第四章 寄生表面張力波
4.2 生成機制之探討
4.2.3 初始波形斜率的影響
本節中我們將進行一系列不同波高之對照模擬以了解重力波初始波形 斜率對於寄生表面張力波生成的影響。除了分析初始波形斜率對波形演化 的影響，對於不同波長之重力短波：λ =5.0cm、7.5cm與10cm，也將對其進 行對照模擬並探討各個波形之特性。
延續4.1 節之模擬條件，初始條件為波長λ =5cm之三階Stokes 前進波，
對於各不同波形陡度：分別為ak =0 .12、 0.16、0.20、0.25與0.28，其波形與 波形斜率演化過程顯示於圖4.9 至圖 4.13。由圖 4.9 與圖 4.10 可得知：初 始波形陡度ak =0 .12與 0.16的演化過程中，其波形斜率有微幅的擾動，但並 無明顯之表面張力波產生於重力波波形上。當波形初始陡度高於0.20時，如 圖4.11 至圖 4.13 所示，即可在重力波上觀察到明顯的表面張力波。因此可 知對於波長λ =5cm之重力波，ak =0 .20為一產生寄生表面張力波之特徵波 形陡度。由圖4.11 至圖 4.13 所顯示之波形演化過程可得知：其表面張力波 斜率與重力波之初始陡度有關，初始陡度越大引起之表面張力波斜率越大。
在波長λ =7.5cm之對照模擬中，三階 Stokes 前進波之初始波形陡度分 別為ak =0 .20、0.23、0.25、0.28與0.30，其波形與波形斜率演化過程顯示於 圖4.14 至圖 4.18。不同於波長λ =5cm的算例，在波形初始陡度ak =0 .20與
23 .
0 之演化過程中，其波形斜率雖有擾動，但重力波波形上並無明顯之表 面張力波。在波形初始陡度達到0.25；如圖 4.16 所示，於波形演化至時間
5 0
. 1 T
t = 時，可觀察到位於波前相之表面張力波逐漸形成，而由其波形斜率 可看出：其波形擾動的頻率較波長λ =5cm者高，亦即所形成之寄生表面張 力波數目較多。而當時間達到t =3.0T0時，波形上之表面張力波結構幾乎已 衰竭。由初始陡度ak =0 .28與0.30之波形演化中可得知；如圖4.17 與圖 4.18 所示，不同於波長λ =5cm之寄生表面張力波分布於整個重力波波形上，在 重力波λ =7.5cm的演化過程中，當表面張力波傳遞至波背處時，由於其波 長短且振幅小，因此在波背處之表面張力波結構非常不明顯，此特性亦可
由Jiang et al. (1999) 之造波實驗結果應證。此外，其他於不同波長與初始 波形斜率之重力波所生成之寄生表面張力波的特性與相異處將詳列於表 4.1。
在波長λ =10cm之對照模擬中，三階 Stokes 前進波之初始波形陡度分別 為ak =0 .25、0.28、0.30與0.31，其波形與波形斜率演化過程顯示於圖 4.19
重力波之波形參數 寄生表面張力波之波形特徵 波長
λ(cm)
初始波形 陡度ak
形成起始 位置(°)
最大波形 斜率
最大/小波長 (cm)
完成發 展總數 5.0 0.12 × 0.132 × ×
5.0 0.16 38.7 0.235 ~ ~ 5.0 0.20 37.2 0.441 0.64/0.46 8
5.0 0.25 35.7 0.728 0.57/0.38 8 5.0 0.28 37.2 0.906 0.64/0.40 8 7.5 0.20 × 0.224 × ×
7.5 0.23 23.6 0.318 ~ ~ 7.5 0.25 22.1 0.477 ~ ~ 7.5 0.28 23.6 0.802 0.57/0.28 17 7.5 0.30 22.1 1.044 0.54/0.25 18 10.0 0.25 × 0.293 × ×
10.0 0.28 16.0 0.474 ~ ~ 10.0 0.30 19.1 0.746 0.5/~ ~ 10.0 0.31 19.1 1.024 ~ ~
表4.1：不同波長與初始波形斜率之重力波，其所產生之寄生表面張力波波形特性。
× 表示寄生表面張力波並無出現於重力波之波形上，~ 表示寄生表面張力波波形不 明顯。形成起始位置為與最大波高(位於 0°)之相位差，其誤差約為± 2°。寄生表面 張力波之波長誤差約為± 0.05cm。
至圖4.22。在波形初始陡度ak =0 .25的演化過程中，重力波波形上並無明顯 之表面張力波，如圖4.19 所示。而在ak =0 .28、0.30與0.31演化過程中顯示：
cm
=10
λ 重力波所生成之表面張力波結構並無規則性。由於其波形陡度已相 當大，傳輸過程之非線性效應也相當強，我們推測此時重力波的非線性效 應已與表面張力作用互相制衡，因而使得在λ =5cm與7.5cm前進波其由表面 張力效應主導之波形特性於波長增加為λ=10cm且波形較陡的重力波上已 不明顯。此重力波λ =10cm之波形不規則特性與 Fedorov et al. (1998) 之實 驗結果相符。
重力波之初始波形斜率與其運動慣性內能相關，而短重力波必須達到 其特徵波形陡度才會形成寄生表面張力波。而於本節之各組對照實驗中發 現，不同波長之重力波其特徵波形陡度並不相同且其生成之寄生表面張力 波亦有不同的波形特性，其歸納如下：
(1) 初始波形斜率為生成寄生表面張力波之重要機制，而重力波波長越長，
其生成表面張力波所需之初始波形斜率也越高。
(2) 重力波波長越長，其表面張力波之形成位置越接近最大波高位置，且所 形成之表面張力波數目較多，其波長也較短。
(3) 對於各波長之重力波，其最陡之寄生表面張力波皆生成於最接近波高 處，而各個寄生表面張力波之波形斜率往下游逐漸遞減，其波長與位置 有關，位於重力波波峯處（η >0）之波長較大於位於波谷處（η <0）。
(4) 寄生表面張力波之數目只與重力波波長有關，與波形初始陡度無關。根 據Cox (1958)、Fedorov and Melville (1998) 與 Fedorov et al. (1998) 之推 論，假設表面張力波的生成原因是因為其與重力波之高頻簡諧模組發生 共振，我們以其波相速度近似相同來估算表面張力波之數目Np。
2 2
cp
c ≈
kp
k g ≈σ
p
g λ
πσ π
λ 2 2 ≈
σ π λ λ
λ
2 2
4 N g
p
p = ≅ (4.3)
其中c與cp分別為重力波與表面張力波之相速度，k與kp分別為重力波與表 面張力波之波數，λ與λp分別為重力波與表面張力波之波長。依(4.3)式可 得：波長λ =5cm之重力波其表面張力波數目約為8，而λ =7.5cm之重力波其 表面張力波數目約為18個，此近似值皆與模擬結果相符。
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖4.9：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.12之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖4.10：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.16之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖4.11：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.20之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖4.12：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.25之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖4.13：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.28之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖 4.14：波長λ =7.5cm，初始波形陡度ak =0.20之前進波在考慮表面張力影響但不受 任何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖 4.15：波長λ =7.5cm，初始波形陡度ak=0.23之前進波在考慮表面張力影響但不受 任何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖 4.16：波長λ =7.5cm，初始波形陡度ak=0.25之前進波在考慮表面張力影響但不受 任何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間0 21nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖 4.17：波長λ =7.5cm，初始波形陡度ak =0.28之前進波在考慮表面張力影響但不受 任何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖 4.18：波長λ =7.5cm，初始波形陡度ak =0.30之前進波在考慮表面張力影響但不受 任何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖4.19：波長λ =10cm，初始波形陡度ak=0.25之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖 4.20：波長λ =10cm，初始波形陡度ak =0.28之前進波在考慮表面張力影響但不受 任何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖 4.21：波長λ =10cm，初始波形陡度ak =0.30之前進波在考慮表面張力影響但不受 任何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.3 0 0.3
-0.8 -0.4 0 0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 -0.3
0 0.3
-0.3 0 0.3
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.3 0 0.3
wave phase
-180 -120 -60 0 60 120 180
-0.8 -0.4 0 0.4
wave phase
圖4.22：波長λ =10cm，初始波形陡度ak=0.31之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 與(b)波形斜率( )
ηx 的演化過程，圖由上至下為於時間2 0 1nT
t = ，n=0~6，T 為線性週期。 0
(a) (b)