第四章 寄生表面張力波
4.2 生成機制之探討
4.2.1 表面張力的影響
首先我們進行一與 4.1 節相同的模擬條件但不考慮表面張力之對照模 擬。模擬初始條件為波長λ =5cm，波形陡度ak=0.25之三階Stokes 前進波，
但 不 考 慮 表 面 張 力 的 作 用 ， 此 重 力 波 之 週 期 根 據 線 性 理 論 為 s
18 . 0 ) ( 2 1/2
0 = gk ≈
T π ，其波速比4.1 節所模擬之重力波稍慢。圖 4.4 為其波 形
( )
η 、波形斜率( )
ηx 與波形在前進方向之二次導數( )
ηxx 的演化過程，而圖 4.5 為其波形結構之瞬時流場與旋度場。圖 4.4 顯示在演化過程中，其局部 最大負曲率點與最高波峯點幾乎是重疊在一起，而局部最大正曲率點皆不 存在。前進波波形於隨時間演化過程中皆無生成任何表面張力短波。圖4.5 顯示其流場結構在傳遞過程裡並無太大的改變，也沒有任何流場擾動。由 圖4.4 與圖 4.5 所示之模擬結果，我們可確認表面張力的影響是產生寄生表 面張力波之主要機制之一。根據表面張力之物理特性，當自由液面產生曲度時，表面張力會在交 界面的兩端造成一壓力梯度。流場之總壓力（Total pressure 或 Hydrodynamic pressure ） 為 流 體 運 動 過 程 中 所 受 到 之 正 向 應 力 ； 亦 即 熱 動 壓 力
（Thermodynamic pressure）與流體質量承受重力的靜水壓（Hydrostatic pressure）之合，而表面張力所引起之壓力梯度即反應在水動壓力的部份。
x(cm) x(cm) x(cm) (a) elevations η (cm) (c) curvatures ηxx(cm-1)
-0.2 0 0.2
(b) slopes ηx (cm0)
-0.6 -0.30.30
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-2024
-2024
-2024
-2024 -0.6
-0.30.30 -0.2
0 0.2
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-2024
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-0.6 -0.30.30
-0.6 -0.30.30
-2024 -2024 -2024
-0.2 0 -0.20.2 0 0.2
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-2024
-0.2 0 0.2
-0.6-0.30.30
-2024
-0.2 0 0.2
-0.6-0.30.30
-2024
-0.2 0 0.2
-0.6-0.30.30
-2024
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2
0 0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.6
-0.30.30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2024
圖 4.4：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.25之前進波在不考慮表面張力影響且不受 任何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 、(b)波形斜率( )
ηx 與(c)波形二次導數( )
ηxx 的演化過程。圖中分別標示出最高波峯點（○），波形凸起點（●），而波形凹入點不存在。參 考 座 標 隨 著 線 性 波 相 速 度 C0 = g/k =27.93cm/s 向 右 移 動 。 線 性 週 期
s 1790 . 0
0 =2 gk =
T π 。
t = 0.0T0
t = 1/4T0
t = 0.5T0
t = 3/4T0
t = 1.0T0
t = 5/4T0
t = 1.5T0
t = 7/4T0
t = 2.0T0
t = 9/4T0
t = 2.5T0
t = 11/4T0
t = 3.0T0
x(cm) x(cm) x(cm)
(cm)z
(cm)z
(cm)z
(cm)z
0 1 2 3 4 5
-0.3 0
0.3 -7-5-3-1 1 3 5 7
(a) t=0.25T0
0 1 2 3 4 5
-0.3 0
0.3 (b) t=0.50T0
0 1 2 3 4 5
-0.3 0
0.3 (c) t=1.00T0
0 1 2 3 4 5
-0.3 0
0.3 (d) t=2.00T0
0 1 2 3 4 5
-7-5-3-1 1 3 5 7
(e) (e)
0 1 2 3 4 5
(f)
0 1 2 3 4 5
(g)
0 1 2 3 4 5
(h)
0 1 2 3 4 5
-30 -18 -6 6 18 30
(i)
0 1 2 3 4 5
(j)
0 1 2 3 4 5
(k)
0 1 2 3 4 5
(l)
圖 4.5：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.25之前進波在不考慮表面張力影響且不受 任何風壓之作用下，於時間t=0.25T0, 0.5T0, T0, 2T0之瞬時速度場（水平速度：(a) ~ (d)，
垂直速度：(e) ~ (h)）與旋度場（(i) ~ (l)）。參考座標隨著線性波相速度C0 =27.93cm/s 向右移動。線性週期T0 =0.1790s。
圖4.6 分別表示考慮表面張力作用（實線）與忽略表面張力作用（虛線）
的模擬中，液面高度、液面上總壓力與液面上熱動壓力之分布。圖4.6(a) 顯 示兩模擬過程之波形的不同。圖 4.6(b) 顯示其液面上之總壓力分布情形是 完全不同，其考慮表面張力作用的總壓力分布隨寄生表面張力波形成而有 相當大的起伏（約為700g/cm⋅s2）。將分布於液面上之總壓力去除重力靜壓 部份後，其熱動壓力分布如圖 4.6(c) 所示。圖中顯示表面張力效應不止改 變水面上水動壓力之分布形態，其考慮表面張力作用與忽略表面張力作用 下之熱動壓力之值相差O(103)。因此可知表面張力作用主控了液面上總壓力 之分布，而液面總壓力值亦反應於液面高度變化。
x
(cm)0 1 2 3 4 5
-600 -300 0 300
-0.6 -0.3 0 0.3
surfacetensioneffectignored
Thermodynamic pressure
Undersurfacetensioneffect
σσ
( g/cm s2)
(c)
=73.0 g/s=0 2
0 1 2 3 4 5
-600 -300 0 300
(g/cm s2)
Hydrodynamic pressure
σσ
(b)
=73.0 g/s=0 2
0 1 2 3 4 5
-0.4 -0.2 0 0.2
Surface elevation
σσ
η (cm)
(a)
=73.0 g/s2
=0
圖 4.6：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.25之前進波，於時間t = T2 0時之(a)液面高
度、(b)液面上之總壓力與(c)液面上熱動壓力之分布，其中T 為前進波之線性週期。實0
線與折線分別表示於考慮表面張力作用與忽略表面張力作用之模擬結果。圖(c)中考慮表 面張力作用之熱動壓力量值表示於圖左邊界，忽略表面張力作用之熱動壓力量值表示於