第二章 文獻探討
第四節 等值分數
本節探討數學等值分數，第一部分說明等值分數的意義，第二部分解釋學 習等值分數的困難。
一、等值分數的意義
分數與整數最大的差別是分數具有「等值」意義 (Kieren, 1976; Behr, et al. ,1988)。一個數可用無限種分數方式來表示，例如1
3=26 =186 =10836...，而這些 不同的名稱，就稱為等值分數 (Vance, 1992)。形成等值分數的運算原則有二：
一分數的分子、分母同乘一整數，所得的分數稱為原分數的擴分；一分數的分 子、分母同除一公因數，所得的分數稱為原分數之約分；一分數擴分或約分後 所得的分數，其值和原分數相同（教育部，2008）。在圖形表徵方面，等值分數 指同一分量有不同的子分割活動的概念（彭海燕，1998），例如在連續量的圖形 上，分割的分數變成兩倍，著色部分也變為兩倍，即為1
2= 24，如圖 2-6 所示。
圖 2-6 等值分數連續量情境
在數學上把所有分數的等價集所成的集合稱之為有理數的集合，每一個分 數的等價集都是一個有理數，例如{1
2, 24, 105 , 168}，因此等值分數是構成有理數 的重要概念（呂玉琴，1996）。
二、學習等值分數的困難
等值分數對國小學生是困難的（Booth, 1984; 呂玉琴，1991b），以下就現 有文獻結果整理出三點學習等值分數的主要困難。
(一) 分數能力不足的困難
不完備的分數概念會影響等值分數概念的學習（彭海燕，1998）。呂玉琴
（1991a）研究指出國小學生的分數概念不完整。以等分概念為例，Bergeron 與 Herscovics (1987)的研究結果顯示，學生的等分概念並不完備，例如圖 2-7 對不少三年級學生來說，著色部分佔了全部的1
6，因為學生只注意分割的分數，
而沒有注意到分割物的大小是否相等。
圖 2-7 等分概念困難圖示
由上述例子可知，學生基本的分數能力不足，會對等值分數的學習造成困 難。
(二) 單位形成的困難
呂玉琴（1991a）認為，處理分數問題時重要的一個概念是指認單位量。
Saenz-Ludlow（1994, 1995）指出「能否在圖形中找到適當的單位，將指定的部
分量盡」是學習等值分數的關鍵。這種將全部以適當的「單位」分盡後，再利 用這個單位重組成全部或集合的可逆轉能力，稱為「單位形成能力」。圖 2-8 即 為單位形成困難的實例之一。學生能夠輕易地指認分割後的 b1 為全部的1
2、b2 為全部的1
3以及 b3 是全部的1
6，但是卻無法找出 b1 與 b2 的關係，因為學生不容 易主動調整 b3 為基準的小單位，將 b2 視為2
6、b1 視為3
6。因為有單位形成的能 力後，等值分數的概念才能順利建立，所以等值分數的概念對學生並不容易。
圖 2-8 單位形成困難圖示之（一）
Saenz-Ludlow(1995)以圖 2-9 引導學生認識1
4= 164。學生能夠指認圖形中Ａ 佔全部的1
16、Ｂ占全部的1
4，但卻無法指認Ｂ是4
16。
圖 2-9 單位形成困難圖示之二
上述的的困難，也出現在圖 2-10 的例子，Saenz-Ludlow (1994)認為學生能 夠指出 A 為全部的1
4、B 為全部的1
8、C 是全部的1
16，但不易接受 A 是1
4且1
4=28 =164 的說法，直到動手重複比對之後才漸漸同意。
圖 2-10 單位形成困難圖示之三
(三) 表徵轉換的困難
Behr, et al. (1984)及 Post, et al. (1982)的研究認為表徵系統的轉換與彈性思 考能力息息相關，而且是影響等值分數概念表現的重要因素。
對連續量的圖形表徵，學生須具備表徵系統內彈性轉換的思考能力，即學 生能在圖形表徵內忽略或想像分割線的能力 (Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983;
Behr & Post, 1992)。Booth (1984)以圖 2-11 對 11 歲學生的等值概念進行研究，
有十位學生指出圖 2-11 中的 A 圖著色部分佔1
3，但其中有兩位不認為 B 圖也是
1
3，主要原因是這兩位學生無法忽略 B 圖的分割線，將 B 圖2
6轉換為1
3，也就是
學生在圖形表徵內無法彈性思考，故無法以不同名稱指認分數，更無法理解兩 個分數間的等價關係。
圖 2-11 連續量表徵轉換困難圖示
對離散量的圖形表徵，學生需要對問題情境重新分割或合併才能解題，且 在表徵內與表徵外的轉換都會造成困難（彭海燕，1998）。Behr 等人(1984)以圖 2-12 的問題探討學生的彈性思考表現，若要以小圓圈解決□/3＝4/6 的問題時，
學生要先將小圓圏兩個合併為一份，分出三份，此為表徵內的轉換，然後再進 行圖形與符號之間的轉換，才能推論出 4/6＝2/3。
圖 2-12 離散量表徵轉換困難圖示
總結上述研究對學生等值分數學習的困難，本研究根據學習困難，設計遊 戲機制及安排內容，希望能降低學生的學習困難。