國小六年級學生在分數四則之解題策略混合型分析
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(3) 謝辭 本篇論文終於完成了。這一年，歷經了購屋及母喪二件人生大事，身、 心、靈俱疲。不過，堅強的意志力及家人的支持，讓我得以完成碩士學業。 對自己而言，這也是繼考上教甄之後，人生目標的再一次推進。 論文的完成，首先要感謝的是我的指導教授郭伯臣老師，郭老師在專業 領域具有獨到之見解，在他用心的指導之下，讓我的論文得以順利完成；還 要感謝的是陪在我們身邊的二位大學長--智為學長和俊彥學長，二位學長不 斷的督促和叮嚀，也常常與我們討論至深夜，在我們幾近灰心之際，總是給 予鼓勵與打氣。此外，還要感謝萬興國小的同仁們，常常貼心地主動分擔我 一些校務，使我能安心完成學業。 本研究感謝國科會之經費補助（計畫編號 NSC 102-2511-S-142-008-MY3） ，才能得以順利完成。最後還要感謝這段期間一 直默默支持我的家人，尤其是我的先生朝龍，除了分擔家務，總會適時地鼓 勵我，是我心靈的最佳伙伴。還有是二個懂事的兒子宗元和宗棠，他們的貼 心和乖巧，讓我無後顧之憂能專心進行研究及完成這份論文。最後，更要感 謝這一路走來，默默地支持與關心、愛護我的每一個人，由於你們的鼓勵與 協助，我順利完成論文的撰寫。 謹以誠摯感恩的心，將本文獻給所有關心我的家人與朋友！. 桂綾 中華民國一０三年七月.
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(5) 摘要 學生在進行解題歷程時，對於所使用的解題策略會因人而異。所謂「解 題策略」是學生針對問題分析的過程中，欲尋找解答及方法，運用各種概 念的組成及安排而成為自己獨有的解決問題之模式。但學生使用的解題策 略會受到本身的學習發展層次及能力有關。學生數學能力的高低，在解題 策略上的運用，則會有明顯的不同。不同的解題策略，所需的技能與概念， 及概念的組成順序有所不同，也可能產生不同的錯誤類型。 分數的學習是小學階段數學學習的一個重要關卡，學童從具體運思期 過渡至形式運思期，對於分數四則的學習是需要具有較複雜的心智能力。 本研究建立「解題策略」、「概念」與「錯誤類型」模型，以「分數的四則 運算」作為施測單元，希望藉此瞭解學生分數四則學習困難之所在。 本研究樣本來自彰化、台中二縣市六年級的學生，過程中透過專家判 斷學生建構的解題過程，分析各策略之使用比率。本研究結果發現：(1) 使用解題策略單一型的學生在數學成績上的表現上較高於解題策略混合型 的學生。(2)多數學生使用混合型的解題策略。(3)學生多數使用較低階的 解題策略。(4)高年級學生是對文字題意的無法理解，而不是沒有具備分數 四則運算概念技能。 本研究可以提供較完備的學生作答訊息，讓教師因「才」(學生)施教 外，進而提供教師日後補救教學之參考，另一種因「材」(教材或題目)施 教，二者兼備。. 關鍵字：解題策略單一型、解題策略混合型、建構反應題、錯誤類型、分 數四則. I.
(6) II.
(7) The Analysis of Mixed Problem-solving Method of the Fractional Arithmetic for Sixth Grade Students. Abstract When students during problem-solving process, used for problem solving strategies will vary. The so-called "problem-solving strategies" for problem analysis is the process of students, the desire to find answers and methods, the use of the composition and arrangement of the various concepts and become their own unique pattern solve problems. However, problem-solving strategies used by students will be their level of development and learning ability. We know that different problem-solving strategies, composition skills and concepts needed to order, and the concept is different, so it may produce different types of errors. This study established "problem-solving strategies", "concept" and "the wrong type" model, integrating cognitive Q matrix, with "scores of four computing" as applied to the measurement cell, Problem-solving strategies used by students from starting, and analyze the types of errors students concepts and skills already possessed by these analyzes to understand the students' scores four learning difficulties lie, and thus provide teachers a reference for future remedial teaching.. Keywords: single problem-solving strategies, multiple problem-solving strategies.. Constructed response questions, error type, Addition and. subtraction of fractions ,and Multiplication and division of fractions.. III.
(8) IV.
(9) 目錄 摘要 ................................................................................................................................. I Abstract ..........................................................................................................................III 表目錄 ......................................................................................................................... VII 圖目錄 .......................................................................................................................... IX 第一章 緒論 ...................................................................................................................1 第一節 研究動機 ...................................................................................................1 第二節 研究目的 ...................................................................................................2 第三節 名詞解釋 ...................................................................................................3 第四節 研究範圍與限制 .......................................................................................3 第二章 文獻探討 ...........................................................................................................5 第一節 解題策略 ...................................................................................................5 第二節 數學概念錯誤類型及錯誤原因 ...............................................................6 第三節 四則運算的概念 .......................................................................................8 第四節 分數錯誤概念及運算錯誤類型 .............................................................12 第三章 研究方法 .........................................................................................................19 第一節 研究步驟與研究設計 .............................................................................19 第二節 研究對象 .................................................................................................23 第三節 研究工具 .................................................................................................23 第四章 研究結果 .........................................................................................................29 第一節 解題策略在各題的錯誤類型和概念之分布 .......................................29 第二節 解題策略單一型與混合型的表現分析 ...............................................45 第三節 解題策略反應在錯誤類型上的分析 ...................................................48 第四節 不同解題策略在概念技能上的表現 ...................................................51 第五章 結論與建議 .....................................................................................................55 第一節 結論 .......................................................................................................55 第二節 對教學與未來研究之建議 ...................................................................57 參考文獻 .......................................................................................................................59 附錄-----分數四則試題命題卡 ....................................................................................63. V.
(10) VI.
(11) 表目錄 表 2-1 數學概念錯誤類型之相關研究 .............................................................6 表 2-2 國小學生分數錯誤類型之相關研究 ...................................................12 表 3-1 作答判讀規準 .......................................................................................20 表 3-2 研究樣本人數之基本資料 ...................................................................23 表 3-3 概念技能表 ...........................................................................................24 表 3-4 錯誤類型表 ...........................................................................................24 表 3-5 各試題策略概念技能對應矩陣 ...........................................................25 表 3-6 策略名稱介紹 .......................................................................................26 表 4-1 題目包含相對應之策略、概念技能及錯誤類型統計表 ...................29 表 4-2 試題 1 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................30 表 4-3 試題 2 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................32 表 4-4 試題 3 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................33 表 4-5 試題 4 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................34 表 4-6 試題 5 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................35 表 4-7 試題 6 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................37 表 4-8 試題 7 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................38 表 4-9 試題 8 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................39 表 4-10 試題 9 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...............................40 表 4-11 試題 10 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 .............................41 表 4-12 試題 11 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 .............................42 表 4-13 試題 12 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 .............................43 表 4-14 試題 13 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 .............................43 表 4-15 各題策略答對率的顯著考驗 ...............................................................44 表 4-16 部分解題策略適用之題目及合併策略 ...............................................46 表 4-17 部分試題策略、概念及錯誤類型對照表 ...........................................47 表 4-18 解題策略單一和混合型使用人數在六題人數統計量 .......................47 表 4-19 解題策略混合和單一型二組學生獨立樣本檢定 ...............................48 表 4-20 二組策略學生錯誤類型發生率及檢定 ...............................................49 表 4-21 使用不同策略學生缺乏概念技能之分析 ...........................................51 表 4-22 S2、S6、S9 三個概念技能 .................................................................52 表 4-23 部分策略內容描述及對應形式及概念技能 .......................................52. VII.
(12) VIII.
(13) 圖目錄 圖 3-1：研究流程與步驟 .....................................................................................21. IX.
(14) X.
(15) 第一章 緒論 本章主旨在闡述本研究動機與目的，並將本研究之特定名詞加以界定。本章 分為四節，第一節為研究動機，第二節為研究目的，第三節則為名詞釋義，第四 節為研究範圍與限制。兹分節說明如下：. 第一節 研究動機 數學教育的重要性，不只是數學知識，更是訓練邏輯思考、推理方法的重要課程。 數學是科學的基礎，美國總統奧巴馬更是強調科學和數學教育對美國未來的重要性。 但在不同的立場，卻有不同的角度，許多教學現場教師認為，數學教太多、太深， 課程缺乏彈性，只會讓學生更逃避數學。因此具有彈性的課程，重視的不是在教學時 數，而是教學方法和教學內容，依照學生的興趣、志向、能力，給予多元適性的課程， 才能解決教學現場的困境，及免除學生對數學的恐懼。 因此適性適材的課程，便是我們當今重視的課題，從教學現場觀察，學生隨著年 級的增加，數學概念邏輯的學習難度也與之俱增，但對數學的學習興趣卻逐漸下降（鍾 靜、李佳陵，2004），其原因是每個孩子的內在學習速度不盡相同，因此，大多數學 生都知道數學是一門重要學科，可是卻令人頭痛。因為學習數學時所用到的認知思考 歷程、抽象化的數學概念及及它的事實表徵，都讓中小學生的數學學習情況感到極為 痛苦，而國小、國中學生在數學成就上有嚴重的缺陷，有可能是肇因於記憶、閱讀、 推理、或者是後設認知，這些困難經常造成教學無效。 學生想要完成正確答題，不但要先能對題意完全理解、而且能對該知識概念去作 溝通和連結，以及對解題策略的正確運用，才能完成。但是學生正由於本身不同的生 活經驗、文化刺激，還有他自己心理狀態、學習風格、認知發展等面向的差異，因此 造成學習結果及速度的有所不同。所以，教師應該針對學生在學習的問題，給予所需 的教學，才能提升整體學生數學能力的水準。學生學習數學的歷程中，能適時瞭解困 難之所在，並給補救教學，才能提升其學習效能。因此適當的學習測驗及診斷模式更 顯得重要。 由於學生在進行解題歷程時，所使用的解題策略會因人而異（彭子怡，2007）。 1.
(16) 而學生所使用的解題策略又受到其學習發展層次及能力有關。相關的研究發現，能力 高的學生較具有有效的解題策略；能力低的學生，較易詮釋錯誤的題意，並選擇錯誤 的解題策略（涂金堂，1999；楊瑞智，1994）。而不同的解題策略，所需的技能與概 念，及概念的組成順序會有所不同，因此，也可能產生不同的錯誤類型。對此，當學 生需要進行補救教學時，我們若能針對學生所缺乏的知識概念輔以慣用的解題策略及 其策略所產生的錯誤類型，提供有效的教學方法，相信必能達到適性學習及其成效。 九年一貫課程強調數學能力的培養，讓學生具有帶著走的能力（陳淑琳，2001）。 其中基本運算能力的基礎是四則運算，不論算數或代數的計算，四則運算都佔有舉足 輕重的地位。分數計算也由於其概念難以理解，因為它在問題情境中兼具多重意義的 數學概念，在日常生活中常呈現不同的面貌，所以造成學生學習時產生很大的困擾。 但分數的概念和運算不管是在日常生活中的應用或者數學或自然領域的運用，都是一 個很有用也很重要的數學知識和能力。劉秋木（1996）指出，在國小階段分數是最高 的概念，也是往後數學學習的基石，所以分數有如基礎數學與高深數學間的分水嶺。 在國內國小學童在分數的概念探討相關的研究可說是卷帙浩繁，但多以探討學生 所發生的錯誤類型，或者是分數所需的知識概念為主，然而，本研究則結合學生在分 數四則的運算單元中所需的「概念技能」，所使用的「解題策略」、與易犯的「錯誤 類型」，透過建構反應題的作答過程，經過專家判斷分析，來瞭解個別學生慣用之解 題策略。由學生的建構過程中，我們可以得知，學生所犯的錯誤，到底是因概念的不 清楚所產生的，亦是因所用的策略較易產生計算的錯誤，又或者是學生因粗心（例如 抄錯上一個步驟、加減或乘除錯誤…等）所造成。綜合上述，本研究可以提供較完備 的學生作答訊息，進而瞭解學生的計算傾向及習慣，作為教師在教學上的參考依據， 並能針對其錯誤或不足進行補救教學，讓學生在分數四則運算的學習能夠更完善。. 第二節 研究目的 本研究在探討國小六年級學生在學習數學分數四則單元後，其在測驗解題的過程 之表現，因選擇題的分析資訊取得較為方便，但無法排除學生猜測情形。因此，加入 建構反應題來降低這些不確定性，提供學生較豐富的作答訊息，但其自動分析設計較 2.
(17) 為複雜。因此，本研究目的為： 一、從「分數四則」單元中來探討學生所慣用之解題策略其伴隨較多的錯誤類型和 較易缺乏的概念技能。 二、在多重解題策略下，探討解題策略單一型與解題策略混合型的學生在數學成績 上的表現。 三、在多重解題策略下，探討解題策略單一型與解題策略混合型的學生在缺乏的概 念技能及錯誤類型之比較。. 第三節 名詞解釋 為了釐清本研究之專有名詞，茲就研究主題、研究目的與研究過程所涉及的 重要名詞，解釋與定義如下： 一、 解題策略單一型：在有相同解題策略的受試題目中，使用同一種解題步驟， 或相同概念技能組合的解題策略。 二、 解題策略混合型：能將題目進行正確的解題，可能有不同進行策略，這不 同的策略中有的包著不同的解題步驟或相同的步驟，或者含有不同的概念 技能。. 第四節 研究範圍與限制 一、 研究範圍 本研究之研究對象樣本僅限於台中市及彰化縣等地區四所國民小學，共 500 位六年級學生為樣本，進行施測及其各項分析。 二、 研究限制 (一)本研究對象未能涵蓋全國各縣市，進行大規模施測，故樣本的代表性有一 定的限制，所以不宜過度推論到其他年級與區域的學生。 (二)本研究主要探討以六年級學生南一版在分數四則運算單元為研究目標，並 未將其他版本、年級、教學等變項之影響納入本研究的範圍。. 3.
(18) 4.
(19) 第二章 文獻探討 本章主要在探討國小六年級學生在分數四則運算解題中，由解題建構過程中， 來瞭解學生在分數運算中，慣用的解題策略、概念/技能及錯誤類型。本章共分成 六節：第一節介紹解題策略，第二節數學概念錯誤類型及錯誤原因，第三節四則 運算的概念，第四節分數錯誤概念及運算錯誤類型。. 第一節 解題策略 學生在數學概念的理解程度會影響對問題的分析，所採用的數學解題策略則 也會與他過去相關經驗回憶相呼應（張新仁,1989，取自何仕仁，2001），因此學 生在解決數學問題的過程，需要瞭解他的先備知識，從個體本身的經驗出發，以 解決和學生日常生活習習相關的數學問題為基礎，再建構他更深層的數學概念 （Vanden Heuvel-Panhuizen,1996）。Gagne(1985)指出解題是以學習者的先備知識 為組合基礎的創造性活動，也就是將學習者先前學得的原理、原則加以組合歸納， 培養出解題能力，完成問題解決。 每一個學習者都會歷經內在思考，再來形成解題計劃後，才採取計劃策略執 行，而陳李綢（1992）則指出個體問題解決能力分為一般性解決問題能力及特殊 性解決問題能力。所謂一般性解決問題能力是指一個人其思考及推理能力，特殊 性解決問題能力就是指在特殊領域如科學、醫學等…所面對的問題，加以解決的 能力。學者歐陽鍾仁（1991）就把問題解決的過程分作：發現問題、建立假設、 產生構想、驗證和再假設、用符號歸納等五階段，而所謂解題歷程就是，學生學 習將自己歸納的原理，成為新的解題策略。. 5.
(20) 第二節 數學概念錯誤類型及錯誤原因 許多的研究中發現會導致學習者在學習歷程中發展出一些錯誤類型，是因為 錯誤概念的產生。因此羅列一些研究，主要是針對數學領域中的某一概念做探討 所歸納出的錯誤類型，分別如下：. 表 2-1 數學概念錯誤類型之相關研究 Robert(1968)針 1 錯誤的演算：學生在演算題目時，只是在完成演算的過 對小學三年級學 生的計算錯誤歸. 程，對於答案是否合理則不關心。 2. 納出四種類型. 明顯的計算錯誤：學生可能看錯題目，雖然計算過程和 方法都正確，但是最後的答案卻是錯誤的。. 3. 不完全的計算過程：學生使用正確的演算法，同時數字 也沒有計算錯誤，卻錯在演算過程的某一步驟上因而沒 有完成該題目. Engelhardt(1977). 4. 隨機反應：完全不懂，而且無規則所循的錯誤。. 1.. 運算錯誤（ wrong operation） ：學生在計算數學問題時，. 提出數學計算錯 誤的九種類型. 只重視將題目算完，對於答案是否合理則不關心。。 2.. 運算過程錯誤（defective algorithm）：解題的過程中發 生錯誤。. 3.. 計算不完全（incomplete algorithm）：在運算過程中， 遺漏某一個計算步驟，導致錯誤的答案。. 4.. 進位錯誤（grouping error）：學生不會進位。. 5.. 不適當的倒置（inappropriate inversion）：不管是被減 數或減數，都是以大數減小數。. 6.. 等式錯誤（identity error）：等號二邊的算式結果不同。. 7.. 零的錯誤（zero error）：當被減數是0 時，不會借位。 (續下頁) 6.
(21) 8.. 隨機反應（random response）：其錯誤乃無規則可循。. 9.. 粗心的錯誤（careless error）：題目未看清楚，不小心 計算錯誤，而不是學生不會。. 林清山、張景. 1. 問題轉譯的錯誤. 媛（1994）將. 2. 問題整合的錯誤. 學生解題錯誤. 3. 解題計劃及監控的錯誤. 分成四類. 4. 解題執行的錯誤。. 由以上的研究，可以瞭解許多學者為了要提供教學者更多豐富的訊息作為教 學的參考，因此不斷地在數學的錯誤類型上做研究，藉由學生的錯誤反應歷程， 嘗試探討其學習之困難，而貼近學生的內心世界，進而減輕學生的學習困擾，增 進學生的學習興趣，因此對於數學的錯誤類型的探討與瞭解相對而言是非常地重 要。. 7.
(22) 第三節 四則運算的概念 四則運算是指在教學過程中，去強調數學運算中的加、減、乘、除的混合運 算（賴緯濤，2009）。 因為我們習慣從左到右書寫，所以人們逐漸形成由左往右依次運算的共識， 可是當步驟愈來愈多時，在計算過程的順序容易產生混淆，人們為了區別要先算 什麼、後算什麼，開始使用括號來標示先算的部分，因而形成先算括號部分的共 識。但如果使用的括號愈來愈多時，很容易造成混亂，為了減少使用括號的次數， 人們發現先乘除後加減的約定可以省略的括號最多，所以形成先乘除後加減的共 識，來減少括號的使用（謝堅，2000）。. 壹、四則運算的基本概念 四則運算是由兩步驟以上運算概念衍生而來的，為了使算式更加簡潔，所以 將兩個以上計算步驟合併成一個計算式。當算式中有加、減、乘、除且使用括號 的運算時，我們就約定括號內的先算，再來才做乘除運算，最後才是將式子由左 至右計算，以求出最後的答案。學生初步學習整數四則混合計算時，所學到的混 合計算約定有：(1)有括號時的式子括號內先運算 (2)若式子中只有乘除或加減的 運算時，則由左向右逐步計算 (3)先乘除後加減。 一、. 由左往右依次運算： 由左往右依次運算就是由兩個以上運算符號組成的四則運算算式的運算規. 則，一般均在高年級教學時才引入，中低年級進行教學時，並無任何規約，而是 以先算什麼再算什麼進行引導。但在四年級的整數四則的單元，仍直接引用由左 而右依次運算的語彙告知學生。 二、. 有括號先計算括號： 在四則運算的式子中要呈現兩個算式倂式的結果，所以有兩個以上運算符號. 的四則運算算式的運算規則，而先算的則以括號表示。為了區分先算什麼，後算 什麼，我們形成使用括號來區別要先算部份的共識，也就是括號在此時是用來呈 現先算的部分，但有時可以省略括號的原因，則是因為不會影響題意而可以刪除 括號。因此有學者認為括號是用來限定數字運算的順序，並打破乘除加減所建立 8.
(23) 的遊戲規則（謝如山，2000）。 三、. 先乘、除後加、減 其實先乘除後加減是從兩步驟以上（包含兩步驟）的倂式，併式會使用括號. 來將先算的部份標示出來，後來因為步驟太多，為了省略括號，才衍生出「先乘 除後加減」的規則（謝堅，1997）。. 貳、四則運算錯誤的相關研究 陳博文（1996）發現國小六年級學生在四則運算中，對於整數加法、整數減 法及整數乘法較無困難，但在整數除法、小數運算、分數運算和四則混合上，則 有較多的困難。而且還發現學生之前的錯誤規則會延續到相同類型的運算，並且 阻礙往後的學習。 劉天民（1993）的研究中，以國中一年級學生為樣本，發現學生在整數與分 數四則運算之錯誤情形如下： 1. 學生在計算加減法時，誤用乘法運算。. 2. 學生在使用四則運算的規則，忽略了先乘除後加減的規則。. 3. 學生在有使用括號的運算式中，沒有考慮括號前後的運算狀況。. 曹宗萍（1988）研究在探討高屏地區國小六年級學生在四則問題的解題過程 表現發現：不同的題目情境比解題步驟的多寡更會影響學生解題的成功。而理解 層次不同的學生在語文能力、認知發展及閱讀理解能力的表現有顯著性差異存在。 理解層次愈高的學生在表現上愈好，而性別不同的學生在四則問題解題過程的表 現則沒有任何顯著的差異。而語文能力的高低、認知發展的快慢以及閱讀理解能 力的高低也都會影響學生在四則問題解題過程的表現。 林秋榮（2002）對國小三年級資源班學習障礙學生作為研究對象，發現學生 在整數四則問題解題錯誤類型方面，以兩步驟文字題、多餘訊息文字題、除法的 預備經驗等題目比例較高。 陳國雄（2006）對國小四年級在整數四則運算問題的解題策略與錯誤類型的 研究中發現：. 9.
(24) 一、 加減兩步驟問題的錯誤類型和原因 1. 加減進位運算錯誤。. 2. 減法借位概念不清楚。. 3. 減法運算時連續借位程序錯誤。. 4. 已知加法事錯用乘法計算。. 5. 看錯題目數值。. 6. 任意使用運算符號。. 7. 錯誤表徵列式。. 二、 加（減）、乘兩步驟問題的錯誤類型和原因 1. 缺乏乘法結合律的基模知識。. 2. 不懂的運用括號來列出算式。. 3. 時間單位換算錯誤。. 4. 乘法的直式計算不熟練。. 5. 算式表徵錯誤。. 6. 任意使用運算符號。. 7. 看錯題目數值。. 8. 減法運算錯誤。. 9. 算式表徵不完整。. 三、 加（減）、除兩步驟問題的錯誤類型和原因 1. 錯誤表徵列式 (1) 缺乏估算的能力。 (2) 不會運用併式和除法的結合律來做記錄表徵。. 2. 任意使用運算符號。. 3. 算式表徵不完整。. 4. 未用括號區分計算次序先後。. 5. 錯用資訊及已知條件。. 6. 錯用乘除法運算符號。 10.
(25) 7. 除法計算錯誤。. 四、 乘、除兩步驟問題的錯誤類型和原因 1. 錯用乘除法運算符號。. 2. 錯誤表徵列式。. 3. 未依據四則運算的計算約定。. 4. 任意使用運算符號。. 5. 看錯題目數值。. 6. 乘法的運算過程錯誤。. 7. 算式表徵不完整。. 綜合上述，本研究主要在探討學生在分數的加減乘除之混合兩步驟以上之計算 能力，而整數及分數四則的錯誤，在文獻上發現學生對於二步驟的文字題較感困難， 主要原因是對概念的理解、語意關係的詮釋產生困難，以及使用錯誤的解題策略。 而受試者必須將問題成功整合或是理解題意，才能解題成功。. 11.
(26) 第四節 分數錯誤概念及運算錯誤類型 根據學者在分數運算的錯誤類型的研究，都認為分數的學習是很重要的，它是學 生在學習數學的一個重要的關卡；是國小數學的頂石也是往後進入國中後學習數學的 基石。若學童對分數不能理解，會防礙他們在國小以後的數學學習發展，因為數學概 念具有前後連貫的特性，而且是由一連串的概念抽象化所形成的。如果一個國小學童 的分數概念無法正確的建立，將無法進行其他相關概念的學習。 分數概念是一個在問題情境中兼具多重意義的數學概念，而且在日常生活中常呈 現不同的面貌，造成學童在學習時的困擾很大，同時，分數計算也因為分數概念的難 以理解，被強迫以機械式的方式使用算則進行解題，而不懂其意義，增加學習上的困 難。因此，國內多位學者有關分數概念的研究報告中，將分數概念學習較困難、容易 犯錯的情形及各種錯誤類型綜合整理如下： 表2-2 國小學生分數錯誤類型之相關研究 呂玉琴（1991）指出學生錯誤 1.不瞭解處理「部分/全部」的分數問題時 的分數概念. 各部分均需等分。 2.指認單位量有困難。 3.在處理比較分數的大小及等值分數時，受 自然數的影響而產生只根據分子或分母 的大小來比較，或將分母、分子同加一 數來比較，或分別比較二個分數的分 子、分母等策略。. 湯錦雲(2002)研究國小學生分. 1、整數加分數的錯誤類型. 數運算錯誤類型，將學生的錯. 2、分數減法的錯誤類型. 誤歸納為下列四個部分：. 3、整數成分數的錯誤類型 4、整數除整數的錯誤類型。 （續下頁）. 12.
(27) 李浩然(2003)研究分數乘. 1、分數乘法運算過程的錯誤. 除法運算錯誤類型將學生的錯. 2、分數除法運算過程的錯誤. 誤歸納為下列五個部分. 3、計算上的錯誤 4、分數乘法文字情境題的錯誤 5、分數除法文字情境題的錯誤。. 由上表2-2可得知，分數概念錯誤的原因是很廣泛的，教學者能瞭解發生在學生 身上的錯誤概念，才能幫助學生建構正確的概念，才會有較好的教學成效。其實錯 誤能創造一個新的學習機會，教師能正向看待學生的錯誤概念，對學生建構正確的 數學知識有很大的影響。因此教師要能從學生的思考模式著手，才能瞭解學生為何 會有此種想法，為何會犯此錯誤類型，思考使用策略來修正學生經驗中已有的錯誤 概念，才能有效建構正確的數學知識。 概念的迷思，會導致學童在處理數學問題上的某些錯誤類型，以下是國內外學 者針對學生分數四則運算錯誤類型的研究。Brueckner(1931) ； Lankford(1972) ； Edward(1983) ；Tatsuoka(1984)；Painter(1989)等國外學者（引自湯錦雲，2002）的 研究將學生在分數四則運算錯誤類型依分數加減法、乘法、除法分述如下：. 壹、運算錯誤類型 一、. 分數的加法運算錯誤： 1.分子加分子，分母加分母。例： ＋ 。. 2.求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。例：. 二、. 3.分母相乘，分子相加。例：. 。. 4.分母相乘，分子相乘。例：. 。. 分數的減法運算錯誤： 1.通分後，分子為大數減去小數。例： 2.分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。例： 3.求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。 13. 1.
(28) 三、. 分數乘法運算錯誤情形如下： 1. 先通分後，再計算。. 2. 將第二個分數顛倒後，再計算。. 3. 交叉相乘而得到分子與分母。. 4. 分母相乘，分子卻作加法運算。例：. 5. 帶分數乘整數時，分數不變，只處理整數部份。. 6. 帶分數乘整數時，整數不變，只處理分數部份。. 7. 帶分數乘帶分數時，整數、分數分別各自做乘法運算。 例如：. 四、. ，其中2 × 3 ＝ 6，. 。. 。. 分數除法運算錯誤情形歸納如下： 1. 計算方法錯誤（用乘法計算）。. 2. 計算錯誤。. 3. 不瞭解計算步驟： A. 被除數倒置。 B. 除數及被除數均倒置。 C. 加分子，乘分母。 D. 忽略被除數中的分母。 例如：. 12，把被除數中的4 給忽略了。. E. 遺漏分子。 4. 假分數化成帶分數，計算錯誤。. 5. 帶分數化成假分數，計算錯誤。. 6. 消去時發生錯誤： A. 分母相消。 B. 分子相消。 C. 相消得0。 例如：. 7. 0。. 分母不變，但分子直接做除法運算。 14.
(29) 8. 帶分數除以整數時，只做整數之間的運算。. 9. 帶分數除以一個分數時，整數不變，只處理分數的部份。. 10 未求出第二個分數的倒數，而直接做乘法運算。 如：. 。. 11 帶分數除以帶分數時，整數與分數分別運算。 例如：. 。. 12 除數沒有先求出其倒數，便直接計算。 例如：. 。. 13 帶分數除以整數時，只以分子除以整數，其餘都不變。 14 分母不變，但分子相減。. 貳、分數文字理解的錯誤類型 因為分數具備豐富的意義及概念，而且在數學教材中具重要的地位，不過有 許多學生卻對分數學習感到困難，所以應了解影響分數概念發展的因素加強指導， 避免學生出現錯誤類型，以提升學生有效學習的成效。吳相儒(2001)，分析國小 學童學習分數概念時常見的錯誤類型有忽略單位量、依賴部分—整體模式及受到 整體基模的影響等三大類，茲分述如下： 一、忽略單位量 研究顯示學生在處理「部分/全部」、「子集/集合」及「分數是一個集合等 分後的幾組」的問題，都在單位量的指認上發現困難。學生在單位量指認上造成 困難其常見的迷思概念又可以細分為下列三種： 1. 單位量的忽略：學生在回答諸如一盒鉛筆有六枝，其中的一枝是幾盒的問 題時，會回答一枝或 枝。這樣的反應顯示他們對於所給定的單位「盒」和 單位分量「枝」之間的關係，並不在意。兒童在處理不熟悉的分數問題時， 會自行改變單位量或分解單位量。. 2. 受分子的干擾：解題時只考慮到分子的因素，如果要此類學生在以十二罐 組成一箱的飲料中，取出其中的 ，此類學生的反應是只取其中的五罐。 15.
(30) 3. 受分母的干擾：只考慮到問題中的分母，解題過程深受分母的影響。但不 論是受分子控制或分母控制解題的學生，他們都忽視所給定的單位量。. 二、部分—整體模式 由於學童過於依賴連續的部分—整體模式，反而抑制了他們將分數視為一個 數，學生較熟悉分數應用題於部份/全體、子集/集合、數的意義等涵意的理解， 學生常忽略整體及等分，是形成錯誤類型的主因之ㄧ。學童在不同的圖像模式解 題上，尤其在數線表示分數的概念時，當數線為一個單位長，可用部分/全部的概 念處理數線問題；當數線不是一個單位長，學生如果用部分/全部的概念處理數線 問題，就會產生錯誤。因此，學生學習分數時，應釐清分數的教材意義，達成學 習目標。 三、整體基模 許多學生由於不瞭解分數的意義，因而受整數基模的影響，將分數 視為兩個 獨立的個體（取自洪素敏、楊德清，2002）。學童對分數符號表徵的迷思概念與 整數有關，因此在進行與分數相關問題的解題活動，如分數大小的比較、合成或 分解時，便出現下列的情形： 1. 以分母大小來決定分數的大小：如. 2. 以分子的大小來決定分數的大小：例如. 因為 8 > 5。 。因為 4 < 9。此一情形. 在同分母分數的情境下尚可適用，但是對於分母不同或是等值分數的狀 態下，就會導致錯誤的結果。 3. 以錯誤的方式考慮分子與分母：當比較分數大小時，知道必須同時考慮 分子與分母，但是卻使用了不正確的概念。例如：比較 與 5＜10，而且8＜16，所以 ＜. 時，因為. (Behr et al., 1984; Hunting, 1986)，此乃. 緣由於兒童對分數 的不瞭解。 4. 未將分子與分母作有意義的連結：Post等(1984)與Mack(1993)的研究發 現學生將整數的觀念過度類推至分數的概念上，以至於未能將分子與分 母作有意義的連結。例如：學生將 中之分母8視為8個物品組成一堆或 16.
(31) 一份，3則視為共有3堆或3份，因此有8×3=24個物品。 上述國小學童學習分數概念時常見的迷思根源，乃是由於學童本身並未真正 將分數的概念與意義釐清，導致忽略單位量，以及依賴部分—整體模式並受到整 體基模思考的影響。. 17.
(32) 18.
(33) 第三章 研究方法 本研究目的在探討六年級的學生在分數概念與運算中，採用的策略習慣為單 一策略，亦或多重解題策略，以及他們在策略的選擇上與其成績表現上的相關。 並且探討在策略的使用上，伴隨易發生的錯誤類型，提供教師以其學生慣用之策 略，做為補救教學之參考依據。本章就其研究步驟及研究設計、研究對象、研究 工具等說明之。. 第一節 研究步驟與研究設計 本研究採用紙筆測驗進行之，擬從學生紙筆測驗結果來分析，其測驗試題由 研究者依據教育部九年一貫課程綱要能力指標編製，以確保各該項概念技能之完 備，以期達成測到學生是否學到該能力指標。 為了能完整知道學生處理分數問題所擁有的概念及採用的策略，和產生的錯 誤類型，因此測驗以選擇題型為主，並請學生建構其解題過程。再由研究者將學 生作答情形，分為選擇部分及建構部分，並分析建構反應題與選擇題所呈現作答 訊息的差異。 一、 確定研究主題、進行文獻的收集與探討、選定教材及研究對象 本研究以分數的四則運算為研究教材，並依據研究動機進行相關的文獻探討， 再依其研究教材選定研究樣本，以國小六年級的學生作為研究對象。 二、 發展工具 本研究主要依據國小六年級南一版數學教材內容及分數四則的相關文獻探 討，建立其主要的概念技能、錯誤類型及各項策略，完成命題卡進而發展本 測驗工具。 三、 修審試題及進行施測 與多位教學教師及學者專家進行修審試題後，再進行施測。施測對象為台中 市及彰化縣四所六年級學生。. 19.
(34) 四、 收集學生作答資料經專家判讀與分析及提出研究結果 學生的作答資料，經專家判讀，學生作答證據顯示有概念或有錯誤類型就 判1，沒有概念或沒有錯誤類型則判0；若證據無法判別時則為88，作答空 白時判99，判讀為88和99的資料，最後以「其他」來顯示。其判讀規準如 下： 表 3-1 作答判讀規準 建構過程. 作答編碼. 解題策略. 概念技能. 錯誤類型. 編碼. 判讀規準(有、無). 判讀規準(有、無). 1.解題歷程對,答案對. 1. 1~20. 1. 0. 2.解題歷程對,答案錯. 1. 1~20. 1. 0. 3.解題歷程錯,答案對. 0. 1~20. 0. 1. 4.解題歷程錯,答案錯. 0. 1~20. 0. 1. 0. 1~20. 0. 1. 6.空白作答. 99. 99. 99. 99. 7.無法判別如亂作答. 88. 88. 88. 88. 5.有算式有答案但沒有計 算過程. 20.
(35) 其研究流程及步驟如下：. 確定研究主題. 收集與探討相關文獻. 樣本選取 分析教材與九年一貫課程綱要 建立試題與解題概念、錯誤類型及多重解題策略之命題卡 編製測驗試卷 請資深教師和專家修審試題. 修正試卷. 正式施測 專家判讀資料並與進行驗證比 對 資料分析. 撰寫報告. 圖 1-1：研究流程與步驟. 21.
(36) 22.
(37) 第二節 研究對象 本研究是以國小六年級學生為主，包括台中市市區、海線、彰化市區及南彰 化等四所學校，共19個班級進行施測，實際施測人數約507人，回收有效樣本為 500人。分配情形如下： 表 3-2 研究樣本人數之基本資料 學校 人數. 台中市 A校. 彰化縣 B校. C校. 總計 D校 500人. 100人. 108人. 230人. 62人. 第三節 研究工具 根據自編分數四則運算試題，透過紙本測驗之後，研究者回收施測資料， 使用 Microsoft Office Excel 軟體登錄學生的作答反應資料，再使用 SPSS 等軟體 進行資料分析。. 壹、自編分數四則運算測驗之施測試卷 本試題依據課程綱要能力指標，先後與多名數學科專家及指導教授多次討 論及修改後，建立正式命題卡，命題卡結合了教材分析、認知概念/技能、錯誤 類型分析及多重解題策略。 一、分數的四則運算認知概念：南一版六下分數的四則運算，由教學目標列出 本單元重要的概念技能，以利作為試卷命題與認知概念診斷的依據。其表如下：. 23.
(38) 表 3-3 概念技能表 S01. 分數四則計算使用由左而右，依序兩兩計算. S02. 分數計算連減時，能列括號先算共用去的，再算剩下. S03. 能解決括號先計算問題. S04. 能解決先乘除後加減問題. S05. 分數計算連除時，能一次將二個除數倒置過來. S06. 分數計算連除時，能先將後面兩個除數用括號相乘，再用被除數去除. S07. 能使用分配律簡化計算過程. S08. 能依題意列成正確的算式. S09. 將帶分數化為假分數. 二、錯誤類型：依據參考文獻，並與教師和指導教授依據教學目標列出本單元 常見的錯誤類型，如表 3-5： 表 3-4 錯誤類型表 B1. 由左而右計算方式的過度使用. B2. 計算減法時依照大減小法則，整數先大減小，分數也獨立大減小. B3. 向整數借 1 時，運算時整數沒有減 1. B4. 應該加上括號沒有加或不應該加上括號卻加上括號. B5. 分數除法計算時，只將除號變成乘號，沒有將除數倒過來. B6. 帶分數相乘時，沒有化為假分數便直接對分子和分母約分,且整數對整 數相乘，分數對分數相乘. B7. 分數除法的計算中，將被除數倒置. B8. 分數連除時，只將第一個除數倒置，第二個除數以後均未倒置. B9. 計算過程中，因加減或乘除，或步驟中數字抄寫錯誤，造成計算錯誤. B10. 分數的乘除計算，化為假分數後，通分為同分母，再兩分數相乘 24.
(39) 三、 建立試題與解題策略概念技能對應矩陣：根據每個試題所建立的策略， 其對應之之概念技能，作成矩陣表以利判讀分析之依據，試題 1 有四個 策略，有策略 M1、M2、M3、M20，在表 3-5 中，以 Item1-1、Item1-2、 Item1-3、Item1-20 來表示，而策略 M1 所對應的概念技能為 S1 和 S8， 策略 M2 所對應的概念技能為 S2 和 S8，策略 M3 所對應的概念技能為 S8 和 S9，策略 M20 則為 S2、S8 和 S9，其他各題以此類推，表 3-5 如 下： 表3-5 各試題策略概念技能對應矩陣 試題-策略 Item1-1 Item1-2 Item1-3 Item1-20 Item2-1 Item2-2 Item2-3 Item2-20 Item3-4 Item3-5 Item3-9 Item3-10 Item4-6 Item4-19 Item5-7 Item5-8 Item6-15 Item6-16 Item7-11 Item8-12. S1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0. S2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. S3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0. S4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1. 25. S5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0. S6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0. S7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0. S8 S9 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 （續下頁）.
(40) Item9-9 Item9-10 Item10-13 Item10-14 Item11-15 Item11-16 Item12-17 Item13-18. 1 1 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 1 0 1 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 1 0 1 0 0. 1 1 0 0 1 1 0 1. 0 1 0 0 0 0 0 0. 四、 解題策略命名及內容描述：每個解題策略，有其代表之意義，給予 編碼代號以利判讀作業，各策略名稱及內容如表 3-6：. 表 3-6 策略名稱介紹 代號. 策略描述. M1. 分數的連減由左而右依序使用帶分數計算. M2. 分數連減後面括號計算使用帶分數作計算. M3. 分數的連減由左而右依序使用假分數計算. M4. 列式，括號中帶分數先減，再將被減數去減減數(都用帶分數計算). M5 M6. 列式，全部化為假分數後，再算括號中分數先減，算出後為減數，再將 被減數來減減數 無列式，括號中帶分數先減後，再將被減數去減減數(都用帶分數計算， 用在計算題). M7. 分數計算連除時，能一次將二個除數倒置過來. M8. 分數計算連除時，能先將後面兩個除數用括號相乘，再用被除數去除. M9. 列式，分數加減混合，能使用由左而右計算. M10. 列式，先全部化為假分數，加減混合時，能使用由左而右計算. M11. 無列式，括號先除，再用被除數來除它 （續下頁）. 26.
(41) M12. 減除的混合使用，能先除再減. M13. 先做乘法再作減法. M14. 乘法對減法的分配律. M15. 列式，有乘法先作乘法 ，再作加法. M16. 列式，能使用乘法對加法的分配律. M17. 先對括號作加法計算，再用被除數去除該除數. M18. 列式，算出單位量後再乘上數量. M19. 全部化為假分數後，再算括號中分數先減，算出後為減數，再將被減數 來減減數. M20. 分數連減後面括號計算，全數先化成假分數計算. 貳、SPSS統計套裝軟體 SPSS 全名為 Statistics Package for the Social Sciences 社會科學統計軟體程 式，是芝加哥大學的 Nie , Hull , Jenkins 和 Steinbrenner 與艾伯塔大學的 Bent 為資料處理而發展出的裝軟體程式，它能從事描述性的單變項統計、多變項統 計和無母數等統計方法。SPSS 在大電腦的統計分析蔚為主流, 特別在研究及學 術機構。. 27.
(42) 28.
(43) 第四章 研究結果 本章共分成四節，第一節解題策略在各題的錯誤類型和概念之分布，第二 節單一解題策略與多重解題策略的表現分析，第三節解題策略反應在錯誤類型 上的分析，第四節不同解題策略在概念技能上的表現。. 第一節 解題策略在各題的錯誤類型和概念之分布 本節在介紹本研究自編測驗工具，其每題的策略數及其對映的概念技能數及 錯誤類型的數量，並且針對在各題中每個策略對所缺乏的概念技能的人數統計及 百分率，以及每題中每個策略在錯誤類型的發生率之統計。. 壹、 每道題目所對應的策略及概念技能和錯誤類型 整理每道試題所包含的策略及概念技能各錯誤類型，除了可以清楚瞭解每 一題目學生使用的策略，亦可以比較試題間是否屬於相同概念之試題，其整理 如表 4-1： 表4-1 題目包含相對應之策略、概念技能及錯誤類型統計表 題目. 策略編號. 概念技能編號. 錯誤類型編號. Item1. M1,M2,M3,M20. S1,S2,S8,S9. B2,B4,B9. Item2. M1,M2,M3,M20. S1,S2,S8,S9. B2,B4,B9. Item3. M4,M9,M5,M10. S1,S3,S8,S9. B2,B3,B9. Item4. M6,M19. S3,S9. B1,B9. Item5. M7,M8. S1,S3,S5,S6,S8. B4,B5,B7,B9,B10. Item6. M15,M16. S4,S7,S8. B4,B6,B9. Item7. M11. S3. B1,B5,B7,B9. Item8. M12. S4,S8. B9. Item9. M9,M10. S1,S8,S9. B9 (續下頁). 29.
(44) Item10. M13,M14. S4,S7. B4,B6,B9. Item11. M15,M16. S4,S7,S8. B4,B9. Item12. M17. S3. B5,B9. Item13. M18. S1,S8. B5,B8,B9. 貳、 探討每題所使用的策略技能、概念技能及錯誤類型之表現 表4-2是學生在試題1的作答情形，它有四個策略，而「其他」則是原本無法 列式判讀為88的學生，和空白作答策略為99學生部分，在表中的--代表該策略不 需要使用到的那一項的概念技能，以下各表均為同樣的意義。 一、試題 1 的探討： 表4-2 試題1使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M1 M2 M3 試題 1 策略使用 215 75 152 人數 S1. 個數. 百分率 缺 乏 個數 的 S2 百分率 概 念 S8 個數 百分率 技 能 個數 S9 百分率 個數 B2 百分率 錯 個數 誤 B4 類 百分率 型 個數 B9 百分率. M20. 其他. 總和. 32. 26. 500. 13. 24. 37. (6.0%). (92.3%). (7.4%). 9. 1. 26. 36. (12.0%). (3.1%). (100%). (7.2%). 0. 0. 0. 0. 22. 22. (.0%). (.0%). (.0%). (.0%). (4.6%). (4.4%). 3. 0. 24. 27. (2.0%) 0 (.0%) 0 (.0%) 6 (3.9%). (.0%) 0 (.0%) 0 (.0%) 2 (6.3%). (92.3%) 0 (.0%) 1 (5.9%) 1 (5.9%). (5.4%) 2 (.4%) 2 (.4%) 23 (4.6%). 2 (.9%) 0 (.0%) 9 (4.2%). 0 (.0%) 1 (1.3%) 5 (6.7%). （續下頁）. 30.
(45) 答對率. 個數. 193. 百分率 (89.8%). 66. 145. 30. 2. 436. (88.0%). (95.4%). (93.8%). (7.7%). (87.2%). 在試題1有四個策略，為M1、M2、M3、M20，使用M1策略的人數總共有215 人，而使用M2策略的人數共有75人，M3的使用人數有152人，M20的使用人數有 32人。在試題1，學生最多人使用的策略為M1，最少人使用的策略是M20。策略 M1和策略M2是相對的策略，策略M1是使用連減但計算時，運用帶分數。策略 M3也是用連減的方式，但在計算時先全部化為假分數再作運算，算出結果之後， 再化為帶分數或真分數。策略M2則將後面兩個減數先用括號加總起來，使用帶 分數作運算。策略M20也是將後面兩個減數，先用括號加起來，但使用全部都化 為假分數。也就是策略M2和策略M20的差別是在於一個是使用帶分數計算，一個 是全部化成假分數的方法來計算。而策略M20只有32人，可得知學生較少人會全 部化成假分數再計算。 因此可以瞭解學生較習慣使用兩個減號連續減，而較不習慣使用括號的方式， 也就是較習慣用A-B-C，而較少人使用A-(B+C)這種策略。全部化為假分數作運算 的學生在整體數量上也是比較少的。 從缺乏的角度來看，因為M1所使用到的概念技能有S1和S8，因此使用M1但 又缺乏S1的概念技能，有13位學生，佔該使用人數6%，而缺乏S8的人數則為0。 其意義為使用M1的學生在試題1全部都會列式(S8)，但仍有6%的學生無法正確使 用由左而右的概念(S1)。而策略M2在概念技能缺乏的部分有9個人，雖然可能一 開始列式時，學生是想用策略M2，但在計算的過程可能又忘掉括號的存在，而 使用了策略M1，就造成了A-B+C的現象。策略M3和策略M20是策略M1和策略 M2變為假分數計算的變形策略而已，而策略M3相對於策略M20的使用人數是比 較多的。在錯誤類型中，使用M1策略的學生，有0.9%犯了B2的錯誤類型，而有 4.2%的學生犯了B9的錯誤類型。而使用M1策略的學生，答對第1題的百分率有 89.8%。 31.
(46) 從試題1來看，在答對率的部分，M3和M20相對於M1和M2都來得高，也就 是雖然較少學生使用全部化為假分數來計算，但使用假分數計算的學生，在答對 試題1的人數是比使用帶分數的人數來得高。至於原因，也是值得其他的研究來 探討。 策略為其他的學生，多數為空白沒作答，或學生一開始就列式錯誤，他們沒 有建構過程，也就是學生不是沒有理解題意，就是不具備這些概念技能。 二、試題 2 的探討： 從表 4-3 來看，在試題 2 中，策略數仍然有 4 個，也是 M1、M2、M3、 M20，與試題 1 的使用策略相同。 表4-3 試題2使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M1 M2 M3 試題 2 策略使用 243 82 112 人數 缺 S1 乏 的 S2 概 念 S8 技 能 S9 B2. 錯 誤 B4 類 型 B9 答對率. M20. 其他. 總和. 35. 28. 500. 個數. 10. 27. 37. 百分率 個數 百分率 個數. (4.1%). 0. 6 (7.3%) 0. 0. 0 (.0%) 0. (96.4%) 6 (50.0%) 27. (7.4%) 12 (2.4%) 27. 百分率 個數. (.0%). (.0%). (.0%) 5. (.0%) 0. (96.4%) 27. (5.4%) 32. (.0%) 0. (96.4%) 0. (6.4%) 1. 百分率 個數. 1. 0. (4.5%) 0. 百分率 個數 百分率 個數 百分率. (.4%) 0 (.0%) 4 (1.6%). (.0%) 1 (1.2%) 1 (1.2%). (.0%) 0 (.0%) 6 (5.4%). (.0%) 0 (.0%) 0 (.0%). (.0%) 1 (8.3%) 0 (.0%). (.2%) 2 (.4%) 11 (2.2%). 個數. 227. 79. 107. 35. 1. 449. 百分率. (93.4%). (96.3%). (3.6%). (89.8%). (95.5%) (100.0%). 32.
(47) 但在答對率上相對試題1，每個策略的答對率幾乎都是提高，尤其是M20， 答對率竟達100%。或許也可以說是試題1的練習之後，學生在試題2的表現顯得較 好。在這個試題中，使用策略M1的學生中，缺乏S1的人有10人，百分率有4.1%； 而使用策略M2的人中，缺乏S2的人有9人，百分率有7.3%；使用策略M3的學生 中，缺乏S9的人有5人，百分率有4.5%。但使用策略M20的學生，都沒有缺乏的 概念技能及犯錯類型。 三、試題 3 的探討： 在表4-4，試題3中有4個策略即M4、M5、M9、M10，策略M9的形式是A-B+C， 而策略M20也是，只是它是全部先化為假分數後再計算。 表4-4 試題3使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M4 M5 M9 試題 3 策略使用 34 9 306 人數 個數 S1 缺 百分率 乏 個數 的 S3 百分率 概 個數 念 S8 百分率 技 個數 能 S9 百分率 個數 B2 錯 百分率 誤 個數 B3 類 百分率 型 個數 B9 百分率 個數 答對率 百分率. M10. 其他. 總和. 118. 33. 500. 24. 31. 55. (7.8%). (11%) 38. 3. 2. (93.9%) 33. (8.8%) 0. (22.2%) 0. (7.6%) 32. (.0%). (.0%) 1. 2. 0. (100%) 30. (.7%). (.0%) 11. (90.9%) 33. (6.4%) 45. (100%) 0. (9%) 1. (.0%) 0 (.0%) 2 (6.1%) 0 (.0%). (.2%) 3 (.6%) 26 (5.2%) 425 (85.0%). 0. (11.1%) 0. 1. (9.3%) 0. (.0%) 1 (2.9%) 0 (.0%) 31 (91.2%). (.0%) 0 (.0%) 1 (11.1%) 8 (88.9%). (.3%) 2 (.7%) 14 (4.6%) 276 (90.2%). (.0%) 0 (.0%) 9 (7.6%) 110 (93.2%). 33.
(48) 策略M4的形式是A-(B+C)，策略M5的形式亦同，只是先全部化成假分數再 計算。多數學生使用策略M9和M20，尤其是策略M9，但策略M10也是很多人使 用，也就是說不管是否化為假分數，大多數學生較傾向使用A-B+C的形式，較不 習慣使用A-(B+C)的形式。而且使用策略M9和策略M10的學生在答對率上也相對 較高，策略M10的答對率是四個策略最高的。但在錯誤類型上，使用策略M9在犯 了B9這個錯誤有14人，百分率有4.6%，而使用策略M10的學生中犯了B9的人數有 9人，百分率有7.6%。 四、試題 4 的探討 試題4是一題計算題，也就是學生不需要對文字題的理解，只需要計算分數 的四則運算。 表4-5 試題4使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M6 M19 試題 4 策略使用人數 351 117 個數 10 7 S3 缺乏的概 百分率 (2.8%) (6.0%) 念技能 個數 13 S9 百分率 (11.1%) 個數 2 0 B1 百分率 (.6%) (.0%) 錯誤類型 個數 23 13 B9 百分率 (6.6%) (11.1%) 答對率. 其他 32 32. 總和 500 49. (100%) 32. (9.8%) 45. (100%) 0. (9%) 2. (.0%). (.4%). 0. 36. (.0%). (7.2%). 個數. 316. 100. 1. 417. 百分率. (90.0%). (85.5%). (3.1%). (83.4%). 它的使用策略有二個，有策略M6和策略M19，在人數的使用上策略M6高出 策略M19許多，策略M6的形式是A-(B-C)，策略M19也是，但使用全部化為假分 數去做計算。在這一題中，我們發現多數學生沒有使用假分數去做計算外，即使 使用假分數的學生，在試題4的答對率也相對於策略M6來得低。 從缺乏的概念技能和錯誤類型來看，缺乏S3和S9的概念技能，使用策略M19. 34.
(49) 的學生比率上也較高於使用策略M6的學生。錯誤類型上使用策略M19的學生沒有 犯了B1這個錯誤，而犯了B9這個錯誤的學生在比率上，使用策略M19的學生也比 使用策略M6的學生多。 錯誤類型B9是屬於計算過程的錯誤，學生由於加減乘除的錯誤，或者在謄寫 上的錯誤，都是歸納於B9。而從試題4發現使用假分數運算的學生在這一題的表 現上，是比較容易計算錯誤的。 五、試題5的探討 試題5可以使用二個解題，是分數的連除文字題，表4-6得知，使用M7和M8 的學生在人數上有很大的差異。 表4-6 試題5使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M7 試題 5 策略使用人數 345 S1 S3 缺乏的 概念技 能. S5 S6 S8 B4. 錯誤類 型. B5 B7. M8 94. 其他 61. 總和 500. 個數. 10. 61. 71. 百分率 個數 百分率 個數. (2.9%). (100%) 60 (98.4%) 61. (14.2%) 67 (13.4%) 84. 百分率 個數 百分率. (6.7%) 6 (6.4%). (100%) 60 (98.4%). (16.8%) 66 (13.2%). 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. 0 (.0%) 1 (.3%) 1 (.3%) 1 (.3%). 1 (1.1%) 1 (1.1%) 1 (1.1%) 0 (.0%). 57 (93.4%) 0 (.0%) 0 (.0%) 0 (.0%). 58 (11.6%) 2 (.4%) 2 (.4%) 1 (.2%). 7 (7.4%) 23. （續下頁） 35.
(50) B8 B9 B10 答對率. 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. 0 (.0%) 4 (1.2%) 0 (.0%) 330. 0 (.0%) 3 (3.2%) 1 (1.1%) 86. 1 (1.6%) 0 (.0%) 0 (.0%) 0. 1 (.2%) 7 (1.4%) 1 (.2%) 416. (95.7%). (91.5%). (.0%). (83.2%). 試題5是個連除的問題，將試題5的題目列式於下： 試題5：有一個長方體的體積是4 1. 4 2 立方公尺，已知它的長是2 公尺，寬是 7 3. 1 公尺，請問它的高是多少公尺？ 14 策略M7就是使用連除來計算，即A÷B÷C，策略M8是先將後面兩個除數先相. 乘，再用被除數來除以這個數，即A÷(B×C)。從表4-6來看，使用策略M7的人有 345人，而使用策略M8的人數只有94人，也就是多數的學生面對連除的文字題， 多數使用策略M7，因為策略7對學生的認知理解上較為直接，雖然它在策略的層 級較低於策略M8，因為策略M8是先求出底面積，也就是先用長×寬求出底面積後， 再用體積去除於底面積就算出高。 雖然策略M8在認知層次的位階是較高於策略M7，但學生在使用表現上，其 正確率依然較高使用策略M8的人數。分析解題過程，其實使用策略M7，在數字 的計算上是較簡捷於策略M8，因為學生能一次就將可以約分的部分先作約分， 再進行計算，可能也因此在答對率的表現上，是高於使用策略M8的學生。 策略M7沒有S6和S6這兩個概念技能，而策略M8則沒有S1和S5這兩個概念技 能，但使用這兩個策略的學生都有S8的概念技能。而在試題5，學生所犯的錯誤 類型較為多元，但人數都不多，比較多的都發生在計算錯誤(B9)這個類型上。 在錯誤類型B4是應該加上括號沒有加或不應該加上括號卻加上括號，有學生 在列式時會加上括號，但在計算時又會主動忽略括號。錯誤類型B5只將除號變成. 36.
(51) 乘號，沒有將除數倒過來，還有錯誤類型B7分數除法的計算中，將被除數倒置， 在文獻探討中使用連除的學生身上最多見。但在本研究中，雖然有發生這樣的錯 誤類型，但並不多見。或許是多數學生在六年級上學期已經有建立較好概念基礎， 也可能學生雖不見得對分數除法的概念有澈底的瞭解，但對於分數除法的計算方 法會使用記憶的方式，也就是把除數倒過來再和被除數相乘背起來，因此，這也 是較多的學生使用策略M7的因素。 六、試題 6 的探討： 試題 6 主要在測驗學生是否具有分配律的概念技能，策略 M16 是分配律的 使用。 表4-7 試題6使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M15 M16 試題 6 策略使用人數 241 192 缺乏 的概 念技 能. S4 S7 S8 B4. 錯誤 類型. B6 B9. 答對率. 其他 67. 總和 500. 個數. 27. 67. 94. 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. (11.2%). (100%) 67 (100%) 67 (100%) 0 (.0%) 0 (.0%) 1 (1.5%) 0 (.0%). (18.8%) 78 (16.6%) 67 (13.6%) 4 (.8%) 3 (.6%) 38 (7.6%) 370 (74.0%). 0 (.0%) 0 (.0%) 2 (.8%) 24 (10.0%) 198 (82.2%). 11 (5.7%) 0 (.0%) 4 (2.1%) 1 (.5%) 13 (6.8%) 172 (89.6%). 而策略M15形式是A×C+B×C，而策略M16則是(A+B)×C，專家學者認為M16 的概念技能位階較高於策略M15，因為它能簡化算式，但研究發現：使用策略M15 的學生人數較多於使用策略M16的學生人數。但在答對率上，使用策略M16的學 37.
(52) 生就高於使用策略M15的學生，且經卡方檢定達顯著水準。 在缺乏的概念技能，使用策略M15表現在缺乏S4的人數百分率上有11.2%， 而S4是能解決先乘除後加減問題，而使用策略M16的學生在缺乏概念技能S7（能 使用分配律簡化計算過程）的人數百分率有5.7%。在錯誤類型的表現上，使用策 略M15在計算錯誤上其百分率為10%為較高於使用策略M16的6.8%。 七、試題 7 的探討： 在四則運算的式子中要呈現兩個算式倂式的結果，可以用括號來將兩個算 式合併，所以有兩個以上運算符號的四則運算算式的運算規則，要先算的則以 括號表示。在試題 7 只有一個解題策略，想要瞭解學生在分數四則併算的問題 中，能先計算括號中的算式。 表4-8 試題7使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M11 試題 7 策略使用人數 436 缺乏的概 念技能. S3 B1 B5. 錯誤類型 B7 B9 答對率. 其他 64. 總和 500. 個數. 20. 62. 82. 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數. (4.6%) 1 (.2%) 8 (1.8%) 1 (.2%) 19 (4.4%) 398. (96.9%) 2 (3.1%) 0 (.0%) 0 (.0%) 2 (3.1%) 0. (16.4%) 3 (.6%) 8 (1.6%) 1 (.2%) 21 (4.2%) 398. 百分率. (91.3%). (.0%). (79.6%). 試題7為計算題，不必對文字的理解，而且是屬於單一策略的試題，它的題 型是A÷(B÷C)。國小六年級的學生在解決這個問題時，需要先算出括號的算式， 再將被除數來除以由括號中算出來的數，沒有其他的解決策略，因此使用策略 38.
(53) M11的人數高達436人，但在缺乏S3這個概念技能的百分率有4.6%，在犯了錯誤 類型B5（分數除法計算時，只將除號變成乘號，沒有將除數倒過來）的人數百分 比有1.8%，而犯了B9（計算因加減乘除或謄寫錯誤）的人數百分比有4.4%。 八、試題 8 的探討： 試題 8 主要在瞭解學生是否具有先乘除後加減的概念技能，以及學生在文 字題的理解是否能轉換成分數運算符號，合併成一個算式。 表 4-9 試題 8 使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M12 試題 8 策略使用人數 394 缺乏的概 念技能. S4 S8. 錯誤類型. B9. 答對率. 其他 106. 總和 500. 15 (3.8%) 2 (.5%). 104 (98.1%) 104 (98.1%). 119 (23.8%) 106 (21.2%). 個數. 9 (2.3%) 375. 0 (.0%) 1. 9 (1.8%) 376. 百分率. (95.2%). (.9%). (75.2%). 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. 試題8是文字理解的題目，但使用策略也是只有一個，即A÷B-C÷D，學生作 答只能依序先乘除後加減的運算，學生在試題8的答對率較低是由於對文字的無 法理解因此無法列式（S8）。使用策略M12的學生在答對此題的百分率為95.2%， 主要是計算的數字可以算出整數，因此學生在計算上較不容易出現錯誤。 九、試題 9 的探討： 試題 9 是分數兩步驟的加、減運算試題，它的形式是 A B C，和試題 3 的形式一樣，但有一點不同的是試題 3 的 A B C，可以使用 A (B C)，因為 它的 B C，在試題 9 則無法使用（目前小學沒有負數的使用），因此試題 9 只 有二個策略可以使用，也就是使用帶分數計算或者全部化為假分數來計算。. 39.
(54) 表4-10 試題9使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M9 試題 9 策略使用人數 340 S1 缺乏的 概念技 能. S8 S9. 錯誤類 型. B9. 答對率. M10 79. 其他 81. 總和 500. 個數. 17. 11. 81. 109. 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. (5.0%) 3 (.9%). 10 (2.9%). (13.9%) 1 (1.3%) 8 (10.1%) 8 (10.1%). (100%) 70 (86.4%) 81 (100%) 0 (.0%). (21.8%) 74 (14.8%) 89 (17.8%) 18 (3.6%). 個數 百分率. 317 (93.2%). 66 (83.5%). 1 (1.2%). 384 (76.8%). 從表4-10得知，使用策略M9的人數有340人，佔全體人數的68%，答對率有 93.2%相對於使用M10的人數79人，佔全體人數15.8%，而且其答對率只有83.5%。 在缺乏S1的概念技能上，使用策略M10缺乏S1的人數百分率有13.9%高於使 用策略M9的5%，且在犯錯誤類型B9上，使用策略M10佔的人數百分比有10.1% 高於使用策略M9的2.9%，也就可以說使用策略M10是全部化為假分數，較容易因 為計算的錯誤而無法答對試題9，而且使用策略M10的學生也較多是缺乏S1（由 左而右，兩兩計算）的概念技能。 十、試題 10 的探討： 試題 10 也是在探討學生是否能使用併式作減、乘及使用分配律的運算，試 題 10 是計算題，解題策略 M13 的形式是 A C–C×B，而策略 M14 則是(A B) C。 若學生先計算 A C 然後再算 C×B 兩結果後，再作相減運算，是將他歸類於使 用解題策略 M13。若學生先算出 A B 的結果，再和 C 相乘，則是將此類學生 的使用策略歸類於 M14，表 4-11 則為學生使用 M13 和 M14 在試題 10 之表現 如下：. 40.
(55) 表4-11 試題10使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M13 M14 試題 10 策略使用人數 233 180 缺乏的概 念技能. S4 S7 B4. 錯誤類型. B6 B9. 答對率. 其他 87. 總和 500. 個數. 8. 87. 95. 百分率 個數. (3.4%) 3. (100%) 87. (19%) 90. 個數. 0 (.0%) 1 (.4%) 12 (5.2%) 214. (1.7%) 2 (1.1%) 0 (.0%) 1 (.6%) 176. (100%) 0 (.0%) 0 (.0%) 1 (1.1%) 0. (18%) 2 (.4%) 1 (.2%) 14 (2.8%) 390. 百分率. (91.8%). (97.8%). (.0%). (78.0%). 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. 從表4-11得知較多學生使用策略M13，但使用策略M13答對的學生有91.8%， 而使用策略M14的學生雖然比較少，但答對率卻相當的高，達到97.8%。以策略 M13和策略M14來比較，策略M14是屬於較高階的策略，並且試題10在數字設計 上，有利於使用策略M14計算，因為A–B是整數。因此，可以瞭解策略M14雖然 能簡化的計算，但學生仍較不習慣去使用。 在缺乏的概念技能上，使用策略M13的學生在缺乏S4的佔3.4%，而使用策略 M14的學生在缺乏S7的人數百比率有1.7%。而犯錯誤類型B9的學生，使用策略 M13的有5.2%，使用策略M14的只有0.6%，也就是使用策略M14的學生計算錯誤 的比率遠低於使用策略M13的學生。 十一、試題 11 的探討： 試題 11 是文字題，除了需具備足夠的轉譯能力，此題亦是併式題，可以使 用四則運算的分配律，表 4-12 是學生在試題 11 的表現情形如下：. 41.
(56) 表4-12 試題11使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M15 試題 11 策略使用人數 156 缺乏 的概 念技 能. S4 S7 S8. 錯誤 類型. B4 B9. 答對率. M16 191. 其他 153. 總和 500. 個數. 3. 153. 156. 百分率 個數. (1.9%) 12. (100%) 153. (31.2%) 165. 1. (6.3%) 3. (100%) 152. (33%) 156. 個數. (.6%) 0 (.0%) 1 (.6%) 153. (1.6%) 0 (.0%) 6 (3.1%) 180. (99.3%) 1 (.7%) 0 (.0%) 0. (31.2%) 1 (.2%) 7 (1.4%) 333. 百分率. (98.1%). (94.2%). (.0%). (66.6%). 百分率 個數 百分率 個數 百分率 個數 百分率. 試題11的整體答對率較低，只有66.6%，是13個題目中答對率最低的，試題 11是文字理解題，在500位學生當中有153位無法列式，以及正確地計算出試題11 的答案。和其他題目相比，學生可能較無法理解此題的題意。 策略M15和策略M16，較多學生使用策略M16，策略M16是使用分配律的計 算方式，屬於較高階的策略，在試題11中，使用較高階的策略M16學生人數高於 使用策略M15，這個的情形和其他題目不一樣，而且使用策略M15的答對率98.1%， 使用策略M16的答對率有94.2%。因此使用策略M16的答對率沒有比使用策略M15 的來得高。 從缺乏的概念技能來看，使用策略M16在缺乏概念技能S7和S8的百分率有 6.3%及3.1%，而使用策略M15在缺乏S4和S8的百分率有1.9%和0.6%。在犯錯誤類 型B4，使用策略M15和M16都沒有學生有此類的錯誤，但在B9上，使用策略M16 發生的百分率有3.1%高於使用策略M15的學生。. 42.
(57) 十二、試題 12 和試題 13 的探討： 試題 12 和試題 13 都只有單一解題策略，試題 12 是計算題，而試題 13 需 要先對文字的理解再作列式運算。 表4-13 試題12使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M17 試題 12 策略使用人數 423 缺乏的概 念技能. S3 B5. 錯誤類型 B9 答對率. 缺乏的概 念技能. S8 B5 錯誤類型. B8 B9. 答對率. 總和 500. 個數. 11. 76. 87. 百分率 個數. (2.6%). (98.7%). (17.4%). 16. 8. 24. 百分率. (3.8%). (10.4%). (4.8%). 個數. 8. 1. 9. 百分率. (1.9%). (1.3%). (1.8%). 個數. 393. 0. 393. 百分率. (92.9%). (.0%). (78.6%). 表4-14 試題13使用策略與概念技能和錯誤類型之關係 策略編號 M18 試題 13 策略使用人數 349 S1. 其他 77. 其他 151. 總和 500. 個數. 11. 144. 155. 百分率. (3.2%). (95.4%). (31%). 個數 百分率 個數. 2 (.6%). 145 (96.0%). 147 (29.4%). 1. 1. 2. 百分率. (.3%). (.7%). (.4%). 個數. 1. 0. 1. 百分率. (.3%). (.0%). (.2%). 個數. 5. 0. 5. 百分率. (1.4%). (.0%). (1.0%). 個數. 337. 7. 344. 百分率. (96.6%). (4.6%). (68.8%). 43.
(58) 因此試題12整體的答對率比試題13來得高，但試題13在使用策略M18下，它 的答對率有96.6%，而試題12在使用策略M17雖然人數較高，但它的通過率卻只 有92.9%。 試題12在缺乏概念技能S3有2.6%，在犯B5和B9兩個錯誤類型的百分率有 3.8%和1.9%。而試題13在缺乏概念技能S1和S8有3.2%和0.6%，犯錯誤類型B5、 B8和B9則有0.3%、0.3%和1.4%。 從試題12和試題13來看，可以得知試題13對學生而言較為困難，以整體學生 在缺乏概念技能S8來看，它的百分率29.4%，學生可能因為無法理解題目的敍述， 因而無法列式。但能理解題意而列式且建構計算過程的學生，其答對率就相對較 高。試題12雖然答對率比較高，但因為該題為計算題，較多人進行計算，所以提 高了整題的答對率。. 參、 各題使用策略與答對率的檢定 每道題目各有 1 至多個解題策略，本研究對每一題不同的策略其答對率作 顯著考驗，若該題只有單一個解題策略，則無顯著考驗，如表 4-15 所示： 表4-15 各題策略答對率的顯著考驗 試題. 每題所使用的策略. 策略答對率顯著考驗. Item1. M1,M2,M3,M20. .408. Item2. M1,M2,M3,M20. .683. Item3. M4,M9,M5,M10. .801. Item4. M6,M19. .116. Item5. M7,M8. .108. Item6. M15,M16. .029*. Item7. M11. --. Item8. M12. -（續下頁）. 44.
(59) Item9. M9,M10. .009*. Item10. M13,M14. .009. Item11. M15,M16. .051. Item12. M17. --. Item13. M18. --. *. 註：卡方檢定* p<.05 **p<.01 ***p<.001. 由表4-15得知，只有試題6、試題9和試題10三題其各策略間的答對率之差異 有達顯著水準，也就是在試題6中策略M15答對率82.2%和策略M16答對率89.6%， 使用策略M16的學生比使用策略M15對答對率有顯著的影響。 試題9的策略M9和策略M10的答對率也達顯著水準，使用策略M9答對率有 93.2%，使用策略M10有83.5%，顯著有影響。試題10的策略M13和策略M14的通 過率，策略M13有91.8%顯著低於使用策略M14的97.8%。 在試題11的顯著考驗雖然.051>.05，但也接近顯著考驗，值得探討的是它和 試題6不同，它的策略M15答對率98.1%卻是高於使用策略M16的94.2%，而且近 達顯著。. 第二節 解題策略單一型與混合型的表現分析 「解題策略單一型」是學生本身在面對問題時，會在同類型的題目中，習 慣使用某一特定策略來嘗試解題，而「解題策略混合型」則指學生在相同類型 的題目中，其解題過程中並沒有固定使用同的解題策略。在本研究中。其中試 題 1 和試題 2，試題 7 和試題 8，兩組可以使用完全相同的策略，試題 3 和試題 10，擁有部分相同的解題策略，但深入探討，認為試題 3 的策略 M4 和 M9， 它們可以歸類在同一組，而 M5 和 M10 又可以歸類在一組。因此把 M4 各 M9 這組命名為 MA，而 M5 和 M10 這組命名為 MB。MA 是在計算時直接用帶分數 進行運算，MB 這組在計算時，會先將帶分數化成假分數，所以試題 10 的策略. 45.
(60) M9 則放在 MA，策略 M10 就歸在 MB。至於策略分組的情形，如表 4-16： 表4-16 部分解題策略適用之題目及合併策略 策略名 包含 策略描述 稱 策略 M1. --. 分數的連減由左而右依序使用帶分數計算. M2. --. 分數連減後面括號計算帶分數作計算. M3. --. 分數的連減由左而右依序使用假分數計算. M20. --. 分數連減後面括號計算，全數先化成假分數計算. M4 MA M9 M5 MB M10. 列式A-(B-C)，用帶分數計算括號中的數，再將被減數 去減減數。 能列式A-B+C，用帶分數計算加減混合，能使用由左 而右計算 能列式成 A-(B-C)，且計算時全部化為假分數，先算 出括號中的B-C，再用A去減。 能列式A-B+C，先全部化為假分數，加減混合時，能 使用由左而右計算. M15. --. 能列式A×B+A×C或. M16. --. 能列式(B+C)×A，使用乘法對加法的分配律. A×B+D×C，先乘除後加減. 適用題目 Item1 Item2 Item1 Item2 Item1 Item2 Item1 Item2 Item3 Item10 Item3 Item10 Item3 Item10 Item3 Item10 Item7 Item12 Item7 Item12. 也就是試題1和試題2可以一起來作比較，試題3和試題10可以一起比較，試 題7和試題12再一起比較，若是比較試題1和試題2使用同一個策略，而試題3和試 題10使用同一個策略，試題7和試題12也使用同一個策略，就是所謂的解題策略 單一型，若不是，只要有一組以上使用不同的策略，就稱為解題策略混合型。 本研究為探討「分數四則的運算」單元中，學生的解題策略傾向與數學成績間之 關係，從整份試卷的十三題試題中，統整出六題有可以比較相同解題策略的試題， 如下表4-17所示：. 46.
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