第二章 文獻探討
第二節 分數表徵
數學學習領域強調「表徵」(representation) 的重要性。美國數學課程原則
與標準提到，表徵對數學學習影響甚遠 (NCTM, 2000)。97 年國民中小學九年 一貫課程綱要也針對表徵能力訂定指標，希望國小學生能選擇並使用合適的數 學表徵（教育部，2008）。Dreyfus & Eisenberg (1996) 認為運用表徵系統是數學 思考的重要能力之一。
本節分別就表徵的意義、表徵與分數學習、與表徵在數學教育上的研究分 別說明如下。
一、表徵的意義
表徵在數學教育領域應用相當廣泛。然而不同學者對表徵所下的定義也不 盡相同。
以內在心理歷程看，張春興（2006）認為表徵係指在以抽象的內在心像或 概念代表外在具體事物的重要概念。以訊息處理取向解釋，則是指訊息處理的 過程，將訊息編碼 (coding) 轉換為另一種形式，而後儲存的歷程 (Atkinson &
Shiffrin, 1968)。Goldin 與 Shteingold (2001) 認為表徵是指一種不能被直接觀察的 想法、概念或是心像。
從外在功能來解釋，蔣志邦（1994）認為，表徵是利用某種型式，將事物 或想法，重新表現出來，以達成溝通的目的。或是利用圖像、實物、圖表或符 號等與他人作溝通的工具 (Goldin & Shteingold , 2001)。
Bruner (1966) 則是以認知發展觀點解釋，將人類對其環境中周遭事物，經 知覺而將外在物體或事件轉換為內在心理事件的過程，稱為認知表徵
(cognitive representation)，並將表徵區分成三種型式：動作表徵 (enactive representation)、圖像表徵 (iconic representation)以及符號表徵 (symbolic representation)。
綜合上述對表徵的定義，本研究將「分數表徵」定義為「分數學習過程中，
解釋外在刺激事物如：符號、圖像與文字，並將其轉化儲存於記憶的一種心理 歷程，也是用來表達、呈現內在認知狀態，以及和他人溝通的重要工具。」
二、表徵與分數學習
學生在學習分數時，內心的分數概念會以不同的表徵呈現，包括文字、圖 形、符號或語言，研究指出，學生運用、轉換或融合不同的表徵型態，能幫助 學習 (Lesh et al., 1987; Brenner, Herman, & Zimmer, 1999; Cramer & Henry, 2002;
Suh & Moyer, 2007)。Lesh 等人 (1979) 提出表徵系統的互動模式（圖 2-1），將 數學概念與解題的表徵系統分為五種類型，並說明表徵之間的轉換，說明如下：
圖 2-1 表徵系統的互動模式
Note. From Applied Mathematical Problem Solving (p. 167), by R. Lesh, 1983, Columbus, OH: ERIC/SMEAC.
(一) 實物情境 (real script)
利用存在於真實世界情境之中的實體或知識，來表達問題情境並解決數學 問題。例如，透過分巧克力的活動，讓學生在分巧克力的過程中，瞭解「一顆 巧克力」與「一盒巧克力」的部分/整體概念。
(二) 具體操作物 (manipulative models)
透過操作實物，如古式積木 (Cuisenaire rods)、百格板、圓形分數板、花片 等教具，建立符合問題情境的關係和運算。例如，操作圓形分數板，讓學習者 觀察不同顏色區塊大小與分數的關係，並運用其建立分數合成後的等價關係，
進一步學習等值分數概念。
(三) 靜態圖像 (static pictures)
指的是靜態的圖形，如數線、長條圖、面積圖等。透過觀察、標示或繪製 靜態圖畫，輔助分數概念思考。例如，利用分數在數線上的位置，來比較分數 的大小關係。
(四) 語言 (spoken languages)
運用日常生活溝通的口語，來表達想法或解題，例如「二分之一」。 (五) 書寫符號 (written symbols)
常用的數學算式或是數學符號。例如1
2+25= 109。
然而 Lesh 等人 (1983)指出這些表徵或表徵間模式轉換並不能代表所有的 表徵轉換模式。因此在他們再提出另一種表徵轉換圖形 (Lesh et al., 1987)，如 圖 2-2。
圖 2-2 修正後的表徵系統模型 Lesh, Post, & Behr (1987) p.34
由圖 2-2 可以發現，Lesh 等人 (1987) 認為任何表徵間都應能互相轉換，
學習一個概念時，若能將概念在不同的表徵系統獲得解釋並正確的自由轉換，
便是對此概念有較多的了解。
從圖 2-2 看分數的學習過程，當學生接觸分數問題時，可以從圖畫表徵將 其意義轉換為書寫符號表徵，或是以讀的方式轉換為語言表徵。轉換的路徑沒 有既定的方向或規則，也並非要全部存在，但有可能同時出現兩個以上的表徵 轉換 (Lesh, 1982)。以分數為例，Rowan 等人(1990) 以五種表徵圖示1
（表 2-2）： 4
表 2-2 五種分數表徵類型
符號 口語符號 實物 模型 圖像
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