以下從研究結果推廣限制、研究工具限制、訪談限制和補救教學實施時間限 制四個部分，說明本研究所面臨的研究限制。
一、研究結果推廣限制
因本研究樣本數較少，只以台北市某完全中學國中部學生國八學生 24 人進 行研究，故所得之結果只能推論到同地區或者相似樣本，是否能推論到其他地區 應謹慎考慮。
二、研究工具限制
(一)使用本研究工具的限制：
本研究所利用的「分數概念與加減法」開放性試題及二階段評量試題，是研 究者蒐集文獻且與專家教師、指導教授討論，並由研究者對任教學校單一年級的 學生施測、訪談、歸納得到的工具，因此要將此工具使用在其他學校或學生身上，
須考慮使用對象的組成跟程度是否與研究者發展時相似。而「分數概念與加減法」
補救教學之教材與教學活動是針對研究者任教學校 102 年上半年國八參與補救 教學的 24 名學生設計的，所以要使用此教材時需考慮對象是否與這群學生犯相 同的主要錯誤類型。
(二)本研究工具的信效度：
研究者在蒐集研究工具的信效度時，無法確實到每個班級觀察學生的作答狀 況，可能會因為各項變因（如：施測時間，施測環境等）而有影響。
三、訪談限制
為了避免影響學生的學習，訪談時間只能使用午休及放學時間，故一次訪談 頂多兩人，這樣可能會使訪談時學生早已忘記當初想法，變成學生在解釋他現在 的想法或目前看到的寫法，使得與原來施測時的作答與想法會有出入。
四、補救教學實施時間限制
補救教學實施時間皆在第八節，此時學生的學習意願會降低，所以要確實達 到補救教學的成效，需要給其更大的學習動機。
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第肆章 研究結果分析與探討
本章根據研究所得到的結果去做分析與探討，全章共分三節，第一節為「分 數概念與加減法」主要錯誤類型及其成因之分析、第二節為「學生在補教教學之 前測與後測結果比較與分析」；第三節為「學生在補救教學之後測與延後測結果 比較與分析」。
第一節 「分數概念與加減法」主要錯誤類型及其成因之分析
研究者利用自編之「分數概念與加減法」開放性試題，對於 43 名國七學生
（已上完分數加減法與乘除法）進行施測，並統整、討論、分析、訪談、歸納出 所有受試學生在分數概念與加減法所犯的錯誤類型，共有四個錯誤類型：(一)不 了解等分及單位分數、(二)不了解帶分數、(三)約分、擴分、通分概念不清楚或 未把握關鍵技巧、(四)不了解分數加減法
每一個錯誤類型所形成的原因都不只有一個，所以研究者在「分數概念與加 減法」二階段評量中，設計了多個理由選項，且分布在各題中，若學生選擇到錯 誤類型的選項占 50%以上（包含 50%），研究者就認定該生有犯這一類的錯誤 類型。而犯此類之人數達授施測人數的 15%（包含 15%），及認定此錯誤類型 為本研究的主要錯誤類型。
研究者「分數概念與加減法」二階段評量前測試題中，並統整、討論、分析、
訪談、歸納出所有參加補救教學的學生作答狀況得到表 4-1，與「分數概念與加 減法」開放性試題所得的錯誤類型比較，可以發現這四種類型在前測的理由選項 裡，學生選擇的比率非常高，所以稱其為主要錯誤類型。
為了瞭解學生犯錯的原因，除了分析學生所作答的部份，也將進行訪談，透 過這兩種方式來了解學生解題時的想法。以下為前測時學生所犯的 4 個主要錯誤 類型及其成因:
表 4-1
主要錯誤類型及參與補救教學學生前測錯誤率 主要錯誤類型 不了解等分
及單位分數
不了解 帶分數
約分、擴分、通分概念不 清楚或未把握關鍵技巧
不了解分 數加減法 有犯此類型的
比例(%) 83.33 91.67 79.17 54.17 百分比為有犯此錯誤類型人數除以參與補救教學總人數 24 人乘上 100%所得
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類型一「不了解等分及單位分數」
在「分數概念與加減法」二階段評量前測試題(詳見附錄四，頁 125)的 第 1 題，在 24 人中，有 22 人（91.67%）選擇「(Ａ)有一個完整的圓和２
６個圓加 起來，所以是 ２
６」； 第 2 題，有 6 人(25%)選擇「(Ａ)因為每一塊都是１
４」;
第 3 題，有 4 人(16.67%)選擇「(Ａ)因為分母相同，分子越大就越大５
８ ３ ８」， 有 4 人(16.67%)選擇「(Ｃ)因為阿光吃 8 個裡面 5 個，阿華吃 8 個裡面 3 個」。
經訪談及答題分析後可以歸納得知此類型的成因有 2 個：
1.舊經驗中常以一個「pizza」切成幾等分為分數概念。以致看到全部兩個字而認 定一個圓就為全部，並不會考慮到題目是以兩個圓當成全部。可見國小時一個 圓就代表 1(全部)，對於學生來說是根深蒂固的概念。
2.在學習兩分數比較大小時，兩分數所對應單位量相同。例如一塊 pizza 切成四 等份及三等份時，１
４塊 pizza 比１
３塊 pizza 少，所以 １
４＜１
３，學生根據此方式學 習，所以看到１
４就直覺反應會比１
３小，並無思考所對應的全部是否相等。可見 國中學生仍忽略單位量，只憑著分數的大小就去判斷量的大小。
【訪談實例 1】研究者將該生作答的前測試題給他觀看，且指著第 1 題（詳見附錄四）問學 生。
師：你覺得題目所說的全部的意思是？
生：一個圓阿。
師：可是題目不是說兩圓共切 12 等分，這樣你還是覺得全部是一個圓嗎？
生：ㄟ！一個圓是 6 等分，所以兩個圓是全部。
師：那你現在覺得答案應該寫哪一個選目？
生：(Ａ)有一個完整的圓和２
６個圓加起來，所以是 ２
６。 師：為什麼選這一個選目？
生：因為有一個完整的圓阿！ 102 年 02 月 21 日 12:30 開始訪談學生 s04
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《可見學生對於一個圓是 1 這件事情相當執著，根本不管 1 個圓是不是題意說的 12 等分。》
【訪談實例 2】
師：你覺得第 2 題答案是？
生：(Ａ)。
師：為什麼是(Ａ)？
生：因為都是１
４。
師：那第 3 題你選擇答案是？
生：(Ａ)
師：為什麼選這一個選目？
生：因為５
８ ３
８ 102 年 02 月 22 日 12:30 開始訪談學生 s01
《可見學生只考慮分數，但不會去考慮全部為何。》
類型二「不了解帶分數」
在「分數概念與加減法」二階段評量前測試題(詳見附錄四，頁 125)的 第 4 題，在 24 人中有 7 人(29.16%)選擇「(Ａ)因為帶分數整數部分與分數部分為 乘號」，
有 9 人(37.5%)選擇「(Ｂ)因為 １
２ １
２」； 第 9 題，有 6 人(25%)選擇「(Ｄ)因為 ２
５＋ ４
５＝ ６
５」。 經訪談及答題分析後可以歸納得知此類型的成因有 3 個：
1.在學習符號代表數時，乘號可以省略。例如： ，可以寫成 2y，影響到當 看到帶分數的整數部分與真分數部分，認為也有省略乘號。可見國七學習過以 符號代表數以後，會干擾到舊經驗的帶分數概念。
2.正的帶分數的整數部分與真分數部分中間為加號，學生將此概念直接套用到負 帶分數。例如： １
４＝ １
４。可見國中增加負數概念後，學生並不瞭解負 分數應該有的型態，而直接把國小的正分數型態直接套用。
3.認為只要有整數部分及分數部分，即為帶分數。但不清楚帶分數定義為整數部 分加上真分數部分。故把整數加上假分數也認為是帶分數。例如：認為 ３
２也
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為帶分數。可見學生在國小學帶分數時並沒有真正弄清楚它的定義，定義應該 是整數部分加上真分數部分，但大多學帶分數是整數部分加上分數部分。
【訪談實例 1】研究者將該生作答的前測試題給他觀看，且指著第 7 題（詳見附錄四，頁 125）
問學生。
師：你這個題目為什麼選擇Ａ？
生：因為中間不就是少乘號。
師：你在這之前在哪個單元有學過這樣的說法？
生：就 2Ｘ阿！2 跟Ｘ中間不是少乘號。
師：那Ｘ有少乘號嗎？（在紙上寫出Ｘ）
生：有，因為Ｘ是 1 乘Ｘ。
師：那 1 跑去哪邊了？
生：因為是 1 所以省略了！
師：那 １２， 和１２中間少乘號嗎？
生：是阿！
師：那也可以把 1 省略嗎？
生：不可以，因為是－1。
師：那－1Ｘ可以寫成－Ｘ？
生：可以。
師：那麼 １
２的 和１
２中間是乘號，所以 1 可以省略，所以 １
２＝ １
２囉！
生：不對耶！老師這邊怪怪的。
師：那邊怪？
生：不知道耶，就是怪怪的。 102 年 02 月 21 日 12:40 左右繼續訪談學生 s04
《可見學生在國七上所學的以符號代表數，干擾到較早學的帶分數概念。》
【訪談實例 2】
師：你覺得第 4 題答案應該是Ｂ，為什麼這樣想？
生：因為以前就學過了， １
２就是 １
２。 師：那你把 １
２算出來，答案是多少？
61 生： １２。
師：那 １２會等於 １２？
生：會阿，1 省略掉了。
師：為什麼可以省略？
生：因為是 1 阿！
師：有 1 就可以省略嗎？
生：連起來的時候可以省。
師：什麼叫做連起來？
生：像 １２，1 跟１
２就可以省掉 1。
師：所以 １２＝１
２？
生：老師，我只說可以省，沒說相等。 102 年 02 月 22 日 12:45 開始訪談學生 s05
《可見學生對分數概念與符號代表數觀念全部混雜。》
【訪談實例 3】
師：你覺得 ６５是帶分數？
生：是。
師：為什麼是帶分數？
生：因為有整數跟分數部分。
師：哪一個是整數部分，哪一個是分數部分？
生：這一個是整數，這一個是分數。（學生把 3 圈起來說是整數部分，６
５圈起來說是分數 部分）
師：所以帶分數是整數跟分數結合起來？
生：恩阿！ 102 年 02 月 25 日 12:30 開始訪談學生 s17
《可見學生對帶分數概念只有整數跟分數加起來，而忽略分數部分要真分數。》
類型三「約分、擴分、通分概念不清楚或未把握關鍵技巧」
在「分數概念與加減法」二階段評量前測試題（詳見附錄四，頁 125）的 第 5 題，24 人中，有 8 人（33.33%）選擇「(Ａ)因為全部數字都要乘於 2」；
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第 6 題，有 8 人（25%）選擇「(Ａ)因為不能再化簡」；
第 11 題，有 4 人(16.67%)選擇「(Ｃ)因為２
３－３
４＝２ ３
１２ １
１２」； 第 12 題，有 4 人(16.67%)選擇「(Ａ)因為 １
３－ ３
４＝７
３ ７ ４
７ ７ １２ ＝ ０
１２」。 經訪談及答題分析後可以歸納得知此類型的成因有 3 個：
1.知道擴分是將分子及分母同乘一個正整數。但將此概念過度推廣至帶分數，認 為帶分數在擴分須將整數部分及分數部分同乘一數。可見在國小學習擴分時，
並沒有學好哪些部份要同乘一個數。
2.知道真分數及假分數在約分是將分子及分母同除以一個正整數（此正整數為分 子分母的公因數）；但不知道如何找出此正整數。
3.受到分母必須相同才能做分數加減法的影響，知道要將相加減的兩分數通分，
卻忽略分子也應同時乘上分母所乘的數。國小的教材裡大多通分是在通分母，
目的是要讓分母相同，學生忽略了通分是在做約分或擴分，只記得讓分母相同，
目的是要讓分母相同，學生忽略了通分是在做約分或擴分，只記得讓分母相同，