國中生分數概念及加減法的主要錯誤類型及其補救教學之研究

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛. 博士. 國中生分數概念及加減法的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 研究生：鐘文傑. 中華民國一百零二年七月.

(2) 致. 謝. 回想起本論文三年的過程，多虧了一些貴人適時的幫助，今年才能如期完成，因此在這完成的時刻，除了喜悅，心中更充滿了感謝。首先最想感謝的就是恩師曹博盛老師，這三年來承蒙老師不辭辛勞，每兩周就跟我們這些學生做一次 Meeting。曹老師就像是個慈愛的父親，除了循循善誘外，也時常關心著我的身體。而在我卡住時，曹老師總是能適時地提供建議，雖然有時我會反應不過來，但想到老師恨鐵不成鋼的心情時，往往就能幫助我跨過那堵阻礙的高牆。另外感謝鍾靜老師跟洪有情老師在百忙之中，還費心審視我的論文，並提供寶貴的建議，讓本論文的價值更上一層樓。感謝謝念慈校長與黃景生校長在這三年來論文撰寫的過程中，從不間斷的關心，全力支持我把碩士學位完成，也常在我最累的時候，叫我到校長室分享一些小點心，鼓勵我繼續努力下去。也感謝我的學校好夥伴焌維、松和、仁昭、俐婷、明惠，讓我學校行政職務上沒有後顧之憂。感謝從進碩士班起就一直照顧我的婷瑩，在我奮鬥到晚上時，總是像天使一樣帶著宵夜出現；在我遇到低潮時總是仔細聆聽我的訴苦；在我徬徨無助時給予指引。說真的，有妳真好。感謝信宏學長、宜楓，多虧你們一路上的陪伴及給了許多的寶貴建議，讓我寫論文的動力源源不斷。感謝芳儀，雖然旁人常常會覺得我們常在吵架，但是我知道這是在溝通，在這些激盪中，很多概念得以釐清，也謝謝妳在我論文完成前的最後一段時間，常常陪我拼到晚上。感謝幫我分析資料及錄影的文宏學長；感謝在工作上一直幫我，而且在我忘記吃飯時，幫忙買東西給我吃的淑玲；感謝晁熙學長總是在我論文有疑問時給予幫助；感謝照顧我的大理高中老師群。最後，要特別感謝養育跟栽培我的雙親鐘聰明先生與林德雲女士，因為有你們支持跟鼓勵，讓我順利完成研究所學業，勇敢挑戰新的目標。謹將這份成果獻給我的家人、師長及好友們。鐘文傑. 2013.07.08. 於師大數學系.

(3) 摘. 要. 本研究的目的在探討國中生在學習過「分數的概念及加減法」的課程之後，常會出現哪些錯誤類型。藉由研究者編製的「分數的概念及加減法」二階段評量診斷國中學生對於分數概念及加減法的主要錯誤類型，再針對所得的資料去分析其形成的原因，依據這些主要錯誤類型及其成因設計補救教學的教材，進行補救教學活動，來修正學生在「分數的概念及加減法」的錯誤。根據本研究，國八學生在「分數的概念及加減法」的主要錯誤類型共有四個： (一)不了解等分及單位分數、(二)不了解帶分數、(三)約分、擴分、通分概念不清楚、(四)不了解分數加減法。而造成這些主要錯誤類型的原因有：對於全部概念不清楚；對於分數型態的定義不清楚；將學習過的舊經驗過度類推；整數加減法有問題；學習過的符號代表數去影響到帶分數概念。就補救教學的成效來說，國八學生在經過補救教學活動之後，後測各題的答題正確率大多提高，在 12 題的後測試題中有 11 題較前測提升 25%以上。而參加補救教學的學生，後測答題正確率都高於前測。就錯誤類型的答題正確率來說，後測的答對率都在 79.17%以上，而且都高於前測。可見「分數的概念及加減法」的補救教學活動對於改善學生在「分數的概念及加減法」的錯誤有顯著的成效。就學習保留狀況來說，本研究的補救教學實施完一個月之後，學生對於「分數概念與加減法」的補救教學活動保留的狀況還不錯。在錯誤類型方面，雖然後測、延後測以 McNemar. test. p 值來看，有三種主要錯誤類型達到顯著差異，. 代表補救教學活動改善主要錯誤類型的保留狀況不是很好，但從前測、延後測以 McNemar test. p 值來看，四種主要錯誤類型都是達到顯著差異的，也就是說. 經過補救教學活動一個月後，「分數的概念及加減法」補救教學的對於學生來說，還是有明顯改善其錯誤。因此本研究所用的工具「分數的概念及加減法」二階段評量，是可以診斷出國中學生對於分數概念、加減法的主要錯誤類型及形成原因。對於「分數概念、加減法」，在國小階段也有探討，但無設計出合適的補救教材，而國中老師則大多認為這個單元學生已經在國小學過，而忽略負數及以符號代表數對學生的影響，本研究提出補救教學教材及教學方式，可供數學教育研究者參考。. 關鍵字：分數概念、分數加減法、二階段評量、錯誤類型、補救教學。.

(4) 目. 錄. 第壹章緒論第一節問題背景與研究動機………………………………………………………1 第二節研究目的與研究問題………………………………………………………4 第三節名詞界定……………………………………………………………………5. 第貳章文獻探討第一節分數概念與加減法相關研究………………………………………………7 第二節二階段評量工具的發展與應用..…………………………………………11 第三節分數錯誤類型及其成因之相關研究..……………………………………16 第四節補救教學之探討..…………………………………………………………20. 第叁章. 研究方法. 第一節研究設計..…………………………………………………………………27 第二節研究對象..…………………………………………………………………29 第三節研究工具..…………………………………………………………………30 第四節研究步驟與流程..…………………………………………………………53 第五節研究限制..…………………………………………………………………56. 第肆章研究結果之分析與探討第一節「分數概念與加減法」主要錯誤類型及其成因之分析..………………57 第二節學生在補救教學活動之前測與後測結果比較與分析..…………………66 第三節學生在補救教學活動之後測與延後測結果比較與分析..………………78. 第伍章結論與建議第一節結論..……………………………………………………………………… 89 第二節檢討與建議..……………………………………………………………… 96. i.

(5) 參考文獻中文部份…………………………………………………………………… 101 英文部分…………………………………………………………………… 104. 附錄附錄一. 「分數概念與加減法」開放性試題(一)..………………………107. 附錄二. 「分數概念與加減法」開放性試題(二)..………………………110. 附錄三. 「分數概念與加減法」試題發展統計資料.……………………111. 附錄四. 「分數概念與加減法」前測(延後測)試題……………..………127. 附錄五. 「分數概念與加減法」後測試題…………………….…………133. 附錄六. 「分數概念與加減法」補救教學教材……………….…………139. 附錄七. 「分數概念與加減法」補充及複習講義.………………………153. 附錄八. 「分數概念與加減法」補救教學教案設計.……………………155. ii.

(6) 表次表 3-1. 各項變因….………………………………………………………… 27. 表 3-2 「分數概念及加減法」開放性試題雙向細目表………….……… 30 表 3-3 「分數概念及加減法」的開放性試題第 1 題答題狀況表..………31 表 3-4 「分數概念及加減法」的開放性試題第 1 題修改後答題狀況表 32 表 3-5. 修正後的「分數概念及加減法」開放性試題雙向細目表 ……… 33. 表 3-6. 開放性試題答對率……………………………………………….… 33. 表 3-7. 開放性試題第 13 題答題狀況………………………………………34. 表 3-8. 分數概念及加減法二階段試題雙向細目表…………………….… 36. 表 3-9. 各題一致率(以前測題號為準)…...…………………………………37. 表 3-10. 複本信度…………………………………………………………… 37. 表 3-11. 「分數概念及加減法」二階段評量試題選項與錯誤類型之對. 照 ..…………………………………………………………….………………38 表 3-12 「分數概念與加減法」錯誤類型及其形成原因...……………… 39 表 4-1. 主要錯誤類型及參與補救教學學生前測錯誤率.………………… 57. 表 4-2. 前測、後測各題答題正確率及 McNemar test 檢定結果………… 66. 表 4-3. 國七前測、後測各題答題正確率及 McNemar test 檢定結果…… 70. 表 4-4. 國八、國七在第 2 題及第 3 題之表現狀況…..……………………71. 表 4-5. 後測答題正確率達 80%以上的題目………………………..………71. 表 4-6. 個人於前測、後測正確率比較表………………………………..…73. 表 4-7. 前測、後測各個學生所犯的主要錯誤類型………………….…… 75. 表 4-8. 前測、後測錯誤類型答題正確率及 McNemar test 檢定結果…… 76. 表 4-9. 後測、延後測各題答題正確率及 McNemar test 檢定結果……… 78. 表 4-10. 延後測比後測答題正確率低的題目 ...……………………………80. 表 4-11. 個人於後測、延後測正確率比較表………………………………80. iii.

(7) 表 4-12. 延後測相較於後測答對率降低的學生答題狀況...……………… 82. 表 4-13. 延後測相較於後測答對率降低的學生在後測答對而延後測答錯. 的各題人數…...……………………………………………………………… 83 表 4-14. 後測、延後測各個學生所犯的主要錯誤類型……………………84. 表 4-15. 後測、延後測錯誤類型答題正確率及 McNemar test 檢定結. 果...…………………………………………………………………………… 85 表 4-16. 前測、延後測答題正確率做 McNemar 檢定結果表…………… 88. 表 5-1. 開放性試題的第 11 題蒐集到的理由表……………………………96. iv.

(8) 圖次圖 2-1. 二階段評量試題的型態……………………………………………11. 圖 3-1. 實驗設計的模式……………………………………………………27. 圖 3-2. 研究流程……………………………………………………………53. 圖 4-1. 前測、後測各題答題正確率折線圖………………………………67. 圖 4-2. 國七前測、後測各題答題正確率折線圖…………………………70. 圖 4-3. 個人於前測、後測正確率折線圖…………………………………74. 圖 4-4. 後測、延後測各題答題正確率折線圖……………………………79. 圖 4-5. 個人於後測、延後測答題正確率折線圖…………………………81. v.

(9) 第壹章. 緒論. 第一節問題背景及研究動機在十年的教學之中，總感覺分數的四則運算，只是延伸整數的四則運算。而在這幾年，所任教的班級大部分是國九學生，幫這些學生複習時，發現即使學生在整數四則運算有一定程度，但對於分數四則運算，在作答時仍會產生問題，尤其是在分數概念及加減法，這對於我是件不可思議的事情。因為對我來說，只要曾經學過國中數學的學生，程度再怎樣差，應該至少會做整數跟分數四則運算。於是我開始再一次去審視之前所使用的教材(課本)，發現原來課本編排跟我的認知不同。總以為分數四則運算就是先乘除後加減。但是課本把分數加減編製在分數乘除之前，原因是分數加減法可藉由前一節的最小公倍數讓學生學習通分，但學到後來，學生只記得通分要使分母相同，而忘記讓分子也同時乘上分母所乘的數。這時才發覺學生在學習完分數四則運算後產生的問題，可能比我想像中還要嚴重。學生要會做分數四則運算，要先有分數概念，但分數概念及定義於國中課本並無特別提出。。甚至「真分數」、「假分數」、「帶分數」都是只給了「概念」，但是卻無定義。因此，我開始去翻閱國小各個版本，發現「帶分數」定義就有不同，有版本是寫「帶有一個整數的分數」(康軒國小數學四上，2012，頁 94)，另一版本是寫「整數和真分數合計，稱為帶分數」(翰林國小數學四上，2012，頁 40)。以本人自己的學習歷程會認為後者比較正確。但即使是用後者版本的老師，也不一定會引導學生至正確的觀念，導致部分學生認為. １２. １２. ５. ５. 也是帶分數。事實上. 有類似帶分數型態，但是並不是帶分數。. 在國中有定義的，只有「最簡分數」：把一個分數做約分，若分子、分母互質時，則稱之；而在約成「最簡分數」時，會使用到最大公因數的概念；分數加減法，通分時會使用到最小公倍數概念。有這麼多因素的影響下，分數的四則運算所產生的問題，似乎不單只在『四則運算』上會出問題，而是有可能從分數的定義就開始產生問題。而在 2011 年，剛好有機會藉由攜手計畫輔導一些國七的學生。對於這一批學生，一開始我用的是這幾年所建立起的教學模式，可是發現怎麼今年國七的反應及成績怎麼跟之前學生不太一樣。所以，我開始將每次上課的課前小考題目變. 1.

(10) 少，但都請學生要把所有解題過程書寫下來，再去看學生錯誤到底發生在何處。結果有位學生的解題方式是我以前所沒想像過的，這兩題，該位學生作答過程如下：第一題. １. ２. １３. １３. １. ＝. １３. １. 經過訪談，第一題學生認為是整數相減得到１. １３. 。第二題. １３. ２. 正，所以他的答案是以答案就是. １. ＝. 。. １. ，分數相減得到１３，接下來. 的負號學生記得老師說過可以拿到整個數的前面得到. １３. ２２. １１３. ，最後負負得. 。而第二題，除就是寫在分母，而被除數是. １３. ，所. 。可以看到學生的做法都有分數概念，但是都將一些舊經驗過度. 類推，導致最後答案是錯誤的。因為分數本身具有多重意義，如：部分/全部、子集/集合、數、商、比；同時也意味著學童過去所學習處理整數的數學方法，對分數不再可行，甚至形成干擾(呂玉琴，民 80)。而且升到國中後，在國七階段學過了「負數」及以「符號代表數」後，出現了新經驗干擾舊經驗的狀況。加上國中老師大多覺得分數概念與加減法在國小應該都已經學會了，而忽視分數這個單元學生在國小學習時所形成的問題。曾筱倩(民 97)，於＂台南縣國一學生分數四則運算錯誤類型之分析研究＂，指出學生錯誤原因有六項：（一）先備知識的不足，（二）新舊學習經驗的相互干擾，（三）對定義概念不清楚，（四）粗心、計算錯誤，（五）受本單元學習經驗影響，做出錯誤的推論，（六）教學影響。這些原因裡的（一）、（三）、（五）原因主要來自於國小，（二）、（六）主要來自於國中，（四）來自學生個人部分。但和我前面所述的問題是有關連性，藉此我開始釐清自己研究的方向，是要如何找出問題及引導學生建構分數概念，為我一個相當重要的課題。而在這幾年因為 12 年國教的實施已迫在眉梢，教育改革的速度比起前幾年快上許多，像補救教學已經是國中必須要做的事。於 101 學年度，本校已讓學生上網測驗，線上測驗未過的國七、國八學生必須上補救教學的課程，補救教學最主要的目的，就在因材施教，實現「一個都不少」的想法。但是以目前的篩選機制跟實施方式為線上測驗篩選出需補救教學學生→補救教學實施→線上測驗決定學生是否需繼續參加補救教學。這個方式事實上有以下問題：1.線上測驗是考數學基本能力，這些基本能力. 2.

(11) 試題是多章節的測驗，這樣要學校教師要補多少章節才能符合需求，學校教師是有疑惑的。2.既然有類似前測，後測的方式，那麼應該要給學校教師相對應的教材，目前只是篩選完學生，要學校教師自己想辦法進行補救教學，這樣的方式要符合線上測驗的學習目標是有困難的。3.學校教師目前接到這樣的班級後，常常都是以課本來當作教材，這樣的確是「因材施教」只是把「因材」從因學生的不同，變成因教材而施教。因此研究者就在想是否應該把要教的內容分單元做規劃，有完善的前、後測試題，並依照前測試題找出學生犯錯的部份，再根據這些犯錯的部份設計補救教材及活動，在進行活動之後以後測試題分析補救教學活動是否有改善學生犯錯的狀況。本研究就是基於這種想法，以分數概念與加減法為單元，作上述的動作，希望能將得到的研究結果，提供給數學教育工作者參考。. 3.

(12) 第二節研究目的及研究問題根據研究動機，本節分為兩個部分：研究目的及研究問題來說明。研究目的: 1. 探討國中生在學習分數單元（概念及加減法）的錯誤類型。 2. 探討錯誤類型產生的原因。 3. 針對這些錯誤類型，設計教材及教法，進行補救教學，幫學生改正這些錯誤。研究問題： 1. 國中生在學習分數單元（概念及加減法）後，可能出現哪些主要錯誤類型？ 2. 這些主要錯誤類型產生的原因有哪些？ 3. 針對這些主要錯誤類型該如何設計合適有效的教材？ 4. 經過補救教學活動後，對於學生之前所犯之錯誤類型是否有改善？ 5. 經過補救教學活動一段時間後，學生對於分數概念及加減法的保留情形為何？. 4.

(13) 第三節名詞界定一、分數概念：分數概念的意義有：1.部分/全部的意義，2.子集/集合的意義，3. 商的意義，4.數的意義(呂玉琴，民 98)。本研究聚焦在 1、4 這兩項分數概念意義，並在 4 的部分增加國中才學習的負數及文字符號概念。二、真分數、假分數、帶分數：根據國小教材，本研究把這三個分數型態定義在正數，再引入國中負數概念，形成負真分數、負假分數、負帶分數。三、通分：通分的想法可以是同分子或同分母，但本研究所提及的通分都是以同分母想法。四、分數加減法：分數加減法分為同分母相加減及異分母相加減，國小時都為正數。但本研究其中加入國中所學負數概念的計算。五、二階段評量：本研究所指的二階段評量由 Treagust (1988; 1997)所提出的雙層式診斷測驗(two-tier)，試題結構分為兩個部分：第一部分是核心概念的內容讓學生選擇正確與不正確兩個選項，第二部分為 5 個選項的選擇題，前 4 個為選項，第 5 個為其他＿＿＿＿，用以檢測學生在第一個部分的回答理由。六、錯誤類型：本研究所提出的錯誤類型，為研究者參考相關文獻資料，加上經診斷行測驗所分析出的錯誤類型的實證，兩者一起歸納出的錯誤類型。每一個錯誤類型所形成的原因都不只有一個，研究者在「分數概念與加減法」二階段評量中，設計了多個理由選項，且分布在各題中，若學生選擇到錯誤類型的選項占 50%以上（包含 50%），研究者就認定該生有犯這一類的錯誤類型。而犯此類之人數達授施測人數的 15%（包含 15%），及認定此錯誤類型為本研究的主要錯誤類型。七、補救教學：本研究之補救教學是由「分數的概念及加減法」的二階段評量方式所篩選出的學生主要錯誤類型，根據錯誤原因設計適合且有效的教材及一連串的教學活動，目的在修正學生對分數的概念及加減法存在的錯誤。. 5.

(14) 6.

(15) 第貳章. 文獻探討. 本研究在探討以二階段評量來分析國八學生在「分數概念與加減法」常犯的錯誤類型及其原因，並分析其結果來設計補救教學，希望藉此改善「分數概念與加減法」常犯的錯誤。本章共分為四節，第一節為「分數概念與加減法相關研究」，第二節為「二階段評量工具的發展與應用」，第三節為「分數錯誤類型及其成因之相關研究」，第四節為「補救教學之探討」。. 第一節分數概念與加減法相關研究一、概念的形成 Merrill & Wood (1974)主張概念是一個包含物體或是符號的集合，因為有共同的屬性而聚集在一起。張春興與林清山(民 78)認為概念就是具有共同屬性的同類事物的總名稱。Mervis & Hupp (1981)認為概念就是把個人經驗加以歸納整理建立起來的範疇跟類目。Henderson (1970)將數學概念分成具體概念(concrete concept) 和抽象概念(abstract concept)，具體概念是具有物理上實質的例子，例如：圓規、尺、三角板；而抽象概念是不具上述物理實質的例子，例如：數學上會遇到的分數、複數、無限大、多項式、機率等都屬於抽象概念。Pines (1980)說明人類概念的形成有如一個圓錐形的結構，圓錐的底部稱之為延伸，表示概念延伸的部份，包含所有屬於此概念的事例。圓錐的頂部稱之為內涵，代表粹取出此概念的特質、共同性、或定義等規律性。 Skemp (1979)認為概念就是將具有相似性、共通性的經驗歸類在一起。概念形成的過程一般我們稱為抽象化。而"抽象化"是一種心智活動的過程，使我們可以用已經分類好的舊經驗和相似性、共通性來認知新經驗。例如：在學習負數概念時，我們先以正數概念為基準，大於 0 的稱為正數，那麼小於 0 的我們給他一個名字叫做負數。在我們學習許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級概念，再根據這些初級概念抽象形成次級概念，這些經歷多次抽象化的數學概念具有高度的濃縮性，往往要經歷多次抽象才能形成。例如：一半的長條蛋糕稱為１. １. １. 條蛋糕，一半的長方形稱為２個長方形，一半可稱為２。形成概念的過程主要２包括以下五種重要的特徵： 1. 意識(realization)：指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結構，此時. 7.

(16) 新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。 2. 同化(assimilation)：指在概念結構中找出與新的概念相類似的概念。 3. 擴張(expansion)：指以概念結構中已有的概念來領悟此新的概念，使其成為概念結構的一部份。 4. 分化(differentiation)：指分辨新的概念與一些已有概念之間的異同處。 5. 重建(re-construction)：指當問題的情境改變時，已建立的概念結構雖具有相關性，卻不適用於此情境時，必須重建個體的概念結構。二、分數概念以分數概念中的分數單位量來說，呂玉琴等人(民92)研究中指出高年級國小學童，對於內容物個數多於單位量內容物個數的問題，無法把多餘的資訊排除。例如：有一個盒子內有兩條蜂蜜蛋糕，阿亮吃掉半盒蛋糕，則學生對於半盒是等於幾條蜂蜜蛋糕，會有半條及一條蛋糕兩種答案；還有對於兩個不同單位量，不去考慮其不同，而只考慮幾分之幾的大小關係，例如：哥哥有8個蘋果，姊姊有５. ３. 16個蘋果，哥哥吃掉自己全部蘋果的８，姊姊吃了自己全部蘋果的８，請問誰吃５. ３. 的蘋果個數比較多。會只看到８＞８卻忽略掉哥哥只有8個姐姐卻有16個，所以，實際上，8. ５８. ３. ＝，. ８. ＝，反而是姐姐吃得比較多。. 而分數概念中，國小的教科書言及的都是正數，在分數型態定義上都是以例１. ２. ３. ９. ５. 子然後敘述的方式，「像２、３、８……這樣的分數，它的分子比分母小，叫作５. １６. 真分數」，「像２、１０、３、５……這樣的分數，它的分子比分母大，或是分子和分母一樣大，叫作假分數」，「像. ２. ４. １. １. ３. ７. ５. ２. 、. 、. 、. ……這樣的分數，帶有. 一個整數，叫作帶分數」(康軒國小數學四上，2012，第94頁)但是學生若照這樣的敘述學習，到了國中負數的學習，就會產生問題，例如：. ３２. ，分子－3是比分. ３. 母2來的小的，但是２是叫作真分數嗎？甯自強(民82)依照依據學生在不同階段的運思方式，將分數概念分為五個層次：. 8.

(17) 1. 分數概念的前身（分數的前置概念）：學生具有數的概念與分割活動，但分割活動未能將子分割單位數值化，其分數詞為並置類型，尚未具備分數概念。此階段特徵為：a.以直覺來進行分割活動， b.只有部分概念而缺乏部分與整體之概念。 2. 起始單位分數：此時學生能將子分割單位的分子內嵌於子分割單位的分母部分，此分數詞為「內嵌並置類型」。但此並置關係，只是隱約的部分全體關係，無法進行單位分數的累積活動。 3. 加法性分數：學生將原先內嵌於集聚單位中的子分割單位，自集聚單位中脫嵌而出，此時子分割單位成為單位分數單位，已能掌握單位分量與單位量間部分與全體之關係。 4. 巢狀分數：學生具有雙向的部分與全體運思與子分割單位化概念，因此學生知道可以將１. ２. １. ２. 再分割成４，所以２＝４。２ 5. 有理數概念：為部份與全體的重組，學生不僅具備部分與全部的雙向運思，更能以分數為測量單位，同時比較兩個分數，因此，兒童具有等比例運思與等值分數的概念。張熙明（民93）認為兒童的分數概念應該包含四個要素，分別敘述如下： 1.對單位量的認知：處理分數問題最重要的一個概念就是單位量的確認，例如：學生在回答一盒雞蛋有10個，其中的一個是幾盒的問題時，能夠回答十分之一盒；或者是一盒雞１. ２. 蛋有10個時，學生能夠將５盒視為10個雞蛋的五等份中的一份，就是2個雞蛋；５盒視為10個雞蛋的五等份中的二份，就是4個。學生在解題時，能將給定的單位量內容視為一個整體，再分辨所給定的單位「盒」和單位分量「個」之間的關係後，再予以分割。 2.應分完而且沒有餘數的等分割概念：處理分數問題另一個重要的概念就是必須有一個可以除盡的全體才有分數的思考。學生開始接觸正式的分數課程時，大多從分東西的經驗出發，然後以圓餅圖或方形圖介紹分數，因此學生認為幾分之幾就是要做「分」的動作，而且分. 9.

(18) １. ２. ４. ４. 完沒有剩餘。例如：一箱飲料有24罐時，箱是6罐；箱是12罐。因為6罐為1 份，1箱剛好是4等份。 3.具有部份與整體間的關係：處理分數問題重要的概念必須瞭解分數的意義，避免忽略了分數是要對整體進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、呂玉琴，民85）。分數是具有部份與整ｂ. 體間的關係，學生能視分數ａ為一個數，且a為整體ｂ為部分（連續量情境）或b １. 為集合a的子集（離散量情境a、b化為數）。例如：一箱飲料有24罐時，４箱是6 １. 罐，因為6罐為1份，1箱剛好是4份，４箱是4份當中的其中1份。 4.單位分量（數）的確認：處理分數問題重要的概念也包含單位分量（數）的確認。當兒童操作了再細分的部分概念或子分割時，他們瞭解到此細分的部分是全體的一部分，同時這一個細分的部分本身也是一個可以再細分的全體，因為分數是從全體而來，其全體１. 始終不變。例如：學生在回答一盒雞蛋有10個，學生能夠將５盒視為10個雞蛋的五等份中的一份，就是2個雞蛋；這樣以2個雞蛋為一份的量總共是5份為一盒，就是10個。學生在解題時，能將給定的單位量內容視為一個整體，再分辨所給定的單位「盒」和單位分量「個」之間的關係後，再予以分割，而分割後的每一部分都是相等的。對本研究的啟示：由以上的討論可以知道概念的形成是抽象的、有共通性、有層次的。需要從實際經驗一次又一次的抽象化，找出共通性，循序漸進，最後才形成數學概念。從上述文獻探討，我們可以知道對於分數概念來說，學生在學習上是有一定難度的，一部分原因是分數本身具有多重意義，如：部分/全部、子集/集合、數、商、比；同時也意味著學童過去所學習處理整數的數學方法，對分數不再可行，甚至形成干擾(呂玉琴，民 80)。在研究者這 10 年的觀察中，發覺國中學生對於分數概念比較有問題為「部分/全部」、「數」，所以研究者才聚焦在分數概念的這兩個部分。另外對學生來說，加減法比乘除法運算出現的問題來得多，因此本研究只研究加減法。根據 Skemp (1979)認為概念就是將具有相似性、共通性的經驗歸類在一起的想法，我們若能找到實際經驗所抽象化形成初級概念，再根據這些抽象成次級概念，就能讓學生學習到較完整的分數概念。. 10.

(19) 第二節二階段評量工具的發展與應用一、診斷測驗的發展近年教學現場常可見到，學生對於知識的理解或者解讀方式，是與教師所認知的想法是不同的，以致學生所建構出來的概念與原本知識的概念有相當落差的，而這些學生所形成的概念可以稱為先存概念(preconception)(Novak, 1977)、迷思概念(misconceptions)(Helm, 1980)、另有架構(alternative frameworks)(Driver, 1981)等。有關迷思概念常用的方法有以下6種(張惠博，民88)： 1.診斷式傳統測驗題：常用來大量施測，其缺點是難以詮釋學生的想法。 2.概念圖法(Novak, 1977)：最常用來表現概念關係的測量方式。 3.訪談法：對於個案進行事例或事件訪談，用於了解個案想法或作法。 4.關係圖法：如樹狀圖、網狀圖，表示彼此之間關係。 5.Vee圖：利用集合關係圖來推論根據何種觀念、原理、理論來支持其想法。 6.二階段式測驗:Treagust (1988)所提出的雙層式診斷測驗(two-tier)，利用二階段選擇題來診斷學生的理解。近年來常被使用的工具有訪談法、概念圖法、紙筆測驗。訪談法，此方式需要耗費相當大的人力與時間，所以本研究只用在想知道學生想法時，並不採用在調查錯誤類型方面。而概念圖法對於學生來說也要花費很長的時間回答，教師也需要有專門的訓練來評分跟解釋學生的概念(Odom & Barrow, 1995)。紙筆測驗，若用傳統的測驗題可以大規模的採取樣本，但無法了解學生作答的真正原因。針對傳統的診斷評量工具的缺點，Treagust & Haslam (1986；1987)提出二階段評量診斷(Two-tier diagnostic assessment)工具，來診斷學生概念，並幫助教師了解學生在概念學習的狀態。所謂的二階段評量共分為兩階段：第一階段是核心概念的內容，第二階段是解釋或回答第一階段的理由。第一階段共有2或3個選項給學生選擇其中之1；第二階段則有5個理由選項，主要是用來瞭解學生所選擇的理由敘述是否為正確概念。5個理由選項中的最後一個選項為「其他，我的理由是_______________」，當學生的理由有別於前四個理由選項時，可以將自己的理由自由地表達出來。二階段評量試題的形態如圖2-1所示：. 11.

(20) 圖2-1 二階段評量試題的型態題目： - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -----------------------------□是. 第一階段. □否. 理由：(A) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (B) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (C) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. 第二階段. (D) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (E) 其他，我的理由是________________. 二、二階段評量工具的編製依據 Treagust (1988)所提出二階段評量診斷工具的設計，其編製程序區分為：定義內容、獲得學生概念之相關證據、發展診斷工具三大部份，及其所包含的十個步驟，茲將其發展步驟說明如下： (一)定義內容(Defining the content) 前四個步驟是定義主題的概念範圍和相關內容知識的敘述，並發展概念圖。步驟 1.確立命題知識敘述：就研究主題內容，找出包含在此領域內的知識，並將其中的概念逐項條列出來，以確定命題的範圍。確定命題知識的敘述，在課程發展及教學上具有很重要的地位。步驟 2.發展概念圖：對研究主題相關之概念，畫出階層式的概念圖，研究者可利用概念之間彼此的關聯性，仔細思考所選擇的教學內容之本質及範圍。而步驟 1 和步驟 2 可說是同時發展出來的，當命題敘述確立時，所對應的概念圖也已成形，或是當概念圖確定時，所對應之命題敘述也已成形，兩者是相輔相成的。步驟 3.將命題知識敘述與概念圖連結比對：每個命題知識的敘述皆要與概念圖中所對應之概念直接相關，確保被檢測的內容具有其內部一致性，且彼此要能涵蓋整個主題。這是. 12.

(21) 一種信度檢核，看兩者是否真正能檢測和覆蓋於相同主題區域。步驟 4.將試題內容效度化：命題敘述和概念圖是由學科學者、學科教師和學科專家檢核進行內容效度化，並經由這些專家、學者針對命題的敘述和概念圖之中有任何矛盾或不適當之內容進行刪除或修訂。當命題敘述及概念圖都確定之後，在發展診斷工具的題幹時就會更加明確。 (二)獲得學生概念之相關證據(Obtaining information about students’ conceptions) 第二部分是發展診斷式的評量工具來偵測出學生的迷思概念，首先透過對先前研究文獻的檢視，以及利用紙筆測驗一些開放性的問題後，再和學生進行訪談，得到學生作答情形的資料，來瞭解學生對該研究之學科內容的理解，如此該主題的學生概念之典型範例就可以被確定。步驟 5.探索相關研究文獻：在開始定義相關的學科問題或是探討學生的某種學科概念時，必須對於一些研究學生之學科概念的相關文獻進行探討，以便獲得學生的迷思概念，以及學習時若發現有困難的概念時，可以適時藉此用來發展診斷工具。步驟 6.與學生進行非結構性訪談：利用非結構性開放式的問題與學生進行訪談，在訪談過程中可以廣泛地獲得學生的知識結構或迷思概念，並藉此瞭解學生對此概念理解的程度。步驟 7.發展開放性試題，讓學生可以自由回答：每一個選擇題的設計都是依照命題的敘述而來，而且每一題選擇題的選項都是用來偵測學生的迷思概念。每一題選擇題的最後選項都包括了一個空白位置，讓學生可以自由填答他所選擇此答案的理由，藉此來蒐集學生的潛在概念。 (三)發展診斷工具(Developing a diagnostic instrument) 第三部分診斷工具的建構包含了二階段題目的發展，第一階段要求學生對核心概念的內容進行作答，第二階段則在探索學生在第一階段作答的理由為何。根據步驟 5、6、7 來發展題目的第二階段—理由選項。步驟 8.發展兩階段式的診斷工具：每一道測驗題中的第一階段選擇的是內容問題，且通常設計有二到. 13.

(22) 三個選項；第二階段是選擇第一階段的理由，通常包含四個可能的理由選項，選項為綜合上述文獻、訪談和開放性紙筆測驗所獲得學生該題作答的理由、想法，其中包含了迷思概念、正確概念或是完全錯誤的答案。然而學生必須兩階段都答對，那麼此題才算答對。步驟 9.設計雙向細目表：將所有題目的命題敘述整理成雙向細目表，以此表來檢視診斷性試題的題目可公平地包含主題上的命題知識和概念圖上的概念。步驟 10.持續精鍊：透過不同的班級或是不同群的學生來進行施測，透過不斷地修正診斷工具，來確保該診斷工具可以有效地偵測出學生的迷思概念。三、二階段評量工具的優點二階段評量工具診斷學生錯誤概念的方法，其優點為： (一)兼具訪談法之質性優點與傳統測驗法之量化的優點。若使用訪談法或概念圖法，雖可以探知學生概念，但所花費的時間太多。傳統測驗法雖然可以大量施測，但選擇題只能單純了解是否有達到某一個層次，但無法找出學生概念。二階段評量診斷工具的理由選項，是透過文獻探討，開放性試題施測，及學生訪談的結果歸納編製而成，加上二階段評量診斷工具兩階段都是以選擇題的形式可以在短時間大規模探究學生的概念。 (二)相較於傳統選擇題，可減低學生猜對的機率以提高評量的效果。二階段評量診斷工具施測的結果分析所採取的方式，是根據學生對題目的第一階段－核心概念內容(內容知識的部份)進行選答，與第二階段－理由選項進行選答。兩個階段都需要答對，才算學生對於該題有正確的認知。所以，在一般 4 個選項的答對機率，為 25%，但在二階段評量診斷工具中，第一階段有 2 個選項，第二階段有 5 個選項，要兩階段同時答對的機率為 10%，從這邊可以知道二階段評量工具是可以減低學生答對機率的。 (三)改良傳統選擇題的僵化模式，可引導學生改變只重視死背知識而不求甚解的嚴重缺失。二階段評量診斷工具的設計強調概念的理解，以學生的理由及已知的概念作為基礎而設計的，近幾年來已成為許多研究學者所認同的研究工具，學生本身也可以在作答的過程中學習、澄清自我概念並幫助原有概念之間的連結。. 14.

(23) (四)可偵測出學生的錯誤概念，並提供教師做為擬定教學策略或補救教學的重要依據。張賴妙理與鄭湧涇(民 89)研究指出，二階段式的概念診斷工具確實能偵測出學生的錯誤概念。國內柳賢(民 89)針對高一學生進行開放性二階段評量測驗之後，提出經由這種二階段評量方式，教師可以了解學生是否真正理解所學的知識，而非一知半解。教師可藉由二階段評量方式了解學生錯誤概念所在，進一步可以針對這些錯誤概念擬定合宜的教學方式及活動，進行補救教學。四、使用二階段評量診斷學生數學概念的例子近幾年有越來越多的研究者，也使用二階段評量來診斷學生的數學概念，例如：林鴻成(民 98)採用二階段評量來診斷國二學生對於二次方根的意義與四則運算的迷思概念，並整理歸納錯誤類型，分析錯誤類型的成因，設計補救教學教材，並進行補救教學活動來改正學生對二次方根的迷思概念。林晁熙(民 98)採二階段評量方式，用來診斷高中生在學習複數表徵與複數四則運算學習上的迷思概念，並整理歸納成為錯誤類型，再針對所得的資料進行分析錯誤類型的成因，設計補救教學教材，並進行補救教學活動。張嵐雄(民 100)採用二階段評量工具來診斷國二學生對多項式乘法與除法有哪些迷思概念，並整理歸納錯誤類型，分析錯誤類型的成因，設計補救教學教材，並進行補救教學活動。徐敏媛(民 101)採用二階段評量來診斷國中九年級學生在學習「二次函數」單元後，有哪些錯誤類型，再進行錯誤類型的成因分析，然後根據成因設計補救教學教材，並進行補救教學活動。對本研究的啟示：根據上述文獻可知，使用二階段評量來診斷學生的迷思概念可以說是一個相當適合的工具，因此本研究採用二階段評量工具來診斷國八學生對分數概念與加減法有哪些迷思概念，並整理歸納錯誤類型，分析錯誤類型的成因，設計補救教學教材，並進行補救教學活動。. 15.

(24) 第三節分數錯誤類型及其成因之相關研究認為錯誤概念的產生可能源自於學生日常生活經驗的自我學習，也可能來自於學生對於老師傳統機械式教學所獲得的概念一知半解(呂溪木，民 72)。教師若想幫助學生的學習，不能只有教導知識，要從學生學習中找出學生犯錯的原因，並且改正其原因，學生才能達到良好的學習成效。一、錯誤類型的探討早期的心理學家認為錯誤有兩種：1.由於不小心做錯而產生的稱作疏忽。它的產生是由於注意力分散而導致的，所以被認為是不規則的。2.由於學習了錯誤觀念或程序所產生的，稱為系統性的錯誤。它的產生被認為是由於某種錯誤知識，或者缺乏某些知識而引起的，所以第 2 種較被研究者重視。 Davis (1984)在研究中指出，錯誤可分為兩種型態，一種是個體自有的錯誤類型，無論是在同一問題或在不同時日皆表現相當的一致性，藉此教師可以了解個體在思維上的習慣的錯誤，來幫助學生澄清錯誤之處進而消除之。另外一種一致性的錯誤不是發生在個體自己的行為，而是在不同的人卻有相同的錯誤行為，也就是說某些錯誤是許多不同的人在學習過程中所共同發生的現象。在錯解辨析(九章出版社，民 77)中將學生的錯誤類型區分為以下四大類： 1.由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概念等產生的錯誤。 2.由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論證不足及方法不對等產生的錯誤。 3.由於忽視條件產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等產生的錯誤。 4.由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。二、錯誤類型成因的探討從國小與國中的最大不同來說，國小數學著重在具體物的操作，而國中數學多以抽象思考跟邏輯推理為主，在教材跟教法上明顯有很多的不同，當學生從國. 16.

(25) 小上國中以後，數學學習的模式沒有跟上，以致引發許多的錯誤概念(張景媛，民 83)。錯誤概念的來源可能是多面的，Sutton and West (1982)曾提出學生產生錯誤概念的原因，主要有七個來源：(1)與生俱來的；(2)從日常生活經驗或用語而來的；(3)從隱喻而來；(4)從類比而來；(5)來自同儕文化；(6)正式或非正式的教學；(7)字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。 Brown and Vanlehn (1980)提出修補理論(Repair Theory)：認為學生在答題的過程中，發現自我知識不足遇到困難時，學生通常不會立刻放棄，而會對此難題做出一種解釋過程(problem solving process)去找到一個自認為較能接受的解決辦法來作答。若學生在學習上本來就存有錯誤概念，便會因此發生錯誤。例如：演算過程中，就可能產生系統的錯誤演算規則，而這些錯誤並不是學生疏忽所造成的。三、分數錯誤類型及其成因張熙明（民93）指出學童經常發生的分數錯誤概念可分為「單位量問題」、「缺乏等分觀念」、「受整數基模的影響」及「其他類型」等四類，依序敘述如下： (一)在單位量問題的錯誤 1.忽略給定的單位量，不確定單位量為何：處理分數問題最重要的一個概念就是確認給定的單位量，但是學生在解題時，往往會有忽略單位量的情形發生，此種常見的迷思概念的成因乃是由於學生並未真正的了解分數的意義(洪素敏、楊德清，民92)。所以犯此類錯誤的學生無法指認問題中的單位量。例如：例如：阿光有8顆蘋果，阿華有16顆蘋果，阿光５. ３. 吃掉他自己所有蘋果的８，阿華吃掉他自己所有蘋果的８，則誰吃得多。５. 學生常常忽略掉單位量，只看到８. ３８. ，就說阿光吃得比較多。. 2.受分子的控制，解題時只考慮到分子的因素：犯此類錯誤的學生在處理分數問題時，只考慮到問題中的分子，解題過程深受分子的影響，只考慮到分子的因素，如果要此類學生在以24個組成一堆的花片中取出其中的六分之一時，他們的反應是只取其中的一個（洪素敏、楊德清，民92）。 3.受分母的控制，解題過程只考慮到問題中分母的因素：犯此類錯誤的兒. 17.

(26) 童在處理分數問題時，只考慮到問題中的分母，與上述受分子影響解題的情形類似，解題過程深受分母的影響，其中的差別只有在於，這類的學生是根據分母的大小來取花片（洪素敏、楊德清，民92）。 (二)缺乏等分觀念學生一開始接觸正式的分數課程時，大多從分東西的經驗出發，然後以圓餅圖或方形圖介紹分數，因此許多學生會以字面上的意義來瞭解分數，認為幾分之幾就是要做「分」的動作，但卻忽略了分數是要對整體進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、呂玉琴，民85）。ｂ. (三)受到整數基模的影響，視分數ａ，a、b為兩個獨立個體 Behr et al. (1984)指出，學生在處理分數問題時會將a、b為兩個獨立整數所組成，而未將分數視為一個數，並將之應用至分數的解題上。因此當兩個分數比較大小的解題時，便有以下的情況發生：1.以分母大小來比較，2.以分子的大小比較，3.以錯誤的方式考慮分子與分母：學生以錯誤的方式考慮分子與分母或是以整數的想法來類推，去直接比較數字的大小，忽略了分數是要同時考慮分子和分母之間的關係，或使用了不正確的概念去考慮兩者之間的關係。 Tatsuoka (1984)分析學生在分數加法問題上的表現，提出的學生分數加法的錯誤類型，可約略歸納為以下六大類：1.帶分數轉譯假分數的錯誤，2.整數轉譯為等值分數的錯誤，3.通分時轉譯為等值分數的錯誤，4.求共同分母的錯誤，5. 加法程序錯誤，6.不會化簡或約分錯誤。. 湯錦雲(民91)「國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究」其研究結果整理出國小學童分數運算有下列十三種的錯誤類型：1.將被加數加上加數的分子成為答案的分子。2.運算符號的錯誤。3.將被加數分別加上加數的分子、分母成為答案的分子、分母。4.借位的錯誤。5.計算錯誤。6.假分數化成帶分數的錯誤。7.減數的整數部分用減法計算、真分數部分用加法計算。8. 乘數的整數部分用乘法、真分數部分用加法。9.被乘數、乘數都化成假分數後，分子乘分子、分母則不相乘。10.只做真分數部分的乘法，整數部分則不相乘。11.假分數化成帶分數的錯誤。12.把被除數當成分母，除數當成分子。 13.商數與除數倒置。曾筱倩(民97)，於＂台南縣國一學生分數四則運算錯誤類型之分析研究＂，指出學生錯誤原因有六項：（一）先備知識的不足，（二）新舊學習經驗的相互干擾，（三）對定義概念不清楚，（四）粗心、計算錯誤，（五）受本單元學習. 18.

(27) 經驗影響，做出錯誤的推論，（六）教學影響。對本研究的啟示：以上的參考文獻多為國小的研究，是學生在國小已經犯的錯誤類型，而國中的部分多了負數概念及以符號代表數的部分，會讓錯誤類型更加複雜，但本研究希望除了改善學生國小所犯的錯誤外，更希望能改善學生國中所犯的錯誤類型。本研究是看學生學習了錯誤觀念或程序所產生的錯誤類型，而且可能是許多不同的人在學習過程中所共同發生的現象，研究者根據這些錯誤類型給與改正。研究者綜合上述的探討，學生犯錯的原因可能包括：不精熟先前知識或技能、將新知識與舊經驗作錯誤的連結，或錯誤的類推、學習的知識互相干擾、使用錯誤的規則、受之前的數學知識固著影響或由教師教學所引起。而在上述探討的分數錯誤類型文獻中可以知道分數概念與加減法可能有哪些錯誤類型，研究者根據這些文獻整理出本研究的基本想法，但可從上述可知，大多研究者只做到錯誤類型的探討而已，並無做補救教學，本研究將以二階段評量找出學生的錯誤類型，並採根據這些錯誤類型及其成因設計補救教材進行補救教學。. 19.

(28) 第四節補救教學之探討一、有意義的學習有意義學習是 Ausubel (1963)提出的與機械學習相對的概念。他認為，有意義學習過程的實質，就是符號所代表的新知識與學習者認知結構中已有的適當觀念建立非人為的和實質性的聯繫。這一論斷既給有意義學習下了明確的定義，也指出了劃分機械學習與有意義學習的兩條標準。而要判斷學生的學習是有意義的或是機械的，必須瞭解符號所代表的新知識與學習者認知結構中原有的觀念的聯繫（簡稱為新舊知識的聯繫）的性質。新舊知識聯繫的性質既受學習者原有的知識背景的影響，也受要學習的材料本身的性質的制約。第一條標準是新的符號或符號代表的觀念與學習者認知結構中的有關觀念具有實質性聯繫。所謂實質性聯繫，指新的符號或符號代表的觀念與學習者認知結構中已有的表象、已經有意義的符號、概念或命題的聯繫。例如：本研究中，長條蛋糕是學生平時可以見到的，而將長、寬、高其中一個固定時，另外兩個條件所形成的就是長方形，而長方形就是接下來學生在學習分數的半實體物，最後學生以分數型態的符號學習分數概念。第二條標準是新舊知識的非人為的聯繫，即新知識與認知結構中有關觀念在某種合理的或邏輯基礎上的聯繫。例如：本研究中，將學生擁有的長條蛋糕（實體物）和實線中白的長方形（半實體物）當成正數，而學生吃掉或想要吃的長條蛋糕（實體物）且以虛線灰階長方形（半實體物）當成是負數。 Ausubel (1963)提出，進行有意義學習必須具備的三個前提條件： 1.學習材料本身必須具備邏輯意義：材料的邏輯意義是指學習材料本身與人類學習能力範圍內的有關觀念可以建立非人為性和實質性的聯繫。不難理解，如果學習材料本身不具備邏輯意義，不表徵任何實在的意義，如Ａ的寫法等，那麼它也不可能通過有意義學習來掌握。需要指出的是，有邏輯意義的材料內容並不一定都是符合客觀實際的正確的知識。例如"太陽每天從西邊升起"，從邏輯上講它是可以表達特定意義的，但實際上太陽不會從西邊升起。一般而言，學生所學習的知識是人類認識成果的總結和概括，因此都是具有邏輯意義的。 2.學習者必須具有有意義學習的心向：所謂有意義學習的心向，是指學習者能積極主動地在新知識與已有適當觀念之間建立聯繫的傾向性。學習材料具有邏輯意義，而且學習者認知結構中也存在適當觀念的條件下（Ausubel (1963)認為具. 20.

(29) 備這兩個條件時的新知識對於學習者而言是有潛在意義的知識），學習者是否具有有意義學習的心向，決定了他所進行的是否有意義學習，是否通過有意義學習使學習材料的潛在意義轉化為實際意義即獲得心理意義。缺乏有意義學習心向的學生，常常會面對有邏輯意義或潛在意義的材料也不會主動地尋求新舊知識間的聯繫，而是機械地按字面的表述死記硬背。 3.學習者的認知結構中必須有同化新知識的原有的適當觀念：構成有意義學習的第三個條件來自學習者已有的認知結構。Ausubel (1963)很重視認知結構在有意義學習中的重要作用，認為它是影響學生知識學習的最重要因素。認知結構對有意義學習的影響主要取決於原有知識的可利用性、新舊知識間的可辨別性以及原有知識的穩定性和清晰性。可利用性是指學習者已有的認知結構中存在可以與新知識發生意義聯繫的適當觀念，這些觀念對理解新知識的意義起著固定作用，即為新知識與原有認知結構之間提供一個契合點，使新知識能固著在原有的認知結構中，進而與認知結構中的其他有關的觀念聯繫起來。新舊知識間的可辨別性是指新學習的材料與原有的起固定作用的知識間的可分化程度，如果新舊知識之間差異很小，不能互相區別，那麼新舊知識間就極易造成混淆，新知識就會被原有的知識取代或被簡單地理解成原有知識，而失去它所內含的新意義。原有的起固定作用的知識的穩定性和清晰性是指學生對原有知識的理解是否明確無誤的，是否已經鞏固。如果學生原有的知識意義模糊，似是而非，或者掌握得不熟練，它不僅不能為新學習的知識提供有力的固著點，而且會在新舊知識間造成混淆。有意義學習可分為三種類型：表徵學習、概念學習和命題學習。此外還有發現學習。 1.表徵學習：學習單個符號或一組符號的意義，或者說學習代表什麼。表徵學習的主要內容是辭彙學習，即學習單詞代表什麼。如分數裡最重要的為「等分」概念，本研究裡用平分的概念去引導學生結合等分概念。 2.概念學習：有意義學習的另一類較高級的形式叫概念學習。概念學習，實質上是掌握同類事物的共同的關鍵特征。例如學習“分數”這一概念，就是掌握分數種種的性質，例如：「等分」、「單位分數」、「除法」等等，但“分數”這個符號對某個學習者來說，已經具有這種一般意義，那麼它就成了一個概念，成了代表概念的名詞。同類事物的關鍵特征可以由學習者從大量的同類事物的不同例證中獨立發現，這種獲得概念的方式叫概念形成。也可以用定義的方式直. 21.

(30) 接向學習者呈現，學習者利用認知結構中原有的有關概念理解新概念，這種獲得概念的方式叫概念同化。 3.命題學習：有意義學習的第三種類型是命題學習。命題是以句子的形式表達的，可以分為兩類：一類是非概括性命題，只表示兩個以上的特殊事物之間的關係，１. 如“把 1 條蛋糕 2 等分，代表每一小塊都是２條”。這個句子里的“2 等分”代表動１. 作，“２條”也是一個特殊對象的名稱。這個命題只陳述了一個具體事實。另一類命題表示若干事物或性質之間的關係，這類命題叫概括性陳述，是學習若干２. １. ２. １. 概念之間的關係。如“ｎ條代表有 2 個ｎ條”。這裡的“ｎ”、“ｎ”可以代表任何相同等分的倍數關係。在命題學習中也包含了表徵學習。如果學生對一個命題中的有關概念沒有掌握，他就不可能理解這一命題。命題學習必須以概念學習為前提。二、Piaget (1960)的認知發展理論 Piaget (1960)的認知發展理論的主要概念如下： (一)基模(scheme) Piaget (1960)認為個體會運用與身俱來的一些基本行為模式對周遭環境事物做出反應，以獲取知識，這種以身體感官為基礎的行為模式，可視為個體用以了解周遭環境的認知結構，此認知結構 Piaget 就稱為基模(scheme)。基模會隨著學習與成熟而改變，由粗略而精細；由小而大；由淺而深；由簡而繁。當基模與基模彼此間經由交互作用後，就會再形成另一個認知的基模。 (二)適應(adaptation) 適應是指個體的認知結構與環境的交互作用，個體在適應環境時，因環境的需要而產生兩種心理歷程，分別為「吸收同化」(assimilation)和「調適順應」 (accommodation)。「吸收同化」是指個體能利用外界的事物，將刺激的形式予以改變，當外界的事物或知識與個體既有的認知結構一致時，個體就能將它吸納入既有基模，以擴大內在認知結構，成為新的認知結構，形成了新的認知結構。而「調適順應」則是指當外界的事物或知識與個體既有的認知結構不一致時，個體就必須改變原有的認知結構，以順應外界的新環境。. 22.

(31) (三)平衡化(equilibration) 當外界的客觀環境與個體內在的認知結構不一致時，個體的心理就會感到「失衡」(disequilibrium)，此時個體就必須重新進行吸收同化或調適順應，擴大並組織成為另一個新的認知結構，使其恢復平衡。這種將認知結構由一種狀態改變或重組為另一種狀態，以恢復平衡的過程，稱之為「平衡化」。三、Vygotsky (1978)的鷹架學習理論 Vygotsky (1978)認為人類的認知發展過程是經由「內化」或「行動的遷移」，將社會意義及經驗轉變成個人內在的意義。其主要的概念如下： (一)近側發展區(zone of proximal development，簡稱 ZPD) Vygotsky (1978)認為每一個兒童在各領域有其個人的實際發展層次(actual development level)，而介於由獨自解決問題的實際發展層次，與經由成人指導或與有能力的同儕合作來解決問題，所顯示的潛在發展層次之間的距離，就稱為近側發展區。 (二)鷹架(scaffolding)學習「鷹架(scaffolding)」一詞，是由 ZPD 的理念發展而來。原意是指架設在建築物外部用來幫助施工的一種設施。引申為教師為了幫助處於實際發展層次的學習者，跨越近側發展區(ZPD)而達到潛在發展層次所提供的協助就稱為鷹架。鷹架在學習上提供的支援有：1.引發學童參與；2.指出所欲學習事物的關鍵特徵；3.示範；4.減輕學習負擔；5.進行學習活動方向管理；6.掌握學習過程挫折。 (三)鷹架(scaffolding)理論的三個重要概念 1.在近側發展區(ZPD)裡，鷹架提供者(教師)和接受者(學生)之間是互惠關係。所謂的互惠是指教師所提供的學習支持和學習者的互動回饋是由彼此協商而決定的。 2.學習的責任應在過程中逐漸由教師轉移至學習者，而其轉移時機應視學習的實際狀況而定。 3.在教師與學生間的溝通語言是促進學習者反思與認知的橋樑。四、補救教學相關研究綜合學者(李翠玲，民 82；徐美貞，民 82；Olivares, 1993；Otto, McMenemy & Smith, 1973)所主張成功的補救教學進行的原則為：1.徵求學生參加的意願；2.. 23.

(32) 根據學生的學習程度教學；3.循序漸進、小步驟進行；4.提供回饋和安排增強； 5.使學習材料有意義；6.協助記憶；7.將學生安排為合作式小團體的學習；8.提供充分而多樣化的練習機會；9.建立成功的經驗；10.激勵學習動機；11.可使用電腦多媒體、多元化的教具，以提高學生的學習興趣；12.建立良好的師生關係。杜正治(民 95)認為一般補救教學的課程設計，應考慮下列項目： 1. 基本能力分析任何學科目標的達成，需要一定程度的心智能力，包括注意力、理解力、記憶力、觀察力、知覺力以及想像力等。相關能力若有不足必然會造成學習的困難，因此在設計補救教學課程時，要先考量學生的相關能力，再配合教材與教法，如此才能事半功倍。 2. 評量學科能力在進行補救教學前，需對學科的學習能力進行測試與評量，以做為課程設計的依據，學科能力的評量大多是成就評量。 3. 評量學習動機學習動機往往會影響學習成就，因此在進行補救教學前，教師應先瞭解學生學習動機的強弱，一方面設法對缺乏學習動機的學生提供外在的增強，另一方面可以考慮學習動機強的低成就學生為優先補救對象。 4. 擬定課程目標課程目標的研擬決定教學方法的選擇，也關係到教學的成效，教師在擬定課程目標時，要先瞭解學生的學習能力以及學習的客觀條件。此外，課程目標的訂定，務必指出學習對象、學習的內容、行為的標準、教學方法以及評量的方式。 5. 選擇適合受試者能力的教材有效的補救教學課程設計，宜根據學生的程度選擇合適的教材，包括發展有效的學習策略、簡化原有教科書內容、另行編選坊間的教材、自行重新設計教材。. 24.

(33) 張新仁(民 90)指出建立完整而一貫的「補救教學系統」，是實踐「帶好每一位學生」教育改革理念的重要配合性措施。而對於補救教學對象為低成就學生其界定分為三類：1.學生的實際學業表現明顯低於其應有的能力水準，即原稱之為低成就。2.學生的實際學業表現明顯低於其班級平均水準，亦稱之為低成就。3. 最後一類為學生學科成就不及格，且其學業成就表現明顯低於其他學生許多者，稱之為成績低落者。國內外常用的補救教學型態或方案如下：資源教室、學習站、套裝學習，以及電腦輔助教學。五、分數補救教學實徵性研究洪素敏、楊德青(民 97)研究中利用具體、半具體物到抽象符號表徵對五年級學生進行補救教學並瞭解成效。結果顯示補救教學後，學生在「分數詞之意義與等分概念」、「單位量角色」、「比較分數大小」等方面有長足進步。但是仍有部分學生無法克服「以整數的運算類推分數加法」、「等值分數的求法和分數的乘法混淆」、「無法將分數視為數線上的一個數值」等迷思概念。從此研究中可以得知，若以具體、半具體物到抽象符號表徵的方式是可以改善學生迷思概念的。李彩瑞(民 99)指出五年級低精熟度的學童對於分數加減法的意義並不熟悉，教學時應加強因數倍數與分數的連結，並多舉生活中的實例，來強化學童對分數加減實質意義的理解。對本研究的啟示：研究者先使用 Treagust (1988)的二階段評量診斷測驗歸納出學生的主要錯誤概念，再參酌上述理論設計補救教學方案，在補救教學時，本研究採取套裝學習(張新仁，民 90)。並依據「有意義的學習」理論，長條蛋糕為實體物，長方形為半實體物，最後進入符號瞭解、運算，使低成就的學生進行有意義的學習。為了改變學生的錯誤概念，參考 Piaget 的認知發展理論，提供新的知識範例使學生產生認知衝突，讓學生原有的認知結構產生失衡，進而進行吸收同化和調適順應，以達到新的認知平衡，藉以改變錯誤概念，重新學習正確的知識概念。在學生的學習過程中，也藉由「鷹架學習理論」，完整提供學生可學習分數概念及加減法的鷹架（實體物→半實體物→符號）幫助學生由實際發展層次，跨越近側發展區到達潛在發展層次，最後能擺脫鷹架，可用抽象化的符號作答。. 25.

(34) 26.

(35) 第叁章研究方法本章共分五節、第一節為「研究設計」、第二節為「研究對象」、第三節為「研究工具」、第四節為「研究步驟」、第五節為「研究限制」。. 第一節研究設計本研究使用二階段評量，診斷國中生對於分數概念與加減法常會出現哪些主要錯誤類型。再針對這些錯誤類型去探討其形成的原因，依據這些主要錯誤類型及原因設計教材、教學活動，進行補救教學，再根據前、後測結果的分析，了解學生經補救教學後錯誤改善之成效。研究者希望能藉由此研究幫助老師了解國中學生對於分數概念及加減法的錯誤類型及原因，並提供老師一個分數概念及加減法的補救教學的參考。本研究之研究方法主要採前實驗設計裡的單組前測－後測設計方式（王文科、王智弘。教育研究法，民 101）。此設計大致分為四項步驟(1)實施前測（測量依變項；(2)施予受試者處理（X）；(3)實施後測（. ）以. ）以測量依變項；(4). 應用適當的統計考驗（檢定），決定其間的差異是否顯著。但本研究增加(5)實施延後測（. ）測量補救教學保留的情形(6)應用適當的統計考驗（檢定），決. 定補救教學保留是否顯著。根據以上所述，實驗設計的模式為如下圖 3-1 所示。圖 3-1 實驗設計的模式檢定. X. 檢定. 而本研究的實驗變項為分數概念及加減法的補救教學活動，再以學生在二階段評量中所答對的題數與所犯的錯誤類型的數量作為觀察的結果，有關之變項如下表 3-1 所列：表 3-1 各項變因實驗變項. 分數概念及加減法的補救教學活動. 前測依變. 學生於前測表現（二階段評量中所答對的題數與所犯的錯誤類型的. 項. 數量）. 後側依變. 學生於前測表現（二階段評量中所答對的題數與所犯的錯誤類型的. 項. 數量）. 27.

(36) 因考慮研究中的前測、後測為同一個體所作答，並非獨立事件，故所選定使用的檢定方式是以 2x2 的列連表資料的「McNemar test」，檢定是否有顯著時，採雙尾檢定， *p= .05。. 28.

(37) 第二節研究對象本研究分為兩個階段進行，第一階段旨找出國中生在學習「分數概念及加減法」時，常會產生哪些主要錯誤類型及其成因。本階段分為兩個步驟，第一個步驟為發展「分數概念及加減法」的開放性試題，第二個步驟為發展「分數概念及加減法」的二階段評量試題。在第一個步驟中，為使本研究中施測及補救教學的學生背景、屬性同質性較強，選擇了研究者所任教的臺北市某完全中學國中部國七 2 個班（2011 年）合計 43 人進行「分數概念及加減法」的開放性試題施測及訪談，但因「分數概念及加減法」的開放性試題有修改 1 題增加 3 題，於是研究者再讓此 43 人針對此 4 題作施測及訪談。此步驟目的在於蒐集學生主要錯誤類型並發展「分數概念及加減法」的二階段評量試題的理由選項。在第二個步驟中，將開放性試題轉為二階段試題時，為讓語意更清楚，又找了 2 個國八班級（2012 年）合計 50 人進行施測及訪談，以協助「分數概念及加減法」的二階段評量試題題意跟理由更加完整且容易解讀。也為了同時發展「分數概念及加減法」的複本試題，商請了與研究者距離相近且學生背景較接近的臺北市某國中的國八 141 名學生施測（2012 年），旨於確認複本試題信度及相關程度。第二階段目的在研究「分數概念及加減法」補救教學的成效，為不影響本校教學進度且配合學校想推動補救教學的想法，本研究選擇的對象為先進行全校國八（2013 年）的普測後，選出後百分之三十的同學，並將資源班及需要補習的剃除，篩選出 24 人於第八節（16：15~17：05）進行教學實驗。. 29.

(38) 第三節研究工具本研究利用下列幾項研究工具蒐集所需的資料及進行實驗，將它們分列說明如下：一、「分數概念及加減法」的開放性試題為了研究的需要，研究者依照「分數概念及加減法」的教學目標訂為評量內容，再以National Assessment of Educational Progress（簡稱為NAEP）1996年所進行的數學科評量中提出的三種數學能力及研究者的評量內容做成雙向細目表(如表3-2)：縱軸為評量內容，橫軸為三種數學能力：1.概念的了解、2.程序性的知識、3.解題。再根據參考不同版本的數學課本、教師手冊及國小課本等資料，且與專家教師及指導教授討論後，設計出「分數概念及加減法」開放性試題（詳見附錄一，頁105）用以調查國七學生在學習「分數概念及加減法」時會有哪些錯誤類型及原因。題目總計18題，預估施測時間50分鐘（含解說）但因17、18兩題主要只考學生去括號的觀念與本研究相關性較低，在與指導教授討論後將這2題剃除。後來只施測了16題(100年04月25日施測)。表3-2 「分數概念及加減法」開放性試題雙向細目表數學能力評量內容. 合計題數. 概念的了. 程序性的. 1.能了解單位量概念。. 解 1. 知識 2、3. 3. 2.能了解帶分數與假分數互換. 5. 4、6、7. 4. 。 3.能了解擴分、約分的原則。. 8、11. 9、10. 4. 且知道最簡分數的意義。 4.能了解同分母的加減法的做. 12. 13、14. 3. 15、16. 2. 法。 5.能了解異分母的加減法的做法。. 合計. 5. 11. 30. 解題. 0. 16.