分數錯誤概念及運算錯誤類型

根據學者在分數運算的錯誤類型的研究，都認為分數的學習是很重要的，它是學 生在學習數學的一個重要的關卡；是國小數學的頂石也是往後進入國中後學習數學的 基石。若學童對分數不能理解，會防礙他們在國小以後的數學學習發展，因為數學概 念具有前後連貫的特性，而且是由一連串的概念抽象化所形成的。如果一個國小學童 的分數概念無法正確的建立，將無法進行其他相關概念的學習。

分數概念是一個在問題情境中兼具多重意義的數學概念，而且在日常生活中常呈 現不同的面貌，造成學童在學習時的困擾很大，同時，分數計算也因為分數概念的難 以理解，被強迫以機械式的方式使用算則進行解題，而不懂其意義，增加學習上的困 難。因此，國內多位學者有關分數概念的研究報告中，將分數概念學習較困難、容易 犯錯的情形及各種錯誤類型綜合整理如下：

表2-2

國小學生分數錯誤類型之相關研究 呂玉琴（1991）指出學生錯誤 的分數概念

1.不瞭解處理「部分/全部」的分數問題時 各部分均需等分。

2.指認單位量有困難。

3.在處理比較分數的大小及等值分數時，受 自然數的影響而產生只根據分子或分母 的大小來比較，或將分母、分子同加一 數來比較，或分別比較二個分數的分 子、分母等策略。

湯錦雲(2002)研究國小學生分 數運算錯誤類型，將學生的錯 誤歸納為下列四個部分：

1、整數加分數的錯誤類型 2、分數減法的錯誤類型 3、整數成分數的錯誤類型 4、整數除整數的錯誤類型。

（續下頁）

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李浩然(2003)研究分數乘 除法運算錯誤類型將學生的錯 誤歸納為下列五個部分

1、分數乘法運算過程的錯誤 2、分數除法運算過程的錯誤 3、計算上的錯誤

4、分數乘法文字情境題的錯誤 5、分數除法文字情境題的錯誤。

由上表2-2可得知，分數概念錯誤的原因是很廣泛的，教學者能瞭解發生在學生 身上的錯誤概念，才能幫助學生建構正確的概念，才會有較好的教學成效。其實錯 誤能創造一個新的學習機會，教師能正向看待學生的錯誤概念，對學生建構正確的 數學知識有很大的影響。因此教師要能從學生的思考模式著手，才能瞭解學生為何 會有此種想法，為何會犯此錯誤類型，思考使用策略來修正學生經驗中已有的錯誤 概念，才能有效建構正確的數學知識。

概念的迷思，會導致學童在處理數學問題上的某些錯誤類型，以下是國內外學 者針對學生分數四則運算錯誤類型的研究。Brueckner(1931) ； Lankford(1972) ； Edward(1983) ；Tatsuoka(1984)；Painter(1989)等國外學者（引自湯錦雲，2002）的 研究將學生在分數四則運算錯誤類型依分數加減法、乘法、除法分述如下：

壹、運算錯誤類型

一、 分數的加法運算錯誤：

1.分子加分子，分母加分母。例： ＋

2.求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。例： 。 3.分母相乘，分子相加。例：

。 4.分母相乘，分子相乘。例：

。 二、 分數的減法運算錯誤：

1.通分後，分子為大數減去小數。例：

2.分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。例： 1 3.求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。

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三、 分數乘法運算錯誤情形如下：

1 先通分後，再計算。

2 將第二個分數顛倒後，再計算。

3 交叉相乘而得到分子與分母。

4 分母相乘，分子卻作加法運算。例： 。 5 帶分數乘整數時，分數不變，只處理整數部份。

6 帶分數乘整數時，整數不變，只處理分數部份。

7 帶分數乘帶分數時，整數、分數分別各自做乘法運算。

例如： ，其中2 × 3 ＝ 6， 。 四、 分數除法運算錯誤情形歸納如下：

1 計算方法錯誤（用乘法計算）。

2 計算錯誤。

3 不瞭解計算步驟：

A. 被除數倒置。

B. 除數及被除數均倒置。

C. 加分子，乘分母。

D. 忽略被除數中的分母。

例如： 12，把被除數中的4 給忽略了。

E. 遺漏分子。

4 假分數化成帶分數，計算錯誤。

5 帶分數化成假分數，計算錯誤。

6 消去時發生錯誤：

A. 分母相消。

B. 分子相消。

C. 相消得0。

例如： 0。

7 分母不變，但分子直接做除法運算。

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8 帶分數除以整數時，只做整數之間的運算。

9 帶分數除以一個分數時，整數不變，只處理分數的部份。

10 未求出第二個分數的倒數，而直接做乘法運算。

如： 。

11 帶分數除以帶分數時，整數與分數分別運算。

例如： 。

12 除數沒有先求出其倒數，便直接計算。

例如： 。

13 帶分數除以整數時，只以分子除以整數，其餘都不變。

14 分母不變，但分子相減。

貳、分數文字理解的錯誤類型

因為分數具備豐富的意義及概念，而且在數學教材中具重要的地位，不過有 許多學生卻對分數學習感到困難，所以應了解影響分數概念發展的因素加強指導，

避免學生出現錯誤類型，以提升學生有效學習的成效。吳相儒(2001)，分析國小 學童學習分數概念時常見的錯誤類型有忽略單位量、依賴部分—整體模式及受到 整體基模的影響等三大類，茲分述如下：

一、忽略單位量

研究顯示學生在處理「部分/全部」、「子集/集合」及「分數是一個集合等 分後的幾組」的問題，都在單位量的指認上發現困難。學生在單位量指認上造成 困難其常見的迷思概念又可以細分為下列三種：

1 單位量的忽略：學生在回答諸如一盒鉛筆有六枝，其中的一枝是幾盒的問 題時，會回答一枝或 枝。這樣的反應顯示他們對於所給定的單位「盒」和 單位分量「枝」之間的關係，並不在意。兒童在處理不熟悉的分數問題時，

會自行改變單位量或分解單位量。

2 受分子的干擾：解題時只考慮到分子的因素，如果要此類學生在以十二罐 組成一箱的飲料中，取出其中的 ，此類學生的反應是只取其中的五罐。

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3 受分母的干擾：只考慮到問題中的分母，解題過程深受分母的影響。但不 論是受分子控制或分母控制解題的學生，他們都忽視所給定的單位量。

二、部分—整體模式

由於學童過於依賴連續的部分—整體模式，反而抑制了他們將分數視為一個 數，學生較熟悉分數應用題於部份/全體、子集/集合、數的意義等涵意的理解，

學生常忽略整體及等分，是形成錯誤類型的主因之ㄧ。學童在不同的圖像模式解 題上，尤其在數線表示分數的概念時，當數線為一個單位長，可用部分/全部的概 念處理數線問題；當數線不是一個單位長，學生如果用部分/全部的概念處理數線 問題，就會產生錯誤。因此，學生學習分數時，應釐清分數的教材意義，達成學 習目標。

三、整體基模

許多學生由於不瞭解分數的意義，因而受整數基模的影響，將分數 視為兩個 獨立的個體（取自洪素敏、楊德清，2002）。學童對分數符號表徵的迷思概念與 整數有關，因此在進行與分數相關問題的解題活動，如分數大小的比較、合成或 分解時，便出現下列的情形：

1 以分母大小來決定分數的大小：如 因為 8 > 5。

2 以分子的大小來決定分數的大小：例如

。因為 4 < 9。此一情形 在同分母分數的情境下尚可適用，但是對於分母不同或是等值分數的狀 態下，就會導致錯誤的結果。

3 以錯誤的方式考慮分子與分母：當比較分數大小時，知道必須同時考慮 分子與分母，但是卻使用了不正確的概念。例如：比較 與

時，因為 5＜10，而且8＜16，所以 ＜

(Behr et al., 1984; Hunting, 1986)，此乃 緣由於兒童對分數 的不瞭解。

4 未將分子與分母作有意義的連結：Post等(1984)與Mack(1993)的研究發 現學生將整數的觀念過度類推至分數的概念上，以至於未能將分子與分 母作有意義的連結。例如：學生將 中之分母8視為8個物品組成一堆或

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一份，3則視為共有3堆或3份，因此有8×3=24個物品。

上述國小學童學習分數概念時常見的迷思根源，乃是由於學童本身並未真正 將分數的概念與意義釐清，導致忽略單位量，以及依賴部分—整體模式並受到整 體基模思考的影響。

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