律

v = v_a+ v_s (3-17)

其中 va是针对大信号轨迹跟踪需要设计的的可调自适应模型补偿项，而 vs是下面需要设 计的鲁棒控制输入。自适应模型补偿项为

v_a =−φ^Tbθ (3-18)

bθ 为对参数 θ 的估计值，后面会设计相应的自适应算法。如果定义参数估计误差为 eθ = bθ− θ，并将式（3-17）、（3-18）代入（3-16），可以得到

V = s˙ (

v_s− φ^Teθ+ e∆)

(3-19) 针对参数估计误差和不确定非线性估计误差，设计由两部分组成的鲁棒控制器

v_s = v_s1 + v_s2;

vs1 =−kss, vs2 =−kr2s

(3-20)

如果选取 k_s为一个正常数，v_s1 就成为了一个可以用来镇定名义系统的比例反馈项；通过 选取已知函数 k_r2(s) 使得 v_s2 成为非线性反馈项，可以用来保证系统在不确定性存在情况 下的鲁棒性能，具体来说，所设计的 v_s2 应该满足以下要求条件

i s (

v_s2 − φ^Teθ+ e∆)

≤ η (3-21)

ii sv_s2 ≤ 0 (3-22)

其中条件 i 中的 η 是所选取的用来表征稳态精度的设计参数；条件 ii 则是为了保证鲁棒反 馈的稳定性。

从传统非线性鲁棒控制器设计理论上可以知道，只要剩余不确定性−φ^Teθ+ e∆ 的大小 可以由某些有界函数所限定，就一定可以找到有界的 v_s2 使得对任意小的正标量 η，所需 要的条件 i 能够被满足，也即意味着可以处理不确定性并得到一定的鲁棒性能。然而，模 型估计误差等的客观存在导致了系统会有非零的稳态跟踪误差，这一部分的误差可以通过 设计合适的自适应参数估计来尽可能补偿其影响。

设计自适应函数

τ = φs (3-23)

和相应的参数更新自适应律为

˙bθ = Γτ (3-24)

其中 Γ = diag [γ1,· · ·, γ4] 为正的自适应率常数构成的对角矩阵，上述也即为通常意义上的

其中 λ = 2k_s 由式（3-25）、（3-27）的性质 3.2 ，以及（3-19）、（3-20）、（3-22）的条件 ii，可知 V_s关于时间的微分满足

∀t，对（3-33）式积分有

∫ _t

0

s²dν ≤ −1 ks

∫ _t

0

V˙_sdν = 1 ks

[V_s(0)− Vs(t)]≤ 1 ks

V_s(0) (3-34) 于是可知 s∈ L2；证明定理的 A. 部分时已经证明了 s ∈ L_∞；同时又由（3-12）易知 ˙s 是 有界的，因此 s 是一致连续的。综上，通过 Barbalat’s 引理^[123]可知当 t → ∞，s → 0，于

是也有 e_y → 0，证毕。