第四章 研究結果
第三節 診斷系統成效評估
第一節 建構反應題題型之計分模式分析
「分數的乘法」單元有4 題建構反應題題型。以下以「分數的乘法」單元 其中一題為例，說明如何分析學生之解題過程並編碼，其餘題目之解題過程分 析，詳見附錄二。
（一）編碼規則說明
編碼規則：四碼（例如：0102）
1、千位及百位：得分，如 01, 02, 03, 04, …。以表 6 為例，此題滿分 5 分，
計分規則為全對5 分、列式正確 2 分、答案正確 2 分及格 式正確1 分。
2、十位及個位：為解題過程之編碼，如 01, 02, 03, 04, …。當學生全對時，
此編碼為其解題過程編碼；當學生部分答對或全錯時，此 編碼為錯誤類型編碼。
（二）範例說明
1、學生全對之編碼
根據實測資料顯示，共有4 種正確的解題過程，分別將其編碼為 0501~0504，其中 05 代表得分，01~04 代表解題過程編號。
2、學生部分答對之編碼
2 種解題過程判斷為錯誤類型 02。
0203 列式正確，未算出答案
4 42
31 21 4 11 15
12 8 + =
18 1 36
2 4 5 180
8 × = =
=
3 141
=
2 4 5
===
+ 21 1 8 52 1223
=
⎟−
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ×
15 12 8 4 11 15 12 8
91 238
38777 243 276 97
6692778×
111111722
661111 66666666 7772
72 333882 2
==
×
3 12 1
3 15 45 =
3 31 1 0012 對於題意了解錯誤
9 79 7 67 3
72− =
第二節 學生解題過程之錯誤類型及解題策略分析
經過實際測驗後，將學生解題過程之錯誤類型及解題策略進行分析，可以發 現學生在建構反應題作答反應中會出現不同於選擇題型所預設之錯誤類型，將學 生所出現與原先選擇題型預設不同之錯誤類型列於表4-2-1。其中，錯誤類型B23 為學生將題目以加法計算，但沒有分數的加法概念，表示學生需要在加法概念進 行補救；而錯誤類型B24為學生列出正確算式，但未算出最後的答案，在分析上 無法確定學生是否會計算此題，故多列錯誤類型B24；錯誤類型B25、B26兩者的 差異在於是否列式正確，學生若列式正確，計算錯誤，表示學生對題意了解，是 計算上的迷思概念導致無法答對，則將此列為錯誤類型B25。並在以下闡述4題建 構反應題之錯誤類型數量統計表及其分析內容。
表4-2-1 學生於建構反應題題型所增加之錯誤類型 B21 分數與整數相乘，遺漏了分子
B22 應用乘法，誤用成加法計算 B23 加法概念錯誤
B24 列式正確，未算出答案 B25 列式正確，計算錯誤 B26 計算錯誤
B27 應用加法，誤用成乘法計算 B28 忽略單位量
B29 應用乘法，誤用成減法計算 B30 應用減法，誤用成乘法計算 B31 減法與乘法混淆使用
壹、第27題錯誤類型及解題策略分析
全體學生在第27題共有11個錯誤類型，其數量統計表如表4-2-2，與原先選擇 題型所預設的錯誤類型（表2-4-4）比較，學生在建構反應題增加5個錯誤類型
（B21-B25）。此題共65位學生答對，19位學生未作答，同時具備兩個錯誤類型 以上的學生7位；其中，錯誤類型B24為學生觀念正確，但在計算上有迷思概念而
不能答對，但因學生只寫下列式及答案，未多列出詳細過程，以致於研究上無法 細分學生於哪種計算錯誤之錯誤類型，統整列於錯誤類型B24，共有24學生具此 錯誤類型。錯誤類型B23為學生將此題以加法計算，但在分數的加法上，又有出 現錯誤計算，例如：
31 21 4 11 15
12 8 + = ，其中，21＝12＋8＋1，31＝12＋15＋4，具 此錯誤類型學生共有2位。
表4-2-2 第 27 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表
編號 錯誤類型 學生犯錯誤類型
之數量
B01 沒有化成最簡分數 4
B02 誤用約分概念 2
B06 帶分數和假分數轉換的錯誤 2
B09 與加法混淆使用 3
B11 以直接法進行運算 5
B18 對於題意的理解錯誤 17
B21 分母與整數相乘，遺漏了分子 16
B22 應用乘法，誤用成加法計算 2
B23 加法概念錯誤 2
B24 列式正確，計算錯誤 24
B25 列式正確，未算出答案 4
全體學生在第 27 題共出現 2 種解題策略，其解題策略示意圖如圖 4-2-1，
數量統計表如表 4-2-3。在第 27 題中，學生大多直接寫下答案，而使用「先換 成假分數×整數，再相加」策略的學生有 25 位，其中，表 4-2-3 中的其他是指學 生未作答或是學生未有列式過程，無法判斷學生之解題策略，故先歸於其他類。
使用併式 紀錄解題
過程 先換成假分 分數× 答 答案 A1策略
表4-2-3 第27題之全部學生解題策略數量統計表
策略 A1 A2 其他
答對 44 17 4
答錯 55 8 30
貳、第28題錯誤類型及解題策略分析
全體學生在第28 題共有 11 個錯誤類型，其數量統計表如表 4-2-4，與原先 選擇題型所預設的錯誤類型（表2-4-4）比較，學生在建構反應題增加 5 個錯誤 類型（B24-B28）。此題有 58 位學生答對，有 13 位學生空白，同時具備兩個 錯誤類型以上的學生大約16 位，錯誤類型 B24- B28 為預設錯誤類型中未出現 的。其中，錯誤類型B27 為學生將此題同時注水情形使用乘法計算，共有 8 位 學生犯此錯誤類型。錯誤類型B28 為學生忽略注水的時間單位，此類學生共有 2 位。
表4-2-4 第 28 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表
編號 錯誤類型 學生犯錯誤類型
之數量
B01 沒有化成最簡分數 2
B06 帶分數和假分數轉換的錯誤 1
B11 以直接法進行運算，忽略是否為同分母。 1
B16 只完成一部分的計算 6
B18 對於題意的理解錯誤 23
B20 忘了使用括號 7
B24 列式正確，計算錯誤 35
B25 列式正確，未算出答案 3
B26 計算錯誤 16
B27 應用加法，誤用成乘法計算 8
B28 忽略單位量 2
全體學生在第28題共出現8種解題策略，其解題策略示意圖如圖4-2-2，數量 統計表如表4-2-5。使用併式紀錄解題過程下，有26位作答正確的學生在列式後直 接寫下答案，而使用「分配律」策略的學生共3位，且3位學生均答案正確。在未 使用併式紀錄解題過程下，學生使用「（整數＋整數）＋（分數＋分數）」策略 或是「先換成假分數後，再相加」策略，作答正確的學生共有7位。從表4-2-5中 可知，使用併式紀錄解題過程的學生多於未使用併式紀錄解題過程的學生。
圖4-2-2 第28題之全部學生解題策略示意圖
A2策略
A3策略
A4策略 使用併式
紀錄解題 過程
括號內先 算 使用分
配律
先乘除 後加減
先換成假分 數×整數，再
相加
（整數＋整數）
＋（分數＋分數）
先換成假分數 後，再相加
分數×
整數 分數×
整數
分數×
整數
答 案
答 案
答 案 答案 A1策略
答案 A5策略
未使用併式紀錄 解題過程
（整數＋整數）＋
（分數＋分數）
分數×
整數
答 案 答案 B1策略
B2策略
先換成假分 數後，再相加
分數×
整數 B3策略
答 案
參、第29題錯誤類型及解題策略分析
全體學生在第29題共有11個錯誤類型，其數量統計表如表4-2-6，與原先選擇 題型所預設的錯誤類型（表2-4-4）比較，學生在建構反應題增加6個錯誤類型
（B24-B26、B29-B31）。此題共49位學生答對，11位學生未作答，同時具備兩個 錯誤類型以上的學生共5位。
表4-2-6 第 29 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表
編號 錯誤類型 學生犯錯誤類型
之數量 B11 以直接法進行運算，忽略是否為同分母。 1
B16 只完成一部分的計算 2
B18 對於題意的理解錯誤 31
B20 忘了使用括號 5
B24 列式正確，計算錯誤 22
B25 列式正確，未算出答案 3
B26 計算錯誤 12
B29 應用乘法，誤用成減法計算 16
B30 應用減法，誤用成乘法計算 10
B31 減法與乘法混淆使用 1
全體學生在第29題共出現7種解題策略，其解題策略示意圖如圖4-2-3，數量 統計表如表4-2-7。使用併式紀錄解題過程下，有15位作答正確的學生在列式後直 接寫下答案，而使用「先通分為同分母後，再相減」策略的學生共2位，且答案正 確。從表4-2-7中可知，使用併式紀錄解題過程的學生多於未使用併式紀錄解題過 程的學生。
表4-2-7 第29題之全部學生解題策略數量統計表
策略 A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 其他 答對 15 16 5 2 9 1 0 1 答錯 38 7 8 0 18 1 3 34
圖4-2-3 第29題之全部學生解題策略示意圖
肆、第30題錯誤類型及解題策略分析
全體學生在第30題共有9個錯誤類型，其數量統計表如表4-2-8，與原先選擇 題型所預設的錯誤類型（表2-4-4）比較，學生在建構反應題增加5個錯誤類型
（B24-B26、B29、B32）。此題共41位學生答對，15位學生未作答，同時具備兩 個錯誤類型以上的學生共27位。
未使用併式紀錄 解題過程
先通分為同分 母後，再相減
分數×
整數
答 案 答案 B1策略
B2策略
先換成假分 數後，再相減
分數×
整數 B3策略
答 案
A2策略
A3策略
A4策略 使用併式
紀錄解題 過程
括號內 先算
（整數－整數）
＋（分數－分數）
先換成假分數 後，再相減
分數×
整數 分數×
整數
答 案
答 案 答案 A1策略
先通分為同分 母後，再相減
分數×
整數
答 案
表4-2-8 第 30 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表
編號 錯誤類型 學生犯錯誤類型
之數量
B06 帶分數和假分數轉換的錯誤 3
B11 以直接法進行運算 2
B16 只完成一部分的計算 6
B18 對於題意的理解錯誤 26
B24 列式正確，計算錯誤 29
B25 列式正確，未算出答案 1
B26 計算錯誤 25
B29 應用乘法，誤用成減法計算 37
全體學生在第30題共出現5種解題策略，其解題策略示意圖如圖4-2-4，數量 統計表如表4-2-9。使用併式紀錄解題過程下，有16位作答正確的學生在列式後直 接寫下答案。從表4-2-9中可知，使用併式紀錄解題過程的學生多於未使用併式紀 錄解題過程的學生。
圖4-2-4 第30題之全部學生解題策略示意圖 未使用併式紀錄
解題過程 先換成假分數 後，再相乘
答 案 答案 B1策略
B2策略 A2策略
A3策略 使用併式
紀錄解題 過程
答案
先換成假分數 後，再相乘
答 案 A1策略
先計算前面兩 個相乘答案 後，再與第三個
數字相乘
答 案
表4-2-9 第30題之全部學生解題策略數量統計表
策略 A1 A2 A3 B1 B2 其他
答對 16 9 8 3 3 2
答錯 42 12 8 12 8 35
從學生解題過程，除了可以清楚得知學生學習上之錯誤類型，也可以得到 學生作答情形之解題策略，學生最後的答案已不是唯一判斷的依據，透過建構 反應題，可讓教師除了知道學生答錯，更可清楚知道學生錯在哪裡，針對全班 所犯較多之錯誤類型進行補強。
第三節 診斷系統成效評估
利用研究設計之區塊分析方法，可以得到電腦診斷學生之錯誤類型與專家 判別之錯誤類型的正確率分別為99.37％、98.73％、94.94％、95.57％（如下表 4-3-1），4 題建構反應題之診斷平均正確率為 97.15％。
研究結果顯示，以建構反應題為基礎之數學科診斷測驗系統成效良好，藉 由系統自動化計分學生之作答反應，除可讓教師看到更多元的學生錯誤類型，
更可達到減輕教師閱卷之負擔。
表4-3-1 診斷正確率
題號 正確率
27 99.37％
28 98.73％
29 94.94％
30 95.57％
平均 97.15％