第二章 文獻探討
第四節 「分數的乘法」教材分析
「分數」是國小學童最容易產生學習困難的主題之ㄧ（呂玉琴，1991；陳 靜姿，1999）。因此，本研究選擇此題材進行研究，企圖透過建構反應題之電腦 化測驗設計，進一步了解學生完整的分數學習表現，本研究單元的範圍係指依 據教育部92 年發佈之「國民中小學九年一貫課程網要」中數學學習領域第三階 段能力指標，所選取之康軒出版社六年級第11 冊「分數的乘法」單元。此單元 需培養的能力指標整理如下表2-4-1。
本研究「分數的乘法」單元之建構反應題線上評量是採用張玲婉（2008）
自編之試題，建構反應題題型之建置流程是從選擇題型中，選出適合做成建構 反應題題型的概念，將這些概念進行分析與命題，命題時以開放式題型為主，
以引導學生產出各式各樣之解題歷程與使用工具。
表2-4-1 「分數的乘法」單元的能力指標 編 號 說 明
N-3-4 在具體情境中，解決分數乘以分數的問題，進而形成分數倍 的概念。
CN-13 補充分數乘法及除法的算則。
CN-14 加強分數的兩步驟四則混合計算。
C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。
C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方法。
C-S-4
能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、
類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監 控等。
C-S-5 瞭解一數學問題可有不同的解法，並能嘗試不同的解法。
C-C-3 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。
C-C-5 用數學語言呈現解題的過程。
C-C-6 用一般語言及數學語言說明解題的過程。
C-C-7 用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁 解答的合理性。
C-C-8 能尊重他人解決數學問題的多元想法。
過去已有許多研究透過紙筆測驗及質性研究的方式提出學生在分數乘法之 各種解題類型，尤其是學生常見的錯誤類型或迷思概念，下表2-3-2為文獻中與本 單元相關之研究整理。
表2-4-2 文獻相關研究之學生「分數的乘法」錯誤解題類型整理
研究者 學生錯誤解題類型
Lankford（1972）、
Edwards（1983）、
Painter（1989）
¾ 先通分，再計算。
¾ 將第二個分數顛倒後，再計算。
¾ 交叉相乘而得到分子與分母。
¾ 分母相乘，分子卻作加法運算。
¾ 分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分。
¾ 帶分數乘整數時，分數不變，只處理分數部分。
¾ 帶分數乘整數時，整數、分數分別自行做乘法運 算。
Ashlock（1990）、
Souviney（1989）、
Troutman & Lichtenberg
（1982）
¾ 分母相乘，分子相加。
¾ 帶分數的整數部分相乘，分數部分，分子和分子 相乘，分母和分母相乘。
¾ 分母相同時，分子相乘。
¾ 反轉而後相乘。
¾ 第一個分數的分子乘以第二個分數的分母之，當 作個位數，第二個分數的分子乘以第一個分數的 分母，當作十位數。
¾ 分子乘以整數，分母也乘以整數。
¾ 分子與整數相乘，遺漏了分母。
¾ 整數與分母相除，遺漏了分子。
湯錦雲（2002）
¾ 分數減法的錯誤類型：借位的錯誤（向整數借 1 卻加10 到分子、向整數借 1 後沒有減 1、將原 整數部分加到分子）
¾ 分數的加法運算錯誤：
1直接分子加分子，分母加分母。
2求出同分母後放在分母，而分子為原分子相加。
2分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。
3求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。
¾ 整數乘分數的錯誤類型有：「乘數的整數部分用 乘法，真分數部分用加法」、「將被乘數分別成 乘上乘數的整數、分子、分母成為答案的整數、
分子、分母」、「被乘數、乘數都化成假分數後，
分子乘分子，分母則不相乘」、「只做真分數部 分的乘法，整數部分則不相乘」、「乘法用加法 算則計算」、「帶分數化成假分數的錯誤」、「假 分數化成帶分數的錯誤」、「計算錯誤」。
林榮煌（2006）
¾ 分數乘整數的概念建構能力及基本運算能力 1乘法運算，誤用約分概念。
2乘法運算，誤用擴分概念。
3兩相同數相乘，誤以為兩數相加。
¾ 分數乘整數的概念理解能力及問題解決能力 1分數乘法用分數除法運算：乘數轉成倒數 2同分母分數相乘，分子相乘，分母保持不變（未
相乘）。
¾ 分數乘整數的概念建構能力及基本運算能力 1乘法運算，誤用擴分概念。
2分數乘法用分數除法運算。乘數不變，被乘數轉 乘倒數後，兩分數再相乘。
3分配律和乘法結合，為以（ ）標示。
¾ 分數乘分數的概念建構能力及基本運算能力 1同分母分數相乘，分子相乘，分母保持不變（未
相乘）。
2兩相同數相乘，誤以為是兩數相加。
3分數乘法用分數除法運算：乘數轉成倒數。
¾ 分數乘分數的概念理解能力及基本運算能力 1分配率和乘法結合，未以（ ）標示。
2同分母分數相乘，分子相乘，分母保持不變（未 相乘）。
3乘法用除法算則。
4基本概念錯誤。
5分數相乘，整數部分相加，只有分數部分相乘。
陸雅林（2007） ¾ 分數加減法運算
1以直接法進行運算，分母加減分母，分子加減分
子，忽略是否為同分母。
2在異分母分數的加減運算中，分母通分，但分子 未處理就直接相加減。
3分數的加法與分數乘法運算混淆使用。
4未以分數運算處理，忽略分數的意義。
5分數加減運算過程中，將分數數寫成整數形式，
最後答案中再改寫成分數形式，忽略分數概念。
6異分母分數加減運算過程，在進行通分時，分母 與分子沒有同乘以一個整數。
7異分母分數比較大小，通分過程中，兩個異分母 分數誤同乘同一個倍數。
8假分數的加減，誤將假分數中分子的十位數字當 作帶分數之整數。
9帶分數的加減，忽略分數的意義，將所有分數上 數字以整數方式個別計算，最後再寫成分數形 式。
¾ 假分數、帶分數
1忽略分子等於分母的分數
2誤認為只要是分子不等於分母的分數即是假分 數。
3假分數化成帶分數概念不清，誤將假分數中分子 的十位數字當作帶分數之整數。
4整數和分數分開運算、分配律的錯誤用。
¾ 分數的乘法
1帶分數乘以整數，整數與分數個別分開運算，忽 略分數也要乘以整數。
2分數乘以整數，分子和分母同時乘上整數。
3乘上乘數的倒數，與分數除法混淆使用。
4先通分再相乘，與分數加法混淆使用。
5分母相乘，分子相加，與分數加法混淆使用。
圖 2-4-1 為「分數的乘法」單元之貝氏網路圖（張玲婉，2008），節點由
I01
根據「分數的乘法」的教學目標，歸納出單元的子技能，如表2-4-3。
表2-4-3 國小六年級「分數的乘法」單元目標之子技能（部分範例）
單 元 教 學 目 標 子 技 能 L1 認識最簡分數 S01 認識最簡分數
S02 用約分的方法找出最簡分數
L2 理解分數乘法的算則 L4 理解分數乘法的意義
S03 單位分數×整數計算題 S04 整數×單位分數計算題 S05 整數×真分數計算題 S06 整數×帶分數計算題
S07 單位分數×單位分數計算題 S08 單位分數×真分數計算題 S09 真分數×真分數計算題
分析文獻中的錯誤概念，整理出學生在學習過程中出現較容易出現的錯誤 類型，作為研究中試題編製的參考依據，如表2-4-4。
表2-4-4 「分數的乘法」單元之錯誤類型分類 B01 沒有化成最簡分數。
B02 誤用約分概念。
B03 誤用擴分概念。
B04 用加法算則計算。
B05 分配率和乘法結合，未以括號標示。
B06 帶分數和假分數轉換的錯誤。
B07 用分數除法運算。
B08 分母相同時，分子相乘，分母不乘。
B09 與加法混淆使用。
B10 基本概念錯誤。
B11 以直接法進行運算。
B12 求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。
B13 分母相乘，分子相加
B14 通分後，分子為大數減去小數。
B15 借位的錯誤。
B16 只完成一部分的計算。
B17 無法由乘數與 1 的大小關係推論被乘數與積的大小關係。
分析文獻中的子技能及錯誤概念，依據文獻中的子技能命題，命題的方式
在上述試題的選項設計中，除了正確答案外，其餘選項皆包含一種錯誤類 型，同一種錯誤類型，可能有不同之解題歷程，不同解題歷程代表不同之迷思 概念。學生即使選了正確的答案，也不代表真正答對。選項1 是乘法的基本概 念錯誤，學生若選擇1，則表示學生可能犯了「整數乘以整數，分數乘以分數」
的錯誤類型；而學生若選擇選項2 表示學生在乘法帶分數轉換為假分數的概念 錯誤，可能犯了「忽略分母，整數乘以分子」的錯誤類型；而若學生選擇選項 3，則表示學生概念都清楚，但未化成最簡分數；而選項 4 為正確答案。此題中，
學生若選擇選項3，其實學生大致上是可以解決這個問題的，只是忽略題目應 化成最簡分數的要求，雖然答案錯誤，但應可以部分給分。
在「分數的乘法」單元中，學生可能有很多種不同的解題過程，以選項2 為例，當學生具有「帶分數和假分數轉換的錯誤」之迷思概念時，除「分母不變，
整數與分子相乘」外，還有「分子不變，分母與整數相乘」之錯誤類型。若以 建構反應題進行測驗，不僅可觀察學生的作答情形，也可以給學生一些實質上 分數的回饋，選擇選項3 的學生可得到部分分數；而題目的選項均設定為題目 中的兩個數字相乘，但在實際狀況中，也許學生會有其他不同的作答反應，若 學生在選項中未看到與自己算出來的相符答案，學生可能用猜的，這樣就不是 教師所想要的錯誤類型了，若能利用建構反應題，將可以更仔細的知道學生之 迷思概念及學習狀況。
綜觀上述，使用建構反應題題型能夠更詳盡的獲得學生之迷思概念及學習 狀況。因此，測驗之作答時間以一小時為限，並考慮學生在建構反應題需耗費 較長作答時間，且分數的乘法計算也較複雜，經評估後，挑選出學生容易具有 迷思概念且試題情境需由文字題轉為數學之 4 題試題作為建構反應題，故試題