次序理論及其相關研究

一、次序理論

根據 Airasian and Bart (1973)所提出的次序理論，主要是應用在二元計分 (dichotomous) 的 試 題 上 ， 它 用 以 計 算 兩 個 試 題 或 概 念 之 間 的 先 備 條 件 (precondition) 或次序性之關係(Airasian, Bart, & Greaney, 1975; Bart & Read, 1984)。利用次序理論的分析，可以呈現試題或概念間的順序性和階層性。以二元 計分的試題i和試題 j(i≠ j)為例，其答對(以 1 表示)和答錯(以 0 表示)的人數可用 列聯表呈現，如表 2-2-1 所示(林原宏，2005)。

表 2-2-1 試題i和試題 j的答題人數之列聯表 (引自林原宏，2005) 試題 j

1 0 總和

1 n₁₁ n₁₀ n_1•

試題i

0 n01 n₀₀ n_0•

總和 n•1 n_•0 n=n₁₁+n₁₀ +n₀₁ +n₀₀

根據表 2-2-1 的列聯表資料，Airasian and Bart (1973)定義「試題i指向試題 j」 的衡量係數為n₀₁ n，n₀₁ n的範圍是0≤(n₀₁ n)≤1，n₀₁ n若愈小，表示試題i可能 為試題 j的先備條件(Bart, 1976; Bart & Mertens, 1979)。因此，Bart and Krus (1973) 以閾值(threshold)ε( 0<ε <1)決定試題i與試題 j是否有次序關係如下(Bart, Frey,

& Baxter, 1979)：

(一)若(n₀₁ n)<ε，表示試題i為試題 j的先備條件，即試題i與試題 j有次序關係，

此時以r_ij =1表示，以圖繪i→ j表示；

(二)若(n₀₁ n)≥ε ，表示試題i不是試題 j的先備條件，即試題i與試題 j沒有次序 關係，此時以r_ij =0表示，圖繪中i沒有指向 j。

至於ε的選定，Bart and Krus (1973)建議容忍水準ε可取為ε =.2，但在實證研 究中，ε值可由研究者來決定(Bart & Read, 1984) 。

根據兩兩試題之間的次序性決定，可以圖繪出試題之間的次序和階層關係。

當有線段連結試題i和試題 j時，則表示試題i為試題 j的先備條件。

二、次序理論的相關研究

Airasian and Bart (1973)提出次序理論的方法後，其後續的應用研究主要為 J.

Piaget 認知發展理論的發展階段之次序性探討。例如：Bart and Airasian (1974)的 研究是使用次序理論的方法來判別 Piaget 的七個任務(包含三項具體操作及四項 形式操作)之次序關係，研究結果支持具體操作期(concrete operative period)為形式 操作期(formal operative period)的先備條件。Bart and Mertens (1979)應用於認知發 展之形式操作期的基模(scheme)之階層結構，研究中顯示，同一基模內的某些試

題是等價的(equivalent)，雖然反應組型不同，但可發現形式操作期的基模階層結 構之特徵。Bart, Frey and Baxter (1979)利用次序理論比較不同背景的受試者形式 操作期之基模結構的差異，發現其基模階層結構存在共同的特徵(引自林原宏、游 森期，2006)。

而在國內，以次序理論所提供階層性來了解學生的解題規則，已廣泛的應用 在數學領域中。例如，在比例理解上，林原宏、游森期(2006)研究學生對柳橙汁 濃度測驗解題規則的階層分析，並將其結構圖與專家比較，以了解其解題規則的 差異性。研究中均顯示，總分不同的受試者，其解題規則結構圖各具特色和意義；

而總分相同但反應組型不同的受試者，其解題規則階層亦有差別。此外，在解題 規則結構圖的比較方面，以專家的結構圖為參考標準，發現不同年級的受試者之 相似性係數達統計上的顯著差異；但不同性別之間則無差異。而後林瑋詩(2007) 研究國小高年級學生對比例問題之解題規則階層次序，亦發現總分不同的受試 者，其解題規則結構圖各具特色和意義；但總分相同反應組型不同的受試者，解 題規則階層有差別。

在機率問題上，李佳芸、林原宏(2006)分析國小高年級學生在彈珠機率問題 上的解題規則次序性，研究中發現，總分不同的受試者，其解題規則結構和次序 性不同；總分相同，但反應組型不同的受試者，在解題規則階層結構圖中，其解 題規則的次序性亦不相同，所蘊含的認知結構也不盡相同。

在等量公理的問題上，林原宏、陳紹銘(2006)分析國小六年級學生的概念結 構，研究中發現，學生的概念結構可分為六個階層，其中列未知數的概念是屬於 最下位的前置概念；其次是等量遞移性、加法原理、減法原理和乘法原理是屬於 中間層級的概念；而等量除法原理、應用等量公理的紀錄和解決生活問題的概 念，是屬於最上層概念，且是兒童感到最困難的概念。而後 Lin and Chen (2006) 加入 S-P 表分析，除分析學生的概念結構外，亦提供試題注意係數及學生的類型，

作為教學設計及補救教學的參考。

在平衡槓桿問題上，黃雅婷(2007)研究國小六年級學生的解題規則階層次

序，結果發現總分不同的受試者，所使用的解題規則次序性及階層有明顯不同；

但總分相同而反應組型不同的受試者，其解題規則次序性及階層亦有差異。而在 解題規則結構圖的比較方面，以專家的結構圖為參考指標，發現組別與性別的交 互作用未達顯著差異，而不同組別的受試者之相似性係數達顯著差異，但不同性 別受試者之間則無差異。張惟翔(2008)編製 18 題「槓桿平衡問題」 (Balance Beam) 測驗，實施線上實測，以分析解題規則次序並繪製解題規則結構圖，研究結果發 現，總分不同的受試者，對於槓桿平衡問題所使用的解題規則階層不盡相同；但 總分相同而反應組型不同的受試者，其解題規則次序性與階層性都不相同。

應用次序理論研究，可以得到試題或概念上的階層性，若再結合其他方法聯 合分析，可以獲得更多的訊息，如林原宏、許芳郡(2007a)應用 S-P 表先將學生分 類，再結合次序理論，繪製出國小高年級學生在分數加法試題的階層結構，藉以 了解不同類型學生的階層結構圖。而後林原宏、許芳郡(2007b)應用 S-P 表結合次 序理論分析，繪製出國小六年級學生在分數加法與分數減法的試題階層結構，並 以交叉表呈現學生在分數加減法上各類型的組合，提供教師更完整的學生學習狀 況之訊息。

藉由以上這些研究，可以發現次序理論在解題規則上的應用，尤其是數學領 域方面，因其具有系統性與邏輯性，故學生在學習上具有階層結構性。因此，經 由其階層結構分析，教師可以了解學生的階層結構，若再加上其他應用理論聯合 分析(如：S-P 表分析法)，提供更多學生學習狀況之訊息，讓教師知道學生在學習 中所遭遇的困難，並及時施以補救教學的措施，解決學生學習上的障礙，以利教 學的進行。故可知次序理論之應用，可提升教學成效，對補救教學裨益良多。