第四章 研究結果
第一節 解題策略在各題的錯誤類型和概念之分布
第二章 文獻探討
本章主要在探討國小六年級學生在分數四則運算解題中，由解題建構過程中，
來瞭解學生在分數運算中，慣用的解題策略、概念/技能及錯誤類型。本章共分成 六節：第一節介紹解題策略，第二節數學概念錯誤類型及錯誤原因，第三節四則 運算的概念，第四節分數錯誤概念及運算錯誤類型。
第一節 解題策略
學生在數學概念的理解程度會影響對問題的分析，所採用的數學解題策略則 也會與他過去相關經驗回憶相呼應（張新仁,1989，取自何仕仁，2001），因此學 生在解決數學問題的過程，需要瞭解他的先備知識，從個體本身的經驗出發，以 解決和學生日常生活習習相關的數學問題為基礎，再建構他更深層的數學概念
（Vanden Heuvel-Panhuizen,1996）。Gagne(1985)指出解題是以學習者的先備知識 為組合基礎的創造性活動，也就是將學習者先前學得的原理、原則加以組合歸納，
培養出解題能力，完成問題解決。
每一個學習者都會歷經內在思考，再來形成解題計劃後，才採取計劃策略執 行，而陳李綢（1992）則指出個體問題解決能力分為一般性解決問題能力及特殊 性解決問題能力。所謂一般性解決問題能力是指一個人其思考及推理能力，特殊 性解決問題能力就是指在特殊領域如科學、醫學等…所面對的問題，加以解決的 能力。學者歐陽鍾仁（1991）就把問題解決的過程分作：發現問題、建立假設、
產生構想、驗證和再假設、用符號歸納等五階段，而所謂解題歷程就是，學生學 習將自己歸納的原理，成為新的解題策略。
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第二節 數學概念錯誤類型及錯誤原因
許多的研究中發現會導致學習者在學習歷程中發展出一些錯誤類型，是因為 錯誤概念的產生。因此羅列一些研究，主要是針對數學領域中的某一概念做探討 所歸納出的錯誤類型，分別如下：
表 2-1
數學概念錯誤類型之相關研究 Robert(1968)針
對小學三年級學 生的計算錯誤歸 納出四種類型
1 錯誤的演算：學生在演算題目時，只是在完成演算的過 程，對於答案是否合理則不關心。
2 明顯的計算錯誤：學生可能看錯題目，雖然計算過程和 方法都正確，但是最後的答案卻是錯誤的。
3 不完全的計算過程：學生使用正確的演算法，同時數字 也沒有計算錯誤，卻錯在演算過程的某一步驟上因而沒 有完成該題目
4 隨機反應：完全不懂，而且無規則所循的錯誤。
Engelhardt(1977) 提出數學計算錯 誤的九種類型
1. 運算錯誤（ wrong operation）：學生在計算數學問題時，
只重視將題目算完，對於答案是否合理則不關心。。
2. 運算過程錯誤（defective algorithm）：解題的過程中發 生錯誤。
3. 計算不完全（incomplete algorithm）：在運算過程中，
遺漏某一個計算步驟，導致錯誤的答案。
4. 進位錯誤（grouping error）：學生不會進位。
5. 不適當的倒置（inappropriate inversion）：不管是被減 數或減數，都是以大數減小數。
6. 等式錯誤（identity error）：等號二邊的算式結果不同。
7. 零的錯誤（zero error）：當被減數是0 時，不會借位。
(續下頁)
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由以上的研究，可以瞭解許多學者為了要提供教學者更多豐富的訊息作為教 學的參考，因此不斷地在數學的錯誤類型上做研究，藉由學生的錯誤反應歷程，
嘗試探討其學習之困難，而貼近學生的內心世界，進而減輕學生的學習困擾，增 進學生的學習興趣，因此對於數學的錯誤類型的探討與瞭解相對而言是非常地重 要。
8. 隨機反應（random response）：其錯誤乃無規則可循。
9. 粗心的錯誤（careless error）：題目未看清楚，不小心 計算錯誤，而不是學生不會。
林清山、張景 媛（1994）將 學生解題錯誤 分成四類
1 問題轉譯的錯誤 2 問題整合的錯誤
3 解題計劃及監控的錯誤 4 解題執行的錯誤。
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第三節 四則運算的概念
四則運算是指在教學過程中，去強調數學運算中的加、減、乘、除的混合運 算（賴緯濤，2009）。
因為我們習慣從左到右書寫，所以人們逐漸形成由左往右依次運算的共識，
可是當步驟愈來愈多時，在計算過程的順序容易產生混淆，人們為了區別要先算 什麼、後算什麼，開始使用括號來標示先算的部分，因而形成先算括號部分的共 識。但如果使用的括號愈來愈多時，很容易造成混亂，為了減少使用括號的次數，
人們發現先乘除後加減的約定可以省略的括號最多，所以形成先乘除後加減的共 識，來減少括號的使用（謝堅，2000）。
壹、四則運算的基本概念
四則運算是由兩步驟以上運算概念衍生而來的，為了使算式更加簡潔，所以 將兩個以上計算步驟合併成一個計算式。當算式中有加、減、乘、除且使用括號 的運算時，我們就約定括號內的先算，再來才做乘除運算，最後才是將式子由左 至右計算，以求出最後的答案。學生初步學習整數四則混合計算時，所學到的混 合計算約定有：(1)有括號時的式子括號內先運算 (2)若式子中只有乘除或加減的 運算時，則由左向右逐步計算 (3)先乘除後加減。
一、 由左往右依次運算：
由左往右依次運算就是由兩個以上運算符號組成的四則運算算式的運算規 則，一般均在高年級教學時才引入，中低年級進行教學時，並無任何規約，而是 以先算什麼再算什麼進行引導。但在四年級的整數四則的單元，仍直接引用由左 而右依次運算的語彙告知學生。
二、 有括號先計算括號：
在四則運算的式子中要呈現兩個算式倂式的結果，所以有兩個以上運算符號 的四則運算算式的運算規則，而先算的則以括號表示。為了區分先算什麼，後算 什麼，我們形成使用括號來區別要先算部份的共識，也就是括號在此時是用來呈 現先算的部分，但有時可以省略括號的原因，則是因為不會影響題意而可以刪除 括號。因此有學者認為括號是用來限定數字運算的順序，並打破乘除加減所建立
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的遊戲規則（謝如山，2000）。
三、 先乘、除後加、減
其實先乘除後加減是從兩步驟以上（包含兩步驟）的倂式，併式會使用括號 來將先算的部份標示出來，後來因為步驟太多，為了省略括號，才衍生出「先乘 除後加減」的規則（謝堅，1997）。
貳、四則運算錯誤的相關研究
陳博文（1996）發現國小六年級學生在四則運算中，對於整數加法、整數減 法及整數乘法較無困難，但在整數除法、小數運算、分數運算和四則混合上，則 有較多的困難。而且還發現學生之前的錯誤規則會延續到相同類型的運算，並且 阻礙往後的學習。
劉天民（1993）的研究中，以國中一年級學生為樣本，發現學生在整數與分 數四則運算之錯誤情形如下：
1 學生在計算加減法時，誤用乘法運算。
2 學生在使用四則運算的規則，忽略了先乘除後加減的規則。
3 學生在有使用括號的運算式中，沒有考慮括號前後的運算狀況。
曹宗萍（1988）研究在探討高屏地區國小六年級學生在四則問題的解題過程 表現發現：不同的題目情境比解題步驟的多寡更會影響學生解題的成功。而理解 層次不同的學生在語文能力、認知發展及閱讀理解能力的表現有顯著性差異存在。
理解層次愈高的學生在表現上愈好，而性別不同的學生在四則問題解題過程的表 現則沒有任何顯著的差異。而語文能力的高低、認知發展的快慢以及閱讀理解能 力的高低也都會影響學生在四則問題解題過程的表現。
林秋榮（2002）對國小三年級資源班學習障礙學生作為研究對象，發現學生 在整數四則問題解題錯誤類型方面，以兩步驟文字題、多餘訊息文字題、除法的 預備經驗等題目比例較高。
陳國雄（2006）對國小四年級在整數四則運算問題的解題策略與錯誤類型的 研究中發現：
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一、 加減兩步驟問題的錯誤類型和原因 1 加減進位運算錯誤。
2 減法借位概念不清楚。
3 減法運算時連續借位程序錯誤。
4 已知加法事錯用乘法計算。
5 看錯題目數值。
6 任意使用運算符號。
7 錯誤表徵列式。
二、 加（減）、乘兩步驟問題的錯誤類型和原因 1 缺乏乘法結合律的基模知識。
2 不懂的運用括號來列出算式。
3 時間單位換算錯誤。
4 乘法的直式計算不熟練。
5 算式表徵錯誤。
6 任意使用運算符號。
7 看錯題目數值。
8 減法運算錯誤。
9 算式表徵不完整。
三、 加（減）、除兩步驟問題的錯誤類型和原因 1 錯誤表徵列式
(1) 缺乏估算的能力。
(2) 不會運用併式和除法的結合律來做記錄表徵。
2 任意使用運算符號。
3 算式表徵不完整。
4 未用括號區分計算次序先後。
5 錯用資訊及已知條件。
6 錯用乘除法運算符號。
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7 除法計算錯誤。
四、 乘、除兩步驟問題的錯誤類型和原因 1 錯用乘除法運算符號。
2 錯誤表徵列式。
3 未依據四則運算的計算約定。
4 任意使用運算符號。
5 看錯題目數值。
6 乘法的運算過程錯誤。
7 算式表徵不完整。
綜合上述，本研究主要在探討學生在分數的加減乘除之混合兩步驟以上之計算 能力，而整數及分數四則的錯誤，在文獻上發現學生對於二步驟的文字題較感困難，
主要原因是對概念的理解、語意關係的詮釋產生困難，以及使用錯誤的解題策略。
而受試者必須將問題成功整合或是理解題意，才能解題成功。
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第四節 分數錯誤概念及運算錯誤類型
根據學者在分數運算的錯誤類型的研究，都認為分數的學習是很重要的，它是學 生在學習數學的一個重要的關卡；是國小數學的頂石也是往後進入國中後學習數學的 基石。若學童對分數不能理解，會防礙他們在國小以後的數學學習發展，因為數學概 念具有前後連貫的特性，而且是由一連串的概念抽象化所形成的。如果一個國小學童 的分數概念無法正確的建立，將無法進行其他相關概念的學習。
根據學者在分數運算的錯誤類型的研究，都認為分數的學習是很重要的，它是學 生在學習數學的一個重要的關卡；是國小數學的頂石也是往後進入國中後學習數學的 基石。若學童對分數不能理解，會防礙他們在國小以後的數學學習發展，因為數學概 念具有前後連貫的特性，而且是由一連串的概念抽象化所形成的。如果一個國小學童 的分數概念無法正確的建立，將無法進行其他相關概念的學習。