第三章 模式之數值方法
3.1 網格點配置與空間導數的離散
本模式計算區間的邊界為水平方向（ξ 與ψ ）之四個週期邊界面以及 垂直方向之自由液面映射邊界：ζ =1，與底部邊界：ζ =0。模式中同時使 用兩種網格系統：正規網格系統與交錯網格系統。其中，正規網格系統在 水平方向為均勻分布，而垂直方向則為非均勻分布；亦即網格間為非等間 距，其分布型式如下( Gavrilakis，1992)：
8417 . 1 1 tanh 8417
. 1 tanh )
(
−
×
=
Nz
k k
ζ 。 (3.1)
其中Nz為垂直方向之總格點數，k為垂直位置指標。根據式(3.1)，在垂直方 向上越接近液面，空間解析度愈高，其網格點位置與間距關係顯示於圖3.1。
垂直方向非等間距的正規網格於物理區間與計算區間之分布，如圖 3.2 所 示，而此網格分布將更有利於解析自由液面邊界層。交錯網格系統之水平 位置與正規網格重疊，但其垂直方向則位移至相鄰正規網格之間距中心，
如圖3.3 所示。兩種網格系統之使用方式為：水平速度 u、v 與壓力 p 置於 正規網格點，垂直速度 w 則置於交錯網格點。模式中之連續方程式、壓力 Poisson 方程式，以及水平方向之動量方程式皆滿足於正規網格點上，而垂 直方向之動量方程式則滿足於交錯網格點上。
水平方向的導數：如∂u ∂ξ、∂ u2 ∂ξ2 、∂v ∂ψ 、∂ v2 ∂ψ2 與∂(uv) ∂ξ 等，
使用擬頻譜法進行離散，模式中將利用大量的快速傅立葉轉換來進行水平 導數的運算。有關於擬頻譜法之離散型式傅立葉級數理論將於附錄二中說 明。而垂直方向導數計算：如∂u ∂ζ 與∂ u2 ∂ζ2等，則使用二階中間差分法進 行離散。
模式中同時使用兩種網格系統的原因是為了維持連續方程式（同時亦
為壓力方程式）之空間解析度。由於映射法中連續方程式的滿足需要壓力 在垂直方向的二次導數，因此必須將垂直方向之動量方程式取垂直梯度（其 詳細步驟將於下節中說明）。
16 32 48 64 80 96 112 128 0.003
0.006 0.009 0.012 0.015
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
圖3.1：計算區間之垂直方向非等間距網格分佈情形。ζk為第k個網格點位置(實
線)，∆ζk為第k個網格間距(虛線)。越接近上邊界ζ =1處之網格分佈越密。以垂直 方向網格點數NZ =129為例，最大網格距約為0.015；最小網格距約為 0.0015。
圖3.2：垂直方向非等間距之正規網格於物理區間(a)與計算區間(b)之二維示意圖。
k
ζk
ζk
∆
ζk
ζk
∆
(a) (b)
若不使用交錯網格，則壓力方程式之空間解析度就無法維持在一個垂直網 格距。若將垂直動量方程式(2.4)經時間積分後簡化表示為：
z B A p
w +
∂
= ∂ ， (3.2)
其中A與B為速度場相關係數。而假設在垂直方向為正規網格分布的情形下 (參考圖 3.4(a) )，在垂直位置指標k之網格點上，其連續方程式之垂直速度 在垂直方向上的導數 (∂w ∂z) 使用中間差分法離散過程之示意情形如下：
圖 3.3：正規網格系統與交錯網格系統配置圖。模式中水平速度 u, v 與壓力 p 置
於正規網格點，垂直速度w 則置於交錯網格點。而連續方程式、壓力 Poisson 方程
式，以及水平方向之動量方程式皆滿足於正規網格點上，垂直方向之動量方程式 則滿足於交錯網格點上。
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
▲
▲
▲
▲
▲
▲
▲
▲
▲
▲
▲
▲
k
ui,
ξ ζ
○ 正規網格 ▲交錯網格
k
ui+1, k
ui−1, ui+2,k
1 ,k+
ui ui+ k1, +1 ui+ k2,+1
1 , 1 + i− k
u
2
,k+1
wi
2
, 1
1 + + k
wi
2
, 1
2 + + k
wi
2
, 1
1 +
− k
wi
2
,k+3
wi
23
, 1 + + k
wi
2
, 3
2 + + k
wi
2
, 3
1 +
− k
wi
[ ]
[ ]
本節中我們將利用二階 Runge-Kutta 對 Navier-Stokes 方程式(2.41)至 (2.43)以及自由液面運動方程式(2.45)進行時間積分，並運用連續方程式之映 射法（Projection）得到壓力 Poisson 方程式。為達到最佳演算法，在此將 Runge-Kutta 積分計算流程分解為兩個步驟，表示如下：
[
( , ) ( , )]
為了便利於說明，我們將Navier-Stokes 方程式(2.41)至(2.43)表示為：
p FU