分數概念及其相關研究

一、分數的定義

分數一詞來自於拉丁文的”frangere”一字，它的意義是分開，通常用來描述一 個被分開的全體之部分(林碧珍，1990)。呂玉琴(1996)認為分數的概念起源於

「分」，是用來解決一個不滿一個單位量的數值問題。甯自強(1993)認為分數是起 源於分割一物件活動的記錄與結果，而有理數是等值分數中最簡分數的形式表 示。例如：透過將原單位量(一公尺的繩子)加以等分割(分成四等分)所得到單位分 量的重複(三個四分之一公尺)，便得到與被測量量(剪掉四分之三公尺的繩子)等價 的量，以分割的份數(四份)和重複的次數(三次)並置(四分之三)，作為被測量量的 指標。Hunting (1986)對於分數最初概念是以一個連續物品細分(如蘋果、蛋糕、

派)。國內外學者對分數的定義各有其不同的看法，然不外可分為下列幾種：

(一)部分/全體：分數是把一個連續量等分幾分後，再將其中一部分或幾部分合併 後和全部的關係。

(二)子集/集合：分數是把集合等分組後，其中一組或幾組與集合的相對比較關係。

(三)數線上的一個數值：以分數來表示數線上的一個數。

(四)整數相除的結果：分數是兩數相除的結果，代表一個量(被除數)與基準量(除 數)的相對比較關係。

(五)比值、比例：兩個量或兩個集合相比的結果。

二、分數概念的發展及其相關研究

在分數概念發展的研究中，最典型的是 Piaget, Inhelder and Szeminska (1960) 提出兒童的分數概念的發展為：

(一)四歲到四歲半的兒童，對一物分成二半甚為困難，在分割之前沒有預期的計 劃或基模，對於不同形狀的分割，長方形比較容易，圓形次之，正方形較困 難。這階段的最大特徵是缺少部分與整體之間的關係，兒童不會注意到他所 接觸的部分是全體中所含的元素。

(二)四到六歲的兒童，對於規則與小範圍的東西有分半的能力，分割圖形中利用 長方形的餅較容易解決，但將物體分成相等三部分的能力尚未出現。

(三)六到七歲的兒童能成功實施三等分的分法，其操作的了解，仍在具體的操作 層次，在這階段的孩子具有整體性的保留概念，兒童了解到各個分割塊數集 聚所得到的總量與整塊餅是一樣的。

(四)十歲左右的兒童能實施六等分的分法，首先用三分法分一個餅，然後將所得 的三塊餅再用二分法。

同時 Piaget 也指出兒童在了解分數運算之前必須具有下列七個子概念：

(一)整體是可以分割的，且能由可分割的部分所組成。

(二)一個分數意味著所指的分數。

(三)子分割的活動中，全體必須被除盡，沒有餘數。

(四)全體被切割成各部分的數與切割數間，有一個固定的關係。

(五)分數的概念意指分割後的每部分都是相等的。

(六)當兒童操作了再細分的部分概念時，了解到此細分的部分是全體的一部分，

同時此一細分的部分本身也是一可再分割的全體。

(七)因為分數是從全體而來的，其全體始終不變，即必須具備保留概念。

根據 Piaget 研究可發現，兒童四到六歲才開始具有把東西分半的能力，六到 七歲才具有整體性的保留概念，十歲才能實施六等分的分割，而且兒童在了解分 數運算之前必須先具備一些子概念，由此可見兒童分數概念的發展具有層次性。

Hiebert and Tonnessen (1978)欲驗證在部分/全體、子集/集合的分數意義中，

是否有 Piaget 等(1960)所提出的七個分數子概念，結果發現兒童在處理離散量與 連續量問題時的表現不盡相同，對兒童而言，離散量的問題較簡單，在解題時可 藉著數數的方式來解答離散量分割的問題。

Pothier and Sawada (1983)指出兒童帶著有關分割、相等的非正式知識來到學 校受教育。他們研究 43 位幼稚園到小學三年級的學生。研究結果顯示，兒童對 於分割和相等的概念可分為五個階段：

第一階段：兒童僅能了解分享的意義。

第二階段：兒童能將東西(例如：蛋糕)分割成數塊，卻無法將其等分。

第三階段：兒童能運用運算將東西等分成偶數塊，也注意到東西須要均勻的等 分，卻無法將東西等分為奇數塊。

第四階段：兒童能運用運算將東西等分，且較不受奇、偶塊數的影響，並在意東 西切割的是否完美。

第五階段：兒童則是能運用不同的方法將東西相等的分割。

Streefland (1991)提出兒童在學習分數時可分為三個層次，分別說明如下：

層次一：(具體層次)此層次的兒童須仰賴物件，學會用圖解的方式解題。

層次二：此層次的兒童除了會利用圖解外，還會利用比值表(ratio table)比較分數 大小。這層次的兒童所使用的圖解，會比層次一更加簡略，而且根據比值表的長

度，可以知道其精簡的程度。

層次三：此層次的兒童能系統性的運用最小公倍數，比較不同分母的分數及不同 比值配對的大小。此層次的兒童可以抽象化，不需使用圖解。

Sáenz-Ludlow (1994,1995)根據實驗的結果將兒童的分數基模分為三類：

(一) 測量性的部分─整體基模(the metric part-whole scheme)

1. 連續量情境：此基模是在衍生分數量之前，以一個部分測量整體的結果。 實體(a part-dependent entity, part-to-whole relation)，而「部分」是仰賴整體 存在的相對實體(a whole-dependent entity, whole-to-part relation)。「部分到 整體」(part-to-whole)是內嵌於整體為部分的倍數之構念中，亦即把整體視 為一個集聚單位，它內嵌了一種乘法性關係。「整體到部分」(whole-to-part) 關係則內嵌於部分相對於整體的分數量。另外，在離散量情境下，兒童會 有預期基模，可以將整體進行等分割。

(二) 多重分割調節基模(the multiple-partitioning coordinating scheme)

擁有此基模的兒童能夠比較分數的大小，在整體未知的情況下，衍生出

(三) 部分分割調節基模(the part-partitioning coordinating scheme)

具備此基模的兒童可以將第一次分割後的部分當作是一個整體進行一個 內嵌於原來基準單位量的新分割。此時由於能夠掌握整體和部分之間的乘法 性關係，所以可以瞭解單位分數內容物為多個個物的分數，也可以做出等值

分數，並能解決分數乘以分數的問題(引自王淵智，2005)。

Tzur(1995)曾透過電腦及師生間的互動探討兩個學生的分數基模發展。藉由 學生的解題，學生在迭代和遞迴分割的運思基礎上建立了五種分數基模，並就其 發展繪圖如圖 2-4-1，其說明如下：

資料來源：Interaction and children’s fraction learning (p.292), by R. Tzur, 1995, Unpublished doctoral dissertation of the University of Georgia.

(一)等分割基模(the equi-partitioning scheme)

具等分割基模的兒童，能知道一個整體被分成特定數目的相等部分，並 利用分解活動產生部分。此外，若給兒童任意一個部分，他可以根據此部分 製做出相對它的整體。

(二)分割性分數基模(the partitive fraction scheme) 外顯巢狀數列 迭代分數基模

分割性分數基模 可逆分數基模

等分割基模

圖 2-4-1 由外顯巢狀數列到分配性分割基模發展圖 分配性分割基模

分割

遞迴 迭代

具分割性分數基模的兒童，可以調節分割後的單位，並說出等分割活動 fraction scheme)。

(三)迭代分數基模(the iterative fraction scheme)

具迭代分數基模的兒童，能對部分整體的關係重新建構出新概念，並重 新將分割後的單位當作是可迭代的分數單位。此時的兒童可以做出原來的單 位量，也可以做出假分數。

(四)可逆分數基模(the reversible scheme)

具可逆分數基模的兒童，可以利用逆運思產出一個集聚單位分數，例如 可以從10

7 找到

10

1 ，以做出其他以 10 為分母的分數，其中包括假分數。

(五)分配性分割基模(the distributive partitioning scheme)

具分配性分割基模的兒童，能進行兩步驟的分割，且能將分割後的部分 進行多步驟的遞迴。即將一單位量做第一次分割後，利用其中一個部分，再 進行第二次分割，且能知道第一次分割部分和原來單位量的關係，及第二次 分割和第一次分割部分的關係與原來單位量的關係(引自王淵智，2005)。

Olive and Steffe (2002)利用 Java 語言寫的電腦模擬程式，寫出五種兒童可能 的分數概念基模(如圖 2-4-2)。其中的等分割基模(equi-partition scheme)是指兒童 能將一個物件利用預期基模進行相等分割。分割性單位分數基模(partitive unit fractional scheme)是指具有將整體等分後得到基本單位分數的基模，例如：一包 餅乾 18 塊，分給 9 個人，每人可得到

9

1包餅乾。分割性分數基模(partitive fractional scheme)是指可以結合單位分數以形成一個整體的聚集部分，但此聚集部分可小於 或等於、甚至大於整體。迭代分數基模(iterative fractional scheme)是指可以將一個

分數進行迭代做出另一個分數，如：把 5

4條積木連續迭代 4 次得到 5

16條積木。等 分基模(equi-portioning scheme)是指能知道等分後的每一份量和整體量之間所形 成份都一樣多，例如：把一盒 36 顆的糖果，分給 9 個人，每個人可分到 4 顆，

是36

4 盒，也就是一份，而一盒有 9 個一份，每份都相等。

資料來源：”The construction of an iterative fractional scheme: The case of Joe”, by J. Olive & L. P. Steffe, 2002, Journal of Mathematical Behavior, 20, p.436.

分數連結數列

迭代分數基模 分數

分割性共同分數

分割性單位分數

撕裂運思(分割及迭代的合成)

分割性分數基模

分割性單位分數基模 迭代

對集聚單位或連結 數之等分割基模

對集聚單位或連 結數之等份基模

等分割基模 連結數

集聚單位 分割 脫嵌 迭代 累計性合成

外顯巢狀數列

圖 2-4-2 由外顯巢狀數列到分數連結數的基模變化

說明： 代表數列 代表運思 代表基模 代表基模的結果

根據 Olive and Steffe (2002)和 Steffe (2004)提出五種兒童可能的分數概念基

數概念，至此子分割單位始成為所謂的單位分數單位，能理解單位分數的內

(一)不了解符號的意義：學生知道一塊平面圖形上塗上顏色部分的意義，卻無法

表 2-4-1 分數試題的層次(12~13 歲) (引自呂玉琴，1991)

層次四：能從圖形的細分去表示分數、能了解兩個分數間有無限個分數、能做分 數的除法、能了解分數是數的概念。

層次五：能了解兩分數之間的通分與次序的觀念、能以分數代表數的概念並解決 不等式的問題。

楊壬孝(1989)指出，在分數比較大小的排序中，分子相同以分母做比較的題 目比分母相同以分子做比較的題目使學生感到困難，不易使學生接受；當兩分數 的分母倍數關係不同時，對學生也有困難；學生在處理等值分數時，約分的問題 比擴分的問題難；簡單的幾何圖形、分數比較、擴分、分數的加法於各年級的差 異不大；六年級兒童在計算題答對率與國中一、二年級較為接近，分數的乘除題 型對五年級兒童較為困難。

楊壬孝(1989)指出，在分數比較大小的排序中，分子相同以分母做比較的題 目比分母相同以分子做比較的題目使學生感到困難，不易使學生接受；當兩分數 的分母倍數關係不同時，對學生也有困難；學生在處理等值分數時，約分的問題 比擴分的問題難；簡單的幾何圖形、分數比較、擴分、分數的加法於各年級的差 異不大；六年級兒童在計算題答對率與國中一、二年級較為接近，分數的乘除題 型對五年級兒童較為困難。