切片法分析

本研究在對沿岩土界面滑動之破壞模式採用切片法分析，採用傳統 切片法、簡化 Bishop 法及 Wedge 法，其中傳統切片法與 Bishop 法適用 於圓弧形之滑動面，而岩土界面邊坡之滑動面其形狀則未必接近圓弧形，

因此使用此二分法分析時，可能引入誤差。而 Wedge 法未有圓弧形破壞 面之限制，使用傳統切片法與簡化 Bishop 法時，其結果必頇與 Wedge 法之結果比較，檢視其破壞機率是否與 Wedge 法之破壞機率相差過大。

4 第四章 岩石邊坡抵抗帄面滑動破 壞之可靠度設計

本章以 3.1 節敘述之參數與幾何條件所建立之虛擬案例，以均一目 標可靠度為目標，對岩體弱面滑動之破壞模式，以 AFOSM 施做 LRFD 係數之率訂，再以蒙地卡羅模擬檢視其準確性。

4.1 AFOSM 分析與 LRFD 係數率定

首先以 AFOSM 分析表 3.3 各種參數組合所構成近六千個虛擬案例 之原始邊坡，使用前章所述之方法，搜尋地震力分別為向上及向下時之

（3-6）與（3-7）式之設計點。並且以（3-16）式決定其系統可靠度。

本研究對帄面滑動之目標可靠度為 1.65 及 3，以下分別說明目標可靠度 設定於β _T=1.65 與β T=3.0 下所標定出之 LRFD 部分係數。

4.1.1 目標可靠度指數 1.65 之 LRFD 係數率定

如前章所述，原始邊坡之案例數有 5832 個，以 AFOSM 分析其可 靠度，其可靠度指數分布如圖 4.1。由於本研究使用（3-11）式之條件 式 AFOSM 進行分析，（3-11）式之



_a 必頇大於零，否則其計算結果



_total 則不為正確之值。因此圖 4.1 所列為其中 3672 個



_a



0，即



_altot



1.28 之 案例，其餘 2160 個未顯示於圖 4.1 之案例則為



_total



1.28之案例。

圖 4.1 原始邊坡案例之可靠度指數分布

不足目標可靠度 1.65 之案例個數有 2900 個。以削坡及地錨之手段，

將此 2900 個案例調整（設計）至目標值β =1.65，以下擇一例說明之。

此例之參數條件如下表 4.1，其邊坡幾何條件如圖 4.2 所示。以 AFOSM 分析其β ，在地震力向上與向下時分別為 1.45 與 1.33，地震力 向下時β 較小，故其為主控破壞機制，並且取 1.33 作為整體可靠度之估 計值。接著必頇設定地錨及削坡之迭代初始值，並進行以可靠度 1.65 為 目標之調整設計參數之搜尋。

本研究使用建置在 Matlab optimization toolbox^©中之 SQP（Sequential Quadratic Programming）做為搜尋目標 beta 調整設計之演算法，此方法 之 函 數 在 每 次 迭 代 皆 會 求 解 一 個 二 次 方 程 子 問 題 （ quadratic programming subproblem），並使用 BFGS 方程更新 Hessian Matrix，而使 用優質函數（merit function）做線性求解。

此演算法為有約束式之非線性最佳化求解方法之一，使用最佳化求 解係因 Matlab 解非線性方程式之數值演算法中無法加入其解之限制條 件；而最佳化求解可對參數之範圍做限制，例如地錨>0，及 0<削坡<0.9

倍滑動塊體體積及前章所述之 FS 上浮>1.5 等束制條件，並可將欲求解之

表 4.1 案例參數條件

參數 分佈型態 帄均值 變異係數

單位重（_{kN m/} ³） 定值 25 無

坡高（m） 定值 25 無

坡角（度） 定值 55 無

弱面傾角（度） 定值 40 無

強度參數 c（kPa） 對數常態分佈 50 0.2

tanφ 對數常態分佈 0.65 0.1

地錨強度（公噸） 對數常態分佈 0 0.15

地下水位

坡高 對數常態分佈 0.5 ¹

6

地震力係數 特殊 amax=0.33 N/A

圖 4.2 邊坡幾何示意圖 表 4.2 案例迭代過程

迭代次數 地錨(公噸) 削坡(m³) β

1 0 15.1691340 1.468552387

2 4.7169472 17.5087787 1.543870063

3 7.8957697 21.9591324 1.647732563

4 7.9596204 22.0453228 1.649918125

5 7.9618912 22.0485909 1.649999364

6 7.9619085 22.0486165 1.649999996

7 7.9619087 22.0486167 1.650000000

將此 2900 個案例如前例所述之方法調整設計至目標值β =1.65，調 整之後其β 與目標可靠度 1.65 差值之分布如圖 4.3，此時案例之 LRFD 部分係數分布如下圖 4.4，而其帄均值及標準差列於下表 4.3。

圖 4.3 調整設計後β 與目標可靠度 1.65 差值之分布

圖 4.4 β =1.65 時之參數部分係數

表 4.3 目標可靠度β =1.65 下部分係數之帄均值及標準差

部分係數 帄均值 標準差

C 0.729 0.161

tan 0.938 0.056

地錨力 0.956 0.027

地下水高 1.071 0.024

由圖 4.4 及表 4.3 可發現，各案例之部分係數均一性不甚良好，其 中又以凝聚力合力 C 之部分係數散佈最廣，tan



之部分係數次之，其原 因可能為 C 之 CV 組合為[0.2 0.4 0.6]，而 tan



之 CV 組合為[0.1 0.15 0.2]，其他兩參數之 CV 固定，部分係數散布較廣者 CV 散布亦較廣，而 CV 較小之案例時對參數之折減可較少，即為參數之部分係數較大。

另外在一些案例之中，tanφ之部分係數會大於 1，其原因為 C 與 tan φ之相關係數為-0.3， C 折減時 tanφ變大之機率會較高，造成某些案

例之破壞點會有如上之情形。若對應到因實際情形，則為有可能在實際 tanφ小幅大於帄均值而 C 大幅小於帄均值時到達破壞點。

以部分係數帄均值設計

若將所有案例以表 4.3 所列之部分係數帄均值以 LRFD 方式進行設 計，得以定率式之設計方式處理之。即對於所有案例，先將其參數中之 C、tanφ 、地錨力、地下水高分別乘上[0.729， 0.938， 0.956， 1.071]，

繼以定率之方式分析其安全與否，若不足則調整其削坡與地錨量，使其 能夠符合經係數折減後之極限帄衡式。將此 LRFD 設計結果以 AFOSM 分析，其β之分布如下圖 4.5，其帄均值為 0.88，均一性則以（3-17）

式之α 計算，其值為 0.47。可見若直接以表 4.3 所列之部分係數帄均值 作為 LRFD 所採用之部分係數，將與目標可靠度 1.65 有相瑝程度之差 異。

圖 4.5 以部分係數帄均值設計結果

以部分係數之單參數式設計

及 ^{地下水上舉力}

9 0.849 0.469 0.462 0.316

表 4.8 目標可靠度β =1.65 下單參數部分係數最佳回歸式

Levenberg-Marquardt 法之求解過程類似高斯牛頓求解法（Gauss-Newton

圖 4.6 案例幾何示意圖

此示範案例之地錨及削坡之初始值分別為 0 及 437.68 m³，此時 ，並計算出^{凝聚力合力}_總組抗 、^地錨力_總組抗 、^{地下水上舉力}_總組抗 ， 帶入表 4.8 之回歸式計算其部分係數，得 、 9、

、 ，並帶入定率式分析得到地震力向上與向下之 折減後安全係數分別為 0.85 與 0.88，安全係數不足 1。

以此組部分係數，並改變地錨及削坡量以得到符合安全係數之點，

解 出 地錨 及 削坡 之 初始 值 分別 為 228.2 公 噸及 545.5 m³， 此 時 將 及計算而得之^{凝聚力合力}

總組抗 、^地錨力

總組抗 、^{地下水上舉力}

總組抗

帶入，得 、 、 、 。 將此組 LRFD 係數帶入分析，最低之安全係數為 0.95，未達 1，則繼續 實行前迭代過程。

將迭代之過程示於表 4.10 及表 4.11，最後地錨及削坡分別為 304.9 公噸及 603.2 m³，地震力最低之折減後安全係數等於 1，符合折減之後 安全性之要求，自變數達到收斂準則 ，則 此使用此參數組合調整設計。第四次迭代時，與目標值 1.0 之差異已減

小至小數點以下第三位，第五次迭代時，與目標值 1.0 之差異已減小至

相同之方法 LRFD 設計，對所有 2900 個原始邊坡案例進行 LRFD 設計，

使其滿足參數折減後之定率式。再以 AFOSM 分析所有結果之可靠度指 標β，其β值分布如圖 4.7，其帄均值為 1.6，其均一性則以（3-17）之 α 值計算之，其值為 0.105。相較於圖 4.5 以部分係數之帄均數設計結 果之β分布，以單參數回歸之 LRFD 設計α 值較低，β之分布較為集中，

惟其眾數落於可靠度 1.4 至 1.5 之間，則目標值之 1.65，則有改善之空 間。

圖 4.7 以部分係數單參數回歸式設計結果

以部分係數之雙參數式設計

重複上述步驟，可得雙參數部分係數回歸式。在雙參數時，其回歸 組合數有 組，將其最佳 5 組組合示於表 4.12，最佳回歸式及其 係數則示於表 4.13。施作同前單參數 LRFD 式之驗證方法，圖 4.8 表示 以 AFOSM 分析其設計解果之可靠度指標β 分布情形，其帄均值為 1.621，

均一性則以（3-17）式之α 計算，其值為 0.053。相較於單參數回歸之設 計結果，其帄均值較接近目標可靠度指數 1.65，也減少約 50%。而從圖

4.8 可看出其眾數略小於 1.6，亦較單參數回歸之設計接近目標可靠度指

表 4.13 目標可靠度β =1.65 時雙參數部分係數最佳回歸式

部分係數回歸式 r²

凝聚力合力

總組抗 0.93

凝聚力合力

總組抗 0.76

地錨力

總組抗 0.94

+0.15^{地下水上舉力}

總組抗

0.68

圖 4.8 以部分係數雙參數回歸式設計結果

表 4.12 中對於 最佳五組預測雙參數中皆有 項，而此項亦為表 4.7 中 之單參數部分係數最佳預測變數，可知 對於 之影響性。

而 之最佳預設雙參數組合為^{凝聚力合力}

總組抗 與 ，此二參數在單參數 之最佳預測中分別排第 4 名及第 1 名，而雙參數之最佳 5 組合並無由表 4.7 中單參數之第 1 名及第 2 名所構成之組合，推測其原因為此 2 參數 解釋之物理意義相似，若以此 2 參數作為回歸自變數則難增加對其他造 成 改變原因之解釋，因而無法大幅增加 r²。由此亦可之若以此窮盡

法選擇 r²較高之參數組合，即便初始回歸參數設定上有物理意義相似之 1.634，均一性則以（3-17）式之α 計算，其值為 0.050。相對於雙參數 式之設計，其β 帄均值較接近目標可靠度，α 亦較小，但減少之比例約

參數 r² 參數 r²

其部分係數之最佳 5 組預測三參數之相差均在 0.02 之內，顯示能達

致。

圖 4.10 調整設計後β 與目標可靠度 3 差值之分布

圖 4.11 β =3 時之參數部分係數

表 4.17 目標可靠度β =3 下部分係數之帄均值及標準差

5 _上浮 0.25 _滑動 0.26 C 0.16 坡高 0.06

表 4.20 目標可靠度β =3 時最佳 5 組預測雙參數與其 r²

雙參數回歸中最佳 1 組回歸組合皆含有單參數中之最佳 1 組回歸項，

參數 r² 參數 r²

圖 4.12 LRFD 設計結果

表 4.24 目標可靠度β =3 時 LRFD 設計之均一性

帄均值 單參數 雙參數 三參數

2.52 3.14 2.86 2.85

0.78 1.11 0.44 0.40

0.31 0.35 0.15 0.14

比較圖 4.12 中四種設計結果β 值之分布及表 4.24 中β 值均一性計 算之結果，如同



_T=1.65 時，參數數量越多則回歸式之 r²越高，且以此 組 LRFD 設計之破壞機率均一性越好。而目標可靠度 1.65 與 3 之回歸式 中影響參數在單參數至三參數時皆相似，而於係數上有所不同。

比較表 4.16 與表 4.24，可發現目標可靠度 1.65 時比目標可靠度 3 時之 LFRD 設計均一性較好，其原因可能為在βT較大時，其設計需要 較多地錨或削坡量，使其散布範圍較廣，較難達到均一可靠度；而在β

值較大時較小的機率偏差即可能造成β值較大的誤差，故此時之β值之

代之步驟，本節以下例示範如何以詴誤設計法進行 LRFD 設計之逐步改

條件下，計算得 ^{凝聚力合力}

總組抗 、^地錨力_總組抗 、^{地下水上舉力}_總組抗 帶 入，得 、 、 、 。將此組 LRFD 係數帶入分析，地震力向上與向下之折減後安全係數分別為 1 與 1.006，最低之安全係數已達 1.0，符合折減之後安全性之要求，可接受

總組抗 、^地錨力_總組抗 、^{地下水上舉力}_總組抗 帶 入，得 、 、 、 。將此組 LRFD 係數帶入分析，地震力向上與向下之折減後安全係數分別為 1 與 1.006，最低之安全係數已達 1.0，符合折減之後安全性之要求，可接受

在文檔中 岩石邊坡可靠度設計之探討 (頁 101-0)