多元計分次序理論分析

本研究根據多元計分次序理論繪出學生之概念階層結構圖，呈現概念之次序 性，據以探討五、六年級學生分數加減法的概念階層結構，茲將其特性分述如下：

一、五、六年級分數加法之多元計分次序理論分析 (一)五年級學生之分數加法概念階層結構(圖 4-2-1)

根據圖 4-2-1，可發現其特徵，茲分述如下：

1. 五年級學生在分數加法的概念階層結構分為四個階層，階層越低的概念越 簡單，階層越高的概念越困難。

2. 同分母的概念最簡單，通過率達.79，是分數加法概念的基礎。

3. 真分數、分母間成倍數關係的觀念次之，通過率達.70~.72，是異分母、假 分數、帶分數、分母間互質、分母間有公因數及進位概念之下位概念。

4. 要約分的概念最為困難，通過率為.57，是進位概念的上位概念，亦即學 生須先學會其他分數概念，並以其為基礎，才能學會要約分的概念。

5. 圖 4-2-1 顯示整體學生之概念階層結構，由圖可看出學生在分數加法的知 識結構，呈現次序性。

學生類型 A A' B B' C C' 人數 298 244 40 46 88 8 百分比 41.16% 33.70% 5.52% 6.35% 12.16% 1.11%

圖 4-2-1 五年級全體學生的分數加法概念階層結構圖

(二)六年級學生之分數加法概念階層結構(圖 4-2-2) 根據圖 4-2-2，可發現其特徵，茲分述如下：

1. 六年級學生在分數加法的概念階層結構分為三個階層。

2. 同分母、分母間成倍數關係的概念最簡單，通過率達.84~.87，且二者概念 等價。同分母是其他概念之基礎，分母間成倍數關係是異分母、分母間互 質、分母間有公因數及進位概念之基礎。

3. 異分母、真分數、分母間互質、分母間有公因數、進位概念次之，其通過 率為.74~.83，且異分母是帶分數的下位概念，假分數是真分數的上位概念。

4. 假分數、帶分數及要約分的概念最為困難，其通過率為.76~.78，且要約分 是真分數、進位的上位概念。

5. 圖 4-2-2 顯示整體學生之概念階層結構，由圖可看出學生在分數加法的知 識結構，及其概念之間的連結。

通過率 .79 通過率 .70~.72 通過率 .56~.61 通過率 .57

○¹：同分母概念 ○² ：異分母概念 ○³ ：真分數概念 ○⁴ ：假分數概念

○⁵ ：帶分數概念 ○⁶ ：分母間成倍數關係概念 ○⁷ ：分母間互質概念

○⁸ ：分母間有公因數概念 ○⁹ ：進位概念 ○¹⁰：要約分概念

圖 4-2-2 六年級全體學生的分數加法概念階層結構圖

(三)五、六年級學生分數加法概念階層結構之差異

由圖 4-2-1 與圖 4-2-2 中可發現，五年級學生在結構圖上的階層數及概念 間關連性較六年級學生多，但階層間的上下位關係與六年級的不盡相同，且通 過率較六年級低，足見六年級學生比五年級學生在分數加法上的精熟程度高。

二、五、六年級分數減法之多元計分次序理論分析 (一)五年級學生之分數減法概念階層結構(圖 4-2-3)

根據圖 4-2-3，可發現其特徵，茲分述如下：

1. 五年級學生在分數減法的概念階層結構分為三個階層。

2. 同分母的概念最簡單，通過率達.79，是所有分數減法概念的基礎。

3. 異分母、真分數、假分數、帶分數、分母間成倍數關係、分母間互質及進 位概念次之，通過率為.56~.63，其均為同分母的上位概念，而假分數與進 位概念等價。

4. 分母間有公因數、要約分的概念最為困難，通過率為.53~.57，且分母間有 通過率 .84~.87

通過率 .74~.83 通過率 .76~.78

○¹ ：同分母概念 ○² ：異分母概念 ○³ ：真分數概念 ○⁴ ：假分數概念

○⁵ ：帶分數概念 ○⁶ ：分母間成倍數關係概念 ○⁷ ：分母間互質概念

○⁸ ：分母間有公因數概念 ○⁹ ：進位概念 ○¹⁰：要約分概念

公因數是分母間成倍數關係的上位概念，而要約分是真分數的上位概念。

5. 圖 4-2-3 顯示整體學生之概念階層結構，由圖可看出學生在分數減法概念 間的上下位關係。

圖 4-2-3 五年級全體學生的分數減法概念階層結構圖

(二)六年級學生之分數減法概念階層結構(圖 4-2-4) 根據圖 4-2-4，可發現其特徵，茲分述如下：

1. 六年級學生在分數減法的概念階層結構分為三個階層。

2. 同分母的概念通過率達.90，是所有分數減法概念的基礎。

3. 異分母、真分數、假分數、帶分數、分母間成倍數關係、分母間互質、分 母間有公因數及進位概念次之，通過率為.73~.80，且假分數與進位概念等 價。

4. 要約分的概念最為困難，通過率為.76，是真分數的上位概念。

5. 圖 4-2-4 顯示整體學生之概念階層結構，由圖可看出學生在分數減法概念 間的連結及其次序性。

通過率 .79 通過率 .56~.63 通過率 .53~.57

○¹：同分母概念 ○² ：異分母概念 ○³ ：真分數概念 ○⁴ ：假分數概念

○⁵ ：帶分數概念 ○⁶ ：分母間成倍數關係概念 ○⁷ ：分母間互質概念

○⁸ ：分母間有公因數概念 ○⁹ ：進位概念 ○¹⁰：要約分概念

圖 4-2-4 六年級全體學生的分數減法概念階層結構圖

(三)五、六年級學生分數減法概念階層結構之差異

由圖 4-2-3 與圖 4-2-4 中可發現，五年級學生與六年級學生的概念階層數 一樣多，且階層圖極為相似，差別是五年級學生的階層結構圖中，分母間有公 因數與要約分同為最困難的概念，而六年級學生的階層結構圖中，僅有要約分 的概念為最困難的概念，且六年級學生的通過率均較五年級高。