本研究利用下列幾項研究工具蒐集所需的資料及進行實驗，將它們分列說明 如下：
一、「分數概念及加減法」的開放性試題
為了研究的需要，研究者依照「分數概念及加減法」的教學目標訂為評量內 容，再以National Assessment of Educational Progress（簡稱為NAEP）1996年所進 行的數學科評量中提出的三種數學能力及研究者的評量內容做成雙向細目表(如 表3-2)：縱軸為評量內容，橫軸為三種數學能力：1.概念的了解、2.程序性的知 識、3.解題。
再根據參考不同版本的數學課本、教師手冊及國小課本等資料，且與專家教 師及指導教授討論後，設計出「分數概念及加減法」開放性試題（詳見附錄一，
頁105）用以調查國七學生在學習「分數概念及加減法」時會有哪些錯誤類型及 原因。題目總計18題，預估施測時間50分鐘（含解說）但因17、18兩題主要只考 學生去括號的觀念與本研究相關性較低，在與指導教授討論後將這2題剃除。後 來只施測了16題(100年04月25日施測)。
表3-2
「分數概念及加減法」開放性試題雙向細目表
評量內容
數學能力 合計
概念的了 題數 解
程序性的 知識
解題
1.能了解單位量概念。 1 2、3 3
2.能了解帶分數與假分數互換
。
5 4、6、7 4
3.能了解擴分、約分的原則。
且知道最簡分數的意義。
8、11 9、10 4
4.能了解同分母的加減法的做 法。
12 13、14 3
5.能了解異分母的加減法的做 法。
15、16 2
合計 5 11 0 16
31
在「分數概念及加減法」的開放性試題第一次施測後，有一些題目在研究者 與專家教師及指導教授討論後而有增刪跟修正。第 1 題的修正：
左圖的斜線部分占全部的 ２６。
□正確 □不正確
理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
題目敘述可能不夠清楚造成學生回答分歧，如表 3-3，故更改題目後為 表 3-3
「分數概念及加減法」的開放性試題第 1 題答題狀況表
勾選狀況 學生回答的理由 人數 總數
勾選正確 1.有一個分 6 等份完整的和 2 個等份的加起來 23 30
2.因為有 8 個 3
3.本來就這樣 3
4.空白 1
勾 選 不 正 確
1.因為有 12 等份所以是 ８
１２ 2
13 2.不知道 ２
６的 1 是什麼 1
3.應該 ８
１２才正確 1
4.因為變分數後會變成８
６ 1
5.應該為 ２
６ 1
6.因為會少算 1
7.全部有 12 塊所以為 ７
１２ 1
8.左邊有六片右邊有兩片，所以應該是２
６ 1
9.應該寫 １
３ 2
10.右邊不一定是２
６ 1
32
已知圖中兩圓共切為 12 等份，則斜線部分占全部的 ２６。
□正確 □不正確
理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
學生作答因此有所改進（如表 3-4），給研究者比較具體的理由可以進行二階 段試題發展。
表 3-4
「分數概念及加減法」的開放性試題第 1 題修改後答題狀況表
勾選狀況 根據學生回答的理由，推測出作答的原因 人數 總數 勾選正確 1.認為有一個完整圓和 2 個１
６圓加起來
16 16 勾 選 不 正
確
1.認為全部是 12 等份，斜線為 8 等份，所以是 ８
１２ 18
27 2.錯把文字敘述中 12 等份當成分母，但依然認為有一個
完整及 2 個小塊，而寫成是 ２
１２。 6
3.把兩圓中，左圓當成是全部，右圓為 2 等份，而寫成２
６ 3
「分數概念及加減法」的開放性試題中無純粹正數加法，所以增加正數加法 以確定學生是否對此也有錯誤類型，因此增加了2題：第1題２
３＋２
３ ４
６ 、第2題
２ ５＋ ４
５ ６
１０。而學生對於帶分數的加減法，似乎有很大的困擾，故再增加1 題，第3題 ３
７ ２
７ １
７。這時與指導教授討論後發現雙向細目表裡數學能力 中的解題，本研究並無提及，所以將「分數概念及加減法」開放性試題雙向細目 表修正為表3-5。而增加的3題及修改的1題，給當時施測「分數概念及加減法」
開放性試題16題的43人再次施測並將其作答歸納整理。
本開放性試題，經多樣資料蒐集，及專家教師與指導教授意見後所編撰而出
，因此這份試題具有專家效度。
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表3-5
修正後的「分數概念及加減法」開放性試題雙向細目表
評量內容
數學能力 合計
題數 概念的了解 程序性知識
1.能了解單位量概念。 修1 2、3 3
2.能了解帶分數與假分數互換。 5 4、6、7 4 3.能了解擴分、約分的原則。且知
道最簡分數的意義。 8、11 9、10 4
4.能了解同分母的加減法的做法。 12、增1、增2 13、14、增3 6
5.能了解異分母的加減法的做法。 15、16 2
合計 7 12 19
二、「分數概念及加減法」的二階段評量試題(前測、後測、延後測) (一)「分數概念及加減法」的二階段評量試題發展過程
藉由「分數概念及加減法」的開放性試題，研究者將學生所答理由最多人所 寫的正確理由編寫成一個理由選項，最多人寫的前三個錯誤理由製成另外三個選 項，再以答對率未達 75%的題目做為施測題目(如表 3-6)，但若 2 題或 2 題以上 題目性質相近，將另採合併方式，以其中 1 題為主幹。
表 3-6
開放性試題答對率 題
號
修 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 增 1
增 2
增 3
答 對 率
(%)
42 67 65 63 58 23 21 63 60 28 53 60 51 72 67 37 79 79 44
34
35
36 (C)因為 １２ １２。
(D)因為– １２ １ ２＋１２ １２。
(E)其他，我的理由是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
研究者於 101 年 04 月 24 日再以另外 2 個國八班級 50 人（原本 43 人，100 年開放性試題施測為國七，101 年 04 月已經是國八）作施測及訪談，以檢視學 生是否對於「分數概念及加減法」的二階段試題的題意及理由說明是否了解，針 對學生較容易混淆的題目或理由選項再次修正。本次測驗時間為早自習 35 分鐘。
信度則採用 SPSS 的 Cronbach’s 係數為 .751。
(二)「分數概念及加減法」的二階段評量試題雙向細目表(表 3-8)，表中( )表 示後測題號，
表 3-8
分數概念及加減法二階段試題雙向細目表 評量內容
數學能力 合計
概念的了解 程序性的知識 題數
1.能了解單位量概念。 1 2、3(4) 3
2.能了解帶分數與假分數互換。 4(3) 1
3.能了解擴分、約分的原則。且知
道最簡分數的意義。 5 6 2
4.能了解同分母的加減法的做法。 7 8、9、10 4 5.能了解異分母的加減法的做法。 11、12 2
合計 3 9 12
(三)「分數概念及加減法」的二階段評量複本試題
為了方便了解補救教學是否有效及保留情形為何，研究者在和專家教師及指 導教授討論及修訂後，將前測試題更動題號順序，更換選目數字或調動理由選目，
使之成為「分數概念及加減法」二階段評量後測試題（附錄五，頁 131），本試 題利用 SPSS 求得的 Cronbach’s 係數為 .793。研究者再針對 141 名學生進行前 測試題及後測試題的施測，每位學生都同時寫前測、後測題本，則甲生於前測答 案對應後測答案相同時，我們就稱甲生在該題有一致性，而 141 名學生，同一題
37
一致性的比例稱為該題的一致率，各題一致率如表 3-9。前測、後測兩個測驗，
以 70%為精熟的標準，得知複本信度的百分比一致性(PA)為 .984、柯恆的 K 係 數為 .838；T 檢定的 係數為 .481 及 Person 的相關係數為 .952，可知此複本試 題的差異性並不顯著，彼此具有高度相關，如表 3-10。由於「分數概念及加減法」
的二階段評量複本試題為研究者本身經驗加上參考相關文獻，且與專家教師及指 導教授多次討論所編製而成，因此本份複本試題具有專家效度
表 3-9
各題一致率(以前測題號為準)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
一致 率(%)
69.5 73.04 70.92 78.01 68.08 78.72 72.34 79.43 80.14 79.43 78.01 74.46
表 3-10 複本信度
百分比一致性 柯恆的 K 係數 T 檢定的 係 數
Person 的相關係 數 前測、後測
的 複本信 度
.984 .838 .481 .952
(四)「分數概念及加減法」的二階段評量試題選項所對應錯誤類型的成因 「分數概念及加減法」的二階段評量試題中，每一個錯誤的理由選項都會代 表相對應的錯誤類型，研究者將每個錯誤的理由選項分類，這樣就可以了解學生 作答時是犯了何種錯誤類型。表 3-11 為「分數概念及加減法」二階段評量試題 選項與錯誤類型之對照表，此表是指研究者在開放性試題時，針對學生所回答的 理由，經由蒐集、訪談、分類之後所得到的主要錯誤類型。前測與後測的試題，
除前測試題第三題、第四題在後測試題對調成第四題、第三題外，其餘的題目前 測與後測都是順序相同的，而理由選項上，敘述相同，但數字或者選目順序有所 調換。在前測試題後更分析學生所犯的主要錯誤類型產生的成因，見表 3-12。也 將這些成因編碼，編碼中 R 為錯誤成因的代碼，第一個數為第幾個主要錯誤類 型，第二個數為此種錯誤類型中第幾個成因。例如：R1-1 代表此成因為主要錯 誤類型中第一種錯誤類型的第一種成因。
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三、補救教學之教材 (一)教材設計原則
為了讓補救教學的成效更加顯著，且方便學生閱讀，研究者在與專家教師和 指導教授討論後，編寫了「分數概念及加減法」補救教學之教材（詳見附錄六，
頁 137），教材總共分為四個單元：1.等分及單位分數的意義，2.真分數、假分 數、帶分數，3.擴分、約分及通分的意義，4.分數加減法。這四個單元，單元 1.
等分及單位分數的意義，主要藉著實體物長條蛋糕幫學生複習國小已經教過的等 分，並讓學生了解單位分數及全部的概念。單元 2.在國小真分數、假分數、帶分 數這三種分數型態都是正數，到國中出現負數時，則應該稱為負真分數、負假分 數、負帶分數，並讓學生瞭解這些分數型態。單元 3.擴分、約分及通分的意義，
除了複習國小所學習過的定義，在約分方面增加輾轉相除法，提供當不容易因數 分解時所用的工具。至於有負數時，只需把負號先提出在該分數之前，然後擴分、
約分及通分的方式皆與國小相同。單元 4.分數加減法，此單元會先以半實體長方 形（實線中白的長方形代表正數，虛線灰階的長方形負數），讓學生將長方形分 割成相同大小的小長方形進行計數。
教材內除上課內容外，主要分為活動、動動腦、隨堂練習三個學生操作的部 分：活動是為了進行分組討論而設計，動動腦是為了讓學生自我思考而設計，隨 堂練習是為了研究者瞭解一小段落學生的學習狀況而設計。
此分教材設計的時候，主要是以主要錯誤類型來設計教材，但為了讓學生能 循序漸進地學習到研究者要學生了解的知識，所以以有意義的學習當為主軸，讓 學生從實體物操作進而到半實體物操作，最後可以抽象化處理問題。
此教材的設計原則為：
1.利用學生生活中較方便操作的長條蛋糕代替課本較常用的圓型蛋糕或 pizza 作為實體物，且讓學生自己討論出如何切等分。例：
1.利用學生生活中較方便操作的長條蛋糕代替課本較常用的圓型蛋糕或 pizza 作為實體物，且讓學生自己討論出如何切等分。例：