認為錯誤概念的產生可能源自於學生日常生活經驗的自我學習，也可能來 自於學生對於老師傳統機械式教學所獲得的概念一知半解(呂溪木，民 72)。教師 若想幫助學生的學習，不能只有教導知識，要從學生學習中找出學生犯錯的原因，
並且改正其原因，學生才能達到良好的學習成效。
一、錯誤類型的探討
早期的心理學家認為錯誤有兩種：1.由於不小心做錯而產生的稱作疏忽。它 的產生是由於注意力分散而導致的，所以被認為是不規則的。2.由於學習了錯誤 觀念或程序所產生的，稱為系統性的錯誤。它的產生被認為是由於某種錯誤知識，
或者缺乏某些知識而引起的，所以第 2 種較被研究者重視。
Davis (1984)在研究中指出，錯誤可分為兩種型態，一種是個體自有的錯誤 類型，無論是在同一問題或在不同時日皆表現相當的一致性，藉此教師可以了解 個體在思維上的習慣的錯誤，來幫助學生澄清錯誤之處進而消除之。另外一種一 致性的錯誤不是發生在個體自己的行為，而是在不同的人卻有相同的錯誤行為，
也就是說某些錯誤是許多不同的人在學習過程中所共同發生的現象。
在錯解辨析(九章出版社，民 77)中將學生的錯誤類型區分為以下四大類：
1.由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概念 等產生的錯 誤。
2.由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論證不足及 方法不對等產生的錯誤。
3.由於忽視條件產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、
公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、
忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵 中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等產生的錯誤。
4.由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、
以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。
二、錯誤類型成因的探討
從國小與國中的最大不同來說，國小數學著重在具體物的操作，而國中數學 多以抽象思考跟邏輯推理為主，在教材跟教法上明顯有很多的不同，當學生從國
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小上國中以後，數學學習的模式沒有跟上，以致引發許多的錯誤概念(張景媛，
民 83)。
錯誤概念的來源可能是多面的，Sutton and West (1982)曾提出學生產生 錯誤概念的原因，主要有七個來源：(1)與生俱來的；(2)從日常生活經驗或用語 而來的；(3)從隱喻而來；(4)從類比而來；(5)來自同儕文化；(6)正式或非正式的 教學；(7)字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。
Brown and Vanlehn (1980)提出修補理論(Repair Theory)：認為學生在答題的 過程中，發現自我知識不足遇到困難時，學生通常不會立刻放棄，而會對此難題 做出一種解釋過程(problem solving process)去找到一個自認為較能接受的解決辦 法來作答。若學生在學習上本來就存有錯誤概念，便會因此發生錯誤。例如：演 算過程中，就可能產生系統的錯誤演算規則，而這些錯誤並不是學生疏忽所造成 的。
三、分數錯誤類型及其成因
張熙明（民93）指出學童經常發生的分數錯誤概念可分為「單位量問題」、
「缺乏等分觀念」、「受整數基模的影響」及「其他類型」等四類，依序敘述如 下：
(一)在單位量問題的錯誤
1.忽略給定的單位量，不確定單位量為何：處理分數問題最重要的一個概 念就是確認給定的單位量，但是學生在解題時，往往會有忽略單位量的 情形發生，此種常見的迷思概念的成因乃是由於學生並未真正的了解分 數的意義(洪素敏、楊德清，民92)。所以犯此類錯誤的學生無法指認問 題中的單位量。例如：例如：阿光有8顆蘋果，阿華有16顆蘋果，阿光 吃掉他自己所有蘋果的５
８，阿華吃掉他自己所有蘋果的３
８，則誰吃得多。
學生常常忽略掉單位量，只看到５
８ ３
８，就說阿光吃得比較多。
2.受分子的控制，解題時只考慮到分子的因素：犯此類錯誤的學生在處理 分數問題時，只考慮到問題中的分子，解題過程深受分子的影響，只考 慮到分子的因素，如果要此類學生在以24個組成一堆的花片中取出其中 的六分之一時，他們的反應是只取其中的一個（洪素敏、楊德清，民92）。
3.受分母的控制，解題過程只考慮到問題中分母的因素：犯此類錯誤的兒
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童在處理分數問題時，只考慮到問題中的分母，與上述受分子影響解題 的情形類似，解題過程深受分母的影響，其中的差別只有在於，這類的 學生是根據分母的大小來取花片（洪素敏、楊德清，民92）。
(二)缺乏等分觀念
學生一開始接觸正式的分數課程時，大多從分東西的經驗出發，然後以圓 餅圖或方形圖介紹分數，因此許多學生會以字面上的意義來瞭解分數，認為幾 分之幾就是要做「分」的動作，但卻忽略了分數是要對整體進行等分割的活動
（林福來、黃敏晃、呂玉琴，民85）。
(三)受到整數基模的影響，視分數ｂ
ａ，a、b為兩個獨立個體
Behr et al. (1984)指出，學生在處理分數問題時會將a、b為兩個獨立整數所組 成，而未將分數視為一個數，並將之應用至分數的解題上。因此當兩個分數比 較大小的解題時，便有以下的情況發生：1.以分母大小來比較，2.以分子的大 小比較，3.以錯誤的方式考慮分子與分母：學生以錯誤的方式考慮分子與分母 或是以整數的想法來類推，去直接比較數字的大小，忽略了分數是要同時考慮 分子和分母之間的關係，或使用了不正確的概念去考慮兩者之間的關係。
Tatsuoka (1984)分析學生在分數加法問題上的表現，提出的學生分數加法的 錯誤類型，可約略歸納為以下六大類：1.帶分數轉譯假分數的錯誤，2.整數轉譯 為等值分數的錯誤，3.通分時轉譯為等值分數的錯誤，4.求共同分母的錯誤，5.
加法程序錯誤，6.不會化簡或約分錯誤。
湯錦雲(民91)「國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究」其研究 結果整理出國小學童分數運算有下列十三種的錯誤類型：1.將被加數加上加 數的分子成為答案的分子。2.運算符號的錯誤。3.將被加數分別加上加數的分 子、分母成為答案的分子、分母。4.借位的錯誤。5.計算錯誤。6.假分數化成 帶分數的錯誤。7.減數的整數部分用減法計算、真分數部分用加法計算。8.
乘數的整數部分用乘法、真分數部分用加法。9.被乘數、乘數都化成假分數 後，分子乘分子、分母則不相乘。10.只做真分數部分的乘法，整數部分則不 相乘。11.假分數化成帶分數的錯誤。12.把被除數當成分母，除數當成分子。
13.商數與除數倒置。
曾筱倩(民97)，於＂台南縣國一學生分數四則運算錯誤類型之分析研究＂，
指出學生錯誤原因有六項：（一）先備知識的不足，（二）新舊學習經驗的相互 干擾，（三）對定義概念不清楚，（四）粗心、計算錯誤，（五）受本單元學習
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經驗影響，做出錯誤的推論，（六）教學影響。
對本研究的啟示：以上的參考文獻多為國小的研究，是學生在國小已經犯的 錯誤類型，而國中的部分多了負數概念及以符號代表數的部分，會讓錯誤類型更 加複雜，但本研究希望除了改善學生國小所犯的錯誤外，更希望能改善學生國中 所犯的錯誤類型。
本研究是看學生學習了錯誤觀念或程序所產生的錯誤類型，而且可能是許多 不同的人在學習過程中所共同發生的現象，研究者根據這些錯誤類型給與改正。
研究者綜合上述的探討，學生犯錯的原因可能包括：不精熟先前知識或技能、將 新知識與舊經驗作錯誤的連結，或錯誤的類推、學習的知識互相干擾、使用錯誤 的規則、受之前的數學知識固著影響或由教師教學所引起。而在上述探討的分數 錯誤類型文獻中可以知道分數概念與加減法可能有哪些錯誤類型，研究者根據這 些文獻整理出本研究的基本想法，但可從上述可知，大多研究者只做到錯誤類型 的探討而已，並無做補救教學，本研究將以二階段評量找出學生的錯誤類型，並 採根據這些錯誤類型及其成因設計補救教材進行補救教學。
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