第四章 寄生表面張力波
4.1 波形與流場結構
模擬之初始條件為一波長λ =5cm，波形陡度ak =0.25之三階 Stokes 前進 波，根據線性理論，其週期為T0 =2π (gk+σk3)1/2 ≈0.17s。此流場運動除了受 重力、流體黏滯力與表面張力作用外，不考慮其他外力作用；例如風應力 等。圖4.1 為其波形
( )
η 、波形斜率( )
ηx 與波形在前進方向之二次導數( )
ηxx 的 演化過程。圖中之參考座標以波形的線性相速度向右移動，其波形上分別 標示出最高波峯點（標示為空心圓）、波形凸起點（Bulge：局部最大負曲率處，標示為實心圓）與波形凹入點（Toe：局部最大正曲率處，標示為三角形）。初始 波形（t =0 T.0 0）其於波峯位置為左右對稱；相對於波谷亦同，而在接近波峯處 較 陡 ； 波 谷 處 較 平 緩 為 典 型 的 非 線 性 波 之 波 形 特 性 。 在 演 化 之 初 期
（t =1 T/4 0），其局部最大負曲率點逐漸脫離最高波峯點，此時波形已形成 不對稱，並在波峯下游處產生波形之凸起。隨時間演化，波形不對稱愈來 愈明顯（t =0 T.5 0），而在波形之凸起點下游處產生局部最大正曲率點亦即 波形凹入點。此局部最大正曲率值持續增加，而其下游之波形曲率開始產 生微幅的振盪（t =3 T/4 0）。隨著曲率的振盪逐漸增強，波形上出現表面張 力短波，其始於波形凹入點，往下游波谷處逐一形成。表面張力短波之曲 率持續增加，波形亦越明顯，其數目也逐漸增加並延伸至波背。此短波波 群附著於重力波上並以相似的相速度傳播因而稱之為寄生表面張力波。
x(cm) x(cm) x(cm) (a) elevations η (cm) (b) slopesηx (cm0) (c) curvatures ηxx (cm-1)
-0.2 0 0.2
-0.2 0 0.2 -0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-2024
-2024 -0.6-0.30.30
-0.6-0.30.30
-2024
-2024 -0.6-0.30.30
-0.2 0 0.2
-0.2 0 0.2
-0.6-0.30.30
-0.2 0 0.2
-0.6-0.30.30
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-0.6 -0.30.30 -0.2
0 0.2
-0.2 0 0.2
-0.6 -0.30.30
-2024
-2024
-2024
-2024
-2024
-2024
-2024
-0.2 0 0.2
-0.6-0.30.30
-2024
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2
0 0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.6
-0.30.30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2024
圖 4.1：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.25之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，其(a)波形
( )
η 、(b)波形斜率( )
ηx 與(c)波形二次導數( )
ηxx 的演化過程。圖中分別標示出最高波峯點（○），波形凸起點（●），波形凹入點（▽）。參考座標 隨 著 線 性 波 相 速 度 C0 = g/k+σk =29.52cm/s 向 右 移 動 。 線 性 週 期
s 1694 . 0
2 3
0 = gk+ k =
T π σ 。
t = 0.0T0
t = 1/4T0
t = 0.5T0
t = 3/4T0
t = 1.0T0
t = 5/4T0
t = 1.5T0
t = 7/4T0
t = 2.0T0
t = 9/4T0
t = 2.5T0
t = 11/4T0
t = 3.0T0
此波形結構在發展完成並達到一近似穩定的狀態後，開始逐漸的衰減。
圖 4.2 為此波形結構之瞬時流場與旋度場。在模擬初期（t =1 T/4 0）非 線性重力波之速度場特性如下：水平速度為正/負之最大值位於波峯/波谷 處；如圖4.2(a) 所示，垂直速度為正/負之最大值位於波前相/波背相處；如 圖 4.2(e) 所示。此流場造成一厚度相當薄的自由液面邊界層，其在位於波 谷/波峯處分別有一順/逆時針方向之弱渦旋；於圖 4.2(i)。當波形凹入點產 生時（t =0 T.5 0），流場在波前相開始有微小的擾動，順時針方向之弱渦旋 往上游移動至波前相處，如圖 4.2(j) 所示。當寄生表面張力波形成後
（t =1 T.0 0），每個表面張力短波皆於其所在位置引起一前進波形態之速度 場；如圖4.2( c 與 g ) 所示。同時，在其各個波谷/波峯處分別產生一順/逆 時針方向之渦旋且順時針方向渦旋由波谷處產生後立即被抬升並往上游拖 曳，如圖4.2(k) 所示，此旋度結構與 Mui & Dommermuth (1997) 之數值模 擬結果相同。隨著寄生表面張力波持續發展（t = 2 T.0 0），成對渦旋除了數 量增加外強度亦逐漸增強並往下方流場擴張，如圖 4.2(l) 所示。其中於標 記為波形凹入處所產生之順時針方向渦旋的強度最大，其範圍擴展至重力 波波峯以及波背相。我們推測此結構即為Okuda (1982) 於實驗中所測得之 波峯下高旋度區，也與Ebuchi et al. (1987) 以及 Longuet-Higgins (1992) 所 推論之流場結構相符。發展完成之寄生表面張力波其順時針方向渦旋之漫 延與聯結使得自由液面下方形成一高旋度之順時針方向渦旋帶，同時流場 邊界層厚度亦明顯增加。圖4.3 以放大重力波前波相接近自由液面區域流場 以顯示寄生表面張力波所形成之速度場與旋度分布。
x(cm) x(cm) x(cm)
(cm)z
(cm)z
(cm)z
(cm)z
0 1 2 3 4 5
-0.3 0
0.3 -7-5-3-1 1 3 5 7
(a) t=0.25T0
0 1 2 3 4 5
-7-5-3-1 1 3 5 7
(e) (e)
0 1 2 3 4 5
-30 -18 -6 6 18 30
(i)
0 1 2 3 4 5
-0.3 0
0.3 (b) t=0.50T0
0 1 2 3 4 5
(f)
0 1 2 3 4 5
(j)
0 1 2 3 4 5
-0.3 0
0.3 (c) t=1.00T0
0 1 2 3 4 5
(g)
0 1 2 3 4 5
(k)
0 1 2 3 4 5
-0.3 0
0.3 (d) t=2.00T0
0 1 2 3 4 5
(h)
0 1 2 3 4 5
(l)
圖 4.2：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.25之前進波在考慮表面張力影響但不受任 何風壓之作用下，於時間t=0.25T0, 0.5T0, T0, 2T0之瞬時速度場（水平速度：(a) ~ (d)，
垂直速度：(e) ~ (h))），與旋度場（(i) ~ (l)）。參考座標隨著線性波相速度C0 =29.52cm/s 向右移動。線性週期T0 =0.1694s。圖中分別標示波形凸起點（●），波形凹入點（▽）
之位置。
圖4.3：寄生表面張力波之速度場向量圖與旋度分布。圖(a)為圖 4.2(k)之重力波前波 相接近自由液面之區域流場。圖(a)為圖 4.2(l)之重力波前波相接近自由液面處之區域 流場。
(a)
(b)