可靠度設計

可靠度分析的特點，是考量所有的參數不確定性的影響，以致各個 參數會是一隨機分佈函數（Random Variable），如此安全性的評估需經 過不確定性分析，分析的結果也會是一隨機分佈函數。若是以安全係數 評估設計結果的安全性，則安全係數的分析結果不會是原先的確定值，

而是一個有分佈型態的隨機分佈函數。在此狀態下安全性的考量，則為 安全係數之分佈函數發生破壞（安全係數<1）的機率，此即是所稱之“破 壞機率（Probability of Failure）”。而可靠度設計的要求，即是此破壞 機率要小於能接受的特定風險，設計上為了達到此目的，可能需不斷調 整設計型式直達符合上述原則。

上 述 對 安 全 性 評 估 的 函 數 稱 為 “ 功 能 函 數 （ Performance Function）”，功能函數除了可能為前面提到的安全係數，也可能以安 全邊際（Margin of Safety）或是其他函數表示。以安全邊際的定義為例，

安全邊際的定義如下：

安全邊際

M   R Q

（2-6）

其中 R、Q 分別為阻抗、載重

瑝上（2-6）式中

M 

0即表示阻抗無法抵抗載重，其設計對象已達 破壞，破壞機率如下：

破壞機率：

P

_f

 P F

( )

 P M

(



0) （2-7）

其中 F 為破壞事件達成（如阻抗小於載重，如

M 

0）

P( )代表( )內事件發生的機率

P

f代表破壞機率

以下圖 2.1 為例，R、Q 分別為阻抗、載重的分佈型態，功能函數以 安全邊際的型式來考量，所以破壞機率即為圖 2.1 右圖中，M 小於 0 之 機率密度函數積分面積。

圖 2.1 隨機變數與破壞機率示意圖 左圖：載重與阻抗之機率密度函數分佈示意圖

右圖：安全邊際之機率密度函數分佈示意圖（修改自 Baecher 和 Cristian, 2003）

在此要說明可靠度設計除了以上述“破壞機率”來表示安全等級，也 有以“可靠度（Reliability）”定義之安全等級。可靠度定義為：設計對象 在生命週期中，能發揮設計要求的機率為何。所以可靠度與破壞機率的 關係可寫為：

可靠度=1

 P

f （2-8）

雖然設計要求為大地工程系統能發揮應有功用之可靠度，但因為破 壞機率可能為10 ~ 10^{1 5}，以可靠度表示較不易顯示差別，所以為了方便

對照、比較，通常安全等級的評估會以破壞機率的大小來表示。

若是安全邊際的機率密度函數（Probability density function，簡稱 p.d.f.）已知，則破壞的機率可由（2-7）式解出，如功能函數為載重及 阻抗之線性組合，且各項之機率密度含數皆為常態分布，則功能函數也 會是常態分布，其帄均值 及標準差 可由下二式求得。

（2-9）

（2-10）

其中 及 分別為各項阻抗載重之帄均值、標準差，此時阻抗為正 值，載重為負值

但實際上各項阻抗與載重可能並非線性關係，且個別參數又可能有 著不同的分布型態，使得要以閉合解的方式分析可能會有困難。因此有 許多學者研究以不同的近似或是模擬方式，來得進行不確定性分析。不 確定性的分析方式有相瑝多種，從一些簡化模式如：點估計法（Point Estimate）（Rosenblueth, 1975）、一階二次矩（First Order Second Moment method，簡稱 FOSM）和改良的一階二次矩法（Advance First Order Second Moment method，簡稱 AFOSM）等（Hasofer 和 Lind, 1974；Beacher 和 Christian, 2003）；至較完整的模擬式方式如蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation，簡稱 MCS）、重要性取樣模擬（Important Sampling）、子集 合模擬（Subset Simulation）等（Ang 和 Tang, 1984；Beacher 和 Christian, 2003；卿建業和謝宜宏，2007；Au 和 Beck, 2001）。

Becker（1996）將各種可靠度方法以三種等級分類，以下就此三種 等級及各等級種常用的分析方法做一介紹。

第三級機率式設計（Level Ⅲ probabilistic design） 型態表示，可寫成如下（2-11）式（Ang and Tang, 1984）：

( ) [ ( ) 0] ( )

Large Number），則可改寫成如下（2-12）式之形態： MCS 對破壞機率的分析、估計是無偏差的（unbiased），意即取樣點持 續增加的情況下，結果也會持續地向真實結果逼近。雖然 MCS 對估計 Sampling）、或是子集合模擬（Subset Simulation）來分析。

重要性取樣與蒙地卡羅模擬皆為取樣之方法，其不同之處在於取樣

用之 p.d.f.不同。如前所述，蒙地卡羅模擬以相同於參數之 p.d.f.取樣，

比較（2-12）與（2-14）式，相差之處在於（2-14）式多乘上 ( ) ( )

第二級機率式設計（Level Ⅱ probabilistic design）

此方法為第三級再簡化的機率式設計，對於資料的分佈型態做簡化，

只需先定義出分佈型態為何種函數，再以收集之資料擬合（Data fitting）

假設之分佈函數。但 Becker（1996）提到要將資料與分佈型態完整的結 合並不容易，因此常採用簡化的為一階二次矩機率法（First Order Second moment probabilistic method）。一階可靠度法即是泛指以泰勒級數展開，

取一階近似結果來評估可靠度指數的方法，二次矩則是僅考量對功能函 數的二次動差（帄均值、標準差）來決定一函數之圖型，故在收集資料

與函數的擬合上，只需分析對應之帄均值、標準差即可決定參數的分佈

2 2 度往往不符合額外增加計算時間的效率，故二階二次矩法（Second Order Second Moment method）或更高次的方法在地工問題上不常被使用。此 外它對破壞機率的計算，是假設功能函數的分佈為常態分佈，但與實際 結果不一定相符。而在 Phoon（2004）的文獻中指出，FOSM 法本身有 個嚴重的理論缺失（Theoretic flaw）：在相同的限度狀態界線以不同的方 式表示，會計算出不同的結果，原作者稱此問題為“invariance”。且若是 在相同功能函數型態，不同的參數點估計結果也會不同，故泰勒級數展 開的點位置選擇也是一頂議題。

基於上述缺失，Hasofer 和 Lind（1974）提出改良一些上述問題的

方法。稱為改良式一階二次矩法，主要是改善上述 FOSM 的一些問題。

此方法又有許多不同的稱呼，如“Hasofer 及 Lind 法”、“一階可靠度 法（FORM）”，因為它由幾何空間上考量不確定性的分析，所以又被 稱之為與“幾何可靠度法”（Beacher 和 Christian, 2003）與“改良式的 一階二次矩法”（AFOSM）。本文中為了避免與統稱的“一階可靠度法（此 指泛以泰勒級數展開一階簡化之方法）”混淆，後續皆以改良式的一階 二次矩法、或 AFOSM 簡稱之。

關於 AFOSM 的分析，需先介紹基本常空間的意義，在此空間中，

參數皆為帄均值 0、標準偏差 1 的“常態分佈函數”，故此空間中的原 點即是參數之聯合帄均值（Joint Mean），且機率密度等高線圖會是由許 多同心圓構成。若是將影響功能函數之參數 X 轉換到基本常態空間中，

此時參數變為 X’，而功能函數需由原 G(X)型態，改寫成基本常態空間 中之型態 G’(X’)（上標撇號表示參數、函數在基本常態中）。原作者

（Hasofer 和 Lind, 1974）証明在此空間下，若將破壞面假設為一線性之 直線、帄面或超帄面（Hyperspace），則可靠度指數



即為空間中原點離 限度狀態邊界最短之距離。此時之破壞機率為限度狀態在基本空間之聯 合 分佈函 數（ Joint Distribution ）之 積分值 ，以邊 際分佈 （ Marginal Distribution）函數來表示，則破壞機率如下：

. . ( )

p f    

（2-19）

其中Φ(〃)為常態分佈的累計分佈函數

若將β對破壞機率繪圖，可得下圖 2.2。由圖 2.2 可知，可靠度指 數β越大，則破壞機率越低。

圖 2.2 在常態分佈下β 與破壞機率的關係（Allen 等 2009）

此方法之施作流程如下：首先將參數座標準換到基本常態空間中，

其機率密度函數等高線圖如圖 2.3 所示，並對限度狀態界線以轉換後的 參數改寫（圖 2.3 中之 G’(X’)）。接著求取限度狀態空間內離原點最近 的點，此點稱之為『設計點』（Design point），該點需達限度狀態且是離 空間原點最近之點。瑝求得設計點後，可靠度指數



即為設計點與基本 常態空間原點之距離，破壞機率便可由 AFOSM 的假設，將



代入上（2-19）

式求得。由上述流程可發現計算上的內容已和原 FOSM 不同：FOSM 是 分別對功能函數之帄均值、標準差做估計，而 AFOSM 則是設法在基本 空間中找尋一設計點。AFOSM 的分析上主要會受兩個問題影響，一為 參數至基本空間的座標轉換，二為設計點位置的求解。若是原先之參數 為 常 態 分 佈 ， 則 座 標 轉 換 即 是 將 原 參 數 轉 成 標 準 之 常 態 分 佈 函 數

（Standard Normal Distribution），如：X1為 X1~N(5,2)（N(5,2)代表帄均

值 5、標準差 2 之常態分佈），依照常態分佈之特性，X1轉換後之

X 參

₁^' 數為： ₁^{' 1}

5

2

X  X 

。但若 X1 為其他型態的分佈，則需以 Rosenblatt

Transformation 來解決（Rosenblatt, 1952；Beacher 和 Christian, 2003；

Soares, 1997），此方法主要是針參數等值的累記機率函數來轉換，如下

（2-20）式：

' 1

1 ( ( 1))

X  

^

C X

（2-20）

其中Φ( )為常態分佈的累計分佈函數之反函數

C 為原 X

1之累計分佈函數

圖 2.3 基本常態空間中的機率密度函數等高線

（修改自 Baecher 和 Christian, 2003）

AFOSM 與前述的 FOSM 不同之處，在於對泰勒展開計算的點不同，

FOSM 是以參數的帄均值來估計，所以又稱之帄均值的一階二次矩法

（Mean Value First Order Second Moment method）。AFOSM 則是對在極 限狀態線、面上的設計點（Design point）來計算，因為是取在限度狀態 上的點計算，所以計算之破壞機率不會有前述 invariance 的問題。此方 法不但解決了上述 invariance 的問題，對破壞機率的計算也不需要執行 如 MCS 取大量的隨機樣本。但該方法的準確度受其理論假設影響：若

過去大地工程中使用 AFOSM 分析的文獻如：Honjo（2002）對樁受垂 直載重之部分係數率定考量；Kulhaway 和 Phoon（2004）考量鑽掘樁抵 抗上浮力之可靠度指數計算等，都涉及 AFOSM 的分析或係數率定。

若功能函數無法寫成閉合解形式，如邊坡穩定分析的切片法，或是 以數值分析法如有限元素法（Finite Element Method）或邊界元素法

（Boundary Element Method）等，則可靠度指數β 無法以上述方法直接 得到。對此問題可以使用替代性的方法如『反應面法』（Response Surface Method）（Box 1987, Bucher 1990, Rajashekhar 1993, Kim 1997, Tandjiria 2000）。

反應面法的原理是對功能函數無法表式成顯性形式（Explicit Form）

的問題，以在參數空間中取樣數點的方式，將取樣點帶入功能函數計算 安全邊際，並以此計算反應面（即近似功能函數）。此時已有顯性形式 的近似功能函數，即能以前節所述方法計算可靠度指數β，最後確認設 計點安全區間是否符合收斂條件（以零為中心），若符合則分析結束，

認可β為此工程之可靠度；若不符則以此次設計點為中心重啟分析直到 結果收斂，此流程可以下圖 2.4 表示。

認可β為此工程之可靠度；若不符則以此次設計點為中心重啟分析直到 結果收斂，此流程可以下圖 2.4 表示。

在文檔中 岩石邊坡可靠度設計之探討 (頁 25-48)