3.3 基于自适应推力分配的自适应鲁棒协同控制
3.3.4 自适应推力分配算法
κ1Γα− 1+κΓαϕfϕTfΓα
2ϕfTΓαϕf , if µmax(Γα(t))≤ ρM
0, else
(3-47)
其中 Γα(0) = ΓTα(0) > 0；κ1 ≥ 0 是遗忘因子，κ2 ≥ 0 是标准化因子（例如当 κ2取不同特 定值时整体参数估计算法可能等效于不同标准形式）。ρM 是为了避免估计器发散而预设 的||Γα(t)|| 的上界，令 µmax(Γα(t)) 代表 Γα(t) 的最大特征值，I7 为单位矩阵，于是可知 Γα(t)≤ ρMI7,∀t。
3.3.4 自适应推力分配算法
经过在线参数估计后，就可以利用 ˆβ 设计类似于 3.2.4 节的自适应推力分配算法。然 而实际中，参数估计算法（3-45）并不能保证参数估计能够被已知的有界函数所界定，因 而如果直接将 ˆβ 应用到推力分配控制器中可能会有控制输入饱和或系统稳定性的风险。如 果能够充分应用可预先知道的有效信息，就有利于设计可控的在线学习过程，使得参数估 计即使在可能存在的建模误差或外干扰的影响下，依然保证瞬态有界。实际上，可以做如 下假设
假设 3.3： 未知参数 θα值的范围是已知的，即描述为
θα ∈ Ωα ,{
θα : θα min < θα < θα max }
(3-48) 其中 Ωα是一个有界的凸集，θα min ∈ R7 和 θα max ∈ R7 是由已知常数构成的参数上下界矢
量。
于是类似于 3.2.3 节中的解决办法，可以对该在线估计算法进行一定的修正。注意到 3.2.3 中介绍的非连续投影结构形式对这里时变的非对角自适应率矩阵并不完全适用，因此
需要重新设计。我们借鉴在鲁棒自适应控制中，将参数估计矢量投影到一个已知的有界凸 为 1.46m，Y 轴的有效工作范围为 1m ；两侧电机各通过 HEIDENHAIN 公司的 LIDA477 直线光栅尺测量位置反馈，实时测量分辨率经细分后设为 0.5µm, 速度反馈则通过连续 位移信号偏差计算。在移动头处于中间位置并且无外加负载的情况下，系统部分参数的 名义值为 Mk = 1.48(V /m/s2)，Bk = 3(V /m/s)，Ak = 0.36(V )，∆n = 0。推力比常数为
km = 1.05。
控 制 实 验 系 统 的 组 成 和 运 行 原 理 与 2.4.1 节 中 所 述 架 构 一 致 ， 其 中 控 制 单 元 采 用 dSPACE 的新一代产品 MicroLabBox，实验中运行控制算法的实时采样频率设置为 10kHz，即运算周期为 Ts= 0.1ms。
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图 3-14 华嶺冗余直驱龙门平台
3.3.5.2 性能指标
为了能够定量地评价各控制算法的控制效果，定义以下性能指标[124]
L2[ey] = (1
T
∫T
0 |ey|2dt )1/2
，是跟踪误差的均方根值，用来表征运动控制的平均性 能，其中 T 代表总体运行时长；
eyM = max
t
{|ey(t)|}
，是跟踪误差的最大绝对值，用来衡量运动控制的最差瞬态性 能；
eyF = max
T−5≤t≤T
{|ey(t)|}
，是运行时间的最后 5s 内跟踪误差的最大绝对值，用来衡量 运动控制的最终瞬态性能；
L2[u] = (1
T
∫T
0 (|u1| + |u2|)2dt )1/2
, 是综合表示两电机控制输入绝对值的均方根值，用 来评估所需控制输入力度的大小。
3.3.5.3 实验方案
与传统基于运动同步的交叉耦合控制相比，所提出的基于推力分配策略的协同控制可 以保证较小的内力，因而具有更小的控制能量消耗以及可获得更高的性能，这已从 3.2.5
节得到了充分验证。本节的实验主要是研究所提自适应推力分配的作用机制和控制效果。
即对比以下两种控制算法：
C1：：： 3.2 节中设计的基于推力分配的 ARC 协同控制器，推力分配系数 β 值为固定 设计参数（后面具体介绍）。光滑函数 Sf(•) 取作 π2arctan(9000•)。如前所述 vs2 =
−kr2(y, ˙y, t)s 应该取为一个非线性反馈例如 vs2 =−4η1h2s 来全局保证鲁棒性能要求条 件，这里采用一个综合 ks和 kr2 的足够大反馈增益 kr2 来简化控制器，令（3-20）为 vs =−krs，这样依然能够在足够大的工作范围内满足所要求的鲁棒条件[125]。控制器 的增益取为 k1 = 150，kr = 280，参数自适应率取为 Γ = diag[80, 1800, 700, 4500]，参 数上下界矢量分别为 θmin = [0.8, 1, 0.1,−1]T，θmax = [2, 5, 0.7, 1]T；依据无负载时的 系统状态，初始值取为 ˆθ(0) = [1.2, 2, 0.3, 0]T；
C2：：： 本节中设计的自适应基于推力分配的 ARC 协同控制器，推力分配系数 β 通过参 数估计算法进行在线自适应。 τf = 0.004，参数估计算法因子 κ1 = 0.01, κ2 = 0.1；自 适应率初值设为 Γα(0) = diag[100, 100, 100, 100, 100, 100, 1000]；此外，控制器中所有 与 C1 中含义相同的参数均与 C1 设置完全一致。
0 1 2 3 4 5
0 0.2 0.4
S−curve
pos.(m)
0 1 2 3 4 5
−0.5 0 0.5
vel.(m/s)
0 1 2 3 4 5
−5 0 5
acc.(m/s2 )
time (s)
图 3-15 点到点 S-curve 期望轨迹信号
给定的参考轨迹是经过加速度平滑后的点到点 S-curve 期望轨迹，一个往返周期内的 位置、速度、加速度信号如图 3-15 所示：端点到端点的运行位移为 0.3m，轨迹最大速度 为 0.6m/s，最大加速度为 6m/s2。进行如下两组实验：
Set1：：： 移动头固定在横梁中点，即名义位置 l1 = l2 = 0.73m；并在其上增加总计 40-kg 的额外负载。此时 C1 取名义值 β = 1 进行控制实验，一方面验证协同控制算 法的有效性和对参数变化的鲁棒性能，另一方面也可以作为稍后性能对比的基准；
Set2：：： 为了验证所设计自适应推力分配算法的性能提升，将移动头固定在横梁最右 端，并且依然带有 40-kg 的额外负载。此时，移动部分的质心会由于显著的负载分布 不平衡而相对于名义位置有较大偏移。通过快速的几何参数估算，C1 中的分配系数 β，以及 C2 中的分配系数初值 ˆβ(0) 均设置为 0.85。
3.3.5.4 实验结果
20 30 40 50 60 70 80 90 100
−5 0 5
x 10−5 Error (m)
C1 (Set1)
20 30 40 50 60 70 80 90 100
−5 0 5
x 10−5
C1 (Set2)
20 30 40 50 60 70 80 90 100
−5 0 5
x 10−5
time (s)
C2 (Set2)
图 3-16 各控制实验的跟踪误差对比
控制算法 eyM eyF L2[ey] L2[u]
µm V
C1 (Set1) 66.04 14.96 3.76 2.56 C1 (Set2) 86.95 16.47 5.12 2.69 C2 (Set2) 74.89 15.20 3.99 2.55
表 3-4 性能指标对比
各组实验的跟踪误差对比如图 3-16 所示。表征系统瞬态性能指标 eyM、最终跟踪性 能指标 eyF、和平均跟踪性能指标 L2[ey] 的定量对比可见表 3-4。首先，在系统受到参数扰
动（增加 40-kg 负载）时各 ARC 控制算法鲁棒性较好，均体现了一定的参数自适应能力以
x 10−5 Transient performance
time (s)
和 3-21 给出了 Set2 中两电机的控制输入情况。结果表明随着系数的学习过程，尤其是运
为以下形式
Mky¨G+ Bky˙G+ AkSf( ˙yG) = v + Cy ˙˙αkα + d˙ 1k (3-53) 其中 Cy ˙˙αk = Cy ˙˙α/K1；d1k = (dy + df c)/K1 代表建模误差。上式中的耦合项 Cy ˙˙αkα 一定程˙ 度上揭示了旋转动态可能存在的耦合作用，而在式（3-5）中只是粗略地与其他所有建模误 差作为一起考虑，在相应的控制器设计中通过鲁棒反馈来处理这部分不确定性的影响。当 使用了合适的推力分配算法使得旋转动态保持的更小时，即 C2 在 Set1 中的情形，这部分 的不确定性的消减使得整体不确定性 dk 变得更小，这也解释了为什么自适应推力分配在 减小轴间内力的同时，还有利于获得更好的运动跟踪性能。