第三節 名詞界定
一、分數概念：分數概念的意義有：1.部分/全部的意義，2.子集/集合的意義，3.
商的意義，4.數的意義(呂玉琴，民 98)。本研究聚焦在 1、4 這兩項分數概 念意義，並在 4 的部分增加國中才學習的負數及文字符號概念。
二、真分數、假分數、帶分數：根據國小教材，本研究把這三個分數型態定義在 正數，再引入國中負數概念，形成負真分數、負假分數、負帶分數。
三、通分：通分的想法可以是同分子或同分母，但本研究所提及的通分都是以同 分母想法。
四、分數加減法：分數加減法分為同分母相加減及異分母相加減，國小時都為正 數。但本研究其中加入國中所學負數概念的計算。
五、二階段評量：本研究所指的二階段評量由 Treagust (1988; 1997)所提出的雙 層式診斷測驗(two-tier)，試題結構分為兩個部分：第一部分是核心概念的內 容讓學生選擇正確與不正確兩個選項，第二部分為 5 個選項的選擇題，前 4 個為選項，第 5 個為其他＿＿＿＿，用以檢測學生在第一個部分的回答理 由。
六、錯誤類型：本研究所提出的錯誤類型，為研究者參考相關文獻資料，加上經 診斷行測驗所分析出的錯誤類型的實證，兩者一起歸納出的錯誤類型。每一 個錯誤類型所形成的原因都不只有一個，研究者在「分數概念與加減法」二 階段評量中，設計了多個理由選項，且分布在各題中，若學生選擇到錯誤類 型的選項占 50%以上（包含 50%），研究者就認定該生有犯這一類的錯誤 類型。而犯此類之人數達授施測人數的 15%（包含 15%），及認定此錯誤 類型為本研究的主要錯誤類型。
七、補救教學：本研究之補救教學是由「分數的概念及加減法」的二階段評量方 式所篩選出的學生主要錯誤類型，根據錯誤原因設計適合且有效的教材及一 連串的教學活動，目的在修正學生對分數的概念及加減法存在的錯誤。
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第貳章 文獻探討
本研究在探討以二階段評量來分析國八學生在「分數概念與加減法」常犯的 錯誤類型及其原因，並分析其結果來設計補救教學，希望藉此改善「分數概念與 加減法」常犯的錯誤。本章共分為四節，第一節為「分數概念與加減法相關研究」，
第二節為「二階段評量工具的發展與應用」，第三節為「分數錯誤類型及其成因 之相關研究」，第四節為「補救教學之探討」。
第一節 分數概念與加減法相關研究
一、概念的形成
Merrill & Wood (1974)主張概念是一個包含物體或是符號的集合，因為有共同的 屬性而聚集在一起。張春興與林清山(民 78)認為概念就是具有共同屬性的同類事 物的總名稱。Mervis & Hupp (1981)認為概念就是把個人經驗加以歸納整理建立 起來的範疇跟類目。Henderson (1970)將數學概念分成具體概念(concrete concept) 和抽象概念(abstract concept)，具體概念是具有物理上實質的例子，例如：圓規、
尺、三角板；而抽象概念是不具上述物理實質的例子，例如：數學上會遇到的分 數、複數、無限大、多項式、機率等都屬於抽象概念。Pines (1980)說明人類概念 的形成有如一個圓錐形的結構，圓錐的底部稱之為延伸，表示概念延伸的部份，
包含所有屬於此概念的事例。圓錐的頂部稱之為內涵，代表粹取出此概念的特質、
共同性、或定義等規律性。
Skemp (1979)認為概念就是將具有相似性、共通性的經驗歸類在一起。概念 形成的過程一般我們稱為抽象化。而"抽象化"是一種心智活動的過程，使我們可 以用已經分類好的舊經驗和相似性、共通性來認知新經驗。例如：在學習負數概 念時，我們先以正數概念為基準，大於 0 的稱為正數，那麼小於 0 的我們給他一 個名字叫做負數。在我們學習許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級 概念，再根據這些初級概念抽象形成次級概念，這些經歷多次抽象化的數學概念 具有高度的濃縮性，往往要經歷多次抽象才能形成。例如：一半的長條蛋糕稱為
１
２條蛋糕，一半的長方形稱為１
２個長方形，一半可稱為１
２。形成概念的過程主要 包括以下五種重要的特徵：
1. 意識(realization)：指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結構，此時
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新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。
2. 同化(assimilation)：指在概念結構中找出與新的概念相類似的概念。
3. 擴張(expansion)：指以概念結構中已有的概念來領悟此新的概念，使其成為概 念結構的一部份。
4. 分化(differentiation)：指分辨新的概念與一些已有概念之間的異同處。
5. 重建(re-construction)：指當問題的情境改變時，已建立的概念結構雖具有相關 性，卻不適用於此情境時，必須重建個體的概念結構。
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1. 分數概念的前身（分數的前置概念）：
學生具有數的概念與分割活動，但分割活動未能將子分割單位數值化，其分 數詞為並置類型，尚未具備分數概念。此階段特徵為：a.以直覺來進行分割活動，
b.只有部分概念而缺乏部分與整體之概念。
2. 起始單位分數：
此時學生能將子分割單位的分子內嵌於子分割單位的分母部分，此分數詞為
「內嵌並置類型」。但此並置關係，只是隱約的部分全體關係，無法進行單位分 數的累積活動。
3. 加法性分數：
學生將原先內嵌於集聚單位中的子分割單位，自集聚單位中脫嵌而出，此時 子分割單位成為單位分數單位，已能掌握單位分量與單位量間部分與全體之關 係。
4. 巢狀分數：
學生具有雙向的部分與全體運思與子分割單位化概念，因此學生知道可以將
１
２再分割成２
４，所以１
２＝２
４。 5. 有理數概念：
為部份與全體的重組，學生不僅具備部分與全部的雙向運思，更能以分數為 測量單位，同時比較兩個分數，因此，兒童具有等比例運思與等值分數的概念。
張熙明（民93）認為兒童的分數概念應該包含四個要素，分別敘述如下：
1.對單位量的認知：
處理分數問題最重要的一個概念就是單位量的確認，例如：學生在回答一盒 雞蛋有10個，其中的一個是幾盒的問題時，能夠回答十分之一盒；或者是一盒雞 蛋有10個時，學生能夠將１
５盒視為10個雞蛋的五等份中的一份，就是2個雞蛋；２
５盒 視為10個雞蛋的五等份中的二份，就是4個。學生在解題時，能將給定的單位量 內容視為一個整體，再分辨所給定的單位「盒」和單位分量「個」之間的關係後，
再予以分割。
2.應分完而且沒有餘數的等分割概念：
處理分數問題另一個重要的概念就是必須有一個可以除盡的全體才有分數 的思考。學生開始接觸正式的分數課程時，大多從分東西的經驗出發，然後以圓 餅圖或方形圖介紹分數，因此學生認為幾分之幾就是要做「分」的動作，而且分
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完沒有剩餘。例如：一箱飲料有24罐時，１
４箱是6罐；２
４箱是12罐。因為6罐為1 份，1箱剛好是4等份。
3.具有部份與整體間的關係：
處理分數問題重要的概念必須瞭解分數的意義，避免忽略了分數是要對整體 進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、呂玉琴，民85） 。分數是具有部份與整 體間的關係，學生能視分數ｂ
ａ為一個數，且a為整體ｂ為部分（連續量情境）或b 為集合a的子集（離散量情境a、b化為數）。例如：一箱飲料有24罐時，１
４箱是6 罐，因為6罐為1份，1箱剛好是4份，１
４箱是4份當中的其中1份。
4.單位分量（數）的確認：
處理分數問題重要的概念也包含單位分量（數）的確認。當兒童操作了再細 分的部分概念或子分割時，他們瞭解到此細分的部分是全體的一部分，同時這一 個細分的部分本身也是一個可以再細分的全體，因為分數是從全體而來，其全體 始終不變。例如：學生在回答一盒雞蛋有10個，學生能夠將１
５盒視為10個雞蛋的 五等份中的一份，就是2個雞蛋；這樣以2個雞蛋為一份的量總共是5份為一盒，
就是10個。學生在解題時，能將給定的單位量內容視為一個整體，再分辨所給定 的單位「盒」和單位分量「個」之間的關係後，再予以分割，而分割後的每一部 分都是相等的。
對本研究的啟示：由以上的討論可以知道概念的形成是抽象的、有共通性、
有層次的。需要從實際經驗一次又一次的抽象化，找出共通性，循序漸進，最後 才形成數學概念。從上述文獻探討，我們可以知道對於分數概念來說，學生在學 習上是有一定難度的，一部分原因是分數本身具有多重意義，如：部分/全部、
子集/集合、數、商、比；同時也意味著學童過去所學習處理整數的數學方法，
對分數不再可行，甚至形成干擾(呂玉琴，民 80)。在研究者這 10 年的觀察中，
發覺國中學生對於分數概念比較有問題為「部分/全部」、「數」，所以研究者 才聚焦在分數概念的這兩個部分。另外對學生來說，加減法比乘除法運算出現的 問題來得多，因此本研究只研究加減法。根據 Skemp (1979)認為概念就是將具有 相似性、共通性的經驗歸類在一起的想法，我們若能找到實際經驗所抽象化形成 初級概念，再根據這些抽象成次級概念，就能讓學生學習到較完整的分數概念。
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