基於S-P表和多元計分次序理論之分數加減法的概念探討

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士論文

指導教授：林原宏博士

基於 S-P 表和多元計分次序理論之

分數加減法的概念探討

研究生：許芳郡撰

中華民國九十八年七月

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謝辭

求學的四年期間，在課業與教學兩頭燃燒的情況下，實在有些力不從心。如今，回想起來，能如此順遂的完成此篇論文，真該感謝週遭許多人對我的協助及包容，讓我能如願以償的完成自己的學業。首先，感謝論文指導教授林原宏博士，在整篇論文的研究過程中，您細心及不厭其煩的指導，使我獲益匪淺。其次，感謝口試委員楊志強教授和黃一泓教授，在論文口試中的剴切指導與寶貴建議，使得本論文的內容更加完善。也感謝這四個暑假所有的授課老師，您們的諄諄教誨，讓我增長不少。還有我同學芹儀的鼎力幫忙，節省了我在蒐集資料與數據所需的時間。另外，感謝所有幫我施測的同仁及朋友，你們的全力配合，使得我能如此順利的完成論文，在此致上誠摯的謝意。最後，感謝家人默默的支持與付出，你們的陪伴與鼓勵，使我能順順利利的走完這一段路。謹以此篇論文完成的榮耀與喜悅，與所有關心、愛護我的人分享。許芳郡九十八年七月

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摘要

本研究旨在應用 S-P 表和多元計分次序理論之整合，分析國小高年級學生分數加減法之概念。教師可藉由 S-P 表所提供的試題注意係數和學生注意係數，以及多元計分次序理論所呈現學生的概念階層結構，獲得有關學生概念結構的訊息。本研究分析結果顯示，S-P 表下之各類型的學生有不同的概念階層結構，且 A、B、C 類型的學生在概念階層結構圖上層次分明，在分數加減法的知識結構上具有次序性，而 A'、B'及 C'類型的學生，因表現有些異常，使得在概念階層結構上的層次不明顯。整合 S-P 表以及多元計分次序理論的分析，可發現不同類型的學生之概念階層結構特徵，顯示整合分析具有實務上之重要功能，本研究結果可提供教師在認知診斷及進行補救教學上之參考。關鍵字：S-P 表、分數加法、分數減法、多元計分次序理論、概念結構

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Abstract

The purpose of this study is to integrate the S-P chart and polytomous ordering theory in analyzing the concepts of fraction addition and subtraction for fifth and sixth graders. Teachers can acquire the information of students-learning by the hierarchical structures of items provided by the caution index of problems and the caution index of students from S-P chart and polytomous ordering theory. This study shows that the hierarchical structures of concepts on various types students are different. There are type A, type B, and type C which exist exactly hierarchical structure of concepts. Unlike type A, type B, and type C, it exists a lot of variations in type A', type B', and type C' to bring about many differences on hierarchical structure of concepts.

The integrated analysis of S-P chart and polytomous ordering theory can not only present the different concepts hierarchies based on various types students but also provide unabridged information of students-learning to deal with individual differences. The findings of this study could provide references in cognitive diagnosis and remedial instruction.

Keyword：concept hierarchy, fraction addition, fraction subtraction, polytomous ordering theory, S-P chart

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第一章緒論...1 第一節研究動機...1 第二節研究目的...2 第三節名詞釋義...3 第四節研究範圍及限制 ...4 第二章文獻探討...5 第一節 S-P 表分析理論及其相關研究 ...5 第二節次序理論及其相關研究 ...12 第三節多元計分次序理論及其相關研究 ...15 第四節分數概念及其相關研究 ...18 第三章研究方法...35 第一節研究架構...35 第二節研究對象...36 第三節研究工具...36 第四章結果與討論 ...43 第一節 S-P 表分析 ...43 第二節多元計分次序理論分析...47 第三節 S-P 表與多元計分次序理論的整合分析...51 第四節分數加減法各類型人數的比較分析 ...78 第五章結論與建議 ...81 第一節結論...81 第二節建議...82

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參考文獻...83 附錄一試題內容 ...91

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表目錄

表 2-2-1 試題i和試題 j的答題人數之列聯表...13 表 2-3-1 試題i和試題 j的答題人數之列聯表...16 表 2-4-1 分數試題的層次 (12~13 歲) ...28 表 2-4-2 分數試題的層次 (14~15 歲) ...28 表 3-2-1 施測人數 ...36 表 3-3-1 分數加法 ...38 表 3-3-2 分數加法概念屬性表...39 表 3-3-3 分數加法概念屬性統計表 ...40 表 3-3-4 分數減法 ...40 表 3-3-5 分數減法概念屬性表...41 表 3-3-6 分數減法概念屬性統計表 ...41 表 4-1-1 五年級加法試題注意係數表 ...43 表 4-1-2 五年級加法試題學生類型表 ...44 表 4-1-3 六年級加法試題注意係數表 ...44 表 4-1-4 六年級加法試題學生類型表 ...45 表 4-1-5 五年級減法試題注意係數表 ...45 表 4-1-6 五年級減法試題學生類型表 ...46 表 4-1-7 六年級減法試題注意係數表 ...46 表 4-1-8 六年級減法試題學生類型 ...47 表 4-4-1 五年級加減法之學生類型交叉列聯表 ...79 表 4-4-2 六年級加減法之學生類型交叉列聯表 ...80

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圖目錄

圖 2-1-1 S-P 表的製作範例...6 圖 2-1-2 學生診斷分析圖 ...9 圖 2-1-3 試題診斷分析圖 ...10 圖 2-4-1 由外顯巢狀數列到分配性分割基模發展圖...22 圖 2-4-2 由外顯巢狀數列到分數連結數的基模變化...24 圖 3-1-1 研究架構 ...35 圖 3-3-1 試題編製流程圖 ...37 圖 3-3-2 分數概念圖 ...37 圖 4-2-1 五年級全體學生的分數加法概念階層結構圖...48 圖 4-2-2 六年級全體學生的分數加法概念階層結構圖...49 圖 4-2-3 五年級全體學生的分數減法概念階層結構圖...50 圖 4-2-4 六年級全體學生的分數減法概念階層結構圖...51 圖 4-3-1 五年級分數加法 A 類型學生概念階層結構圖 ...52 圖 4-3-2 五年級分數加法 A'類型學生概念階層結構圖 ...53 圖 4-3-3 五年級分數加法 B 類型學生概念階層結構圖 ...54 圖 4-3-4 五年級分數加法 B'類型學生概念階層結構圖 ...55 圖 4-3-5 五年級分數加法 C 類型學生概念階層結構圖 ...56 圖 4-3-6 五年級分數加法 C'類型學生概念階層結構圖 ...57 圖 4-3-7 六年級分數加法 A 類型學生概念階層結構圖 ...59 圖 4-3-8 六年級分數加法 A'類型學生概念階層結構圖 ...60 圖 4-3-9 六年級分數加法 B 類型學生概念階層結構圖 ...61 圖 4-3-10 六年級分數加法 B'類型學生概念階層結構圖 ...62

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圖 4-3-11 六年級分數加法 C 類型學生概念階層結構圖 ...63 圖 4-3-12 六年級分數加法 C'類型學生概念階層結構圖 ...64 圖 4-3-13 五年級分數減法 A 類型學生概念階層結構圖 ...65 圖 4-3-14 五年級分數減法 A'類型學生概念階層結構圖 ...66 圖 4-3-15 五年級分數減法 B 類型學生概念階層結構圖 ...67 圖 4-3-16 五年級分數減法 B'類型學生概念階層結構圖 ...68 圖 4-3-17 五年級分數減法 C 類型學生概念階層結構圖 ...69 圖 4-3-18 五年級分數減法 C'類型學生概念階層結構圖 ...70 圖 4-3-19 六年級分數減法 A 類型學生概念階層結構圖 ...72 圖 4-3-20 六年級分數減法 A'類型學生概念階層結構圖 ...73 圖 4-3-21 六年級分數減法 B 類型學生概念階層結構圖 ...74 圖 4-3-22 六年級分數減法 B'類型學生概念階層結構圖 ...75 圖 4-3-23 六年級分數減法 C 類型學生概念階層結構圖 ...76 圖 4-3-24 六年級分數減法 C'類型學生概念階層結構圖 ...77

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第一章緒論

在數學領域的研究中，「分數」是數學教育學者所重視的研究主題之一，也是小學階段數學的核心課程之ㄧ，為此，本研究將對分數的加減法進行分析。由於數學是具有系統性、邏輯性的知識內容，學生在學習上具有階層結構性，而教師是以概念為依據以進行補救教學，故數學的概念階層結構化是必須的，也是可以長期運用於教學上的。Airasian and Bart (1973)所提出的次序理論(ordering

theory)可探討其階層性，只是Airasian and Bart (1973)的次序理論，只適用於二元

計分(dichotomous)的模式，應用在多元計分的資料中，仍有其限制性。故本研究應用Lin, Bart and Huang (2006)所提出的多元計分次序理論(polytomous ordering

theory)來進行研究，以期能更適切的分析學生之概念階層結構。而應用 S-P 表 (student-problem chart)，可以獲得每位學生的學習診斷資料，了解學生的學習困難及學習類型。故將 S-P 表分析與多元計分次序理論結合，可以繪出不同類型學生之概念階層結構圖，能有效了解學生的概念階層結構，在教學上具有正向幫助。本章內容將說明本研究之研究動機、研究目的，及本研究所涉及的名詞定義，最後再說明本研究的範圍及限制。

第一節研究動機

自 Airasian and Bart (1973)提出次序理論後，就被應用在 J. Piaget 認知發展理論的發展階段之次序性。如：Bart and Airasian (1974)使用次序理論的方法來判別

Piaget 的七個任務之次序關係。而國內也有許多學者藉由次序理論所提供的階層

性，廣泛應用在數學領域中，探討學生的解題規則。如：林原宏、紀順雄、祝淑梅(2006)研究分數加法的試題階層結構，此研究是以二元計分的方式，作為衡量的標準，而這種評量方式，所得到的結果，是學生在試題上的階層結構。針對試題分析其階層結構，僅能適用於該份試題，因此，在應用與推論上將會被侷限住。

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若能改進其缺失，利用其試題所具備的概念，改以分析學生的概念階層結構，能使教師在補救教學時有所依據，故其價值性將會高於分析學生的試題階層結構。而藉由 Lin, Bart and Huang (2006)改良 Airasian and Bart (1973)次序理論所提出的多元計分次序理論(polytomous ordering theory)，可以改進二元計分所無法分析的概念階層結構，故本研究採用多元計分次序理論來分析，期望藉由分析後所繪出的概念階層結構圖，能更精確的分析出學生在分數加減法上的概念階層結構。另外，應用 S-P 表 (student-problem chart)，可以依據學生作答的反應組型 (response pattern)將學生分類並予以分析，以獲得每位學生的學習診斷資料，了解學生的學習困難及學習類型。經由多元計分次序理論分析，可繪出概念階層結構圖，而 S-P 表分析則可以依據學生作答的反應組型將學生分類後加以分析，二者之結合，正好可以針對不同類型學生之不同的表現，繪出概念階層結構圖，提供學生在學習上有價值的回饋，這對教師改進其教學措施，提昇教育品質，將具有長足的貢獻。本研究採用國小數學科─分數的加減法─作為施測的內容，之所以採用分數加減法施測，主要是因為分數概念在目前國小的數學科教學中占有極重要的分量，是國小的核心課程之一，且分數的概念，會影響到學生後來在平分、測量、比例、百分率、比值、機率、部分/全體等概念的學習，所以分數加減法概念的重要性，實不容忽視。若學生在分數加減法上能有正確的概念，爾後在學習其他相關概念時就能駕輕就熟，提高學習的效果，故分數加減法為本研究欲探討的主題，希望其所研究之結果，可以提供認知診斷與補救教學，解決學生學習上的障礙及日後在課程設計與教學上的參考。

第二節研究目的

本研究主要是結合 S-P 表分析(林原宏、黃國榮，2006)，並整合多元計分次序理論(Lin, Bart & Huang, 2006)，來探討學生分數加減法的概念階層結構。基於上述，如何呈現學生在分數加減法上的概念次序，本研究將研究目的臚列如下：

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一、以 S-P 表中的學生注意係數(student caution index)及試題注意係數(item caution index)，進行學生及試題診斷分析。二、分析學生的概念階層結構，探討國小高年級學生在分數加減法上的概念階層結構圖之特徵。三、根據 S-P 表之學習類型分類，並整合多元計分次序理論，據以進階探討學生在分數加減法上的概念階層結構圖。四、以交叉分析各類型分數加減法上之學生，探討學生在分數加減法上的差異與特徵。

第三節名詞釋義

一、S-P 表分析

S-P 表分析是佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1970 年代提出，此分析法分析每位學生及每個試題的作答反應組型(response pattern)，並針對每位學生與每個試題的作答反應組型所產生的注意係數(caution index)，與整份測驗卷的差異係數 (disparity coefficient)做分析。注意係數與差異係數這二項指標是用來協助教師診斷學生表現、試題的品質以及教學成果的重要資訊之ㄧ，而這些指標，將可作為 改進教學、編製教材與輔導學生之參考。

二、次序理論

Airasian and Bart (1973)所提出的次序理論主要是應用在二元計分的試題

上，它用以計算兩個試題之間的先備條件(precondition)之次序關係。利用次序理論的分析結果，可呈現試題階層(item hierarchy)。

三、多元計分次序理論

二元計分的次序理論對於多元計分的資料有其限制，Lin, Bart and Huang

(2006)基於 Airasian and Bart (1973)的二元計分模式，擴展為廣義多元計分的次序

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第四節研究範圍及限制

本研究在整個研究進行中，由於人力、時間之因素，以下臚列本研究之範圍及限制：

一、研究變項

限於人力及資源不足，本研究只限定於分數加法及分數減法，其他諸如等值分數、分數乘法、分數除法及分數的四則運算均不在本研究的範圍。

二、研究樣本

本研究所施測之樣本僅限於中彰投一帶及新竹地區的學校，若將來增加不同地區之受試者，將可增加本研究之推論。

三、研究分數概念

本研究所指的分數概念，是參考許天維(1995)的分數概念圖為依據，將分數分為十個概念屬性。

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第二章文獻探討

本研究嘗試結合 S-P 表與多元計分次序理論，並且以分數加減法為實際施測的內容。故本章節針對 S-P 表分析理論及其相關研究、次序理論及其相關研究、多元計分次序理論及其相關研究、分數概念及其相關研究四個主題分別探討。

第一節 S-P 表分析理論及其相關研究

一、S-P 表分析理論

S-P 表分析法是佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1970 年代所創，利用「圖形化」的方法分析學生在試題上的作答反應。此分析法分析每位學生及每個試題的作答反應組型(response pattern)，並嘗試以幾個指標化數據作為診斷或判讀該反應組型是否為不尋常或異常的一種測驗分析方法(余民寧，1997)。其目的在獲得每位學生的學習診斷資料，以提供教師實施補救教學之參考。 S-P 表分析是根據N(i=1,2,...,N)名學生在M ( j=1,2,...,M )個試題上的作答狀況，經過評分後(答對者給 1，答錯者給 0)，得到一個N×M 的矩陣，以

( )

M N ij y Y × = 來表示。此外，令

_∑

= • = M j ij i y y 1 為第i 位學生的總分，且y₁_• ≥ y₂_•≥...≥ y_N_•，

∑

= • = N i ij j y y 1 為第 j個試題的答對人數，且y•1≥ y•2 ≥...≥ y•M。根據每位學生答對的題數，從左向右數出與總分相同之試題個數，並在右邊畫上一條分界線，由高分往低分畫出每位學生總分所對應的分界線，再將這些分界線的下方利用直線連接，則會形成一階梯狀之曲線，此曲線即稱為「S 曲線」。同理，依據每道試題的答對人數，從上往下數出與答對人數相同之學生個數，並在其下邊畫上一條分界線，由左端往右端分別畫出每道試題之答對人數所對應的分界線，則會形成一階梯狀之曲線，此曲線即稱為「P 曲線」。以下舉 15 位學生，10 題試題為例，解釋 S-P 表之製作流程(余民寧，2002)。步驟一：將 15 位學生在 10 題試題上的反應資料，經過評分(答對者給 1，答

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錯者給 0)之後，得到 15 × 10 的 S-P 原始資料表(如圖 2-1-1 之(一))。步驟二：將 15 位學生依總分的高低，由上(總分最高者排在最上面)往下(總分最低者排在最下面)依序排列，得到 15 × 10 的依總分高低排序的 S-P 資料表(如圖 2-1-1 之(二))。若總分相同的學生，以座號之大小順序排列之(余民寧，2002)。步驟三：按每道試題答對學生人數之多寡，將試題的反應組型及其答對人數，由左(答對人數最多之試題排在最左端)往右(答對人數最少之試題排在最右端) 依序排列。若遇有答對人數相同之試題，則以各試題未答對學生總分之和的大小順序(總分較小者排在左端)，由左往右排列，得到一個依試題答對人數多寡排序的 S-P 資料表(如圖 2-1-1 之(三)) (余民寧，2002)。步驟四：依學生總分，從左端往右端數出和總分相同的試題個數，在其右邊畫一條直線，由高分往低分畫出每個學生對應的線，將這些線的下方以直線連起來，得到的曲線即為「S 曲線」。再依每道試題之答對學生人數，從上往下數出和答對學生人數相同的學生個數，在其下方畫一條線，由左端往右端畫出每道試題答對學生人數之相對應的線，將這些線的右方以直線連起來，得到的曲線即為「P 曲線」(如圖 2-1-1 之(四)) (余民寧，2002)。試題號碼 P S ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₁₀ _總分 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 5 2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 6 3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 7 5 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 9 6 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 5 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 8 10 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 6 11 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 12 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 13 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 5 14 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 5 學生座號 (一) 15 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 4 答對人數 8 12 11 9 6 7 10 4 8 5 80 (註： S-P 原表)

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試題號碼 P S ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₁₀ _總分 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 5 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 9 9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 8 4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 7 10 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 6 2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 6 14 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 5 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 5 13 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 5 6 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 5 15 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 4 11 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 學生座號 (二) 12 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 答對人數 8 12 11 9 6 7 10 4 8 5 80 (註：將 S-P 原表按學生總分高低，由上往下依序排列) 試題號碼 P S ₂ ₃ ₇ ₄ ₉ ₁ ₆ ₅ ₁₀ ₈ _總分 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9 9 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 8 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7 10 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 6 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 6 14 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 5 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 5 13 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 5 6 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 5 15 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4 11 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 4 3 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 3 8 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 學生座號 (三) 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 答對人數 12 11 10 9 8 8 7 6 5 4 80 (註：再依上表，按試題答對人數多寡，由左往右依序排列)

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試題號碼 P S ₂ ₃ ₇ ₄ ₉ ₁ ₆ ₅ ₁₀ ₈ _總分 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9 9 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 8 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7 10 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 6 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 6 14 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 5 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 5 13 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 5 6 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 5 15 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4 11 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 4 3 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 3 8 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 學生座號 (四) 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 答對人數 12 11 10 9 8 8 7 6 5 4 80 (註：再依上表，畫出 S 曲線(以粗線表示)和 P 曲線(以細線表示)) 圖 2-1-1 S-P 表的製作範例 (引自余民寧，2002) S 曲線是指學生得分的累加分佈曲線，是用來區分學生答對與答錯的分界線。而 P 曲線是指試題答對人數的累加分佈曲線，是用來區分試題答對與答錯人數的分界線。排列在 S-P 表左上方者，代表能力較好之學生與較簡單之試題，大多數是被期望答對的試題，所以，這個區域應該出現大多數的 1。相反的，在 S-P 表右下方者，應該出現大多數的 0。當 S 曲線以左或 P 曲線以上部分都出現為 1，我們稱這種情況為「完美量尺」 (perfect scale)的反應組型，此時可以發現 S 曲線與 P 曲線將會重疊在一起。但實際上這種完美量尺是不太可能出現，大部分之反應組型皆會出現不規則或不尋常的情形。為了暸解這種不尋常或異常的嚴重性，我們利用一些量化的指標來顯示這種不尋常或異常的嚴重性，並且提供教師診斷試題優劣與判斷學生學習成果的參考指標(余民寧，2002)。

二、S-P 表分析理論之應用

S 曲線 P 曲線

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S-P 表提供兩種注意係數分別為學生注意係數(caution index for students，簡稱 CS)和試題注意係數(caution index for problem，簡稱 CP) (Tatsuoka, 1984b)，其公

式如下(Tatsuoka, 1987)：第i 位學生注意係數為

( )( )

( )

' ， 1 ' 1 1 u y y u y y y CS i y j j i M j j ij i _i • = • • = • − − − =

∑

• 其中

∑

= • = M j j y M u 1 ' 1 第 j個試題注意係數為

( )

y

( )

u ， y u y y y CP j y i i j N i i ij j _j • = • • = • − − − =

∑

• 1 1 1 其中

_∑

= • = N i i y N u 1 1 根據學生注意係數和學生答對得分百分比，可將學生學習狀況分成 A、A'、 B、B'、C、C'六大類型，得到學生診斷分析圖，如圖 2-1-2 所示。 A 學習良好穩定性高 A' 粗心大意，不細心造成錯誤 B 學習尚稱穩定，需要再用功一點 B' 偶爾粗心，準備不充分，需要再努力 C 學力不足，學習不夠充分，需要更加努力用功 C' 學習極不穩定，具有隨興的讀書習慣，考試內容準備不充分 100% 75% 50% 0 0.5 1.00 圖 2-1-2 學生診斷分析圖 (引自余民寧，2002) 學生答對得分百分比學生注意係數

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根據試題注意係數和答對試題的學生人數百分比，可將試題分成 A、A'、B、 B'四大類型，得到試題診斷分析圖，如圖 2-1-3 所示。 A 試題相當適當，可用以區別低成就者與其他學生的不同 A' 試題含有異質成分，需要局部修正，或試題中含有拙劣的選項 B 試題困難度高，適合用作區別高成就者的好試題 B' 試題極為拙劣，含有相當異質成分在內，可能資料登錄錯誤或題意含糊不清，必須加以修改學生注意係數與試題注意係數這二項指標都是用來協助教師診斷學生表現、試題的品質以及教學成果的重要資訊之一，也可將這些指標作為改進教學、編製教材與輔導學生之參考(Sato & Kurata, 1997)。

一份測驗的試題除了探討其是否屬於優良的試題，也應提供教師如何利用試題的分析來了解學生的學習問題所在，以便讓教師能提出各種輔導措施。而 S-P 表之分析具有此功能，故本研究採 S-P 表之分析，探討試題品質及學生類型。

三、S-P 表分析理論之相關研究

應用 S-P 表所提供的注意係數而獲得學習診斷的功能，已在好幾種學科的研 100% 50% 0 0.5 1.00 圖 2-1-3 試題診斷分析圖 (引自余民寧，2002) 試題注意係數答對試題的學生人數百分比

(23)

究領域中獲得驗證。例如，吳婉嫕(2006)利用 S-P 表分析高中生解讀地圖的能力，呈現以往僅用信度、效度、難度、鑑別度分析所無法突顯的個別差異，診斷出了班級學生個別及整體之學習困難處。研究指出，學生對於大範圍主題地圖的掌握較佳，對於等高線地形圖的掌握較差，且在地圖技能的判圖訓練不夠熟練，其結果可提供教師教學及學生學習的參考。莊雁梅(2006)將 S-P 表測驗分析理論應用於國中英語教學現場，探討教師如何應用 S-P 表分析資料作為教學、命題、及學生輔導等參考依據，並促使學生重視測驗過程中所反應的學習問題。研究發現 S-P 表是實用的評量分析工具，它可以反應教學及測驗工具的問題，也可以作為學習輔導的參考依據。在反應教學及測驗工具問題方面，S-P 表分析結果可以協助教學者判斷答對率太低的題目是否需要重新教學或補救教學。在學習輔導方面，可以依據 S-P 表分析理論中學生注意係數是否偏高所指出的學生學習特性，配合學生的學習成就水準，歸納出英語學習類型，並探討可行的學習輔導方式。研究結果發現，實施 S-P 表分析的教學過程，對於學生的英語評量態度具有正面的影響，學生在實施 S-P 表於英語教學及測驗分析後，在考試行為、考試後檢討及對評量的功能之看法皆有正向的提升。詹裕偉(2006)在全民網路英檢(NETPAW)初級檢定的試題研究中，以 IRT 理論和 S-P 表理論來分析試題屬性及受測者表現。其研究結果發現，教師可以藉由聽力成績、閱讀成績、英語段考成績與 S-P 表分析理論的解題能力、思考敏捷度、學生注意係數及平均答題時間等表現來了解學生的優點或缺點，以做為補救教學及改進教學之參考。而學生可以藉由 S-P 表分析理論的學生注意係數、思考敏捷度及解題能力來了解自己的弱點，找出自己應該加強的地方在哪裡。黃信源(2006)研究國小數學領域分數概念教材設計，發現運用「S-P 表分析法」，以科學化輔助的方式，能更加了解學生分數概念的學習情形，而且透過 S-P 表分析的結果，可提供學生更具體的學習建議，進行個別化和適性化的學習輔導來幫助學生學習。葉亞婷(2007)在研究學生的 1 級文法之日語能力測驗中，以 S-P 表分析算出

(24)

學生注意指數，並將學生的作答與學習型態進行分類；再根據問題注意指數，將每一題測驗問題分類為良好問題、應修正問題或困難問題等；並以差異係數檢驗本次測驗的異質程度。其研究結果發現，學生的學習類型與對測驗問題的達成度略有不同，並將學生未能正確回答的問題加以統計，提供教師及學生進行教學與學習的參考。吳育楨、陳建宏、林原宏(2007)在 S-P 表和次序理論在國小六年級因數與倍數的概念診斷整合分析中發現，藉由 S-P 表所提供的試題注意係數，教師可判斷試題編製品質屬性的良窳，配合試題分析的結果，做出試題評鑑抉擇；而 S-P 表所提供的學生注意係數，可以診斷學生的學習困難及學習類型，幫助教師了解學生學習的個別差異，以便進行補救教學或其他輔導措施，意即結合 S-P 表與次序理論的分析，是一種可行及有效的認知診斷分析方法。林孟嫻(2008)研究國小學生小數加減表現，發現應用 S-P 表理論所提供的學生注意係數和試題注意係數，可診斷學生的學習成效，並針對學生的學習表現類型予以分類，從中可獲得有關改進小數加減教學及學習輔導的訊息。上述文獻，都說明了 S-P 表分析可以提供教師診斷的訊息，提升教學的成效，也提供教師了解學生的學習類型及學習困難，故本研究亦採此分析法來探究國小高年級學生在分數加減法上的概念。

第二節次序理論及其相關研究

一、次序理論

根據 Airasian and Bart (1973)所提出的次序理論，主要是應用在二元計分

(dichotomous) 的試題上，它用以計算兩個試題或概念之間的先備條件 (precondition) 或次序性之關係(Airasian, Bart, & Greaney, 1975; Bart & Read, 1984)。利用次序理論的分析，可以呈現試題或概念間的順序性和階層性。以二元

計分的試題i和試題 j(i≠ j)為例，其答對(以 1 表示)和答錯(以 0 表示)的人數可用

(25)

表 2-2-1 試題i和試題 j的答題人數之列聯表 (引自林原宏，2005) 試題 j 1 0 總和 1 n11 n10 n1• 試題i 0 n01 n00 n0• 總和 n•1 n•0 n=n11+n10 +n01 +n00

根據表 2-2-1 的列聯表資料，Airasian and Bart (1973)定義「試題i指向試題 j」

的衡量係數為n₀₁ n，n₀₁ n的範圍是0≤(n₀₁ n)≤1，n₀₁ n若愈小，表示試題i可能

為試題 j的先備條件(Bart, 1976; Bart & Mertens, 1979)。因此，Bart and Krus (1973)

以閾值(threshold)ε( 0<ε <1)決定試題i與試題 j是否有次序關係如下(Bart, Frey,

& Baxter, 1979)：

(一)若(n₀₁ n)<ε，表示試題i為試題 j的先備條件，即試題i與試題 j有次序關係，

此時以r_ij =1表示，以圖繪i→ j表示；

(二)若(n₀₁ n)≥ε ，表示試題i不是試題 j的先備條件，即試題i與試題 j沒有次序

關係，此時以r_ij =0表示，圖繪中i沒有指向 j。

至於ε的選定，Bart and Krus (1973)建議容忍水準ε可取為ε =.2，但在實證研

究中，ε值可由研究者來決定(Bart & Read, 1984) 。

根據兩兩試題之間的次序性決定，可以圖繪出試題之間的次序和階層關係。當有線段連結試題i和試題 j時，則表示試題i為試題 j的先備條件。

二、次序理論的相關研究

Airasian and Bart (1973)提出次序理論的方法後，其後續的應用研究主要為 J. Piaget 認知發展理論的發展階段之次序性探討。例如：Bart and Airasian (1974)的

研究是使用次序理論的方法來判別 Piaget 的七個任務(包含三項具體操作及四項形式操作)之次序關係，研究結果支持具體操作期(concrete operative period)為形式操作期(formal operative period)的先備條件。Bart and Mertens (1979)應用於認知發展之形式操作期的基模(scheme)之階層結構，研究中顯示，同一基模內的某些試

(26)

題是等價的(equivalent)，雖然反應組型不同，但可發現形式操作期的基模階層結構之特徵。Bart, Frey and Baxter (1979)利用次序理論比較不同背景的受試者形式操作期之基模結構的差異，發現其基模階層結構存在共同的特徵(引自林原宏、游森期，2006)。而在國內，以次序理論所提供階層性來了解學生的解題規則，已廣泛的應用在數學領域中。例如，在比例理解上，林原宏、游森期(2006)研究學生對柳橙汁濃度測驗解題規則的階層分析，並將其結構圖與專家比較，以了解其解題規則的差異性。研究中均顯示，總分不同的受試者，其解題規則結構圖各具特色和意義；而總分相同但反應組型不同的受試者，其解題規則階層亦有差別。此外，在解題規則結構圖的比較方面，以專家的結構圖為參考標準，發現不同年級的受試者之相似性係數達統計上的顯著差異；但不同性別之間則無差異。而後林瑋詩(2007) 研究國小高年級學生對比例問題之解題規則階層次序，亦發現總分不同的受試者，其解題規則結構圖各具特色和意義；但總分相同反應組型不同的受試者，解題規則階層有差別。在機率問題上，李佳芸、林原宏(2006)分析國小高年級學生在彈珠機率問題上的解題規則次序性，研究中發現，總分不同的受試者，其解題規則結構和次序性不同；總分相同，但反應組型不同的受試者，在解題規則階層結構圖中，其解題規則的次序性亦不相同，所蘊含的認知結構也不盡相同。在等量公理的問題上，林原宏、陳紹銘(2006)分析國小六年級學生的概念結構，研究中發現，學生的概念結構可分為六個階層，其中列未知數的概念是屬於最下位的前置概念；其次是等量遞移性、加法原理、減法原理和乘法原理是屬於中間層級的概念；而等量除法原理、應用等量公理的紀錄和解決生活問題的概念，是屬於最上層概念，且是兒童感到最困難的概念。而後 Lin and Chen (2006) 加入 S-P 表分析，除分析學生的概念結構外，亦提供試題注意係數及學生的類型，作為教學設計及補救教學的參考。

(27)

序，結果發現總分不同的受試者，所使用的解題規則次序性及階層有明顯不同；但總分相同而反應組型不同的受試者，其解題規則次序性及階層亦有差異。而在解題規則結構圖的比較方面，以專家的結構圖為參考指標，發現組別與性別的交互作用未達顯著差異，而不同組別的受試者之相似性係數達顯著差異，但不同性別受試者之間則無差異。張惟翔(2008)編製 18 題「槓桿平衡問題」 (Balance Beam) 測驗，實施線上實測，以分析解題規則次序並繪製解題規則結構圖，研究結果發現，總分不同的受試者，對於槓桿平衡問題所使用的解題規則階層不盡相同；但總分相同而反應組型不同的受試者，其解題規則次序性與階層性都不相同。應用次序理論研究，可以得到試題或概念上的階層性，若再結合其他方法聯合分析，可以獲得更多的訊息，如林原宏、許芳郡(2007a)應用 S-P 表先將學生分類，再結合次序理論，繪製出國小高年級學生在分數加法試題的階層結構，藉以了解不同類型學生的階層結構圖。而後林原宏、許芳郡(2007b)應用 S-P 表結合次序理論分析，繪製出國小六年級學生在分數加法與分數減法的試題階層結構，並以交叉表呈現學生在分數加減法上各類型的組合，提供教師更完整的學生學習狀況之訊息。藉由以上這些研究，可以發現次序理論在解題規則上的應用，尤其是數學領域方面，因其具有系統性與邏輯性，故學生在學習上具有階層結構性。因此，經由其階層結構分析，教師可以了解學生的階層結構，若再加上其他應用理論聯合分析(如：S-P 表分析法)，提供更多學生學習狀況之訊息，讓教師知道學生在學習中所遭遇的困難，並及時施以補救教學的措施，解決學生學習上的障礙，以利教學的進行。故可知次序理論之應用，可提升教學成效，對補救教學裨益良多。

第三節多元計分次序理論及其相關研究

一、多元計分次序理論

由於 Airasian and Bart (1973)所提出的次序理論，是二元計分(dichotomous)的試題理論，但因二元計分所能解釋的概念有限，故 Lin, Bart and Huang (2006)將

(28)

Airasian and Bart (1973)所提出的二元計分理論修改為多元計分理論。其分析步驟

如下(Lin, Bart & Huang, 2006)：

(一)假設試題i和試題 j的計分點數分別為C_i和C_j，且以k =0,1,L,(C_i−1)_表示和 ) 1 ( , , 1 , 0 − = Cj l L _{表示，且受試總人數表示如表 2-3-1 所示，其中}

_{∑ ∑}

− = − = = 1 0 1 0 i j C k C l kl n n 。

表 2-3-1 試題i和試題 j的答題人數之列聯表 (引自 Lin, Bart & Huang, 2006)

試題 j 1 − j C C_j −2 K ₁ ₀ 總和 1 − i C n(C_i−1)(C_j−1) n(C_i−1)(C_j−2) K n(Ci−1)1 n(Ci−1)0 n(Ci−1)• 2 − i C n(C_i−2)(C_j−1) n(C_i−2)(C_j−2) K n(Ci−2)1 n(Ci−2)0 n(Ci−2)• M M M K M M M 1 n1(Cj−1) n1(Cj−2) K 11 n n10 n1• 試題i 0 n0(C_j−1) n0(C_j−2) K n01 n00 n0• 總和 n•(C_j−1) n•(C_j−2) K n•1 n•0 n (二)以正規化的方法，無法滿足「試題i指向試題 j」的次數為 =

∑∑

k l kl n n' ， 1 1< − − ∀ j i C l C k and 0≤k≤(C_i−1), 0≤l≤(C_j−1) (三)定義「試題i指向試題 j」的衡量係數為n' n，n' n的範圍是0≤(n' n)≤1，n' n 若愈小，表示試題i可能為試題 j的先備條件。 (四)根據閾值ε (0<ε <1)決定試題間的次序關係，若(n' n)<ε ，表示試題i為試題 j的先備條件，即試題i與試題 j有次序關係，此時以r_ij =1表示，以圖繪 j i→ 表示；若(n' n)≥ε，表示試題i不是試題 j的先備條件，即試題i與試題 j 沒有次序關係，此時以rij =0表示，圖繪中i沒有指向 j。

二、多元計分次序理論之相關研究

近年來，有不少研究運用多元計分次序理論去從事應用研究，例如，陳佳甫 (2006)探討國小高年級學生在數列組型問題之表現分析及概念階層結構，研究中

(29)

發現，不同年級在數列組型認知歷程中概念的表現上，除了高分組和中分組在「固定」概念的表現無差異外，在三個認知歷程中的其它概念，兩兩之間均存差異；中分組和高分組在分類歷程的概念階層結構相同，但卻和低分組相異；不同能力組別在理解關係歷程的概念結構相同；低分組和中分組在映射檢查歷程的概念結構相同，但卻和高分組相異。而在不同性別在數列組型認知歷程中概念的表現上，在三個認知歷程中的概念，男生只在「複合」、「差距」概念優於女生，其餘無差異；而且女生在所有認知歷程的概念階層結構均和男生相同。鄭雅雯、胡啟有、林原宏(2007)應用多元計分次序理論分析試題階層結構，探討國小低年級的加減法文字題，研究發現不同年級的學生在不同類型(添加型改變、拿走型改變、合併型、比多型比較、比少型比較、添加型等化、拿走型等化) 的加減法文字題中，其試題階層各具特色，亦有相同之處。而後黃秀玉(2008)結合模糊集群分析，以縱貫研究(longitudinal research)探討學生各類型文字題的解題表現、所隸屬的集群，以及所有受試學生與各集群學生，在四個類別知識結構跨時間的變化情形，藉以了解學生知識結構特性以及其知識結構的差異情形，以提供教師做為診斷之依據和教材編製與補救教學之參考。

黃馨瑩、林原宏、莊曜遠(2007)以及 Huang, Lin and Chuang (2007)應用混合計分次序理論探討五年級學生容量概念的知識結構，發現對學生而言，容量和液量的界定最難，容量和液量一般間接比較最簡單，而容量單位的化聚與容量單位的轉換沒有次序關係，且估測的概念需要有普遍單位概念為基礎。其研究結果可提供補救教學與教材編排之參考。

Chang and Lin (2007)應用廣義的多元計分次序理論(weighted polytomous ordering theory)，透過加權計分，探討概念間的次序性，以分析國小學童在分數

加法上的概念階層結構。經研究結果顯示國小學童在分數加法學習上的次序性，提供教師建議及參考。

林原宏、許芳郡(2008)的植基於 S-P 表和多元計分次序理論的分數加法概念階層結構探討，發現不同類型的學生有不同的概念階層結構，且 A、B、C 類型

(30)

的學生在概念階層結構圖上層次分明，在分數加法的學習上具有次序性，而 A'、

B'及 C'類型的學生，在概念階層結構上的層次不明顯，存在著許多異質因數影響。

整合 S-P 表以及多元計分次序理論來分析，可發現不同類型的學生之概念階層結構，顯示整合分析能針對個別差異，據以提供不同類型學生學習狀況的訊息，其研究結果可提供教師在認知診斷及進行補救教學上之參考。

Lin, Chang and Yu (2008)應用廣義的多元計分次序理論和集群分析探討學生

在分數加法概念上的階層結構，透過集群分析將學生分類，再由廣義的多元計分次序理論探討學生的概念階層結構。藉由研究結果，顯示不同類型學童在分數加法學習上的階層性，提供教師教材編製建議與補救教學之參考。綜觀以上研究，可以發現應用多元計分次序理論，可以了解學生學習的階層結構，其結果可提供教師補救教學的參考，以利教師解決學生在學習上的障礙。且應用多元計分次序理論，可以概念為單位，不受二元計分的限制，明確的了解學生在學習概念上的階層結構，故其可以更廣泛的被應用。本研究亦以多元計分次序理論為依據，分析學生在分數加減法概念上的階層結構，期能分析出學生的學習特徵，提供教師補救教學及教材編排之參考。

第四節分數概念及其相關研究

一、分數的定義

分數一詞來自於拉丁文的”frangere”一字，它的意義是分開，通常用來描述一個被分開的全體之部分(林碧珍，1990)。呂玉琴(1996)認為分數的概念起源於「分」，是用來解決一個不滿一個單位量的數值問題。甯自強(1993)認為分數是起源於分割一物件活動的記錄與結果，而有理數是等值分數中最簡分數的形式表示。例如：透過將原單位量(一公尺的繩子)加以等分割(分成四等分)所得到單位分量的重複(三個四分之一公尺)，便得到與被測量量(剪掉四分之三公尺的繩子)等價的量，以分割的份數(四份)和重複的次數(三次)並置(四分之三)，作為被測量量的指標。Hunting (1986)對於分數最初概念是以一個連續物品細分(如蘋果、蛋糕、

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派)。國內外學者對分數的定義各有其不同的看法，然不外可分為下列幾種： (一)部分/全體：分數是把一個連續量等分幾分後，再將其中一部分或幾部分合併後和全部的關係。 (二)子集/集合：分數是把集合等分組後，其中一組或幾組與集合的相對比較關係。 (三)數線上的一個數值：以分數來表示數線上的一個數。 (四)整數相除的結果：分數是兩數相除的結果，代表一個量(被除數)與基準量(除數)的相對比較關係。 (五)比值、比例：兩個量或兩個集合相比的結果。

二、分數概念的發展及其相關研究

在分數概念發展的研究中，最典型的是 Piaget, Inhelder and Szeminska (1960) 提出兒童的分數概念的發展為： (一)四歲到四歲半的兒童，對一物分成二半甚為困難，在分割之前沒有預期的計劃或基模，對於不同形狀的分割，長方形比較容易，圓形次之，正方形較困難。這階段的最大特徵是缺少部分與整體之間的關係，兒童不會注意到他所接觸的部分是全體中所含的元素。 (二)四到六歲的兒童，對於規則與小範圍的東西有分半的能力，分割圖形中利用長方形的餅較容易解決，但將物體分成相等三部分的能力尚未出現。 (三)六到七歲的兒童能成功實施三等分的分法，其操作的了解，仍在具體的操作層次，在這階段的孩子具有整體性的保留概念，兒童了解到各個分割塊數集聚所得到的總量與整塊餅是一樣的。 (四)十歲左右的兒童能實施六等分的分法，首先用三分法分一個餅，然後將所得的三塊餅再用二分法。同時 Piaget 也指出兒童在了解分數運算之前必須具有下列七個子概念： (一)整體是可以分割的，且能由可分割的部分所組成。 (二)一個分數意味著所指的分數。 (三)子分割的活動中，全體必須被除盡，沒有餘數。

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(四)全體被切割成各部分的數與切割數間，有一個固定的關係。 (五)分數的概念意指分割後的每部分都是相等的。 (六)當兒童操作了再細分的部分概念時，了解到此細分的部分是全體的一部分，同時此一細分的部分本身也是一可再分割的全體。 (七)因為分數是從全體而來的，其全體始終不變，即必須具備保留概念。根據 Piaget 研究可發現，兒童四到六歲才開始具有把東西分半的能力，六到七歲才具有整體性的保留概念，十歲才能實施六等分的分割，而且兒童在了解分數運算之前必須先具備一些子概念，由此可見兒童分數概念的發展具有層次性。

Hiebert and Tonnessen (1978)欲驗證在部分/全體、子集/集合的分數意義中，

是否有 Piaget 等(1960)所提出的七個分數子概念，結果發現兒童在處理離散量與連續量問題時的表現不盡相同，對兒童而言，離散量的問題較簡單，在解題時可藉著數數的方式來解答離散量分割的問題。

Pothier and Sawada (1983)指出兒童帶著有關分割、相等的非正式知識來到學

校受教育。他們研究 43 位幼稚園到小學三年級的學生。研究結果顯示，兒童對於分割和相等的概念可分為五個階段：第一階段：兒童僅能了解分享的意義。第二階段：兒童能將東西(例如：蛋糕)分割成數塊，卻無法將其等分。第三階段：兒童能運用運算將東西等分成偶數塊，也注意到東西須要均勻的等分，卻無法將東西等分為奇數塊。第四階段：兒童能運用運算將東西等分，且較不受奇、偶塊數的影響，並在意東西切割的是否完美。第五階段：兒童則是能運用不同的方法將東西相等的分割。 Streefland (1991)提出兒童在學習分數時可分為三個層次，分別說明如下：層次一：(具體層次)此層次的兒童須仰賴物件，學會用圖解的方式解題。層次二：此層次的兒童除了會利用圖解外，還會利用比值表(ratio table)比較分數大小。這層次的兒童所使用的圖解，會比層次一更加簡略，而且根據比值表的長

(33)

度，可以知道其精簡的程度。

層次三：此層次的兒童能系統性的運用最小公倍數，比較不同分母的分數及不同比值配對的大小。此層次的兒童可以抽象化，不需使用圖解。

Sáenz-Ludlow (1994,1995)根據實驗的結果將兒童的分數基模分為三類： (一)_{測量性的部分─整體基模(the metric part-whole scheme)}

1. 連續量情境：此基模是在衍生分數量之前，以一個部分測量整體的結果。從自然數的經驗建立「部分到整體」(part-to-whole)及「整體到部分」 (whole-to-part)的雙向關係。 2. 離散量情境：修正連續量情境得到基模，利用比較單位分數的內容物而決定分數的大小關係，也藉此調節自然數單位和分數單位之間的關係。從等分割活動中得知，整體是單一部分的倍數，亦即「整體」是由部分構成的實體(a part-dependent entity, part-to-whole relation)，而「部分」是仰賴整體存在的相對實體(a whole-dependent entity, whole-to-part relation)。「部分到整體」(part-to-whole)是內嵌於整體為部分的倍數之構念中，亦即把整體視為一個集聚單位，它內嵌了一種乘法性關係。「整體到部分」(whole-to-part) 關係則內嵌於部分相對於整體的分數量。另外，在離散量情境下，兒童會有預期基模，可以將整體進行等分割。

(二)多重分割調節基模(the multiple-partitioning coordinating scheme)

擁有此基模的兒童能夠比較分數的大小，在整體未知的情況下，衍生出等值分數及運作分數的合成，並利用單位分數複製的策略比較分數的大小。在比較 2 1 和 4 1 、 5 1 和 10 1 、 7 1 和 14 1 之間的關係，是基於調節同一個整體的不同等分割，保留整體的完整性。

(三)部分分割調節基模(the part-partitioning coordinating scheme)

具備此基模的兒童可以將第一次分割後的部分當作是一個整體進行一個內嵌於原來基準單位量的新分割。此時由於能夠掌握整體和部分之間的乘法性關係，所以可以瞭解單位分數內容物為多個個物的分數，也可以做出等值

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分數，並能解決分數乘以分數的問題(引自王淵智，2005)。

Tzur(1995)曾透過電腦及師生間的互動探討兩個學生的分數基模發展。藉由

學生的解題，學生在迭代和遞迴分割的運思基礎上建立了五種分數基模，並就其發展繪圖如圖 2-4-1，其說明如下：

資料來源：Interaction and children’s fraction learning (p.292), by R. Tzur, 1995,

Unpublished doctoral dissertation of the University of Georgia.

(一)等分割基模(the equi-partitioning scheme)

具等分割基模的兒童，能知道一個整體被分成特定數目的相等部分，並利用分解活動產生部分。此外，若給兒童任意一個部分，他可以根據此部分製做出相對它的整體。

(二)分割性分數基模(the partitive fraction scheme)

外顯巢狀數列迭代分數基模分割性分數基模可逆分數基模等分割基模圖 2-4-1 由外顯巢狀數列到分配性分割基模發展圖分配性分割基模分割遞迴迭代

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具分割性分數基模的兒童，可以調節分割後的單位，並說出等分割活動所產生部分的相對應分數詞。此外，若給兒童一支「 4 1_{條」的數棒，他可以} 利用對整體量迭代 4 次來說明它是「 4 1 條」。此時的兒童可以將標準分數詞和分割後的單位連結起來，所以，部分分數基模可說是初始分數基模(an initial fraction scheme)。

(三)迭代分數基模(the iterative fraction scheme)

具迭代分數基模的兒童，能對部分整體的關係重新建構出新概念，並重新將分割後的單位當作是可迭代的分數單位。此時的兒童可以做出原來的單位量，也可以做出假分數。

(四)可逆分數基模(the reversible scheme)

具可逆分數基模的兒童，可以利用逆運思產出一個集聚單位分數，例如可以從 10 7 找到 10 1 ，以做出其他以 10 為分母的分數，其中包括假分數。

(五)分配性分割基模(the distributive partitioning scheme)

具分配性分割基模的兒童，能進行兩步驟的分割，且能將分割後的部分進行多步驟的遞迴。即將一單位量做第一次分割後，利用其中一個部分，再進行第二次分割，且能知道第一次分割部分和原來單位量的關係，及第二次分割和第一次分割部分的關係與原來單位量的關係(引自王淵智，2005)。

Olive and Steffe (2002)利用 Java 語言寫的電腦模擬程式，寫出五種兒童可能

的分數概念基模(如圖 2-4-2)。其中的等分割基模(equi-partition scheme)是指兒童能將一個物件利用預期基模進行相等分割。分割性單位分數基模(partitive unit fractional scheme)是指具有將整體等分後得到基本單位分數的基模，例如：一包餅乾 18 塊，分給 9 個人，每人可得到 9 1 包餅乾。分割性分數基模(partitive fractional scheme)是指可以結合單位分數以形成一個整體的聚集部分，但此聚集部分可小於

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分數進行迭代做出另一個分數，如：把 5 4 條積木連續迭代 4 次得到 5 16 條積木。等分基模(equi-portioning scheme)是指能知道等分後的每一份量和整體量之間所形成份都一樣多，例如：把一盒 36 顆的糖果，分給 9 個人，每個人可分到 4 顆，是 36 4 盒，也就是一份，而一盒有 9 個一份，每份都相等。

資料來源：”The construction of an iterative fractional scheme: The case of Joe”, by J. Olive

& L. P. Steffe, 2002, Journal of Mathematical Behavior, 20, p.436.

分數連結數列迭代分數基模分數分割性共同分數分割性單位分數撕裂運思(分割及迭代的合成) 分割性分數基模分割性單位分數基模迭代對集聚單位或連結數之等分割基模對集聚單位或連結數之等份基模等分割基模連結數集聚單位分割 _脫嵌 _迭代 _{累計性合成} 外顯巢狀數列圖 2-4-2 由外顯巢狀數列到分數連結數的基模變化說明：代表數列代表運思代表基模代表基模的結果

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根據 Olive and Steffe (2002)和 Steffe (2004)提出五種兒童可能的分數概念基模得知，與分數加法有關的是迭代分數基模，其使用的單位可以複製，且可做二階單位調節。如：兒童把 4 1 當作是個可複製的單位，將 4 1 複製 3 次，合起來就是 4 3 。在這階段中，兒童必須調節以 4 1 為單位和以 4 3 為單位，即 4 3 這個單位是由 3 個 4 1 為單位所合成。而共同分割分數基模是解決異分母加減的關鍵，是繼迭代分數基模而發展的基模，可做三階單位的調節。如：一盒 24 顆的糖果， 8 6 是 18 顆，18 顆和 24 18 盒一樣， 4 3 盒也是 18 顆。所以這 18 顆可以是將原始單位量(24 顆)做不同等分割後形成的， 8 6 = 24 18 = 4 3 就是一個具三階概念的分數(引自王淵智，2005)。甯自強(1993)依據兒童在不同階段的運思方式所呈現的數概念與分割活動為基準，利用「分數詞」作為區分，將兒童的分數概念分為五個層次： (一)數的前置概念：此時兒童雖具有數概念與分割活動，但其數概念只是序列性合成運思，而分割活動未能將子分割單位數值化。因此，此層次的兒童並未具有分數概念，因此為稱分數概念的前身。此時期的兒童只是靠知覺做判斷。如以 3 1 來說，其意義為 1 和 3 或 3 和 1，若今日給 6 個積木，要求取出其中的 3 1 ，兒童的答案不是 1 個積木就是 3 個積木。 (二)起始單位分數：此時的兒童如同在整數情境中聯絡兩個整數，將由子分割單位構成的分子內嵌於由子分割單位構成的分母，此時的兒童具有累進性合成運思時的內嵌數概念，但尚無子分割單位數值化概念。兒童能將一單位量內嵌於全體做比較，如兒童知道將一連續量等分成四等分，其中一分是 4 1 。顯示兒童能將子分割的結果單位化，但此時期的兒童仍無法進行單位分數的累積活動。 (三)加法性分數：此時的兒童具有子分割運思，與單向的部分－全體運思時的分

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數概念，至此子分割單位始成為所謂的單位分數單位，能理解單位分數的內容為單一個物，以及單位分數的內容為多個的離散量問題。如兒童會運思 3 1_加 3 1 等於 3 2 ，但此層次的兒童無法聯絡兩個以上的子分割活動。 (四)巢狀分數：此時的兒童具有雙向的部分－全體運思，與具有子分割單位數值化的分數概念，即所謂的測量運思期。此時的兒童能同時運思兩個分數，因此稱為巢狀分數。他們能理解等值分數與分數的次序比較。雖然此期的兒童具有等值概念，但缺乏共測單位的概念，只能以等分割的方式來運思，察覺等值分數。如兒童以等分割知道 2 1 與 8 4 等值，但卻無法使用共測單位的 8 1 ，來比較 2 1 與 8 4 是等值。 (五)有理數概念：有理數是巢狀分數的重組，意即兩個部分全體的重組，此時的兒童不只具有雙向的部分－全體運思，更能以分數作為測量單位。此階段能同時思考兩個分數，如以 12 1 為共測單位，進行 3 2 與 4 3 的合成問題，兒童有等比例運思的共變概念，因此稱為有理數概念(引自李慧鳳，2005)。根據甯自強的研究可以發現，當兒童掌握單位量與單位量間的關係，那麼就具備加法性分數的概念─同分母相加減，當兒童能掌握通分的概念，並以此概念來進行解題時，則具備了巢狀分數的概念─異分母(兩分母互為倍數關係)相加減，當兒童掌握分數共測單位，理解不同分數詞間的等值或次序關係，則具備了有理數的概念─異分母(兩分母不互為倍數關係)相加減，此時的兒童在分數的加減法上，必是得心應手。

三、分數運算及分數試題的理解層次

Hiebert (1984)指出在學生的數學學習中，許多時候其所記憶的數學符號與公式和他們已有的數的概念與理解並無關聯(陳朝平譯，1985)，學生往往無法將既有的理解和公式相結合，其情況有三：

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(一)不了解符號的意義：學生知道一塊平面圖形上塗上顏色部分的意義，卻無法將分數和數線的相等部分配合起來。例如在第二次美國全國教育過程評量 (NAEP)的數學評量中，13 歲學生只有 50％能正確的在分段的數線中選出 2 1 的答案。 (二)不了解計算規則的意義：許多學生只是依照規則計算練習題，而不了解為何要使用某一規則及計算結果如何。因此在分數與小數的學習中，學生會因為不了解計算規則的意義，當問題情境改變，便無法解答，也不知道是否用錯了方法。NAEP 的評量中發現，13 歲的學生有三分之二認識等值分數，能做約分和擴分，但卻無法做異分母的加減。 (三)不了解算式的意義：當學生不了解符號又死記規則時，自然無法了解算式的意義，因此無法了解或判斷所寫解答的算式和問題情境之間的關係。NAEP 的評量中有兩個明顯的例子：在 13 歲組的評量中，有一題選擇題「 13 12 ＋ 8 7 ＝？，有『1、2、19、21 及不知道』五個答案選項。」只有 24％的學生答 2，答 19 的有 28％，答 21 的有 28％，其錯誤是將分子或分母相加，因為學生不了解 13 12 和 8 7 都略小於 1 的原因。然而，在較難的計算題中，計算「 15 7 _＋ 9 4_＝？」卻有 33％的學生算對，可見學生雖能運用複雜的符號和演算規則，卻不能了解答案是否合理。 Hart (1981)曾發展二份分數概念試題研究英國中學生分數概念的了解層次。其中一份試題包含了分數的意義、等值分數及分數的加減法運用，是給 12 歲、 13 歲的學生測的。另一份試題除了包含上述三類試題外，還包含分數的乘除法運算，是給 14 歲、15 歲的學生測的(呂玉琴，1991)。Hart 根據他的研究建立了一套學生分數概念的了解層次，其研究結果如表 2-4-1 及表 2-4-2：

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表 2-4-1 分數試題的層次(12~13 歲) (引自呂玉琴，1991) 層次難易度數學特性 1 87%~93% 能用部分/全體來表示 2 1 、 5 1 、 3 2 的意義。 2 67%~80% 1. 能用子集/集合來表示分數。 2. 能處理含 2 倍的等值分數。 3. 能做相同分母的分數相加問題。 3 46%~67% 1. 能利用等值分數寫出分數符號或圖示。 2. 能處理不只是 2 倍關係或較不熟悉的等值分數。 4 24%~38% 能處理不只一個運算符號的分數問題。表 2-4-2 分數試題的層次(14~15 歲) (引自呂玉琴，1991) 層次難易度數學特性 1 72%~85% 1. 不需利用等值分數能處理部分/全體的問題。 2. 能處理含 2 倍的等值分數。 3. 能做相同分母的分數相加問題。。 2 52%~66% 1. 能利用等值分數寫出分數符號或圖示。 2. 能處理不只是 2 倍關係的等值分數。 3 31%~40% 能處理不只一個運算符號的分數問題。 4 6%~15% 能處理分數的乘、除法問題。楊壬孝(1989)以英國中學數學及科學概念(CSMS)小組研究的分數單元為主要背景，發展國小五六年級及國中學生分數概念層次，並探究學生的錯誤類型，根據研究結果發現：層次一：能了解分數的表示是一個圖形的一部分、能比較同分母分數的大小、能做分數的擴分。層次二：能了解分數的表示是集合的一部分、能比較同分子分數的大小、能做分數的約分、能做同分母分數的加法、能從 1 減去一部分。層次三：能從分數的表示去找出圖形的一部分、能比較異分母分數的大小、能做分數的乘法、能用分數表示數線上的數值。

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層次四：能從圖形的細分去表示分數、能了解兩個分數間有無限個分數、能做分數的除法、能了解分數是數的概念。層次五：能了解兩分數之間的通分與次序的觀念、能以分數代表數的概念並解決不等式的問題。楊壬孝(1989)指出，在分數比較大小的排序中，分子相同以分母做比較的題目比分母相同以分子做比較的題目使學生感到困難，不易使學生接受；當兩分數的分母倍數關係不同時，對學生也有困難；學生在處理等值分數時，約分的問題比擴分的問題難；簡單的幾何圖形、分數比較、擴分、分數的加法於各年級的差異不大；六年級兒童在計算題答對率與國中一、二年級較為接近，分數的乘除題型對五年級兒童較為困難。王秀琲(2003)以實作評量在國小數學科之應用中發現，實作評量能實際測出學生的分數概念，在分割活動上，連續量比離散量好；在表徵轉換上，具體操作轉換符號模式為佳，圖形轉換符號模式較不理想；分割策略會因情境不同而使用較簡便的方式來解題，且從實作評量中，學生能展現自行所建構的解題策略，所獲得的訊息比紙筆測驗多。以 SS 分析法來分析實作評量之試題，所呈現的試題關聯結構圖中，可以了解等分和連續量的分割活動是學生最易理解的概念，而離散量分割、等值及單位量則是學生最難理解的概念。根據以上文獻得知，因為分數具有多種意義，因此在學習上，概念較無法像整數一樣容易理解，也因此在認知上會有些迷思概念，影響學生解題活動的進行。故而教師在著手分數教學時，須先了解學生容易產生的迷思概念，以下就影響學生分數概念表現的因素進行探究。

四、影響分數概念表現的因素

兒童在學習分數的加減法之前，必須先對分數的概念有正確的觀念，但從研究中可發現，兒童在分數概念上仍有許多的困難和迷思，這些概念是影響兒童學習的因素，茲將其整理，分述如下：

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(一)整數基模：分數的符號為 b a ，部分兒童將分數視為分子與分母兩個獨立的組合，並將之應用至分數的問題上。他們視分數是兩個不相關的整數並分開地個別處理，因此，在進行分數比大小時，會根據分母或分子的大小來比較。 (二)單位量概念：處理分數問題最重要的一個概念是單位量的指認，從文獻中發現學生無論在處理「部分/全部」，「子集/集合」或數線的分數問題時，都有指認單位的困難。而在確定單位量的過程中，兒童常犯的錯誤類型為：易受到分子或分母的控制，忽略給定的單位量。例如：「哥哥有 8 個蘋果，姐姐有 16 個蘋果，哥哥吃掉自己全部蘋果的 8 5 ，姐姐吃掉自己全部蘋果的 8 3 ，請問誰吃的蘋果個數比較多？」在這類題目中，兒童傾向假設二人的蘋果(單位量) 是一樣的，而進行解題。 (四)等分概念：在分數概念中，進行分割後的每一部份要相等，是必要條件。以離散量而言，是將一堆分散的物體，分成等量的子集合；在連續量上，須將全部分成相等的部份。但有些兒童在處理分數板的問題時，只注意到分數板分割成幾塊，而沒有注意到分割的每一塊是否相等。一但分割活動涉及分割後部份的面積與形狀，部分兒童認為平面圖形的等分，必須分割後的每一塊形狀與面積都要相等，可見等分的概念尚未健全。 (四)表徵系統的影響： 1.表徵系統內的影響： (1)圖形表徵系統：學生在處理「部分/全體」的分數問題時，以長方形最易處理，正方形次之，圓形最難；要學生在數線上標出真分數 b a 時，以將單位長分為b等分長比單位長為2b的等分為易。 (2)符號表徵系統：學生在處理等值分數時，約分的問題比擴分的問題難，而分母已知求分子的試題比分母未知的試題容易。 2.表徵系統間的影響： (1)圖形表徵與符號表徵之間的轉換：在比較分數的大小時，部分學生似乎不

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會將圖形轉換成符號再做比較，他們只是直觀的以圖形中斜線面積的多少作為分數大小的判斷依據。 (2)實物表徵與符號表徵之間的轉換：發現學生操作教具的成就比操作符號的成就差很多。 (3)圖形表徵與語言表徵之間的轉換：當學生把語言轉換成數線模式時，兒童會受到語言的影響而發生問題。 (4)不同表徵系統之間的轉換的難易情形：以「由圖形轉換成符號」最難，由別的表徵系統轉換成圖形比由圖形轉換成別的表徵系統容易；最容易的表徵系統之間的轉換是只要求學生讀出一個寫成符號的分數 (引自王秀琲、胡豐榮、許天維，2004) 。

五、分數加減法概念之相關研究

對於分數加減法的概念，一直都有許多的學者從事相關的研究，藉以探究學生在學習的過程中，會遇到哪些困難而導致迷思概念的產生，例如 Tatsuoka (1983) 利用規則空間可處理大量的錯誤運算規則，並找出每個規則的可能性，使其可以實際應用在教學上，讓教師針對學生的學習困難進行補救教學並修正自己的教學方法。Tatsuoka and Tatsuoka (1992)提出規則空間是由認知屬性、知識狀態及試題所生成之關聯矩陣，故可有效診斷學生的錯誤知識，快速補救學生的錯誤規則空間可應用於補救教學之上，提供教師有效率的設計補救教學的之單元。 Tatsuoka (1984a)利用電腦分析，提出學生分數加法錯誤類型可歸納為六大類，分別是帶分數轉換假分數的錯誤；整數轉換為等值分數的錯誤；通分時轉換為等值分數的錯誤；求公分母的錯誤；加法程序的錯誤及不會化簡或約分的錯誤 (引自邵宜翠，2003)。 Painter (1989)研究學生在分數加法上的錯誤情形，主要可分為：分子加分子，分母加分母的錯誤，如： 4 3 ＋ 2 5 ＝ 6 8 ；求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加的錯誤，如： 8 7 ＋ 2 1 ＝ 8 8 ；分母相乘，分子相加的錯誤，如： 3 2 ＋ 2 1 ＝ 6 3 ；

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分母相乘，分子相乘的錯誤，如： 4 3 ＋ 2 5 ＝ 8 15 (引自邵宜翠，2003)。劉天民(1993)發現學生在分數加法上的錯誤情形有：分子、分母及整數各自分開運算，直接合併的錯誤；整數相加，分母相乘，分子相加的錯誤；整數相加，分母相乘，分子相乘的錯誤；交叉相乘後，省略分母的錯誤；分母相加，分子相乘的錯誤(引自邵宜翠，2003)。黃瓊瑩(2002)之電腦化模糊認知診斷系統研究，在學生接受測驗後，利用系統算出學生的答題結果，並依照學生答題情況，診斷學生認知結構，並藉由學生認知結構分析，了解學生學習上的理解程度，進而針對學習較差的學生，進行補救教學。王瑞慶(2003)研究國小六年級學生在分數加減法問題的解題發現，在同分母加減法問題方面，在問題轉譯階段：學生較能注意問題的解題目標，但在注意問題的已知條件方面表現較遜色。在問題整合階段：八成以上的學生具有良好的問題整合能力。在解題計畫及監控階段：學生對通分的概念如果不夠清楚，可能會在處理同分母分數加減法問題時，受到異分母加減法問題解題策略知識的影響，而使用分數通分的解題策略。在解題執行階段：七成以上的學生具有良好的解題執行能力。在異分母加減法問題方面，在轉譯階段：學生較能注意問題的解題目標，但在注意問題的已知條件方面表現較遜色。在問題整合階段：學生未充分瞭解題意時，會以題目中的部份字詞決定使用何種問題表徵。在解題計畫及監控階段：學生會擴分的數學技巧，但未必具有通分的概念。在解題執行階段：學生解題的執行程序，會受到分數通分後分母大小的影響，如果分數通分後的分母比較大，計算上出現錯誤的機會也比較大。邵宜翠(2003)研究國小三年級學生分數加法概念的試題編製與分析，發現學生對於分數概念的形成，是先具有「等分割」概念，然後才形成「單位分數」概念，而單位分數的概念發展由「圖形表徵」到「符號表徵」。對於單位分數、單位分數的合成，及真分數的概念發展均是由「離散量」情境到「連續量」情境。在單位分數合成的概念上，對於「由分數數詞所描述的量來求是由幾個單位分數